Đề thi thử và đáp án chi tiết môn Toán học

ĐỀ MEGABOOK SỐ 1 MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số y = x 4 − 2 x 2 (C). a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C ) . b) Tìm các giá trị của m để đường thẳng y = m cắt đồ thị (C ) tại 4 điểm phân biệt E, F , M , N . Tính tổng các hệ số góc của các tiếp tuyến của đồ thị (C ) tại các điểm E, F , M , N . Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình 2 cos  π − x  . 1 + cos 2 x = 1 + cot x .  4  sin x Câu 3 (1,0 điểm). Tìm tích phân I = π 2 x sin x + (3 x + 2 )cos x dx . 0 x sin x + cos x Câu 4 (1,0 điểm). a) Tìm số phức z thỏa mãn đẳng thức z + 3 − 2i = 3 . Hãy tìm tập hợp điểm M biểu diễn cho số phức w , biết w − z = 1 + 3i . b) Gọi S là tập hợp các số tự nhiên gồm năm chữ số khác nhau. Tính số phần tử của S. từ tập hợp S chọn ngẫu nhiên một số, tính xác suất để trong 5 chữ số của nó có đúng 2 chữ số lẻ. Câu 5 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ O xyz , cho đường thẳng d : x − 3 = y − 4 = z − 3 và mặt 3 1 1 phẳng ( ) : 2 x − 2 y + z + 9 = 0 . Viết phương trình đường thẳng Δ nằm trong ( ) ; Δ qua giao điểm A của d và ( ) và góc giữa Δ và Ox bằng 450 . Câu 6 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B . Tam giác SAC cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa mặt phẳng (SBC ) và đáy bằng 60 0 . Biết SA = 2a; BC = a . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC . Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ O xy , cho hình thang ABCD vuông tại A và B . Đường chéo AC nằm trên đường thẳng d : 4 x + 7 y − 28 = 0 . Đỉnh B thuộc đường thẳng Δ : x − y − 5 = 0 , đỉnh A có tọa độ nguyên. Tìm tọa độ A , B,C biết D (2; 5) và BC = 2 AD . Câu 8 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình  x 2 + y + 5 x − 2 = 7 xy − x − 1 x , y ∈ R .  3 x − 2 y + 3 + x 2 = 32 − y + y − 1 Câu 9 (1,0 điểm). Cho các số thực a,b,c thỏa mãn a + b + c = 0; a + 1 > 0; b + 1 > 0; 2c + 1 > 0 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = a + b + c . a + 1 b + 1 2c + 1 ..................HẾT.................. HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1.a. - Tập xác đinh: D = R . - Sự biến thiên: + Chiều biến thiên: y ` = 4 x 3 − 4 x ; y ` = 0   x = 0 1 . Megabook Chuyên Gia Sách Luyện Thi Trang 1 y ` > 0 ,∀ x ∈ (−1; 0 ) (1; + ) , suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng (−1; 0 ) và (1; + ) . y ` < 0 ,∀ x ∈ (− ; −1) (0; 1) , suy ra hàm số nghịch biến trên các khoảng (− ; −1) và (0;1) . + Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = 0 , yC D = 0 . Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1, yC T = −1 . + Giới hạn: lim y = + ; lim y = + . x  − x + + Bảng biến thiên x − −1 0 1 + y ` − 0 + 0 − 0 + y + 0 + −1 −1 - Đồ thị: + Đồ thị hàm số cắt trục Ox tại điểm (− 2 ; 0 ),(0; 0 ),( 2 ; 0 ) + Đồ thị hàm số cắt trục O y tại điểm (0 ; 0 ) . + Đồ thị hàm số nhận trục O y làm trục đối xứng. + Đồ thị hàm số đi qua điểm (−2; 8 ),(2; 8 ) . - Vẽ đồ thị: Câu 1.b. Từ đồ thị suy ra, để đường thẳng y = m cắt đồ thị tại 4 điểm phân biệt khi −1 < m < 0 . Hoành độ 4 giao điểm là nghiệm của phương trình x 4 − 2 x 2 = m  x 4 − 2 x 2 − m = 0 (*). Phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt khi phương trình t2 − 2t − m = 0 có 2 nghiệm dương phân biệt 0 < t1 < t2 . Khi đó 4 nghiệm của pt (*) là x1 = − t2 ; x2 = − t1 ; x3 = t1 ; x4 = t2 . Như vậy ta có x1 = − x4 ; x2 = − x3 . Ta có y ` = 4 x 3 − 4 x . Suy ra tổng hệ số góc của 4 tiếp tuyến tại 4 giao điểm với đồ thị (C ) là: k1 + k2 + k3 + k4 = (4 x1 − 4 x1 )+ (4 x1 − 4 x2 )+ (4 x1 − 4 x3 )+ (4 x1 − 4 x4 ) = 4 (x1 + x4 )+ 4 (x2 + x3 )− 4 (x1 + x4 ) − 4 (x2 + x3 ) = 0 . Nhận xét: Đây là dạng toán biện luận số giao điểm của một đường thẳng (d ) với một hàm số (C ) cho trước. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số dựa vào dáng điệu của đồ thị xét các trường hợp: +(d ) cắt (C ) tại n (n  1) điểm phân biệt. +(d ) và (C ) không có điểm chung. Nhắc lại kiến thức và phương pháp: Megabook Chuyên Gia Sách Luyện Thi Trang 2 +Kiến thức cần nhớ: Điểm Q (xQ , yQ ) là tọa độ tiếp điểm của hàm số y = f (x ) . Phương trình tiếp tuyến tại Q là y = f `(xQ )(x − xQ )+ yQ , hệ số góc tiếp tuyến là k = f `(xQ ) . + Tìm m để đường thẳng y = m cắt (C ) tại 4 điểm E,F , M ,N : Dựa vào dáng điệu đồ thị , đường thẳng y = m song song với trục Ox nên sẽ cắt (C ) tại 4 điểm phân biệt khi −1 < m < 0 . + Tính tổng hệ số góc tiếp tuyến: Đổi biến t = x 2 ta có (d ) cắt (C ) tại 4 điểm phân biệt nên phương trình có hai nghiệm dương phân biệt. Tham số các nghiệm theo t tính được 4 hệ số góc tiếp tuyến tại 4 hoành độ giao điểm ( đối xứng qua trục O y ) , từ đó tính được tổng hệ số góc. Lưu ý: Ngoài cách sử dụng dáng điệu đồ thị ta có thế làm như sau: Viết phương trình giao điểm x 4 − 2 x 2 = m  x4 − 2 x2 − m = 0 . Bài toán tương đương tìm m để phương trình x4 − 2 x 2 − m = 0 có 4 nghiệm phân biệt. Đổi biến t = x 2  0 , ta tìm m Bài toán kết thúc. Bài tập tương tự:  Δ ` > 0 để phương trình t2 − 2t − m = 0 có 2 nghiệm t2 > t1 > 0  S > 0 .  P > 0 a. Cho hàm số y = x3 − (m − 1)x2 − 3x + m + 1 . Tìm tất cả các giá trị của m để tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ bằng 1 tạo 2 trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 2. Đáp số: m = −1,m = 3 . b. Cho hàm số y = x 3 − 3 x + 2 . Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số để tiếp tuyến của hàm số tại M cắt đồ thị tại điểm thứ hai là N thỏa mãn xM − xN = 6 (Thi thử lần 3-THPT Thái Hòa-Nghệ An). Đáp số: M (2; 4 ), M (−2;0 ). Câu 2. Điều kiện x  kπ; k ∈ Z . Phương trình tương đương sin x + cos x 2 cos2 x = 1 + cos x sin x sin x  (sin x + cos x )2 cos2 x = sin x + cos x  (sin x + cos x )(2 cos 2 x − 1) = 0  sin x + cos x cos 2 x = 0  sin x + cos x = 0 . cos 2 x = 0 + Với sin x + cos x = 0  tan x = −1  x = − π + kπ . 4 + Với cos 2 x = 0  2 x = π + kπ  x = π + k π . 2 4 2 Phương trình có nghiệm: x = π + k π ; k ∈ Z . 4 2 Nhận xét: Bài toán lượng giác cơ bản , ta chỉ cần sử dụng bến đổi các công thức hạ bậc , cosin của một hiệu và phân tích nhân tử. Tuy nhiên cần hết sức lưu ý việc xem xet điều kiện xác định của phương trình để tránh kết luận thừa nghiệm dẫn tới lời giải sai. Nhắc lại kiến thức và phương pháp: -Công thức cosin của một tổng , hiệu : cos (a + b ) = cos a cos b − sin a sin b cos a − b = cos a cos b + sin a sin b -Công thức hạ bậc: 1 + cos 2c = 2 cos2 c , 1 − cos 2c = 2 sin 2 c -Công thức nghiệm cơ bản của phương trình lượng giác: . sin x = sin   x =  + k 2π ; k ∈ Z x = π −  + k 2π Megabook Chuyên Gia Sách Luyện Thi Trang 3 . cos x = cos   x =  + k2π; k ∈ Z . tanx = tan  x =  + kπ; k ∈ Z . cot x = cot   x =  + kπ; k ∈ Z Bài toán kết thúc. Bài tập tương tự: a. Giải phương trình 5 cos  2 x + π  = 4 sin  5π − x  − 9 . Đáp số: x = π + k 2 π .     3 b. Giải phương trình sin x + cos x + 2 tan 2 x + cos 2 x = 0 . Đáp số: x = k π . sin x + cos x 2 π 2 x sin x + 3x + 2 cos x π I = 2 dx = 2 2 + dx 0 x sin x + cos x 0  x sin x + cos x  π π x sin x + cos x ` = 2 x 2 + 3 2 dx 0 0 x sin x + cos x = π + 3 ln x sin x + cos x π = π + 3  ln π − ln 1  = π + 3 ln π . 0  2  2 Nhận xét: Bản chất của bài toán là tách tử của biểu thức dưới dấu tích phân theo mẫu và đạo hàm của mẫu. Từ biểu thức dưới dấu tích phân ta khó có thể sử dụng một trong hai phương pháp đổi biến số hoặc tích phân từng phần. Nhắc lại kiến thức và phương pháp: f x .g x + g` x g ` x dx = f x dx + dx g x g x Tổng quát : f (x )g (x ) + h (x )g `(x ) dx = f x dx + h (x ).g `(x ) dx . g x g x -Với các nguyên hàm cơ bản của f (x ) , công thức nguyên hàm tổng quát  u ` du = ln u + C . Thay cận ta tính được I . Bài toán kết thúc. Bài tập tương tự: π a. Tính tích phân I = 2 sin x dx . Đáp số: I = 1 . 0 (sin x + cos x ) 2 b. Tính tích phân I = e xe x + 1 dx . Đáp số: I = ln e e + 1 . 1 x e x + ln x e Câu 4.a. Ta có a + bi + 3 − 2i = 3  (a + 3 )2 + (b − 2 )2 = 9 (1). w − z = 1 + 3i  x + yi − a − bi = 1 + 3i  a = x − 1 . b = y − 3 Thay vào (1) ta được (x + 2 )2 + (y − 5 )2 = 9  M thuộc (C ) : (x + 2 )2 + (y − 5 )2 = 9 . Vậy tập hợp điểm M là đường (C ) : (x + 2 )2 + (y − 5 )2 = 9 . Nhận xét: Đây là dạng toán toán tìm biếu diễn của số phức w theo số phức z thỏa mãn điều kiện nào đó. Nhắc lại kiến thức và phương pháp: -Mọi số phức