Xem mẫu
- ĐỀ ÔN TẬP HỌC KÌ 2 – Năm học
WWW.VNMATH.COM
Môn TOÁN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút
Đề số 15
Bài 1: Tính các giới hạn sau:
2 x −3 x 2 + 5x − 3
a) lim b) lim
x →+∞ 2 − 3 x x −2
x →+∞
Bài 2: Chứng minh rằng phương trình x 4 + x 3 − 3x 2 + x + 1= 0 có nghiệm thuộc (−1 ) .
;1
Bài 3: Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác định của nó:
x 2 + 3x + 2
khi x ≠ −2
f (x ) = x + 2
3 khi x = −2
Bài 4: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
sin x + cos x
b) y = (2x − 3).cos(2x − 3)
a) y =
sin x − cos x
2x 2 + 2x + 1
Bài 5: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: y =
x +1
a) Tại giao điểm của đồ thị và trục tung.
b) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = x + 2011.
Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, ·BAD = 600 , SO ⊥ (ABCD),
a 13
. Gọi E là trung điểm BC, F là trung điểm BE.
SB = SD =
4
a) Chứng minh: (SOF) vuông góc (SBC).
b) Tính khoảng cách từ O và A đến (SBC).
c) Gọi ( α ) là mặt phẳng qua AD và vuông góc (SBC). Xác định thiết diện của hình chóp bị cắt
bởi ( α ). Tính góc giữa ( α ) và (ABCD).
--------------------Hết-------------------
Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SBD :. . . . . . . . . .
1
- ĐÁP ÁN ĐỀ ÔN TẬP HỌC KÌ 2 – Năm học
WWW.VNMATH.COM
Môn TOÁN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút
Đề số 15
Bài 1:
3
2−
2 x −3 x = −3
a) lim = lim
2 2
x →+∞ 2 − 3 x →+∞
x −3
x
53
1+ −
2
x + 5x − 3 x x =1
= lim
b) lim
x −2 2
x →+∞ x →+∞
1−
x
Bài 2: Xét hàm số f (x ) = x 4 + x 3 − 3x 2 + x + 1 ⇒ f (x ) liên tục trên R.
• f (−1 = −3, f (1) = 1⇒ f (−1 f (1 < 0 nên PT f (x ) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (–1; 1).
) ). )
x 2 + 3x + 2
khi x ≠ −2
f (x ) = x + 2
Bài 3:
3 khi x = −2
• Tập xác định: D = R.
(x + 1 x + 2)
)(
= x + 1 ⇒ f (x ) liên tục tại x ≠ –2.
• Tại x ≠ −2 ⇒ f (x ) =
x+2
• Tại x = –2 ta có f (−2) = 3, xlim f (x ) = xlim (x + 1 = −1≠ f (−2) ⇒ f (x ) không liên tục tại x = –2.
)
→−2 →−2
Bài 4:
sin x + cos x
a) y =
sin x − cos x
(cos x − sin x )(sin x − cos x ) − (sin x + cos x )(cos x + sin x ) −2
⇒ y′ = =
2
(sin x − cos x )2
(sin x − cos x )
b) y = (2x − 3).cos(2x − 3) ⇒ y ' = 2[ cos(2x − 3) − (2x − 3)sin(2x − 3)]
2x 2 + 4x + 1
2x 2 + 2x + 1
⇒ y′ =
Bài 5: y =
(x + 1)2
x +1
a) Giao điểm của đồ thị với trục tung là (0; 1); y′ (0) = 1 ⇒ PTTT: y = x + 1.
b) Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng y = x + 2011 nên tiếp tuyến có hệ số góc là k = 1.
2
2x0 + 4x 0 + 1 x = −2
′ 2
Gọi (x0; y0) là toạ độ của tiếp điểm ⇒ y (x 0) = 1⇔ = 1⇔ x0 + 2x 0 = 0 ⇔ 0
x0 = 0
( x0 + 1)
2
• Với x0 = 0 ⇒ y0 = 1 ⇒ PTTT: y = x + 1.
• Với x0 = −2 ⇒ y0 = −5 ⇒ PTTT: y = x − 3
2
- Bài 6:
a) Chứng minh: (SOF) vuông góc (SBC).
S
• ∆ CBD đều, E là trung điểm BC nên DE ⊥ BC
• ∆ BED có OF là đường trung bình nên OF//DE,
DE ⊥ BC ⇒ OF ⊥ BC (1)
C'
• SO ⊥ (ABCD) ⇒ SO ⊥ BC (2)
Từ (1) và (2) ⇒ BC ⊥ (SOF)
B'
Mà BC ⊂ (SBC) nên (SOF) ⊥ (SBC).
b) Tính khoảng cách từ O và A đến (SBC).
D • Vẽ OH ⊥ SF; (SOF) ⊥ (SBC),
H C
K (SOF ) ∩ (SBC ) = SF , OH ⊥ SF
⇒ OH ⊥ (SBC ) ⇒ d (O,(SBC )) = OH
O E 3a
13 a3
, SO 2 = SB 2 − OB 2 ⇒ SO =
• OF = a=
.
4
22 4
F
1 1 1 3a
⇒ = + ⇒ OH =
A B
2 2 2 8
OH SO OF
• Trong mặt phẳng (ACH), vẽ AK// OH với K ∈ CH ⇒ AK ⊥ (SBC) ⇒ d (A,(SBC )) = AK
3a 3a
AK = 2OH ⇒ AK = ⇒ d ( A,(SBC )) =
4 4
AD ⊂ (α ), (α ) ⊥ (SBC ) ⇒ (α ) ≡ ( AKD )
c) •
• Xác định thiết diện
Dễ thấy K ∈ (α ), K ∈ (SBC ) ⇒ K ∈ (α) ∩ (SBC).
Mặt khác AD // BC, AD ⊂ (SBC ) nên (α ) ∩ (SBC ) = ∆ ⇒ K ∈ ∆, ∆ P BC
Gọi B ' = ∆ ∩ SB,C ' = ∆ ∩ SC ⇒ B′ C′ // BC ⇒ B′ C′ // AD
Vậy thiết diện của hình chóp S.ABCD bị cắt bời (α) là hình thang AB’C’D
• SO ⊥ (ABCD), OF là hình chiếu của SF trên (ABCD) nên SF ⊥ BC ⇒ SF ⊥ AD (*)
SF ⊥ OH , OH P AK ⇒ SF ⊥ AK
• (**)
• Từ (*) và (**) ta có SF ⊥ (α)
·
• SF ⊥ (α), SO ⊥ (ABCD) ⇒ ( (α ),( ABCD )) =·(SF , SO) = ·OSF
a3
1·
OF
• tan·OSF = =4= ⇒ ( (α ),( ABCD )) = 300
3a
SO 3
4
=============================
3
nguon tai.lieu . vn
