Xem mẫu
- PHÒNG GD&ĐT BÌNH GIANG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG I
NĂM HỌC 2012-2013
ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN - LỚP 9
(Thời gian làm bài: 150 phút)
Câu I (2,0 điểm).
x2 x 1 1
Cho biểu thức: A với x 0, x 1
x x 1 x x 1 1 x
1) Rút gọn A
1
2) Chứng tỏ rằng: A
3
Câu II (2,0 điểm).
1) Giải phương trình: x x 15 17
2) Tìm x, y sao cho: 5x 2 x 2 y y2 1 0
Câu III (2,0 điểm).
1) Tìm số nguyên x, sao cho : x 2 x p 0 với p là số nguyên tố.
m2 2013m 2012
2) Tìm m để hàm số bậc nhất y x 2011 là hàm số
m2 2 2m 3
nghịch biến.
Câu IV (3,0 điểm).
1) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O ; R), hai đường
cao BE và CF của tam giác cắt nhau tại H. Kẻ đường kính AK của đường tròn (O ;
R), gọi I là trung điểm của BC.
a) Chứng minh AH = 2.IO.
b) Biết BAC 600 , tính độ dài dây BC theo R.
2) Cho ABC(A 900 ) , BC = a. Gọi bán kính của đường tròn nội tiếp
r 2 1
ABC là r. Chứng minh rằng: .
a 2
Câu V (1,0 điểm).
Cho x 3y 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: C x 2 y 2
–––––––– Hết ––––––––
- HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HSG VÒNG I NĂM HỌC 2012-2013
MÔN: TOÁN - LỚP 9
Câu Phần Nội dung Điểm
x2 x 1 1
A 0.25
x 1 x x 1 x x 1 x 1
x 2 x 1 x x 1
A 0.25
1
x 1 x x 1
(1,0 đ) x x
A 0.25
x 1 x x 1
x x 1 x
Câu I A , với x 0, x 1 0.25
(2,0 điểm) x 1 x x 1 x x 1
2
1
Xét A
1 x
x 1 0.50
3 3 x x 1 3(x x 1)
2 Do x 0, x 1
2
(1,0 đ) 2 1 3
x 1 0 và x x 1 x 0
2 4
0.25
1 1
A 0 A 0.25
3 3
ĐKXĐ: x 15
x x 15 17 x 15 x 15 2 0 0.25
Đặt t x 15 (t 0) t 2 t 2 0 0.25
1
(1,0 đ) t 2 TM§K
t 2 t 1 0 0.25
t 1 lo¹i
Với t 2 x 15 2 x 15 4 x 19 (TMĐK) 0.25
ĐKXĐ: x 0
Câu II 5x 2 x 2 y y2 1 0 4x 4 x 1 x 2y x y 2 0 0.25
(2,0 điểm) 2 2
2 x 1 x y 0 (1) 0.25
2 2
Vì 2 x 1 0, x y 0 x 0, y
2
2 2
(1,0 đ) 2 x 1 x y 0 . 0.25
1
2 x 1 0 x
4
Để (1) xẩy ra thì (TM) 0.25
x y0
y 1
2
Theo bài ra: p x x x x 1 mà x, x + 1 là số nguyên liên tiếp
2
Câu III 1 nên x x 1 là số chẵn p là số chẵn. 0.25
(2,0 điểm) (1,0 đ) Mặt khác p là số nguyên tố nên p = 2
0.25
x x 2 0 x 2 x 1 0 x = 1 hoặc x = - 2 (TM)
2
0.50
- m 2 2013m 2012
Để hàm số y x 2011 nghịch biến thì
m 2 2 2m 3
m 2 2013m 2012 2
m 2 2 2m 3
0 (1). m 2 2 2m 3 m 2 1 0 m 0.25
(1) m 2 2013m 2012 0 m 1 m 2012 0 0.25
2
(1,0 đ) m 1 0 m 1
m 2012 0 m 2012
m 1 0 m 1 0.25
m 2012 0
m 2012
1 m 2012
0.25
A Vì B, C thuộc đường tròn đường kính
AK ABK ACK 900
E KB AB, KC AC 0.25
F CH AB, BH AC (gt)
O
H BK // CH,CK // BH
1a BHCK là hình bình hành 0.25
(1,0 đ) B
I
C
I là trung điểm của BC (gt)
I là trung điểm của HK
K O là trung điểm của AK (gt)
OI là đường trung bình của KAH 0.25
1
OI AH AH 2.IO 0.25
2
OA OC OAC cân tại O OAC OCA
KOC OAC OCA (T/c góc ngoài của tam giác)
KOC 2.OAC 0.25
Câu IV Chứng minh tương tự: KOB 2.OAB
(3,0 điểm) 1b
(1,0 đ)
KOC KOB 2 OAC OAB BOC 2.BAC 1200 0.25
OB OC OBC cân tại O OCI 1800 1200 : 2 300 0.25
Vì I là trung điểm của BC (gt) OI BC
3
Trong OIC I 900 : IC OC.cos300 R.
2
BC R 3 0.25
B
r 2 1
D
2r a 2 a 2r a a 2 0.25
a 2
E
r O C/m được AB + AC = 2r + a 0.25
AB AC BC 2
A
2 F C
AB2 2AB.AC AC2 2BC2
(1,0 đ)
AB2 2AB.AC AC 2 2AB2 2AC2
2
AB AC 0 1 0.25
r 2 1
BĐT (1) đúng , dấu “=” xảy ra khi ABC v/cân tại A. 0.25
a 2
Câu V (1,0 đ) Do x 3y 1 , đặt x 3y 1 a với a 0 x = 1 + a – 3y, thay vào
(1,0 điểm)
- biểu thức C: C 10y2 6ay 6y a 2 2a 1 0.25
2
3 1 1 1
C 10 y a 1 a 2 2a . 0.50
10 10 10 10
1
min C khi:
10
3
3 3 3 y 10
y a 1 0 y y
10 10 10 0.25
a 0
a 0
x 3y 1 x 1
10
* Học sinh làm bằng cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.
nguon tai.lieu . vn
