Xem mẫu
- ĐỀ ÔN TẬP HỌC KÌ 2 – Năm học
WWW.VNMATH.COM
Môn TOÁN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút
Đề số 10
A. PHẦN BẮT BUỘC:
Câu 1: Tính các giới hạn sau:
x +3 (x + 1 3 − 1 2
)
c) lim x + 5 − 3
a) lim 2 b) lim
x →−3 x + 2x − 3 x x+2
x →0 x →−2
Câu 2:
a) Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất 2 nghiệm: 2x 3 − 10x − 7 = 0
x +3
f (x ) = x − 1 , x ≠ −1 trên tập xác định .
b) Xét tính liên tục của hàm số
2 , x = −1
Câu 3:
a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thi hàm số y = x 3 tại điểm có hoành độ x0 = −1.
b) Tính đạo hàm của các hàm số sau: • y = x 1+ x 2 • y = (2− x 2)cos x + 2x sin x
Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD) và ABCD là hình thang vuông tại A, B . AB = BC =
a, ·ADC = 450 , SA = a 2 .
a) Chứng minh các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông.
b) Tính góc giữa (SBC) và (ABCD).
c) Tính khoảng cách giữa AD và SC.
B. PHẦN TỰ CHỌN:
1. Theo chương trình chuẩn
1 1
−
Câu 5a: a) Tính lim 2 ÷
x →2 x − 4 x − 2
+
8
. Chứng minh: f ′(−2) = f ′(2)
b) Cho hàm số f (x ) =
x
Câu 6a: Cho y = x 3 − 3x 2 + 2. Giải bất phương trình: y′ < 3 .
uuu r uuu r uuu r
r r r
Câu 7a: Cho hình hộp ABCD.EFGH có AB = a , AD = b , AE = c . Gọi I là trung điểm của đoạn BG.
rrr
uur
Hãy biểu thị vectơ AI qua ba vectơ a , b ,c .
2. Theo chương trình nâng cao
Câu 5b: a) Tính gần đúng giá trị của 4,04
b) Tính vi phân của hàm số y = x.cot2 x
x 2 − 3x + 1
lim
Câu 6b: Tính
x −3
+
x →3
Câu 7b 3: Cho tứ diện đều cạnh a. Tính khoảng cách giữa hai cạnh đối của tứ diện .
--------------------Hết-------------------
Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SBD :. . . . . . . . . .
1
- ĐÁP ÁN ĐỀ ÔN TẬP HỌC KÌ 2 – Năm học
WWW.VNMATH.COM
Môn TOÁN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút
Đề số 10
Câu 1:
x +3 1 1 (x + 1)3 − 1
( )
= lim =−
a) xlim = lim x 2 + 3x + 3 = 3
b) lim
x →−3 x − 1
x + 2x − 3
2
4 x
→−3 x →0 x →0
( x − 2) ( x + 2)
x2 + 5− 3 x −2 4 2
= lim = lim =− =−
c) xlim
( x + 2) ( x 2 + 5 + 3)
x+2 6 3
→−2 x →−2 x →−2
x2 + 5+ 3
Câu 2:
f(x) = 2x 3 − 10x − 7 ⇒ f(x) liên tục trên R.
a) Xét hàm số:
• f(–1) = 1, f(0) = –7 ⇒ f ( −1) . f ( 0) < 0 nên phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc c1 ∈ ( −1 )
;0
• f(0) = –7, f(3) = 17 ⇒ f(0).f(3) < 0 ⇒ phương trình có nghiệm c2 ∈ ( 0;3)
• c1 ≠ c2 nên phương trình đã cho có ít nhất hai nghiệm thực.
x +3
, x ≠ −1
b) f (x ) = x − 1
2 , x = −1
• Tập xác định D = R \ {1}
x +3
• Với x ∉ { −1 } hàm số f (x ) =
;1 xác định nên liên tục.
x −1
• Xét tại x = 1 ∉ D nên hàm số không liên tục tại x = 1
• Xét tại x = –1
x +3
lim f ( x ) = lim = −1≠ f ( −1) = 2 nên hàm số không liên tục tại x = –1
x →−2 x − 1
x →−2
Câu 3:
a) y = x 3 ⇒ y′ = 3x 2
Với x0 = −1⇒ y0 = −1 y′ (−1) = 3 ⇒ PTTT: y = 3x + 2
,
b) Tính đạo hàm
x2 1+ 2x 2
2
⇒ y ' = 1+ x 2 +
• y = x 1+ x ⇔ y'=
1+ x 2 1+ x 2
• y = (2− x 2)cos x + 2x sin x ⇒ y ' = −2x cos x + (x 2 − 2)sin x + 2sin x + 2x cos x ⇒ y ' = x 2 sin x
Câu 4:
a) CM các mặt bên là các tam giác vuông.
