- Trang Chủ
- Ôn thi ĐH-CĐ
- Giải các phương trình liên quan đến tổ hợp - chỉnh hợp (Bài tập và hướng dẫn giải)
Xem mẫu
- TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 09 tháng 04 năm 2010
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
BTVN NGÀY 09-04
Giải phương trình liên quan đến tổ hợp, chỉnh hợp.
Bài 1: Tìm2 số tự nhiên x, y sao cho:
C xy+1 : C xy +1 : C xy −1 = 6 : 5 : 2
Bài 2: Giải hệ phương trình sau:
2 Axy + Cxy = 50
y ( x, y ∈ ¥ )
5 Ax − 2Cx = 80
y
Bài 3: Giải bất phương trình:
5 2
Cn −1 − Cn −1 −
4 3
An − 2 < 0 (n ∈ ¥ )
4
Bài 4: Giải hệ phương trình sau:
Ax2 + C y = 22
3
3 ( x, y ∈ ¥ )
Ay + C x = 66
2
Bài 5: Giải PT:
C2 n +1 + C22n +1 + ... + C2 n +1 = 220 − 1 (n ∈ ¥ )
1 n
………………….Hết………………
BT Viên môn Toán hocmai.vn
Trịnh Hào Quang
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1
- TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
HDG CÁC BTVN
• BTVN NGÀY 08-04
Bài 1: Chứng minh rằng với k , n ∈ ¥ ; 2 ≤ k ≤ n luôn có:
Cn + 4Cn −1 + 6Cn − 2 + 4Cnk −3 + Cn − 4 = Cn + 4
k k k k k
Giải:
Ta có : VT = Cnk + Cnk −1 + 3 ( Cnk −1 + Cnk − 2 ) + 3 ( Cnk − 2 + Cnk − 3 ) + Cnk − 3 + Cnk − 4
= Cnk+1 + 3Cnk+−11 + 3Cnk+−12 + Cnk+−13 = Cnk+ 1 + Cnk+−11 + 2 ( Cnk+−11 + Cnk+−12 ) + Cnk+−12 + Cnk+−13
= Cnk+ 2 + 2Cnk+−2 + Cnk+−22 = Cnk+ 2 + Cnk+−2 + Cnk+−2 + Cnk+−22 = Cnk+ 3 + Cnk+−3 = Cnk+ 4 = VP
1 1 1 1
⇒ DPCM
Bài 2: Chứng minh rằng:
2Cn + 5Cn +1 + 4Cn + 2 + Cn +3 = Cn + 22 + Cn +33
k k k k k+ k+
Giải:
Ta có : Cnk + 2Cnk + 1 + Cnk + 2 = Cnk + Cnk + 1 + Cnk + 1 + Cnk + 2 = Cnk++11 + Cnk++12 = Cnk++22
Cnk + 3Cnk + 1 + 3Cnk + 2 + Cnk + 3 = Cnk + Cnk + 1 + 2 ( Cnk + 1 + Cnk + 2 ) + Cnk + 2 + Cnk + 3
= Cnk++11 + 2Cnk++12 + Cnk++13 = Cnk++11 + Cnk++12 + Cnk++12 + Cnk++13 = Cnk++22 + Cnk++23 = Cnk++33
⇒ 2Cnk + 5Cnk + 1 + 4Cnk + 2 + Cnk + 3 = Cnk++22 + Cnk++33
Bài 3: Tính giá trị của biểu thức sau:
S = C2010C2010 + C2010C2009 + ... + C2010C2010−−kk + ... + C2010 C10
0 2009 1 2008 k 2010 2009
Page 2 of 11
- TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Giải:
Ta có : C2010C2010−−kk =
k 2009 2010!
.
( 2010 − k ) ! = 2010! = 2010.2009!
k !( 2010 − k ) ! (2009 − k )! k !( 2009 − k ) ! k !( 2009 − k ) !
= 2010C2009
k
⇒ S = 2010 ( C2009 + C2009 + ... + C2009 + ... + C2009 ) = 2010(1 + 1) 2009 = 1005.22010
0 1 k 2009
Bài 4: Với n, k là số nguyên dương và 1 ≤ k ≤ n . Chứng minh rằng:
Cn Cnk − CnCnk−11 + Cn Cnk− 22 − ... + (−1)Cnk C0n − k = 0
0 1 − 2 −
Giải:
k
( 1 + x ) = Ck + C1 x + Ck x2 + ... + Ck xk
0
k
2 k
Ta có :C m .Cn =
k k!
