Xem mẫu
- Së GD-§T phó thä
ÐỀ THI thö ĐẠI HỌC
Trêng T.H.p.t long ch©u sa
NĂM häc: 2 0 1 0 - 20 1 1
Môn thi : TOÁN
Thêi gian lµm bµi:150 phót (kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò)
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I:(2 điểm)
− x +1
Cho hàm số : y = (C)
2x +1
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
2. Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết tiếp tuyến đó đi qua giao điểm của đường tiệm cận và trục
Ox.
Câu II:(2 điểm)
sin 2 x cos 2 x
+ = tgx − cot x
1. Giải phương trình:
cos x sin x
4
( 2 − log3 x) log9x 3 − =1
2. Giải phương trình:
1− log x
3
Câu III: (2 điểm)
sin 2 xdx
F ( x) = ∫
1.TÝnh nguyªn hµm:
3 + 4 sin x − cos 2 x
2.Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh: x − 1 − x −2 ≥ x −3
Câu IV: (1 điểm)
Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có trọng tâm G(−2, 0) biết phương trình các cạnh AB, AC theo
thứ tự là 4x + y + 14 = 0; 2x + 5y − 2 = 0 . Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C.
PHẦN RIÊNG (3 điểm)
Chó ý:ThÝ sinh chØ ®îc chän bµi lµm ë mét phÇn nÕu lµm c¶ hai sÏ kh«ng ® îc
chÊm
A. Theo chương trình chuẩn
Câu Va :
1. Tìm hệ số của x8 trong khai triển (x2 + 2)n, biết: A 3 − 8C2 + C1 = 49.
n n n
2. Cho đường tròn (C): x2 + y2 – 2x + 4y + 2 = 0.
Viết phương trình đường tròn (C') tâm M(5, 1) biết (C') cắt (C) tại các điểm A, B sao cho AB = 3 .
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu Vb:
( x − 1) 2 + log 3 ( 2x − 1) = 2
1. Giải phương trình : log3
2. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA vuông góc với ®¸y hình chóp.
Cho AB = a, SA = a 2 . Gọi H và K lần lượt là hình chiếu vu«ng gãc của A lên SB, SD.
Chứng minh SC ⊥ (AHK) và tính thể tích khèi chóp OAHK.
………………… …..………………..Hết…………………………………….
- (C¸n bé coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm)
Híng dÉn chÊm m«n to¸n
C©u ý Néi Dung §iÓm
2
I
1
Kh¶o s¸t hµm sè (1 ®iÓm)
1
0,25
• TX§: D = R\ {-1/2}
−3
Sùù BiÕn thiªn: y = < 0∀ ∈D
,
x
•
( 2 x +1)
2
1 1
Nªn hµm sè nghÞch biÕn trªn (−∞ − )va ( − ; +∞
; )
2 2
0,25
+ Giíi h¹n ,tiÖm cËn:
lim+ y = +∞
1
x →−
2
lim− y = −∞
⇒ §THS cã tiÑm cËn ®øng : x = -1/2
1
x →−
2
1
lim y = −
2
x →−∞
1
⇒ ®THS cã tiÖm cËn ngang: y = -1/2
lim y = −
2
x →+∞
+ B¶ng biÕn thiªn:
x −∞ +∞
-1/2
y’ -
-
+∞
-1/2
0,25
y
−∞ -1/2
- • §å ThÞ :
y
0,25
1
x
-1/2 0 1
I
-1/2
2
1
Giao điểm của tiệm cận đứng với trục Ox là A − ,0
2
1
Phương trình tiếp tuyến (∆ ) qua A có dạng y = k x +
2
−x + 1 1
2x + 1 = k x + 2 ÷ 0,25
(∆ ) tiếp xúc với (C) ⇔ /
