Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán lớp 10 năm 2010-2011 - Sở GD&ĐT Đà Nẵng

Luyện thi THPT Quốc gia năm 2017 Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ ĐÀ NẴNG ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 10 NĂM HỌC 2010- 2011 MÔN THI: TOÁN Thời gian: 150 phút Câu I (1,5 điểm) x x   10  x 10  x 2) Cho các nửa khoảng A  ( a; a  1], B  [b; b  2). Đặt C  A  B. Với điều kiện 1) Xác định tính chẵn - lẻ của hàm số y  nào của các số thực a và b thì C là một đoạn? Tính độ dài của đoạn C khi đó. Câu II (2,0 điểm) 1) Tìm m để phương trình x 2  1  m4  m2  1 có bốn nghiệm phân biệt. 2) Giải và biện luận (theo tham số m) bất phương trình: Câu III (2,5 điểm) 1) Giải phương trình 2) Giải hệ phương trình  m  1 x  2  m  1 . x2 x2  7 x  8  2 x.  7x  y  2x  y  5    x  y  2 x  y  1.  Câu IV (3,0 điểm) 0 1) tam ABC AB  Cho  giác có  = c, AC = b và BAC  60 . Các điểm M, N được xác định   bởi MC  2 MB và NB  2 NA . Tìm hệ thức liên hệ giữa b và c để AM và CN vuông góc với nhau. 2) Cho tam giác ABC. Trên các cạnh BC, CA và AB của tam giác đó, lần lượt lấy các điểm A ', B ' và C '. Gọi S a , Sb , Sc và S tương ứng là diện tích của các tam giác AB ' C ', BC ' A ', CA ' B ' và ABC. Chứng minh bất đẳng thức S a  Sb  S c  3 S . Dấu đẳng 2 thức xảy ra khi và chỉ khi nào? Câu V (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn tâm O bán kính R (R > 0, R không đổi). Gọi A và B lần lượt là các điểm di động trên trục hoành và trục tung sao cho đường thẳng AB luôn tiếp xúc với đường tròn đó. Hãy xác định tọa độ của các điểm A, B để tam giác OAB có diện tích nhỏ nhất. Truy cập website www.hoc247.vn để làm thêm bài tập và thử sức với đề thi trắc nghiệm online Trang | 1 Luyện thi THPT Quốc gia năm 2017 Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai CÂU NỘI DUNG ĐÁP ÁN ĐIỂM x x   10  x 10  x 2) Cho các nửa khoảng A  (a; a  1], B  [b; b  2). Đặt C  A  B. Với điều 1) Xác định tính chẵn - lẻ của hàm số y  Câu I kiện nào của các số thực a và b thì C là một đoạn? Tính độ dài của đoạn C khi đó. Hàm số y có tập xác định D  (10; 10) là tập đối xứng qua điểm x  0. I.1 Kiểm tra: x  D, f ( x )  f ( x )  f chẵn (0,75đ) f không lẻ (vì nó không đồng nhất bằng 0 trên D), kết luận C  [b; b  2)  ( a; a  1] là một đoạn  b  a  b  2  a  1 I.2 (*)  b  1  a  b  2. (0,75đ) Khi đó, C  [b; b  2)  (a; a  1]  [b; a  1] là đoạn có độ dài a  b  1. 1,5 đ 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 1) Tìm m để phương trình x 2  1  m4  m2  1 có bốn nghiệm phân biệt. CâuII 2) Giải và biện luận (theo tham số m) bất phương trình: 4  m  1 x  2  m  1 . x2 2,0 đ 2 Ta có: m  m  1  0  x 2  m4  m 2  2 PT   2  x  m2  m 4  m 2 (1  m2 )  (1) (2) II.1 4 2 (1,00đ) (1) có 2 nghiệm phân biệt với mọi m vì m  m 22  0 (2) có 2 nghiệm phân biệt  m  0 và 1  m  0 PT có 4 nghiệm phân biệt  0,25  m  ( 1; 1) \{0}  m  (1;1) \{0} và m 4  m 2  2  m 2  m4 4 2 m  ( 1;1) \{0} và m  m  1  0 m  ( 1;1) \{0} , kết luận  (m  1)( x  2)  (1  m) x  2 x  (m  2) 0 0  x2 x2 BPT  II.2 (1,00đ) Nếu m = 0 thì BPT nghiệm đúng với mọi x  2 Nếu m > 0 thì m + 2 > 2 nên BPT nghiệm đúng với mọi x  (; 2)  (m  2; ) Nếu m < 0 thì m + 2 < 2 nên BPT nghiệm đúng với mọi x  (; m  2)  (2; ) 1) Giải phương trình x2  7 x  8  2 x . Câu III 2) Giải hệ phương trình  7 x  y  2x  y  5    x  y  2 x  y  1.  