.
n!
=
n!
.
( n − m) !
k m !( k − m ) ! k !( n − k ) ! m !( n − m ) ! ( k − m ) !( n − k ) !
m k −m
= Cn .Cn−m
k
⇒ Cn ( 1 + x ) = Cn Cn + C1C k −1x + Cn C k −2 x 2 + ... + Cn C n−k x k
k 0 k
n n−1
2 k
n−2 0
Thay x = −1 ⇒ Cn Cn − C1C k −1 + Cn C k −2 − ... + (−1)Cn C n−k = 0 ⇒ DPCM
0 k
n n−1
2 k
n−2 0
• BTVN NGÀY 09-04
Bài 1: Tìm2 số tự nhiên x, y sao cho:
C xy+1 : C xy +1 : Cxy −1 = 6 : 5 : 2
Giải:
Page 3 of 11
- TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Điều kiện:
0 ≤ y ≤ x +1 Cxy+1 Cxy +1
= (1)
y ≥1 6 5
0 ≤ y + 1 ≤ x ⇔ ⇔
0 ≤ y − 1 ≤ x x ≥ y + 1 Cxy +1 Cxy −1
= (2)
5
2
1 ( x + 1)! 1 x!
(1) ⇔ . = . ⇔ 5( x + 1)( y + 1) = 6( x − y )( x − y + 1)
6 y !( x − y + 1)! 5 ( y + 1)!( x − y − 1)!
1 x! 1 x!
(2) ⇔ . = . ⇔ 2( x − y )( x − y + 1) = 5 y ( y + 1)
5 ( y + 1)!( x − y − 1)! 2 ( y − 1)!( x − y + 1)!
5( x + 1)( y + 1) = 6( x − y )( x − y + 1)
⇔ ⇔ 5( x + 1)( y + 1) = 15 y ( y + 1) ⇔ x + 1 = 3 y
2( x − y )( x − y + 1) = 5 y ( y + 1)
⇒ x = 3 y − 1thay vào (4) ⇒ 2(2 y − 1)(2 y ) = 5 y ( y + 1) ⇔ 4(2 y − 1) = 5 y + 5
⇔ y = 3 ⇒ x = 8 ⇒ S = {(8;3)}
Bài 2: Giải hệ phương trình sau:
2 Axy + Cxy = 50
y ( x, y ∈ ¥ )
5 Ax − 2Cx = 80
y
Giải
Đặt:
a = Axy
5a − 2b = 80 a = 20
⇒ ⇒
b = Cxy 2a + b = 50 b = 10
x!
( x − y )! = 20 y! = 2
x( x − 1) = 20 x 2 − x − 20 = 0
⇒ ⇒ x! ⇒ ⇔
x! = 20 y = 2 y = 2
= 10 ( x − y )!
y !( x − y )!
x = 5
⇔
y = 2
Bài 3: Giải bất phương trình:
Page 4 of 11
- TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
5 2
Cn −1 − Cn −1 −
4 3
An − 2 < 0 (n ∈ ¥ )
4
Giải
Điều kiện:
n − 1 ≥ 4
n − 1 ≥ 3 ⇒ n ≥ 5
n − 2 ≥ 2
(n − 1)! (n − 1)! 5(n − 2)! n −1 n −1 5
⇒ − −
- TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
x( x − 1) = 12 x = 4 x = 4
⇔ ⇔ ⇔
y ( y − 1)( y − 2) = 60 ( y − 5)( y + 2 y + 12) = 0 y = 5
2
⇒ S = { ( 4;5) }
Bài 5: Giải PT:
C2 n +1 + C2 n +1 + ... + C2 n +1 = 220 − 1 (n ∈ ¥ )
1 2 n
Giải
C2 n +1 + C22n +1 + ... + C2nn +1 = 220 − 1
1
Vì :(1 + 1)2 n +1 = C20n +1 + C2 n +1 + ... + C2nn +1 + C2nn++1 + ... + C22nn++11
1 1
Do : C2kn +1 = C22nn++11− k (∀ k = 0;2n + 1)
⇒ 22 n +1 = 2 ( C20n +1 + C2 n +1 + ... + C2nn +1 ) ⇒ C20n +1 + C2 n +1 + ... + C2nn +1 = 22 n
1 1
⇒ 220 − 1 = C2 n +1 + ... + C2nn +1 = 22 n − 1 ⇒ 22 n = 220 ⇒ n = 10
1
• BTVN NGÀY 11-04
Bài 1:
Từ các số 1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số có 6 chữ
số và thõa mãn điều kiện: Sáu chữ số của mỗi số là khác nhau và tổng của 3 chữ số
đầu kém tổng của 3 chữ số sau là 1 đơn vị?