− x + 1 = k coùnghieä
m
÷
2x + 1
− x + 1 1
2x + 1 = k x + 2 (1)
⇔
−3 = k 0,25
(2)
( 2x + 1) 2
Thế (2) vào (1) ta có pt hoành độ tiếp điểm là
- 1
3 x + ÷
−x + 1 2
=−
( 2x + 1)
2x + 1 2
1 1 3
⇔ (x − 1)(2x + 1) = 3(x + ) và x ≠ − ⇔ x − 1=
0,25
2 2 2
5 1
⇔ x= . Do đó k = −
12
2
1 1
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = − x+ ÷
0,25
12 2
II 2
1
sin2x cos x 2
+ = tgx− cotgx (1)
1. Giải phương trình: 0,25
cosx sinx
cos x cosx + sin2xsinx sinx cosx
2
(1) ⇔ = −
sinx cosx cosx sinx
cos2x − x) sin x − cos x
( 2 2
⇔ =
sinx cosx sinx cosx
0,25
⇔ cosx = − cos2x ∧ sin2x ≠ 0
⇔ 2cos2 x + cosx − 1= 0∧ sin2x ≠ 0
0,25
1
⇔ cosx = (cosx = −1 :loaï vì sinx ≠ 0)
i
2
π 0,25
⇔ x= ± + k2π
3
2
4
2. Phương trình: ( 2 − log3 x) log9x 3 − = 1 (1)
1− log3 x
1 4
(1) ⇔ ( 2 − log3 x) − =1 0,25
log3 9x 1− log3 x
- 0,25
2 − log3 x 4
⇔ − =1
2 + log3 x 1− log3 x
đặt: t = log3x
0,25
2− t 4
− = 1⇔ t2 − 3t − 4 = 0
thành
2 + t 1− t
(vì t = -2, t = 1 không là nghiệm)
⇔ t = −1 hay t = 4
0,25
1
Do đó, (1) ⇔ log3 x = −1 hay x = 4 ⇔ x = hayx = 81
3
III 2
1 1
sin 2 xdx 2 sin x cos xdx
Ta cã F ( x ) = ∫ =∫ 0,2
3 + 4 sin x − (1 − 2 sin x ) 2 sin 2 x + 4 sin x + 2
2
5
§¨t u = sinx ⇒ du = cos xdx O,2
5
udu du du
F ( x) = G (u ) = ∫ =∫ −∫
0,25
( u + 1) u +1 (u + 1) 2
2
Ta cã:
1
= ln u + 1 + +c
u +1
0,25
1
VËy F ( x) = ln sinx + 1 + +c
sin x + 1
1
2
§k: x ≥ 3 0,25
⇔ x +1 ≥ x − 2 + x − 3
Bpt ⇔ 2 x 2 − 5 x + 6 ≤ 4 − x
0,25
4 − x ≥ 0
⇔ 2
3 x − 12 x + 8 ≤ 0
3 ≤ x ≤ 4 0,25
⇔ 6 − 2 3 6+2 3
≤x≤
3 3
0,25
6+2 3
⇔3≤ x ≤
3
- IV 1
{ {
4x + y + 14 = 0 x = −4
. Tọa độ A là nghiệm của hệ 2x + 5y − 2 = 0 ⇔ y = 2 ⇒ A(–4, 2) 0,2
5
Vì G(–2, 0) là trọng tâm của ∆ ABC nên
0,25
3xG = xA + xB + xC xB + xC = −2
⇔
(1)
3yG = yA + yB + yC yB + yC = −2
Vì B(xB, yB) ∈ AB ⇔ yB = –4xB – 14 (2)
0,25
2x 2
C(xC, yC) ∈ AC ⇔ yC = − C + ( 3)
5 5
Thế (2) và (3) vào (1) ta có
0,25
xB + xC = −2
x = −3 ⇒ yB = −2
⇒ B
2xC 2
− 4xB − 14− 5 + 5 = −2 xC = 1 ⇒ yC = 0
Vậy A(–4, 2), B(–3, –2), C(1, 0)
V.a 3
1
1
0,25
Điều kiện n ≥ 4
1.
n
( ) ∑C x
n k 2k n− k
2
Ta có: x + 2 = 2
n
k= 0
Hệ số của số hạng chứa x8 là C42n− 4
n
0,2
Hệ số của số hạng chứa x8 là C42n− 4
n
5
0,2
Ta có: A n − 8Cn + Cn = 49
3 2 1
5
⇔ (n – 2)(n – 1)n – 4(n – 1)n + n = 49
⇔ n3 – 7n2 + 7n – 49 = 0 ⇔ (n – 7)(n2 + 7) = 0 ⇔ n = 7
0,2
5
C423 = 280
Nên hệ số của x là 8
7
2
2
- 0,25
Phương trình đường tròn (C): x2 + y2 – 2x + 4y + 2 = 0 có tâm I(1, –2) R = 3
Đường tròn (C') tâm M cắt đường tròn (C) tại A, B nên AB ⊥ IM tại trung
điểm H của đoạn AB.
