1. Trang Chủ
  2. Trung học cơ sở
  3. Đại số lớp 9: Bài tập chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Đại số 9 - phần 2

Đại số lớp 9: Bài tập chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Đại số 9 - phần 2

Tài liệu Bài tập chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Đại số 9 lớp 9 có lý thuyết và ví dụ minh họa giúp dễ hình dung, hy vọng tài liệu sẽ giúp ích được cho các bạn học sinh lớp 9 trong kì thi sắp tới nhé. BI TẬP ẠI SỐ CHUYN Ề BỒI DỠNG HỌC SINH GIỎI V N THI VO LỚP 10 PHẦN II: HỚNG DẪN GIẢI m m2 1. Giả sử 7 l số hữu tỉ  7 (tối giản). Suy ra 7  2 hay 7n2  m2 n n 2 (1). ẳng thức ny chứng tỏ m  7 m 7 l số nguyn tố nn m  7. ặt m = 7k (k  Z), ta có m2 = 49k2 (2). Từ (1) v (2) suy

Thể loại Tài liệu miễn phí Trung học cơ sở

Số trang 13

Ngày tạo 8/30/2018 4:20:19 AM +00:00

Loại tệp PDF

Kích thước 1.02 M

Tên tệp

Tải Đại số lớp 9: Bài tập chuyên đề bồi dưỡng học sinh... (.pdf)

Xem mẫu

  1.     BI TẬP ẠI SỐ CHUYN Ề BỒI DỠNG HỌC SINH GIỎI V N THI VO LỚP 10 PHẦN II: HỚNG DẪN GIẢI m m2 1. Giả sử 7 l số hữu tỉ  7 (tối giản). Suy ra 7  2 hay 7n2  m2 n n 2 (1). ẳng thức ny chứng tỏ m  7 m 7 l số nguyn tố nn m  7. ặt m = 7k (k  Z), ta có m2 = 49k2 (2). Từ (1) v (2) suy ra 7n2 = 49k2 nên n2 = 7k2 (3). Từ (3) ta lại c n2  7 v v 7 l số nguyn tố nn n  7. m và n cùng chia m hết cho 7 nn phn số khng tối giản, tri giả thiết. Vậy 7 khng phải l n số hữu tỉ; do  7 l số v tỉ. 2. Khai triển vế tri v ặt nhn tử chung, ta ợc vế ph ) vì (ad 2 bc) 0. 3. Cách 1 : Từ x + y = 2 ta c y = 2 - x. Do  : S = x2 + (2 - x)2 = 2(x - 1)2 + 2 2. Vậy min S = 2  x = y = 1. Cách 2 : p dụng bất ẳng thức Bunh a = x, c = 1, b = y, d = 1, 2 2 2 Ta có :(x + y) (x + y )(1 + 1)  4 ) = 2S  S.2  mim S = 2 khi x = y = 1 4. b) p dụng bất ẳng thức Cauchy cc cặp số dng bc ca bc ab ca ab và ; và ; và lợt c: a b a c b bc ca bc ca bc ab ca ab ca ab  2 . 2 2 .  2b ;   2 .  2a cộng a b a b c a c b c b c từng vế ta ức cần chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi a = b = c. c) Với cc g 3a v 5b , theo bất ẳng thức Cauchy ta c : 3a  5b  (3a + 5b)2  4.15P (vì P = a.b)  122  60P 2 12 12 P  max P = . 5 5 Dấu bằng xảy ra khi 3a = 5b = 12 : 2  a = 2 ; b = 6/5. 5. Ta có b = 1 - a, do  M = a3 + (1 - a)3 = -(3a2 + 3a) . Dấu = xảy ra khi a = . Vậy min M =  a = b = . 6. ặt a = 1 + x  b3 = 2 - a3 = 2 - (1 + x)3 = 1 - 3x - 3x2 -x3 = -(1 + 3x + 3x2 +x3 = -(1 + x)3. Suy ra : b 1 x. Ta lại c a = 1 + x, nn : a + b 1 + x + 1 x = 2. Với a = 1, b = 1 th a3 + b3 = 2 v a + b = 2. Vậy max N = 2 khi a = b = 1. 7. Hiệu của vế tri v vế phải bằng (a b)2(a + b).