Giải
Giả sử số có 6 chữ số là: a1a2 a3 a4 a5 a6 = AB
6
A = a1 + a2 + a3 A + B = ∑ k = 21 A = 10
Trong đó: ⇒ k =1 ⇒
B = a4 + a5 + a6 B = 11
A − B = −1
Xét các khả năng làm xuất hiện bộ 3 số có tổng là 10 thì có:
A = 1+ 3 + 6 = 1+ 4 + 5 = 2 + 3 + 5
Với mỗi bộ 3 số ta có: 3! Cách chọn A và 3! Cách chọn B tương ứng
Page 6 of 11
- TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Khi ấy có : 3!.3!=36 cách.
Vậy có tất cả: 3.36=108 (số)
Bài 2:
Từ 9 số 0,1,2,…,8 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn mỗi số gồm 7
chữ số khác nhau.
Giải
Ta có 2 trường hợp sau:
• TH1: a1a2 a3 a4 a5 a6 0
Như vậy 6 vị trí còn lại được chọn (có thứ tự) từ 8 số kia ( khác 0)
Có: A86 = 20160
• TH2: a1a2 a3a4 a5 a6 a7 với a7 ∈ { 2; 4; 6;8}
Vậy có 4 cách chọn a7
Và 6 vị trí còn lại được chọn (có thứ tự) từ 8 số kia nhưng loại đi những
số đứng đầu là số 0.
Vậy có: 4( A8 − A7 ) = 70560
6 5
Vậy có tất cả: 20160+70560=90720 (số)
Bài 3:
Từ 5 bông hồng vàng, 3 bông hồng trắng và 4 bông hồng đỏ ( các bông hồng
này xem như đôi một khác nhau), người ta muốn chọn ra 1 bó hoa gồm 7 bông:
a) Có mấy cách chọn bó hoa trong đó có đúng 1 bông đỏ.
b) Có mấy cách chọn bó hoa trong đó có ít nhất 3 bông vàng và ít nhất 3
bông đỏ?
Giải:
a) Có 3 khả năng xảy ra là:
Page 7 of 11
- TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
* ( 1D ;3T ;3V )
* ( 1D ; 2T ; 4V )
* ( 1D ;1T ;5V )
Vậy có tất cả: C4 .C33 .C5 + C4 .C32 .C54 + C4 .C3 .C5 = 112
1 3 1 1 1 5
b) Cũng có 3 khả năng là:
* ( 3V ;3D ;1T )
* ( 3V ; 4 D )
* ( 4V ;3D )
Vậy có tất cả: C4 .C53 .C3 + C5 .C4 + C54 .C4 = 150
3 1 3 4 3
Bài 4:
Có 12 giống cây 3 loại: Xoài, mít, ổi .Trong đó có 6 xoài, 4 mít, 2 ổi. Chọn ra 6
giống để trồng. Hỏi có bao nhiêu cách chọn để số cậy mít nhiều hơn số cây ổi?
Giải:
Có 3 trường hợp lien quan đến việc chịn ra cây ổi:
• TH1: ( Không có ổi)
Vì: 6=4+2 nên chỉ có 4 mít và 2 xoài. Vậy có: C4 .C6
4 2
= 15
• TH2: ( Có 1 ổi).
Vì: 5=4+1=3+2 nên có 3 mít và 1 xoài, hay 3 mít và 2 xoài.
Vậy có: C2C44 .C6 + C2 .C4 .C62 = 132
1 1 1 3
• TH3: (Có 2 ổi).
Vì: 4=3+1 nên chỉ có 3 mít và 1 xoài. Vậy có: C22 .C4 .C6 = 24
3 1
Vậy có tất cả: 15+132+24=171 (cách)
Bài 5:
Page 8 of 11
- TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Một đội văn nghệ có 15 người gồm: 10 nam và 5 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách
lập 1 đội văn nghệ gồm 8 người, sao cho có ít nhất 3 nữ?
