- Trang Chủ
- Ôn thi ĐH-CĐ
- ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN I NĂM HỌC 2012- 2013 MÔN TOÁN TRƯỜNG THPT CHUYÊN NÔNG CỐNG 2
Xem mẫu
- www.SơnPro.com
SỞ GD & ĐT THANH HOÁ ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN I NĂM HỌC 2012- 2013
TRƯỜNG THPT CHUYÊN NÔNG CỐNG 2 Môn: Toán
www.SơnPro.com Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề
Ngày thi: 08/ 12/ 2012.
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm).
2x +1
Câu I (2,0 điểm). Cho hàm số y = (C)
x −1
1. Khảo sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Tìm các giá trị của m để hệ phương trình sau có đúng 4 nghiệm nguyên:
( y − 2) x − y − 1 = 0
x 2 − 2 x + y 2 − 4 y + 5 − m2 = 0
Câu II (2,0 điểm).
π
1. Giải phương trình: 2 cos 3 x cos x + 3(1 + s in 2x) = 2 3 cos (2 x +
2
)
4
2. Giải phương trình: + = 2x − 5x − 1
Câu III (1,0 điểm). Tìm các giá trị của tham số m để bất phương trình: x(2 − x) + m( x 2 − 2 x + 2 + 1) 0
nghiệm đúng với mọi x thuộc đoạn � 1 + 3 �
�0; � .
Câu IV (1,0 điểm). Trên mp (P) cho đường tròn (T) đường kính AB b ằng 2R. S là m ột đi ểm n ằm trên đ ường
thẳng vuông góc với (P) tại A. Đặt SA = h. Mặt phẳng (Q) đi qua A và vuông góc v ới SB c ắt SB t ại K. C là
ﾷ π
một điểm nằm trên đường tròn (T) sao cho BAC = α , (0 < α < ) . SC cắt mp (Q) tại H. Tính thể tích tứ diện
2
SAHK theo h, R và α .
Câu V (1,0 điểm). Cho các số dương x, y, z thoả mãn x + y + z = 3 . T?m giá trị nhỏ nhất của biểu thức
x2 y2 z2
P= + +
x + y2 y + z 2 z + x2
II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần( Phần A hoặc Phần B)
A.Theo chương tr?nh chuẩn.
Câu VIa (2,0 điểm).
1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình đ ường cao AH và trung tuy ến AM l ần
lượt là: x − 2 y − 13 = 0 và 13 x − 6 y − 9 = 0 . Biết tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là I(-5; 1). Tìm to ạ
độ các đỉnh A, B, C.
2. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): ( x − 4) 2 + y 2 = 25 và M(1; - 1). Viết phương trình
đường thẳng d đi qua M cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho MA = 3MB.
Câu VIIa (1,0 điểm). Cho A = {0; 1; 2; 3; 4; 5}, từ các chữ số thuộc tập A lập được bao nhiêu s ố t ự nhiên
có 5 chữ số và số đó chia hết cho 3 .
B.Theo chương trình nâng cao.
Câu VIb (2,0 điểm).
1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có M là trung điểm của BC, đ ỉnh A thu ộc
đường thẳng d: x + y + 2 = 0 , phương trình đường thẳng DM: x − 3 y − 6 = 0 và đỉnh C(3; - 3). Tìm toạ
độ các đỉnh A, B, D biết D có hoành độ âm.
www.SơnPro.com
- www.SơnPro.com
x2 y 2
2. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho Elip (E) có phương trình chính t ắc là: + = 1 và hai điểm A(4;-3),
16 9
B(- 4; 3). Tìm toạ độ điểm C thuộc (E) sao cho diện tích tam giác ABC đạt giá trị lớn nh ất.
Câu VIIb (1,0 điểm). Tính tổng S = C20C12 + C20C12 + ... + C20 C12 + C20C12 .
0 11 1 10 10 1 11 0
…………….Hết…………..
( Đ ề thi g ồm có 01 trang)
SỞ GD & ĐT THANH HOÁ ĐÁP ÁN ĐỀ THI ĐẠI H ỌC L ẦN I NĂM H ỌC 2012-
2013
TRƯỜNG THPT CHUYÊN NÔNG CỐNG 2 Môn: Toán
Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao
đề
Ngày thi: 08/ 12/ 2012.
Câu ? Đáp án Điểm
I 1 Khảo sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số 1,0
Tập xác định D = R\{1}
Sự biến thiên:
−3 0.25
-Chiều biến thiên: y ' = < 0, ∀x D .
( x − 1) 2
Hàm số nghịch biến trên các khoảng (- ∞; 1) và ( 1 ; + ∞).