  2.     8. Vì | a + b | 0 , | a b | 0 , nên : | a + b | > | a b |  a2 + 2ab + b2 a2 2ab + b2  4ab > 0  ab > 0. Vậy a v b l hai số cng dấu. 9. a) Xt hiệu : (a + 1)2 4a = a2 + 2a + 1 4a = a2 2a + 1 = (a 1)2 0. b) Ta có : (a + 1)2 4a ; (b + 1)2 4b ; (c + 1)2 4c v cc bất ẳng thức ny c hai vế ều dng, nn : [(a + 1)(b + 1)(c + 1)]2 64abc = 64.1 = 82. Vậy (a + 1)(b + 1)(c + 1) 8. 10. a) Ta có : (a + b)2 + (a b)2 = 2(a2 + b2). Do (a b)2 0, nên (a + b) 2 2(a2 + b2). b) Xét : (a + b + c)2 + (a b)2 + (a c)2 + (b c)2. Khai triển v rt gọn, ta ợc : 3(a2 + b2 + c2). Vậy : (a + b + c)2 3(a2 + b2 + c2).  4  2x  3  1  x  3x  4  x 11. a) 2x  3  1  x    x  2  3  2x  3  x  1   x  2 b) x2 4x 5  (x 2)2 33  | x 2 | 3  -3 x 2 3 1 x 5. 2 2 c) 2x(2x 1) 2x 1  (2x 1) 0. Nhng (2x 1) 0  thể : 2x 1 =0 Vậy : x = . 12. Viết ẳng thức  cho dới dạng : a2 + d2 ab ac ad = 0 (1). Nhn hai vế của (1) với 4 rồi a về dạng : a (a 2c)2 + (a 2d)2 = 0 (2). Do  ta c : a = a 2b = a 2c = a 2d = = b = c = d = 0. 2 2 2 13. 2M = (a + b 2) + (a 1) + (b 1) 8 2.1998  M 1998. a  Dấu = xảy ra khi c ồng thời 1 0 Vậy min M =1998a = b= 1.  10 14. Giải tng tự bi 15. a ẳng thức  ạ g : (x 1)2 + 4(y 1)2 + (x 3)2 + 1 = 0. 1 1 1 16. A   . max A=  x  2 . 2 x  x 2  5 5 5 17. a) 9  16  3  4  7 . Vậy 7  15 < 7 b) 17  5  1  16  4  1  4  2  1  7  49  45 . 23  2 19 23  2 16 23  2.4 c)    5  25  27 . 3 3 3 d) Giả sử 2 2 3 2 2 3   3 2   2 3   3 2  2 3  18  12  18  12 . Bất ẳng thức cuối cng ng, nn : 3 2  2 3. 2 3 18. Cc số  c thể l 1,42 v 2 19.Viết lại phng trnh dới dạng : 3(x  1)2  4  5(x  1)2  16  6  (x  1)2 .
  3.     Vế tri của phng trnh khng nhỏ hn 6, cn vế phải khng lớn hn 6. Vậy ẳng thức chỉ xảy ra khi cả hai vế ều bằng 6, suy ra x = -1. 2 ab ab 20. Bất ẳng thức Cauchy ab  viết lại dới dạng ab    (*) 2  2  (a, b 0). p dụng bất dẳng thức Cauchy dới dạng (*) với hai số dng 2x v xy Ta ợc : 2  2x  xy  2x.xy    4  2  Dấu = xảy ra khi : 2x = xy = 4 : 2 tức l khi x = 1, y = 2.  max A = 2  x = 2, y = 2. 1 2 21. Bất ẳng thức Cauchy viết lại dới dạng :  . ab a  b 1998 p dụng ta c S > 2. . 1999 22. Chứng minh nh bài 1. x y x2  y2  2xy (x  y)2 y 23. a)  2   0 2 y x xy xy x  x2 y2   x y   x2 y  x y b) Ta có : A   2  2          .  y x   y x   y x  y x 2 2  x2 y2   x y   y  Theo câu a :A   2  2   2     1    1   0 y x  y x y  x   x4 y x2 y2  x y a) Từ cu b suy ra :  2  2   0 . Vì   2 (câu a). y x  y x  x4 y   x y b) Do  :   2     2. y x   y x 2 24. a) G 2 = m (m : số hữu tỉ)  2 =m 1  2 l số hữu tỉ (v l) 3 3 b) Giả sử m + = a (a : số hữu tỉ)  =a m 3 = n(a m)  n n 3 l số hữu tỉ, v l. 25. C, chẳng hạn 2  (5  2)  5 x y x2 y2 2 x2 y2 26. ặt   a  2  2  2  a . Dễ dng chứng minh 2  2  2 nên y x y x y x a2 4, do  | a | 2 (1). Bất ẳng thức phải chứng minh tng ng với : a2 2 + 4 3a  a2 3a + 2 0  (a 1)(a 2) 0 (2) Từ (1) suy ra a 2 hoặc a -2. Nếu a 2 th (2) ng. Nếu a -2 thì (2) cng ng. Bi ton ợc chứng minh. 27. Bất ẳng thức phải chứng minh tng ng với :