0,25
AB 3
Ta có AH = BH = =
2 2
0,25
Có 2 vị trí cho AB đối xứng qua tâm I.
Gọi A'B' là vị trí thứ 2 của AB
Gọi H' là trung điểm của A'B'
2
3 3 0,25
Ta có: IH' = IH = IA − AH = 3−
2 ÷ =2
2 2
÷
( 5− 1) + ( 1+ 2) = 5
2 2
Ta có: MI =
0,25
3 13
37
và MH = MI − HI = 5 − =; MH' = MI + H'I = 5+ =
22 22
0,25
3 49 52
R1 = MA 2 = AH 2 + MH 2 =
2
+ = = 13
Ta có:
44 4
3 169 172
R2 = MA '2 = A 'H'2 + MH '2 = + = = 43
2
44 4
0,25
Vậy có 2 đường tròn (C') thỏa ycbt là: (x – 5)2 + (y – 1)2 = 13
hay (x – 5)2 + (y – 1)2 = 43
V.b 3
1
1
1. Giải phương trình: log3( x − 1) + log 3 ( 2x − 1) = 2
2
0,25
1
§k: < x ≠ 1
2
⇔ 2log3 x − 1 + 2log3 ( 2x − 1) = 2
⇔ log3 x − 1 + log3 ( 2x − 1) = 1 ⇔ log3 x − 1 ( 2x − 1) = log3 3 0,25
⇔ x − 1 ( 2x − 1) = 3 0,25
{
1
x>1
⇔ 2 < x < 1 hoac
2x2 − 3x − 2 = 0
2x2 − 3x + 4 = 0(vn)
0,25
⇔ x= 2
2
2
- 0,25
+BC vuông góc với (SAB)
⇒ BC vuông góc với AH mà AH vuông với SB
⇒ AH vuông góc với (SBC) ⇒ AH vuông góc SC (1)
+ Tương tự AK vuông góc SC (2)
0,25
(1) và (2) ⇒ SC vuông góc với (AHK )
SB2 = AB2 + SA 2 = 3a2 ⇒ SB = a 3
a 6⇒ 2a 3 ⇒ 2a 3
AH.SB = SA.AB ⇒ AH= 0,25
SH= SK=
3 3 3
(do 2 tam giác SAB và SAD bằng nhau và cùng vuông tại A)
0,25
HK SH 2a 2
= ⇒ HK =
Ta có HK song song với BD nên .