- Cực trị: Hàm số không có cực trị.
- Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tiệm cận:
2x +1 2x +1
lim = 2 ; lim =2.
x − x −1 x + x −1 0,25
Đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang.
2x +1 2x +1
lim = ; lim =+ .
x 1 x −1
−
x 1 x −1
+
Đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng.
-Bảng biến thiên:
x -∞ 1 +∞
y’ - -
0,25
2 +∞
y
-∞ 2
Đồ thị:
- Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là giao điểm hai tiệm cận I( 1; 2).
y
www.SơnPro.com
- www.SơnPro.com
0,25
2 I
O 1 x
2 T?m các giá trị của m để hệ phương trình sau có đúng 4 nghiệm nguyên 1,0
( y − 2) x − y − 1 = 0 (1)
x − 2x + y − 4 y + 5 − m = 0
2 2 2
(2)
Nhận thấy x = 1 không thỏa mãn phương trình (1) dù y lấy bất kì giá trị nào
2x +1
Suy ra (1) � ( x − 1) y = 2 x + 1 � y =
x −1
Phương trình (2) � ( x − 1) + ( y − 2) 2 = m 2 là phương trình đường tròn (T) có tâm
2
0,25
I(1;2) bán kính m với mọi m khác 0
Vậy hệ phương trình đã cho có đúng 4 nghiệm nguyên khi và ch ỉ khi đ ồ th ị (C) ở câu
1 và đường tròn (T) cắt nhau tại 4 điểm phân biệt có tọa độ nguyên
y
A
5
4
B
3
2
I
D
1
-15 -10 -5 -2 o 1 4 5 10 15
x
-1
C
-2
0,5
-4
-6
-8
-10
-12
Đồ thị (C) chỉ đi qua đúng 4 điểm có tọa độ nguyên là A(1;5), B(4; 3), C(0,-1)và
D(-2; 1)
Từng cặp AvaC, B và D đối xứng nhau qua I(1;2)
Hệ đã cho có đúng 4 nghiệm nguyên khi và chỉ khi đường tròn (T) phải đi qua 4 đi ểm
A, B, C, D khi và chỉ khi (T) đi qua A khi và chỉ khi R = m = 10 � m = 10
2 2
www.SơnPro.com
- www.SơnPro.com
0,25
II 1 π 1,0
. Giải phương trình: 2 cos 3 x cos x + 3(1 + s in 2x) = 2 3 cos (2 x + )
2
4
π
2 cos 3 x cos x + 3(1 + s in 2x) = 2 3 cos 2 (2 x + )
4
� π �
� 2 cos 3 x cos x + 3 + 3 sin 2 x = 3 �+ cos(4 x + ) �
1
� 2 �
� 2 cos 3 x cos x + 3 + 3 sin 2 x = 3 − 3 sin 4 x 0,5
� 2 cos 3 x cos x + 3(sin 4 x + sin 2 x) = 0
� 2 cos 3 x cos x + 2 3 sin 3 x cos x = 0 � 2 cos x(cos 3 x + 3 sin 3 x) = 0
cos x = 0 π
cos x = 0 + kπ
x=
2
� − 3� (k �Z )
cos 3x + 3 sin 3 x = 0 tan 3 x = π π
3 x =− +k
18 3 0,5
π π π
Vậy nghiệm của phương trình là x = + kπ ; x = − + k (k Z )
2 18 3
2 Giải phương trình: + = 2x − 5x − 1 (1) 1,0
(1) � x − 2 − 1 + 4 − x − 1 = 2 x 2 − 5 x − 3
x −3 3− x 1 1
+ = ( x − 3)(2 x + 1) � ( x − 3)( − − 2 x − 1) = 0
x − 2 +1 4 − x +1 x − 2 +1 4 − x +1
x −3 = 0
1 1
− = 2 x + 1 (2) 0,5
x − 2 +1 4 − x +1
*x−3= 0 � x = 3
*Xét phương trình (2)
ĐK 2 x 4
VP 5
1
VT đạt giá trị lớn nhất trên đoạn [2;4] bằng 1 − khi x = 2 nên phương trình (2)
2 +1
0,25
vô nghiệm
0,25
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 3
III Tìm các giá trị của tham số m để bất phương trình: x(2 − x) + m( x 2 − 2 x + 2 + 1) 0 1.0
Đặt t = x 2 − 2 x + 2 . Lập BBT của hàm y = x 2 − 2 x + 2 với x thuôc � + 3 � có t 0,25
0;1
� �ta
thuộc đoạn [ 1; 2]
t2 − 2
Bpt trở thành m(t + 1) −t 2 2
� m (1) (do t+1>0)
t +1
0,25
www.SơnPro.com
- www.SơnPro.com
Bpt đã cho nghiệm đúng với mọi x thuôc � + 3 �khi và chỉ Bpt (1) nghiệm đúng
0;1
� �
với moi t thuộc đoạn [ 1; 2]
t2 − 2
Xét f (t ) = ,t [ 1; 2]
t +1
1
f '(t ) = 1 + > 0, ∀t 0,25
(t + 1) 2
t 1 2
f’(t) +
f(t) 2
3
−1
2
−1
Từ BBT ta có Bpt (1) nghiệm đúng với moi t thuộc đoạn [ 1; 2] khi m
2
−1 0,25
Vậy với m
thoả mãn yêu cầu bài toán.