  4.     x4z2  y4 x2  z4 x2   x2 z  y2 x  z2 y xyz  0. x2 y2z2 Cần chứng minh tử khng m, tức l : x3z2(x y) + y3x2 (y z) + z3y2(z x) 0. (1) Biểu thức khng ổi khi hon vị vng x y z x nn c thể giả sử x l số lớn nhất. Xt hai trờng hợp : a) x y z > 0. Tch z x ở (1) thnh (x y + y z), (1) tng ng với : x3z2(x y) + y3x2(y z) z3y2(x y) z3y2(y z) 0  z2(x y)(x3 y2z) + y2(y z)(yx2 z3) 0 Dễ thấy x y 0 , x3 y2z 0 , y z 0 , yx2 z3 0 nn bất ẳng thức trn ng. b) x z y > 0. Tch x y ở (1) thnh x z + z y , (1) tng ng với : x3z2(x z) + x3z2(z y) y3x2(z y) z3y2(x z) 0  z2(x z)(x3 zy2) + x2(xz2 y3)(z y) 0 Dễ thấy bất ẳng thức trn dng. Cch khc : Biến ổi bất ẳng thức phải chứng minh t với : 2 2 2 x  y  z  x y   1    1    1      . y  z  x    28. Chứng minh bằng phản chứng. Giả sử tổ ữu tỉ a với số v tỉ b l số hữu tỉ c. Ta c : b = c a. Ta thấy, hiệu ữu tỉ c v a l số hữu tỉ, nn b l số hữu tỉ, tri với giả thiết.  số v tỉ. 2 2 29. a) Ta có : (a + b) + (a b) = 2(a  (a + b)2 2(a2 + b2). b) Xét : (a + b + c)2 + (a b)2 + (a c 2 Khai triển v rt gọn ta ợc : 2 2 2 2 2 2 3(a + b + c ). Vậy : (a + b + c) 3 b +c) c) Tng tự nh câu b 30. Giả sử a + b > 2  8  a3 + b3 + 3ab(a + b) > 8  2 + 3ab(a + b) > 8  ab(a + b) > 2  b) a3 + b3. Chia hai vế cho số dng a + b : ab > a2 ab +  (a b)2 Vậy a + b 2. 31. Cách  x x ;  y y nên x +  y x + y. Suy ra  x +  y là số nguyn khng vợt qu x + y (1). Theo ịnh ngha phần nguyn,  x  y là số nguyn lớn nhất khng vợt qu x + y (2). Từ (1) v (2) suy ra :  x +  y  x  y . Cách 2 : Theo ịnh ngha phần nguyn : 0 x -  x < 1 ; 0 y -  y < 1. Suy ra : 0 (x + y) (  x +  y ) < 2. Xt hai trờng hợp : - Nếu 0 (x + y) (  x +  y ) < 1 thì  x  y =  x +  y (1) - Nếu 1 (x + y) (  x +  y ) < 2 thì 0 (x + y) (  x +  y + 1) < 1 nên  x  y =  x +  y + 1 (2). Trong cả hai trờng hợp ta ều c :  x +  y +  x  y
  5.     32. Ta có x2 6x + 17 = (x 3)2 + 8 8 nn tử v mẫu của A l cc số dng , 1 suy ra A > 0 do  : A lớn nhất  nhỏ nhất  x2 6x + 17 nhỏ nhất. A 1 Vậy max A =  x = 3. 8 33. Khng ợc dng php hon vị vng quanh x y z x v giả sử x y z. Cách 1 : p dụng bất ẳng thức Cauchy cho 3 số dng x, y, z : x y z x y z A    33 . .  