BD SB 3
0,5
kÎ OE// SC ⇒ OE ⊥ ( AHK )(doSC ⊥ ( AHK )) suy ra OE lµ ®êng cao
cña h×nh chãp OAHK vµ OE=1/2 IC=1/4SC = a/2
0,25
Gọi AM là đường cao của tam giác cân AHK ta có
2a
4a2
⇒ AM=
AM 2 = AH2 − HM 2 =
3
9
- 0,25
a3 2
1 1a 1
VOAHK = OE.SAHK = . HK.AM = (®vtt)
3 32 2 27
S
K
I
M
H
E
A D
O
C
M
- Câu II:
sin2x cos x2
+ = tgx− cotgx (1)
1. Giải phương trình:
cosx sinx
cos x cosx + sin2xsinx sinx cosx
2
(1) ⇔ = −
sinx cosx cosx sinx
cos2x − x) sin x − cos x
( 2 2
⇔ =
sinx cosx sinx cosx
⇔ cosx = − cos2x ∧ sin2x ≠ 0
⇔ 2cos2 x + cosx − 1= 0∧ sin2x ≠ 0
1
⇔ cosx = (cosx = −1 :loaï vì sinx ≠ 0)
i
2
π
⇔ x= ± + k2π
3
4
2. Phương trình: ( 2 − log3 x) log9x 3 − = 1 (1)
1− log3 x
1 4
(1) ⇔ ( 2 − log3 x) − =1
log3 9x 1− log3 x
2 − log3 x 4
⇔ − =1 đặt: t = log3x
2 + log3 x 1− log3 x
2− t 4
− = 1⇔ t2 − 3t − 4 = 0
(1) thành
2 + t 1− t
(vì t = -2, t = 1 không là nghiệm)
⇔ t = −1 hay t = 4
1
Do đó, (1) ⇔ log3 x = −1 hay x = 4 ⇔ x = hayx = 81
3
Câu IV:
{ {
4x + y + 14 = 0 x = −4
. Tọa độ A là nghiệm của hệ 2x + 5y − 2 = 0 ⇔ y = 2 ⇒ A(–4, 2)
Vì G(–2, 0) là trọng tâm của ∆ ABC nên
3xG = xA + xB + xC xB + xC = −2
⇔
(1)
3yG = yA + yB + yC yB + yC = −2
Vì B(xB, yB) ∈ AB ⇔ yB = –4xB – 14 (2)
2x 2
C(xC, yC) ∈ AC ⇔ yC = − C + ( 3)
5 5
Thế (2) và (3) vào (1) ta có
- xB + xC = −2
x = −3 ⇒ yB = −2
⇒ B
2xC 2
− 4xB − 14− 5 + 5 = −2 xC = 1 ⇒ yC = 0
Vậy A(–4, 2), B(–3, –2), C(1, 0)
Câu Vb:
2. (Bạn đọc tự vẽ hình)
+BC vuông góc với (SAB)
⇒ BC vuông góc với AH mà AH vuông với SB
⇒ AH vuông góc với (SBC) ⇒ AH vuông góc SC (1)
+ Tương tự AK vuông góc SC (2)
(2) và (2) ⇒ SC vuông góc với (AHK )
SB2 = AB2 + SA 2 = 3a2 ⇒ SB = a 3
a 6⇒ 2a 3 ⇒ 2a 3
AH.SB = SA.AB ⇒ AH= SH= SK=
3 3 3
(do 2 tam giác SAB và SAD bằng nhau và cùng vuông tại A)
HK SH 2a 2
= ⇒ HK =
Ta có HK song song với BD nên .
BD SB 3
Gọi AM là đường cao của tam giác cân AHK ta có
2a
4a2
⇒ AM=
AM 2 = AH2 − HM 2 =
3
9
2a3
1 1a 2 1
VOAHK = OA.SAHK = . HK.AM =
3 32 2 27
Cách khác:
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho
A= O (0;0;0), B(a;0;0), C( a;a;0), D(0;a;0), S (0;0; a 2 )
Câu I:
1. Khảo sát (Bạn đọc tự làm)
1
2. Giao điểm của tiệm cận đứng với trục Ox là A − ,0
2
1
Phương trình tiếp tuyến (∆ ) qua A có dạng y = k x +
2
− x + 1 1
2x + 1 = k x + 2 ÷
(∆ ) tiếp xúc với (C) ⇔ /
− x + 1 = k coùnghieä
m
2x + 1÷
− x + 1 1
2x + 1 = k x + 2 (1 )
⇔
−3 = k (2)
( 2x + 1) 2
Thế (2) vào (1) ta có pt hoành độ tiếp điểm là
- 1
3 x + ÷
−x + 1 2
=−
( 2x + 1)
2x + 1 2
1 1 3
⇔ (x − 1)(2x + 1 = 3(x + ) và x ≠ − ⇔ x − 1=
)
2 2 2
5 1
⇔ x = . Do đó k = −
12
2
1 1
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = − x + ÷
12 2
Câu Va:
1. Điều kiện n ≥ 4
n
( ) ∑C x
n k 2k n− k
2
Ta có: x + 2 = 2
n
k= 0
Hệ số của số hạng chứa x8 là C42n− 4
n
Ta có: A n − 8Cn + Cn = 49
3 2 1
⇔ (n – 2)(n – 1)n – 4(n – 1)n + n = 49
⇔ n3 – 7n2 + 7n – 49 = 0 ⇔ (n – 7)(n2 + 7) = 0 ⇔ n = 7
Nên hệ số của x8 là C423 = 280
7
2. Phương trình đường tròn (C): x2 + y2 – 2x + 4y + 2 = 0 có tâm I(1, –2) R = 3
Đường tròn (C') tâm M cắt đường tròn (C) tại A, B nên AB ⊥ IM tại trung điểm H của đoạn AB. Ta có
AB 3
AH = BH = =
2 2
Có 2 vị trí cho AB đối xứng qua tâm I.