2
IV Trên mp (P) cho đường tròn (T) đường kính AB bằng 2R. S là m ột đi ểm n ằm trên 1.0
đường thẳng vuông góc với (P) tại A. Đặt SA = h. M ặt ph ẳng (Q) đi qua A và vuông
góc với SB cắt SB tại K. C là một điểm nằm trên đ ường tròn (T) sao cho
ﾷ π
BAC = α , (0 < α < ) . SC cắt mp (Q) tại H. Tính thể tích tứ diện SAHK theo h, R và
2
α.
S
H
K
A C
α
O
B
www.SơnPro.com
- www.SơnPro.com
Chứng minh AH ⊥ SC.
Ta có:
BC ⊥ AC 
� BC ⊥ ( SAC ) � BC ⊥ AH (1)
�
BC ⊥ SA
Lại có: mp (Q ) ⊥ SB � SB ⊥ AH (2)
Từ (1) và (2) suy ra AH ⊥ ( SBC ) � AH ⊥ SC
Suy ra SA2 = SH .SC = SK .SB
0,25
4
VSAHK SA.SH .SK SH SK SH .SC SK .SB SA
= = . = 2
. 2
=
VSABC SA.SC.SB SC SB SC SB SC 2 .SB 2
0,25
1 1 R 2 h sin 2α
VSABC = dt ∆ABC.SH = AB 2 sin α cosα .SA =
3 6 3
SC = h + 4 R cos α ,
2 2 2 2
0,25
SB 2 = h 2 + 4 R 2
R 2 h5 sin 2α
VSAHK =
3(h 2 + 4 R 2 )(h 2 + 4 R 2cos 2α )
0,25
V x2 y2 z2 1,0
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = + +
x + y 2 y + z 2 z + x2
x2 y2 z2 xy 2 yz 2 zx 2
P= + + = (x − ) + (y − ) + (z − )
x + y2 y + z2 z + x2 x + y2 y + z2 z + x2
0,25
xy 2 yz 2 zx 2
� P = x+ y+ z−( + + )
x + y 2 y + z2 z + x2
Ta có
xy 2 xy 2 y x
x = y� + y x
2
2
x + y2 2y x 2
0,25
yz 2 yz 2 z y zx 2 zx 2 x z
= ; =
y + z2 2z y 2 z + x2 2x z 2
y x z y x z
P ( x +y z ) −
+ ( + + )
2 2 2
Mặt khác
0,25
www.SơnPro.com
- www.SơnPro.com
x + 1 xy + y y + 1 yz + z z + 1 xz + x
y x y = ;z y z = ;x z x =
2 2 2 2 2 2
x + y + z + xy + yz + xz
P + + z
− x y
4
3 1 9 1
P + x y − z ) = ( xy yz zx ) − + ( xy yz zx )
+ ( + + +
4 4 4 4
( x + y + z) 2 = x 2 + y 2 + z 2 + 2( xy + yz + zx) 3( xy + yz + zx )
9 1 3
=− xy +yz �
� + zx 3 P .3
4 4 2
Dấu = xảy ra khi 0,25
x = y 2 ; y = z 2 ; z = x2
x =1
� = 1; y = 1; z = 1
x �
� � � =1
y
�x=y=x � =1
z
x+ y+z =3
Vậy GTNN của P là 3/2 khi x = y = z =1.