3 y z x y z x x y z x y z Do  min      3     x  y  z  y z x y z x x y z  x y  y z y x y Cách 2 : Ta có :            . Ta  c  2 (do x, y z x  y x  z x x x y z y y > 0) nn ể chứng minh    3 ta cần chứng m    1 (1) y z x x x (1)  xy + z2 yz xz (nhn hai vế với số d  xy + z2 yz xz 0  y(x z) z(x z)(y z) 0 (2) (2) ng với giả thiết rằng z l số nhỏ nhất t số x, y, z, do  (1) ng. x Từ  tm ợc gi trị nhỏ nhất của  y 34. Ta có x + y = 4  x2 + 2xy + 6. Ta lại c (x y)2 0  x2 2xy + y2 0. Từ  suy ra 2(x2 + y2) 16  + y 8. min A = 8 khi chỉ khi x = y = 2. 35. p dụng bất ẳng t ho ba số khng m : + z 3. 3 xyz (1) 2 = (x + y + (z + x) 3. 3 (x  y)(y  z)(z  x) (2) Nhn từng 2) (do hai vế ều khng m) : 2 9. 3 A 3  2 1  A = ax A =   khi v chỉ khi x = y = z = . 9 9 3 36. a) C thể. b, c) Khng thể. 37. Hiệu của vế tri v vế phải bằng (a b)2(a + b). 1 4 38. p dụng bất ẳng thức  với x, y > 0 : xy (x  y)2 a c a 2  ad  bc  c2 4(a 2  ad  bc  c2 )    (1) bc da (b  c)(a  d) (a  b  c  d)2 b d 4(b2  ab  cd  d 2 ) Tng tự   (2) cd a b (a  b  c  d)2 Cộng (1) với (2) a b c d 4(a 2  b2  c2  d 2  ad  bc  ab  cd)     = 4B bc cd d a a b (a  b  c  d)2
  6.     1 Cần chứng minh B , bất ẳng thức ny tng ng với : 2 2B 1  2(a2 + b2 + c2 + d2 + ad + bc + ab + cd) (a + b + c + d)2  a2 + b2 + c2 + d2 2ac 2bd 0  (a c)2 + (b d)2 0 : ng. 39. - Nếu 0 x -  x < thì 0 2x - 2  x < 1 nên  2x = 2  x . - Nếu x -  x < 1 thì 1 2x - 2  x < 2  0 2x (2  x + 1) < 1   2x = 2  x + 1 40. Ta sẽ chứng minh tồn tại cc số tự nhin m, p sao cho : 96000...00 a + 15p < 97000...00         m chöõ 0 soá m chöõ 0 soá a 15p Tức l 96 m  m < 97 (1). Gọi a + 15 l số c k chữ số : 10 k 1 a + 15 10 10 < 10k 1 a 15 a 15p   k  k  1 (2). ặt x n  k  k . Theo (2) 10 10 10 10 10 15 Ta có x1 < 1 và k < 1. 10 Cho n nhận lần lợt cc gi trị 2, 3, 4, …, cc n tng dần, mỗi lần tng khng qu 1 n vị, khi   x n  sẽ trải trị 1, 2, 3, ến một a 15p lc no  ta c  x p  = 96. Khi  96   tức l 96  < 97. Bất 10k 10k ẳng thức (1) ợc chứng minh. 42. a) Do hai vế của bất ẳng hứ g m nn ta c : |A+ B|= |A|+ |B|  + B |2 = ( | A | + | B | )2  A2 + B2 + 2AB + 2| AB |  AB = | AB | (bất ẳng thức ng). Dấu = xảy ra b) Ta có : M = | x 3 | = | x + 2 | + | 3 x | | x + 2 + 3 x | = 5. Dấu = xả hi (x + 2)(3 x) 0  -2 x 3 (lập bảng xt dấu) Vậy min -2 x 3. c) Phng ho  | 2x + 5 | + | x 4 | = | x + 9 | = | 2x + 5 + 4 x |  (2x + 5)(4 x) 0  -5/2 x 4  x  1 43. iều kiện tồn tại của phng trnh : x2 4x 5 0   x  5 ặt ẩn phụ x2  4x  5  y  0 , ta ợc : 2y2 3y 2 = 0  (y 2)(2y + 1) = 0. 45. Vô nghiệm 46. iều kiện tồn tại của x l x 0. Do  : A = x + x 0  min A = 0  x = 0. 47. iều kiện : x 3. ặt 3  x = y 0, ta có : y2 = 3 x  x = 3 y2. 13 13 13 11 B = 3 y2 + y = - (y )2 + . max B =  y=  x= . 4 4 4 4 48. a) Xét a2 và b2. Từ  suy ra a = b.