Gọi A'B' là vị trí thứ 2 của AB
Gọi H' là trung điểm của A'B'
2
3 3
Ta có: IH' = IH = IA − AH = 3−
2 ÷ =2
2 2
÷
( 5− 1) + ( 1+ 2) = 5
2 2
Ta có: MI =
37
và MH = MI − HI = 5 − =
22
3 13
MH' = MI + H'I = 5+ =
22
3 49 52
2 2 2 2
Ta có: R1 = MA = AH + MH = + = = 13
44 4
3 169 172
R2 = MA '2 = A ' H'2 + MH '2 = + = = 43
2
44 4
Vậy có 2 đường tròn (C') thỏa ycbt là: (x – 5)2 + (y – 1)2 = 13
hay (x – 5)2 + (y – 1)2 = 43
- BÀI GIẢI GỢI Ý
Câu I.
(C)
1. y = 2x4 – 4x2 . TXĐ : D = R y
y’ = 8x3 – 8x; y’ = 0 ⇔ x = 0 ∨x = ± 1; xlim = +∞
→±∞
−∞ −1 +∞
x 0 1
−0 −
y' +0 0 +
+∞ +∞
y 0 − 2
1
0
−1
−2 −2
CĐ
x
CT CT
y đồng biến trên (-1; 0); (1; +∞ ) −2
y nghịch biến trên (-∞ ; -1); (0; 1)
y đạt cực đại bằng 0 tại x = 0
y đạt cực tiểu bằng -2 tại x = ± 1
Giao điểm của đồ thị với trục tung là (0; 0) y
Giao điểm của đồ thị với trục hoành là (0; 0); (± 2 ;0) (C’)
2. x2x2 – 2 = m ⇔ 2x2x2 – 2 = 2m (*)
(*) là phương trình hoành độ giao điểm của (C’) :
2
y = 2x2x2 – 2 và (d): y = 2m
Ta có (C’) ≡ (C); nếu x ≤ - 2 hayx ≥ 2
(C’) đđối xứng với (C) qua trục hoành nếu - 2
- 1 x 1 x 1
Đặ t a = x + ; b = ⇒ a = x + 2 + 2 ⇒x + 2 = a − 2b
2 2 2 2
y y y y y
{ {
a+b=7 a+b=7
Ta có hệ là a 2 − b = 13 ⇔ a 2 + a − 20 = 0
1 1
x + y = 4 x + y = −5
{ {
a=4 a = −5
⇔ b = 3 hay b = 12 . Vậy x hay x
=3 = 12
y
y
{ {
x = 1
{
x=3
x 2 − 4x + 3 = 0 x 2 + 5x + 12 = 0
(VN) ⇔ y = 1 hay y = 1
⇔ x = 3y hay x = 12y
3
Câu III :
3 3 3
3 + ln x dx ln x
I=∫ dx = 3∫ +∫ dx
(x + 1) (x + 1) 1 (x + 1) 2
2 2
1 1
3
3
−3
dx 3
I1 = 3∫ = =
(x + 1) (x + 1)
2
4
1 1
3
ln x
I2 = ∫ dx
(x + 1) 2
1
dx
Đặt u = lnx ⇒ du =
x
−1
dx
dv = . Chọn v =
(x + 1) 2
x +1
3 3 3 3
ln x dx ln 3 dx dx ln 3 3
+∫ +∫ −∫
I2 = − =− =− + ln
x + 1 1 1 x(x + 1) x 1 x +1
4 4 2
1
3
Vậy : I = (1 + ln 3) − ln 2
4
Câu IV.