VIa 1 1.0
A
I
0,25
B C
H M
Toạ độ điểm A là nghiệm của hệ
� − 2 y − 13 = 0
x � = −3
x
� �� � A(−3; −8)
� x − 6 y − 9 = 0 � = −8
13 y
Ta có IM đi qua I(-5; 1) và song song với AH .Phương trình IM là x − 2 y + 7 = 0
� − 2y + 7 = 0
x �=3
x
Toạ độ điểm M là nghiệm của hệ � �� � M (3;5) 0,25
� x − 6y −9 = 0 � = 5
13 y
Đường thẳng BC qua M và vuông góc với AH. Phương trình BC là 2 x + y − 11 = 0
Gọi B(b;11-2b). Ta có IB = IA 0,25
b=2
� (b + 5) 2 + (10 − 2b) 2 = 85 � b 2 − 6b + 8 = 0 �
b=4
Với b = 2 suy ra B(2;7), C(4;3)
Với b = 4 suy ra B(4;3), C(2,7) 0,25
Vậy A( -3; -8), B(2;7), C(4;3) hoặc A( -3; -8), B(4;3), C(2;7)
2 1,0
www.SơnPro.com
- www.SơnPro.com
I
A
B
H M
Đường tròn (C ) có tâm I(4;0), bán kính R=5.
Do IM
- www.SơnPro.com
4a 2.6 a=3
S ∆ADM = 2S ∆CDM � d ( A, DM ) = 2d (C , DM ) � = � 0,5
10 10 a = −3
Với a = 3 � A(3; −5) , trường hợp này không thoả mãn v? A, C n ằm cùng phía v ới
đường thẳng DM.
Với a = −3 � A( −3;1) . Gọi I là tâm của hình chữ nhật, I là trung đi ểm c ủa AC suy ra
I(0;-1)
Điểm D thuộc DM: x − 3 y − 6 = 0 , gọi D(3d+6;d) (d < -2)
d = −3
ID = IA � (3d + 6) + (d + 1) = 13 ��
2 2
4 d = −3
d =− 0,5
5
Suy ra D(-3;-3), B(3;1)
Vậy A(-3;1), D(-3;-3), B(3;1)
2 1,0
2 2
x y
Gọi C ( xo ; y0 ) ta có o + 0 = 1 � 9 x0 2 + 16 y0 2 = 144 (1) 0,25
16 9
Phương trình AB là: 3x +4y = 0
3 x + 4 y0 1
d (C , AB ) = 0 , S∆ABC = AB.d (C , AB )
5 2
Do AB không đổi nên diện tích tam giác ABC lớn nhất khi d(C,AB) lớn nhất 0,25
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki cho hai bộ số ta có
(3x0 + 4 y0 ) 2 2(9 x0 2 + 16 yo 2 ) = 2.144
12 2 0,25
�+� 4 y0
3 x0 12 2 d (C , AB)
5
(Dấu = xảy ra khi 3 x0 = 4 y0 )
Vậy diện tích tam giác ABC lớn nhất khi và chỉ khi 3 x0 = 4 y0
Kết hợp với (1) ta có
3
x0 = 2 2; y0 = 0,25
9 x0 + 16 y0 = 144
2 2
2
3 x0 = 4 y0 3
x0 = −2 2; y0 = −
2
3 2 3 2
Vậy toạ độ điểm C là (2 2; ) hoặc (−2 2; − )
2 2
VII Tính tổng S = C20C12 + C20C12 + ... + C20 C12 + C20C12 .
0 11 1 10 10 1 11 0 1,0
b
Ta có (1 + x) 32 = (1 + x) 20 .( x + 1)12 (1) 0,25
VT = (1 + x )32 = C32 + C32 x + C32 x 2 + ... + C32 x 32
0 1 2 32
11
0,25
Hệ số của x11 trong khai triển vế trái là C32 (2)
VP = (C20 + C20 x + C20 x + ... + C20 x )(C12 + C12 x + C12 x + ... + C12 x12 )
0 1 2 2 20 20 0 1 2 2 12
0,25
Hệ số của x11 trong khai triển vế phải là C20C12 + C20C12 + ... + C20 C12 + C20C12
0 11 1 10 10 1 11 0
(3)
Từ (1),(2),(3) ta có S = C20C12 + C20C12 + ... + C20 C12 + C20C12 = C32
0 11 1 10 10 1 11 0 11
0,25
www.SơnPro.com
- www.SơnPro.com
Chú ?: Đối với ? 2 câu 1 thí sinh có thể giải không sử dụng đồ thị mà vi ết ph ương trình (1) t ương
2x +1 3
đương với y = = 2+ (sau khi nhận xét x = 1 không thỏa mãn phương trình với mọi y)
x −1 x −1
3
Nhận xét y nguyên khi x nguyên thì phải nguyên.
x −1
Suy ra x – 1 phải là ước của 3 hay x � − 2; 0; 2; 4} thay vào tìm y tương ứng
{
Thay 4 cặp (x; y) nguyên vào phương trình (2) tìm được m2= 10.
www.SơnPro.com
nguon tai.lieu . vn