  7.     b) 5  13  4 3  5  (2 3  1)  4  2 3  3  1. Vậy hai số ny bằng nhau. c) Ta có :  n  2  n 1  n  2  n  1  1 và n+1  n   n 1  n  1.  Mà n  2  n  1  n  1  n nên n+2  n  1  n  1  n . 49. A = 1 - | 1 3x | + | 3x 1 |2 = ( | 3x 1| - )2 + . Từ  suy ra : min A =  x = hoặc x = 1/6 51. M = 4 52. x = 1 ; y = 2 ; z = -3. 2 3 53. P = | 5x 2 | + | 3 5x | | 5x 2 + 3 5x | = 1. min P = 1   x . 5 5 54. Cần nhớ cch giải một số phng trnh dạng sau : A  0 (B  0) B  0 A  0 a) A  B   b) A  B  2 c B  0 A  B A  B B  0 B  0  A 0 d) A  B   A  B e) A  B  0  A  B  a) a phng trnh về dạng : A  b) a phng trnh về dạng : A  B c) Phng trnh c dạng : A  B d) a phng trnh về dạng : A e) a phng trnh về dạng : | |B|=0 g, h, i) Phng trnh  k) ặt x  1 = y 0, rnh về dạng : | y 2 | + | y 3 | = 1 . Xt dấu vế tri. l) ặt : 3x  5  v  0 ; 7x  4  z  0 ; 2x  2  t  0 .  z t Ta ợc hệ  2 . Từ  suy ra : u = z tức l :  u  v2  z2  t 2 8x  1  7x  4  x  3 . 55. Cách 1 : Xét x2  y2  2 2(x  y)  x2  y2  2 2(x  y)  2  2xy  (x  y  2)2  0 . 2 Cách 2 : Biến ổi tng ng x2  y2 2 2  x2  y2   8 2 x y  x  y  (x2 + y2)2 -8(x- y)2  0 (x2 + y2)2 - 8(x2 + y2 )  0  (x2 + y2)2 - 8(x2 + y2) + 16  0  (x2 + y2+ 4)2  0. Cách 3 : Sử dụng bất ẳng thức Cauchy :
  8.     x2  y2 x2  y2  2xy  2xy (x  y)2  2.1 2 1    (x  y)   2 (x  y). x y xy xy xy x y (x > y). 6 2 6 2 Dấu ẳng thức xảy ra khi x  ; y hoặc 2 2  6 2  6 2 x ; y 2 2 2  1 1 1 1 1 1  1 1 1  1 1 1 2(c b a 62.      2  2  2  2     2  2  2  =  a b c a b c  ab bc ca a b c abc 1 1 1 = 2  2  2 . Suy ra iều phải chứng minh. a b c  x  6  x2  16x  60  0 (x  6)(x  10)  0  63. iều kiện :      x  10 . x  6  0 x  6 Bình phng hai vế : x2 16x + 60 < x2 12x + 36  Nghiệm của bất phng trnh  cho : x 10. 64. iều kiện x2 3. Chuyển vế : x2  3 x x   3 3  0  ặt thừa chung : x 2  3 .(1 - x2  3   x  2 1  x 2  3  0   x  2  Vậy nghiệm của bất phng tr h  3 ; x 2 ; x -2. 2 2 2 2 65. Ta có x (x + 2y 3) + (y 1  (x2 + y2)2 4(x2 + y2) + 3 = - x2 0. Do  : A2 4A + 3 0 A 3) 0  1 A 3. min A = 1  x = 0, . max A = 3  x = 0, khi  y = 3 . 66. a) x 1 b) B c n   4  x  4 16  x 2  0  4  x  4    x  4  2 2 1  2x  1  0  (x  4)2  8       x  42 2 . x 2  8x  8  0  x  4  2 2  2  1 x     2 x   1  2 2 x  2x  0  x(x  2)  0 x  2 67. a) A c ngha    2 2  2 x   x  2x  x  x  2x x  0 b) A = 2 x2  2x với iều kiện trn. c) A < 2  x 2  2x < 1  x2 2x < 1  (x 1)2 < 2  - 2 < x 1 < 2  kq