Giải:
8
Số cách chọn ngẫu nhiên 8 người là: C15
Xét 3 trường hợp:
8
• Không có nữ: Có C10
1 7
• Có 1 nữ: Có C5 .C10
2 6
• Có 2 nữ: Có C5 .C10
8
(
Vậy có tất cả: C15 − C10 + C5 .C10 + C5 .C10 = 3690
8 1 7 2 6
)
Bài 6:
Có bao nhiêu số lẻ có 6 chữ số chia hết cho 9.
Giải:
6
a1a2 a3a4 a5 a6 M ⇔ ∑ ak M
9 9
k =1
Chúng là: 100008;100017;100028;…;999999
Như vậy ta thấy các chữ số lẻ có 6 chữ số chia hết cho 9 lập thành 1 cấp số
cộng:
u1 = 100017
un = 999999 ⇒ un = (n − 1)d ⇔ 999999 = 18(n − 1) ⇔ n = 50000
d = 18
Vậy có 50000 số thõa mãn.
Bài 7:
Page 9 of 11
- TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số. Sao cho tổng các chữ số của mỗi số là số lẻ.
Giải:
Vì : Lẻ= chẵn + lẻ nên:
Khi xét số có 5 chữ số: a1a2 a3a4 a5 ta có 2 khả năng:
• Nếu a1 + a2 + a3 + a4 chẵn thì a5 = { 1;3;5; 7;9}
• Nếu a1 + a2 + a3 + a4 lẻ thì a5 = { 0; 2; 4; 6;8}
Mặt khác: Số các chữ số có 4 chữ số a1a2 a3 a4 là:
9.10.10.10 = 9.103
Mà mỗi số đó sinh ra 5 số có 5 chữ số.
Vậy có tất cả là: 5.9.103 = 45000 (Số)
Bài 8:
Một tổ học sinh có 20 em, trong đó 8 em chỉ biết tiếng Anh, 7 em chỉ biết
tiếng Pháp, 5 em chỉ biết tiếng Đức. Cần lập 1 nhóm đi thực tế gồm 3 em biết tiếng
Anh, 4 em biết tiếng Pháp và 2 em biết tiếng Đức. Hỏi có bao nhiêu cách lập nhóm?
Giải:
Để lập nhóm ta tiến hành 3 bước:
• Chọn 3 em biết tiếng Anh từ 8 em: Có C83 cách
4
• Chọn 4 em biết tiếng Pháp từ 7 em: Có C7 cách
• Chọn 2 em biết tiếng Đức từ 5 em: Có C52 cách
Vậy có tất cả: C8 .C7 .C5 = 19600 ( Cách)
3 4 2
Bài 9:
Có 5 tem thư khác nhau và 6 bì thư cũng khác nhau, người ta muốn chọn từ đó
ra 3 tem thư, 3 bì thư và dán 3 tem thư ấy vào 3 bì thư đã chọn ( Mỗi bì thư chỉ dán 1
tem). Có bao nhiêu cách làm như vậy?
Giải:
Ta có:
Page 10 of 11
- TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
• Số cách chọn tem thư là: C53
3
• Số cách chọn bì thư là: C6
• 3! Cách dán tem.
Vậy số cách làm là: C5 .C6 .3! = 1200
3 3
Bài 10:
Có nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số trong đó có 2 chữ số kề nhau phải khác
nhau?
Giải:
α = a1a2 a3 a4 a5
Đặt: E = { 0;1; 2...;9} và số có 5 chữ số là: ai ∈ E; i = 1;5
a ≠ 0
1
Ta có: a1 được chọn từ tập E\{0} => Có 9 cách.
a2 được chọn từ tập E\{ a1} => Có 9 cách.
a3 được chọn từ tập E\{ a2} => Có 9 cách.
a4 được chọn từ tập E\{ a3} => Có 9 cách.
A5 được chọn từ tập E\{ a4} => Có 9 cách.
Vậy số các số thõa mãn là: 9.9.9.9.9=59049
………………….Hết…………………
BT Viên môn Toán hocmai.vn
Trịnh Hào Quang
Page 11 of 11
nguon tai.lieu . vn