a BH 2 1 a 3a
= ⇒ BN = 3 = ; B ' H = a 3 C A
N
BH= ,
2 BN 3 22 4 2
goïi CA= x, BA=2x, BC = x 3
H
CA2
BA2 + BC 2 = 2 BN 2 +
2
M
2
2
9a 2
3a x
⇔ 3x + 4 x = 2 ÷ + ⇔x =
2 2 2
52
4 2
3 a3
Ta có: B ' H = BB ' = B
2 2
2 3
11 a 3 1 9a a 3 9a
= =
V= x 2 3 ÷
3 2 2 12 52 2 208
Câu V :
(x + y) + 4xy ≥ 2
3
⇒ (x + y)3 + (x + y) 2 − 2 ≥ 0 ⇒ x + y ≥ 1
(x + y) − 4xy ≥ 0
2
- (x + y) 2 1 1
≥ dấu “=” xảy ra khi : x = y =
⇒ x 2 + y2 ≥
2
2 2
(x + y )
2 22
Ta có : x 2 y 2 ≤
4
A = 3 ( x + y + x y ) − 2(x 2 + y 2 ) + 1 = 3 (x 2 + y 2 ) 2 − x 2 y 2 − 2(x 2 + y 2 ) + 1
4 4 22
(x 2 + y 2 ) 2
≥ 3 (x 2 + y 2 ) 2 − − 2(x + y ) + 1
2 2
4
9
= (x 2 + y 2 ) 2 − 2(x 2 + y 2 ) + 1
4
1
Đặt t = x2 + y2 , đk t ≥
2
9 1
f (t) = t 2 − 2t + 1, t ≥
4 2
9 1
f '(t) = t − 2 > 0 ∀ t ≥
2 2
1 9
⇒ f (t) ≥ f ( ) =
2 16
9 1
Vậy : A min = khi x = y =
16 2
Câu VIa.
x−y x − 7y
=±
Phương trình 2 phân giác (∆ 1, ∆ 2) :
1.
2 52
⇔ 5(x − y) = ± (x − 7y)
y = −2x :d1
5(x − y) = x − 7y
⇔
⇔ 1
y = x : d2
5(x − y) = − x + 7y
2
4
Phương trình hoành độ giao điểm của d1 và (C) : (x – 2)2 + (– 2x)2 =
5
25x2 – 20x + 16 = 0 (vô nghiệm)
2
x 4
Phương trình hoành độ giao điểm của d2 và (C) : (x – 2) + ÷ = 2
2 5
8 4
8
⇔ 25x 2 − 80x + 64 = 0 ⇔ x = . V ậy K ; ÷
5 5
5
22
R =d (K, ∆ 1) =
5 uuu
r uuu
r
TH1 : (P) // CD. Ta có : AB = ( −3; −1; 2), CD = ( −2; 4;0)
2.
r r
⇒ (P) có PVT n = ( −8; −4; −14) hay n = (4;2;7)
(P) :4(x − 1) + 2(y − 2) + 7(z − 1) = 0
⇔ 4x + 2y + 7z − 15 = 0
TH2 : (P) qua I (1;1;1) là trung điểm CD
uuur uur
Ta có AB = ( −3; −1;2), AI = (0; −1;0)
r
⇒ (P) có PVT n = (2;0;3)
(P) :2(x − 1) + 3(z − 1) = 0 ⇔ 2x + 3z − 5 = 0
- Câu VIb.
1.
−1 − 4 − 4 9
AH = =
2 2
1 36 36
S= AH.BC = 18 ⇔ BC = = =4 2
9
2 AH
2
Pt AH : 1(x + 1) + 1(y – 4) = 0
x − y = 4 7 1
⇒ H ;− ÷
H:
x + y = 3 2 2
B(m;m – 4)
2 2
BC2 7 1
⇒ HB = = 8 = m − ÷ + m − 4 + ÷
2
2 2
4
7 11
m= +2=
2
7 2 2
⇔ m − ÷ = 4 ⇔
7 3
2 m = − 2 =
2 2
11 3 3 5 3 5 11 3
Vậy B1 ; ÷ ∧ C1 ; − ÷ hay B2 ; − ÷∧ C 2 ; ÷
2 2 2 2 2 2 2 2
uuur r
AB = (4; −1;2); n P = (1; −2;2)
2.