  9.     68. ặt 0,999...99 = a. Ta sẽ chứng minh 20 chữ số thập phn ầu tin của     20chöõ 9 soá a l cc chữ số 9. Muốn vậy chỉ cần chứng minh a < a < 1. Thật vậy ta có : 0 < a < 1  a(a 1) < 0  a a < 0  a < a. Từ a2 < a < 1 suy ra a < 2 2 a < 1. Vậy 0,999...99  0,999...99 .         20 chöõ 9 soá 20chöõ 9 soá 69. a) Tm gi trị lớn nhất. p dụng | a + b | | a | + | b |. A | x | + 2 + | y | + 1 = 6 + 2  max A = 6 + 2 (khi chẳng hạn x = - 2, y = - 3) b) Tm gi trị nhỏ nhất. p dụng | a b | | a | - | b . A | x | - 2 | y | - 1 = 4 - 2  min A = 4 - 2 (khi chẳng hạn x = 2, y = 3) 70. Ta có : x4 + y4 2x2y2 ; y4 + z4 2y2z2 ; z4 + x4 2 uy ra : 4 4 4 2 2 2 2 2 2 x +y +z xy +yz +zx 1 Mặt khc, dễ dng chứng minh ợc : Nếu a + b + 1 th a2 + b2 + c2 . 3 Do  từ giả thiết suy ra : x2y2 + y2z2 + z2x2 1 3 Từ (1) , (2) : min A =  x= y= 3 3 71. Làm nh bài 8c ( 2). Thay vì so s n  n  2 và 2 n+1 ta so sánh n  2  n  1 và n  1  n : n  2  n 1  n  1  n  2  2 n 1 . 72. Cách 1 : Viết cc ới dấu cn thnh bnh phng của một tổng hoặc một hiệu Cách 2 : T a A. 73. p dụ b)(a b) = a2 b2. 74. Ta ch g bằng phản chứng. a) Giả sử tồn tại số hữu tỉ r mà 3  5 = r  3 + 2 15 + 5 = r2  r2  8 15  . Vế tri l số v tỉ, vế phải l số hữu tỉ, v l. Vậy 3  5 l số 2 v tỉ. b), c) Giải tng tự. 75. a) Giả sử a > b rồi biến ổi tng ng : 3 3  3  2 2 1  3 3  2 2  2 2 2      3 3  2 2  2  27  8  4  8 2  15  8 2  225  128 . Vậy a > b l ng. b) Bình phng hai vế ln rồi so snh. 76. Cách 1 : ặt A = 4  7  4  7 , rõ ràng A > 0 và A2 = 2  A = 2
  10.     Cách 2 : ặt B = 4  7  4  7  2  2.B  8  2 7  8  2 7  2  0  B =0. 77 Q 2  3  2.3  2.4  2 4   2 3 4  2   2 3 4   1 2 2 3 4 2 3 4 . 78. Viết 40  2 2.5 ; 56  2 2.7 ; 140  2 5.7 . Vậy P = 2 5 7. 79. Từ giả thiết ta c : x 1  y2  1  y 1  x2 . Bình phng hai vế của ẳng thức ny ta ợc : y  1  x2 . Từ  : x2 + y2 = 1. 80. Xét A2 ể suy ra : 2 A2 4. Vậy : min A = 2  x = 1 ; max A = 2  x = 0. 2 2 2 81. Ta có : M   a b   a b   a b   2a   a b  maxM  2   ab a  b  1  2 82. Xt tổng của hai số : 2a  b  2 cd    2c  d  2 ab   a  b  2  2 cd  a  c = 2 2 =  a  c   a  b    c  d   a 83. N  4 6  8 3  4 2  18  1 4 6 4 2 2 = 2 2 = 2  32 2 2 2 32    2 3 2 2   2 3  2  2. 84. Từ x  y  z  xy x  2 2  x y    y z x  0. Vậy x = y 85. p dụ ng thức Cauchy cho 1 v ai ( i = 1, 2, 3, n ). 86. p dụ g bất ẳng thức Cauchy với hai số a + b 0 v 2 ab 0, ta có : 2 a  b  2 ab  2 2(a  b) ab hay  a b   2 2(a  b) ab . Dấu = xảy ra khi a = b. 87. Giả sử a b c > 0. Ta c b + c > a nn b + c + 2 bc > a hay 2 2  b c   a Do  : b  c  a . Vậy ba oạn thẳng a , b , c lập ợc thnh một tam giác. 88. a) iều kiện : ab 0 ; b 0. Xt hai trờng hợp : b.( a  b) a a b a * Trờng hợp 1 : a 0 ; b > 0 : A      1 . b. b b b b