có dạng z = a + bi;(a,b ∈ R ) . -Hai số phức bằng nhau khi và chỉ khi phần thực và phần ảo của 2 số đó bằng nhau. - Từ số phức z : Thay z = a + bi vào phương trình phần ảo. Megabook Chuyên Gia Sách Luyện Thi z + 3 − 2i = 3 . Tìm được mối quan hệ giữa phần thực và Trang 4 - Đặt w = x + yi , thay lại biểu thức mối quan hệ phần thực và ảo của z ta tìm được tập hợp điểm biểu diễn. -Các trường hợp biểu diễn cơ bản : +Đưởng tròn: (x − a )2 + (y − b )2 = R 2 ; x 2 + y 2 + 2ax + 2by + c = 0 . +Hình tròn: (x − a )2 + (y − b )2  R ; x 2 + y 2 + 2ax + 2by + c  0 . +Parapol: y = ax 2 + bx + c . 2 2 +Elipse: a2 + b 2 = 1 . Bài toan kết thúc. Bài tập tương tự: a. Cho số phức z thỏa mãn z = 1 − 3i . Tìm modul của số phức w = z + iz . Đáp số: w = 2 . 1 − i b. Tìm số phức z thỏa mãn 1 − 3i z là số thực và z − 2 + 5i = 1 . Đáp số: z = 2 + 6i; z = 7 + 21 i . 5 5 Câu 4.b. Gọi A là biến cố số được chọn là số có 5 chữ số khác nhau và trong 5 chữ số của nó có đúng 2 số lẻ. Ta tìm số phần tử của A như sau: Gọi y = m npqr ∈ A , ta có: + Trường hợp 1: Trong 5 chữ số của số được chọn có mặt số 0: Lấy thêm 2 số lẻ và 2 số chẵn có C 2 .C 2 cách; Xếp 5 số được chọn vào các vị trí m ,n, p,q,r có 4.4! cách. Suy ra trường hợp 1 có C 2 C 2 .4.4 ! = 5760 . + Trường hợp 2: Trong 5 chữ số của số được chọn không có mặt số 0: Lấy thêm 2 số lẻ và 3 số chẵn có C 2 .C 3 cách; Xếp 5 số được chọn vào các vị trí m ,n, p,q,r có 5! cách. Suy ra trường hợp 2 có C 2 C 3 .5 ! = 4800 . Vậy A = 5760 + 4800 =10560 . Do đó P A = 10560 = 220 . 27216 567 Nhận xét: Bài toán xác suất cơ bản , ta chỉ cần áp dụng công thức tính xác suất với biến cố theo dữ kiện trong giả thiết. Nhắc lại kiến thức và phương pháp: -Công thức tính xác suất của một biến cố A : P (A ) =  (A ) ( trong đó  (A ) là số trường hợp thuận lợi cho A ,  là tổng số kết quả có thể xảy ra ). - Ta tính tổng số kết quả có thể xảy ra. - Gọi A là biến cố số được chọn là số có 5 chữa số khác nhau và trong 5 chữa số của nó có đúng 2 số lẻ. - Tính số phần tử của A bằng cách gọi y = m npqr ∈ A . Ta chia các trường hợp sau: +Trong 5 chữ số của số được chọn có mặt số 0. +Trong 5 chữ số của số được chọn không có mặt chữ số 0. - Áp dụng công thức tính xác suất ta được P (A ) . Bài toán kết thúc. Bài tập tương tự: a. Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5 có thế lập được bao nhiêu số lẻ có 4 chữ số đôi một khác nhau và luôn có mặt chữ số 2. Đáp số: 204. b. Một hộp đựng 9 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 9. Hỏi phải rút ít nhất bao nhiêu thẻ để xác suất có ít nhất một thẻ ghi số chia hết cho 4 phải lớn hơn 5 .(Thi thử THPT chuyên Vĩnh Phúc khối D 2012-6 2013). Đáp số: Rút ít nhất 6 thẻ. Megabook Chuyên Gia Sách Luyện Thi Trang 5 ... - tailieumienphi.vn