Pt mặt phẳng (Q) qua A và // (P) : 1(x + 3) – 2(y – 0) + 2(z – 1) = 0
⇔ x – 2y + 2z + 1 = 0. Gọi ∆ là đường thẳng bất kỳ qua A
Gọi H là hình chiếu của B xuống mặt phẳng (Q). Ta có :
d(B, ∆ ) ≥ BH; d (B, ∆ ) đạt min ⇔ ∆ qua A và H.
x = 1 + t
Pt tham số BH: y = −1 − 2t
z = 3 + 2t
Tọa độ H = BH ∩ (Q) thỏa hệ phương trình :
x = 1 + t, y = −1 − 2t, z = 3 + 2t 1 11 7
10
⇒ H− ; ; ÷
⇒t=−
x − 2y + 2z + 1 = 0 9 9 9
9
uu uuu 1
r r
a ∆ = AH = ( 26;11; −2 )
∆ quaA (-3; 0;1) và có 1 VTCP
9
x + 3 y − 0 z −1
= =
Pt (∆ ) :
−2
26 11
Câu VII.a. Đặt z = x + yi với x, y ∈ R thì z – 2 – i = x – 2 + (y – 1)i
z – (2 + i)= 10 và z.z = 25
{ 4x + 2y = 20
(x − 2) 2 + (y − 1) 2 = 10
⇔ x 2 + y2 = 25 ⇔ x 2 + y 2 = 25
{ { {x = 5
y = 10 − 2x x=3 =
⇔ x 2 − 8x + 15 = 0 ⇔ y = 4 hay y0
V ậy z = 3 + 4i hay z = 5
Câu VII.b.
x2 − 1
Pt hoành độ giao điểm của đồ thị và đường thẳng là : − x + m =
x
- ⇔ 2x2 – mx – 1 = 0 (*) (vì x = 0 không là nghiệm của (*))
Vì a.c < 0 nên pt luôn có 2 nghiệm phân biệt ≠ 0
Do đó đồ thị và đường thẳng luôn có 2 giao điểm phân biệt A, B
AB = 4 ⇔ (xB – xA)2 + [(-xB + m) – (-xA + m)]2 = 16 ⇔ 2(xB – xA)2 = 16
m2 + 8
= 8 ⇔ m 2 = 24 ⇔ m = ±2 .6
⇔ (xB – xA)2 = 8 ⇔
4÷
H ết .
- ÐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2009
Môn thi : TOÁN
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH
Câu I (2,0 điểm).
Cho hàm số y = x4 – (3m + 2)x2 + 3m có đồ thị là (Cm), m là tham số.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m = 0.
2. Tìm m để đường thẳng y = -1 cắt đồ thị (Cm) tại 4 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 2.
Câu II (2,0 điểm)
1. Giải phương trình 3 cos5x − 2sin 3x cos 2x − sin x = 0
x(x + y + 1) − 3 = 0
2. Giải hệ phương trình (x + y) 2 − 5 + 1 = 0 (x, y ∈ R)
x2
3
dx
I=∫ x
Câu III (1,0 điểm). Tính tích phân
e −1
1
Câu IV (1,0 điểm). Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông t ại B, AB = a, AA’
= 2a, A’C = 3a. Gọi M là trung điểm c ủa đo ạn thẳng A’C’, I là giao đi ểm c ủa AM và A’C. Tính theo a
thể tích khối tứ diện IABC và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (IBC).
Câu V (1,0 điểm).Cho các số thực không âm x, y thay đổi và thỏa mãn x + y = 1. Tìm giá tr ị l ớn nh ất và giá
trị nhỏ nhất của biểu thức S = (4x2 + 3y)(4y2 + 3x) + 25xy.