  11.     ab  b 2 a a a a * Trờng hợp 2 : a 0 ; b < 0 : A     1  1 2 .  b2 b b b b  (x  2)2  8x  0   x  0 b) iều kiện :  x  0  . Với cc iều kiện  thì :  x  2 2  x 0   x (x  2) 2  8x (x  2) 2 . x x  2 . x B   . 2 x 2 x2 x x  Nếu 0 < x < 2 th | x 2 | = -(x 2) và B = - x.  Nếu x > 2 th | x 2 | = x 2 v B = x 2 89. Ta có : 2 a 2   a2 1 1  a2  1  1 . ẳng thức a2 1 a2  1 a2 1 Cauchy: 1 1 a2  1  2 a 2  1.  2 . Vậ 2 . ẳng thức xảy ra 2 a 1 a2 1 khi : a2 1  a  0. 93. Nhn 2 vế của pt với 2,t c : 2x  5  3  2x  5  1  4  x  5/2 94. Ta chứng minh bằn on học : a) Với n = 1 ta c : P (*) ng. 3 1.3.5...(2k  1) 1 b) Giả sử   (1) 2k  1 2.4.6...2k 2k  1 c) Ta chứ g ằng (*) ng khi n = k + 1 , tức l : 1 1.3.5...(2k  1) 1 Pk 1    (2) 2k  3 2.4.6...(2k  2) 2k  3 2k  1 2k  1 Với mọi số nguyn dng k ta c :  (3) 2k  2 2k  3 Nhn theo từng vế cc bất ẳng thức (1) v (3) ta ợc bất ẳng thức (2). Vậy  n  Z+ 1.3.5...(2n  1) 1 Ta có Pn   2.4.6...2n 2n  1 a2 b2 a 3  b3 95. Biến ổi tng ng : a b   a b b a ab
  12.     ( a  b)(a  ab  b) 2  a b ab  ab  a  ab  b   a b  0 (ng).  x  4(x  1)  0   x  4(x  1)  0 1  x  2 96. iều kiện :   x  2  x2  4(x  1)  0   x  1  0 2 2 Xt trn hai khoảng 1 < x < 2 v x > 2. Kết quả : A  và A= 1 x x-1 105. Cách 1 : Tính A 2 . Cách 2 : Tính A2 Cách 3 : ặt 2x  1 = y 0, ta có : 2x 1 = y2. 2x  2 2x  1 2x  2 2x  1 y2  1 2y y2  1 1 y 1 A     2 2 2 2 2 1 Với y 1 (tức l x 1), A  (y  1  y  1)  2 1 1 Với 0 y < 1 (tức l x < 1), A  (y  1  y 2  4x  2 . 2 2 2 108. Nếu 2 x 4 th A = 2 2 . Nếu x = 2 x2 . 109. Biến ổi : x  y  2  2  x y nh phng hai vế rồi rt gọn, ta ợc : 2(x  y  2)  xy . Lại b h h hai vế rồi rt gọn : (2 y)(x 2) = 0. 2 , y 0 , x 0 , y = 2. 110. Biến ổi tng  (1)  a2 2 a 2 2 2 2 2  b2  c2  d2  a + c + 2ac + b + d + 2bd  a2 d2  ac + bd (2) * Nếu ac + bd < 0, (2) ợc chứng minh. * Nếu ac + bd 0, (2) tng ng với : (a2 + b2)(c2 + d2) a2c2 + b2d2 + 2abcd  a2c2 + a2d2 + b2c2 + b2d2 a2c2 + b2d2 + 2abcd  (ad bc)2 0 (3). Bất ẳng thức (3) ng, vậy bất ẳng thức (1) ợc chứng minh. 111. Cách 1 : Theo bất ẳng thức Cauchy : a2 b c a2 b  c a a2 b c  2 .  2.  a   a . b c 4 b c 4 2 b c 4 b2 a c c2 a b Tng tự :  b ;  c . a c 4 a b 4
nguon tai.lieu . vn
Trung học phổ thông Ôn thi ĐH-CĐ Đề thi - Kiểm tra Sáng kiến kinh nghiệm Tiểu học Mầm non - Mẫu giáo Giáo án điện tử Trung học cơ sở Bài giảng điện tử Bài văn mẫu Vật lý Bài tập SGK Khoa học xã hội Tiếng Anh phổ thông