ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2010 - 2011 Môn thi: Toán

SỞ GD&ĐT KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS QUẢNG BÌNH NĂM HỌC 2010 - 2011 Môn thi: Toán ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Khóa ngày 30 tháng 3 năm 2011) SỐ BÁO DANH:…………….. Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1:(2.5 điểm) Cho biểu thức A= x+ 4 x 4+ 1 + x 4 x 4 16 với 4< x 8 x2 a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm x nguyên để A có giá trị nguyên. Câu 2:(2.5 điểm) Số đo hai cạnh góc vuông của một tam giác là nghiệm của phương trình bậc hai (m 2)x2 2(m +1)x =m 0. Xác định m để số đo đường cao ứng với cạnh huyền của tam giác đã cho là 2 5 Câu 3:(3.0 điểm) Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A và B. Tiếp tuyến chung gần B của hai đường tròn lần lượt tiếp xúc (O) và (O’) tại C và D. Qua A kẻ đường thẳng song song CD cắt (O) và (O’) lần lượt tại M và N. Các đường thẳng BC, BD lần lượt cắt MN tại P và Q. Các đường thẳng CM, DN cắt nhau tại E. Chứng minh rằng: a) Các đường thẳng AE và CD vuông góc nhau. b) Tam giác EPQ cân. Câu 4:(1.0 điểm) Cho x,y,z >0 thỏa mãn: x2 + y2 + z2 =3. Chứng minh: xy yz zx z x y 3 Câu 5:(1.0 điểm) Cho a, b, c, d là các số nguyên thỏa mãn : a5 +b5 = 4(c5 + d5) Chứng minh rằng : a+b+c+ d chia hết cho 5. --------------------HẾT---------------------- SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2010 - 2011 Môn thi: Toán (Khóa ngày 30 tháng 3 năm 2011) HƯỚNG DẪN CHẤM (Đáp án, hướng dẫn này có 3 trang) Yêu cầu chung * Đáp án chỉ trình bày một lời giải cho mỗi bài. Trong bài làm của học sinh yêu cầu phải lập luận lô gic chặt chẽ, đầy đủ, chi tiết và rõ ràng. * Trong mỗi bài, nếu học sinh giải sai ở bước giải trước thì cho điểm 0 đối với những b-ước giải sau có liên quan. Ở câu 3 nếu học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai thì cho điểm 0. * Điểm thành phần của mỗi bài nói chung phân chia đến 0,25 điểm. Đối với điểm thành phần là 0,5 điểm thì tuỳ tổ giám khảo thống nhất để chiết thành từng 0,25 điểm. * Học sinh có lời giải khác đáp án (nếu đúng) vẫn cho điểm tối đa tuỳ theo mức điểm của từng bài. * Điểm của toàn bài là tổng (không làm tròn số) của điểm tất cả các bài. Câu Nội dung 1 a) Với 4< x 8 Điểm 2,5 điểm Ta có: A= x 4+ 4 x +4 +4 x 4 4+x 4 4 0,5 � 4 2 � x� ( x 4+ 2)+ ( x 4 = � 4 2 � x� 2)2 = x 4+ 2+ 1 x 4 2 0,5 4 x x 4+ 2+ 2 x 4 4x x 4 x 4 x b) Ta có: A= 4+ x164 với 4< x 8 Do đó với x nguyên, A nguyên khi và chỉ khi x – 4 là ước của 16. Kết hợp với điều kiện đã cho ta có: x 4= 1 x= 5 x 4= 2� x= 6 x 4= 4 x= 8 0,5 0,25 0,25 0,5 Trang: 2 - Đáp án Toán 9 2 2,5 điểm Gọi x ,x2 là số đo hai cạnh góc vuông của tam giác đã cho, vì chúng là nghiệm của phương trình bậc hai (m 2)x2 2(m +1)x =m 0 nên ta có điều kiện: m 2 m 2 Δ`> 0� � m 2 > 0 (*) S > 0 m 1 > 0 Từ giả thiết bài toán ta có: x2 + x2 = 4 � ( x + x21x2 )22x x2 = 4 2m2 4m+ 4 5 m2 4 � 3m2 16m+ 16= 0 � m= 4,m= 4 Thử lại ta thấy chỉ có giá trị m = 4 thỏa mãn điều kiện (*). Vậy : m = 4 là giá trị cần tìm 3 E 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 3,0 điểm C I 0,5 D B O Q M A O` N P a) Ta có: ECD =CMA (đồng vị), CDA=CMA (cùng chắn cung CA ) Nên ECD = DCA. Chứng minh tương tự ta có: EDC =CDA Suy ra: ΔCDE = ΔCDA(g.c.g)�CE =CA�ΔCEA cân tại C. Theo chứng minh trên thì CD là đường phân giác của ECA Nên: CD ^ AE 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Trang: 3 - Đáp án Toán 9 b) Gọi I là giao điểm của CD và AB. Ta có:IAD = IDB(cùng chắn cung BD) �ΔIAD Δ IDB(g.g)� I = ID �ID= IA.IB Chứng minh tương tự ta có: IC2 = IA.IB Suy ra: IC2 = ID2 �IC = ID Ta có: CD//PQ � AP = BA = AQ Vì: CI = DI � AP = AQ hay A là trung điểm PQ. Mặt khác: CD ^ AE, CD // PQ nên: PQ ^ AE Vậy: tam giác EPQ có AE vừa là trung tuyến vừa là đường cao nên nó là tam giác cân. 4 Ta có: xy + yz + zx �3� xy + yz + zx��9 � � 2 2 2 2 2 2 � z2 + x2 + y2 + 2 x2 + y2 + z2 �9 � x2y2 + y2z2 + z2x2 �3 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 1.0 điểm 0,25 Mặt khác: x2 y2 + y2z2 2y2; y2z2 z2x2 x2 y2 2z2; z2x2 x2y2 y2 z2 2x2 0,25 2 2 2 2 2 2 Suy ra: � z2 + x2 + y2 �x2 + y2 + z2 =3 0,25 xy yz zx z x y 5 Ta chứng minh (n5 3. Dấu bằng xảy ra khi x = y = z = 1 n)5 0,25 1,0 điểm Ta có: n5 n= n(n2 1)(n+2 =1) n(n2 1)(n+ 4) 5n(n2 1) 0,25 = (n 2)(n 1)n+(n 1)+(n +2) Suy ra: a5 a+ b5 +b c5+ c d= d �(a+b+c+ d)5 5n(n2 1) 5 0,25 +5(c5 d+ +a +b c d) 5 0,25 0,25 Trang: 4 - Đáp án Toán 9 Trang: 5 - Đáp án Toán 9 ... - tailieumienphi.vn