PHẦN RIÊNG (3,0 điểm)
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có M (2; 0) là trung đi ểm c ủa c ạnh AB.
Đường trung tuyến và đường cao qua đỉnh A lần lượt có phương trình là 7x – 2y – 3 = 0 và 6x – y –
4 = 0. Viết phương trình đường thẳng AC.
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A (2; 1; 0), B(1;2;2), C(1;1;0) và mặt phẳng (P):
x + y + z – 20 = 0. Xác định tọa độ điểm D thu ộc đ ường th ẳng AB sao cho đ ường th ẳng CD song
song với mặt phẳng (P).
Câu VII.a (1,0 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm bi ểu di ễn các số ph ức z th ỏa mãn
điều kiện z – (3 – 4i)= 2.
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) : (x – 1) 2 + y2 = 1. Gọi I là tâm của (C). Xác
·
định tọa độ điểm M thuộc (C) sao cho IMO =300.
x+2 y−2 z
= =
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ : và mặt phẳng (P): x + 2y
−1
1 1
– 3z + 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d n ằm trong (P) sao cho d c ắt và vuông góc v ới đ ường
thẳng ∆ .
Câu VII.b (1,0 điểm)
x2 + x − 1
Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng y = -2x + m c ắt đ ồ th ị hàm s ố y = tại hai điểm
x
phân biệt A, B sao cho trung điểm của đoạn thẳng AB thuộc trục tung.
- ]BÀI GIẢI GỢI Ý
Câu I. 1. m = 0, y = x4 – 2x2 . TXĐ : D = R
y’ = 4x3 – 4x; y’ = 0 ⇔ x = 0 ∨x = ± 1; xlim = +∞
→±∞
−∞ −1 +∞
x 0 1
−0 −
y' +0 0 +
+∞ +∞
y 0 y
−1 −1
CĐ
CT CT
y đồng biến trên (-1; 0); (1; +∞ )
y nghịch biến trên (-∞ ; -1); (0; 1)
−1 0 1
y đạt cực đại bằng 0 tại x = 0
y đạt cực tiểu bằng -1 tại x = ± 1 x
−1
Giao điểm của đồ thị với trục tung là (0; 0)
Giao điểm của đồ thị với trục hoành là (0; 0); (± 2 ;0)
2. Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và đường thẳng y = -1 là
x4 – (3m + 2)x2 + 3m = -1
⇔ x4 – (3m + 2)x2 + 3m + 1 = 0 ⇔ x = ± 1 hay x2 = 3m + 1 (*)
Đường thẳng y = -1 cắt (Cm) tại 4 điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 2 khi và chỉ khi phương trình (*)
có hai nghiệm phân biệt khác ± 1 và < 2
1
0 < 3m + 1 < 4 − < m < 1
⇔ ⇔ 3
3m + 1 ≠ 1 m ≠ 0
Câu II. 1) Phương trình tương đương :
3 cos5x − (sin 5x + sin x) − sin x = 0 ⇔ 3 cos5x − sin 5x = 2sin x
π
3 1
cos5x − sin 5x = sin x ⇔ sin − 5x ÷ = sin x
⇔
3
2 2
π π
⇔ − 5x = x + k2 π hay − 5x = π − x + k2 π
3 3
π π 2π
⇔ 6x = − k2π hay 4x = − π − k2 π = − − k2 π
3 3 3
π π π π
⇔ x = − k hay x = − − k (k ∈ Z).
18 3 6 2
2) Hệ phương trình tương đương :
x(x + y + 1) = 3
x(x + y) + x = 3
5 ⇔ 2
ĐK : x ≠ 0
x (x + y) + x = 5
(x + y) + 1 = x 2
2 2
2
Đặt t=x(x + y). Hệ trở thành:
t+x =3
t+x =3 t + x = 3 t =1 x =1
⇔ ⇔ ⇔ ∨
2
t + x = 5 (t + x) − 2tx = 5 tx = 2 x=2 t =2
2 2
3
x(x + y) = 1 x(x + y) = 2 y =1
y=−
∨ ⇔ 2 ∨
Vậy
x=2 x =1 x =1
x=2
nguon tai.lieu . vn