Điều kiện: x ≥ 0 PT  x 2  1  7 x  7  2  2 x  0  ( x  1)( x x  x  6 x  8)  0 III.1  ( x  1)( x x  8  x  6 x  16)  0 (1,25đ)  ( x  1)( x  2)( x  2 x  4  x  8)  0  ( x  1)( x  2)( x  x  4)  0 Truy cập website www.hoc247.vn để làm thêm bài tập và thử sức với đề thi trắc nghiệm online 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 2,5 đ 0,25 0,25 0,25 Trang | 2 Luyện thi THPT Quốc gia năm 2017 Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai x  1  x 1  0  2     1  17  9  17  x  x  4  0 x     2   2    Kết luận 0,50 Điều y 7 x  y  0 ; 2 x  y  0 kiện  2 Đặt u  7 x  y  0 u  7 x  y u 2  v2    2 x và  5 v  2 x  y  0 v  2 x  y   7v 2  2u 2 5 0,25 u  v  5 u  v  5     2  2 2 2 2 2 u  v  7v  2u  5v  5 3u  8v  5v  5  0 III.2   (1,25đ) u  5  v u  5  v u  5  v       2  2 2 2 3(5  v)  8v  5v  5  0 5v  25v  70  0 v  5v  14  0 (*)    HPT trở thành: u  3 (*)  v = 2 (nhận) hoặc v = 7 (loại) ; nên HPT trên   v  2 7 x  y  9 x  1 (phù hợp)  2 x  y  4  y  2 Do đó HPT đã cho trở thành  0,25 0,25 0,25 0,25 0 1) Cho tam giác ABC  AB = c, AC b và BAC  60 . Các điểm M, N được có =    xác định bởi MC  2 MB và NB  2 NA . Tìm hệ thức liên hệ giữa b và c để AM và CN vuông góc với nhau. Câu IV 2) Cho tam giác ABC. Trên các cạnh BC, CA và AB của tam giác đó, lần lượt lấy các điểm A ', B ' và C '. Gọi Sa , Sb , S c và S tương ứng là diện tích của các tam giác AB ' C ', BC ' A ', CA ' B ' và ABC. Chứng minh bất đẳng thức IV.1 (1,50đ) 3 S a  Sb  Sc  S . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi nào? 2                Ta có: MC  2MB  AC  AM  2( AB  AM )  3 AM  2 AB  AC      Tương tự ta cũng có: 3CN  2CA  CB           Vậy: AM  CN  AM  CN  0  (2 AB  AC )(2CA  CB )  0           (2 AB  AC )( AB  3 AC )  0  2 AB 2  3 AC 2  5 AB. AC  0 5bc 0  2c 2  3b 2   4c 2  6b 2  5bc  0 2 Ta có các công thức tính diện tích: 2Sa  AC ' AB 'sin A; 2 S  AB  AC sin A Sa  S AC ' AB ' 1  AC ' AB '       (BĐT Cauchy) AB AC 2  AB AC  IV.2 Sb 1  BA ' BC '  Sc 1  CB ' CA '  (1,50đ) Tương tự ta cũng có:        và  S 2  BC BA  S 2  CA CB   Do đó: Sa S S 1  AC ' BC ' BA ' CA ' CB ' AB '  3  b  c        (đpcm)  S S S 2  AB BA BC CB CA AC  2 Truy cập website www.hoc247.vn để làm thêm bài tập và thử sức với đề thi trắc nghiệm online 3,0 đ 0,50 0,25 0,25 0,25 0,25 0,50 0,25 0,25 Trang | 3 Luyện thi THPT Quốc gia năm 2017 Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai  AC ' AB '  AB  AC   BA ' BC '  Dấu bằng xảy ra    BC BA   CB ' CA '  CA  CB  C ' B ' //BC   A ' C ' //CA  A’, B’, C’ là trung điểm của  B ' A ' //AB  Câu V BC, CA, AB 0,50 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn tâm O bán kính R (R > 0, R không đổi). Gọi A và B lần lượt là các điểm di động trên trục hoành và trục tung sao cho đường thẳng AB luôn tiếp xúc với đường tròn đó. Hãy xác định tọa độ của các điểm A, B để tam giác OAB có diện tích nhỏ nhất. 1,0 đ Dựa vào tính đối xứng, ta giả sử A  a; 0  , B  0; b  với a  0, b  0. (*) Suy ra V (1,00đ) ab . 2 1 1 1 1 a2  b2 Mà 2  2  2 (**) 2  2 2  a 2b 2  R 2 (a 2  b 2 )  2 R 2 ab a b R R a b ab  SOAB   R 2 không đổi (dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b) 2 Kết hợp với (*) và (**): dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a  b  R 2 SOAB      Kết luận: A  R 2;0 ; B 0;  R 2 (4 cặp điểm) Truy cập website www.hoc247.vn để làm thêm bài tập và thử sức với đề thi trắc nghiệm online 0,25 0,25 0,25 0,25 Trang | 4