SA ⊥ AB
•SA ⊥ ( ABCD ) ⇒
SA ⊥ AD
⇒ ∆ SAB và ∆ SAD vuông tại A.
•BC ⊥ AB, BC ⊥ SA ⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ SB
⇒ ∆ SBC vuông tại B
SB 2 = SA2 + AB 2 = 2a2 + a2 = 3a2
•
SC 2 = SB 2 + BC 2 = 3a2 + a2 = 4a2
• hạ CE ⊥ AD ⇒ ∆ CDE vuông cân tại E nên
EC = ED = AB = a ⇒ CD = a 2
⇒ AD = AE + ED = BC + ED = 2a
⇒ SD 2 = SA2 + AD 2 = 6a2
• SC 2 + CD 2 = 4a2 + 2a2 = 6a2 = SD 2 nên tam giác SDC vuông tại C.
2
- b) Tính góc giữa (SBC) và (ABCD)
)
(
• (SBC ) ∩ ( ABCD ) = BC , SB ⊥ BC , AB ⊥ BC ⇒ · SBC ),( ABCD ) = ·SBA ⇒ tan·SBA =
SA
= 2.
(
AB
c) Tính khoảng cách giữa AD và SC
• Ta có SC ⊂ (SBC ), BC P AD ⇒ d (AD , SC ) = d (A,(SBC ))
AB 2.SA2 2a 4
6a2
1 1 1 a6
2
• Hạ AH ⊥ SB ⇒ = + ⇔ AH = = = ⇔ AH = .
2 2 2 2 2 2 9 3
AB + SA 3a
AH AB SA
a6
• Vậy d ( AD, SC ) =
3
Câu 5a:
1 1 −x −1
a) Tính I = lim 2 − ÷= lim 2
x →2 x − 4 x − 2 x →2 x − 4
+ +
lim (− x − 1 = −3 < 0
)
x →2+
2
• Ta có lim (x − 4) = 0 ⇒ I = −∞
x →2+
x > 2⇒ x2 − 4 > 0
8 8
b) f (x ) = ⇒ f ′(x ) = − 2 , f ′(−2) = −2, f ′(2) = −2 ⇒ f ′(−2) = f ′(2)
x x
Câu 6a: y = x 3 − 3x 2 + 2 ⇒ y′ = 3x 2 − 6x
BPT: y ' < 3 ⇔ 3x 2 − 6x − 3 < 0 ⇔ x ∈ ( 1− 2;1+ 2)
Câu 7a:
uu 1 uuu uuu 1 uuu uuu uuu uuu
r r r r r r r
AI = ( AB + AG ) = ( AB + AB + AD + AE )
2 2
r r r r 1r 1r
= ( 2a + b + c ) = a + b + c
1
2 2 2
Câu 5b:
a) Tính gần đúng giá trị 4,04
1
x , ta có f '( x ) =
• Đặt f(x) = , theo công thức tính gần đúng ta có với:
2x
x0 = 4, ∆ x = 0,04 ⇒ f (4,04) ≈ f (4 + 0,04) + f ′(4).0,04
1
4,04 = 4 + 0,04 ≈ 4 + .0,04 = 2 + 0,01= 2,01⇒ 4,04 ≈ 2,01
Tức là ta có
24
2cot x
2 2
⇔ y ' = cot2 x − 2x cot x (1+ cot2 x )
b) Tính vi phân của y = x.cot x ⇒ y ' = cot x − x 2
sin x
2 3
⇒ dy = (cot x − 2x cot x − 2x cot x )dx
3
- lim(x 2 − 3x + 1) = 1> 0
x →3+
2
x 2 − 3x + 1
x − 3x + 1
. Ta có lim x − 3 = 0 ⇒ lim = +∞
lim
Câu 6b: Tính
x −3 x −3
x →3+ +
x →3+
x →3
x > 3⇒ x − 3 > 0
Câu 7b:
Tứ diện ABCD đều, nên ta chỉ tính khoảng cách giữa hai
cạnh đối diện AB và CD.
a3 a
, AM = ⇒ ·AMN = 900
NA = NB =
2 2
3a2 a2 2a2
⇒ MN 2 = AN 2 − AM 2 = − =
4 4 4
a2
⇒ d ( AB,CD ) = .
2
===============================
4
nguon tai.lieu . vn
