of x

Đại số lớp 9: Bài tập chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Đại số 9 - phần 2

Đăng ngày | Thể loại: | Lần tải: 2 | Lần xem: 7 | Page: 13 | FileSize: 1.02 M | File type: PDF
7 lần xem

Đại số lớp 9: Bài tập chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Đại số 9 - phần 2. Tài liệu Bài tập chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Đại số 9 lớp 9 có lý thuyết và ví dụ minh họa giúp dễ hình dung, hy vọng tài liệu sẽ giúp ích được cho các bạn học sinh lớp 9 trong kì thi sắp tới nhé.. Cũng như các giáo án bài giảng khác được thành viên chia sẽ hoặc do tìm kiếm lại và giới thiệu lại cho các bạn với mục đích tham khảo , chúng tôi không thu tiền từ thành viên ,nếu phát hiện tài liệu phi phạm bản quyền hoặc vi phạm pháp luật xin thông báo cho chúng tôi,Ngoài giáo án bài giảng này, bạn có thể tải giáo án miễn phí phục vụ học tập Một ít tài liệu tải về thiếu font chữ không xem được, thì do máy tính bạn không hỗ trợ font củ, bạn tải các font .vntime củ về cài sẽ xem được.

https://tailieumienphi.vn/doc/dai-so-lop-9-bai-tap-chuyen-de-boi-duong-hoc-sinh-gioi-dai-so-9-phan-2-tt26tq.html

Nội dung

tailieumienphi.vn xin giới thiệu đến bạn đọc thư viện Đại số lớp 9: Bài tập chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Đại số 9 - phần 2.Để giới thiệu thêm cho các bạn nguồn tài liệu Tài Liệu Phổ Thông,Trung học cơ sở cần thiết cho nghiên cứu khoa học.Xin mời bạn đọc đang cần cùng tham khảo ,Thư viện Đại số lớp 9: Bài tập chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Đại số 9 - phần 2 thuộc chuyên mục ,Tài Liệu Phổ Thông,Trung học cơ sở được chia sẽ bởi bạn trunghoccoso tới thành viên nhằm mục tiêu học tập , thư viện này được chia sẽ vào chủ đề Tài Liệu Phổ Thông,Trung học cơ sở , có tổng cộng 13 page , thuộc file .PDF, cùng chủ đề còn có Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi, Toán lớp 9, Đại số lớp 9, Bài tập Đại số lớp 9, Chuyên đề Đại số lớp 9 ,bạn có thể tải về free , hãy giới thiệu cho cộng đồng cùng học tập . Để tải file về, các bạn click chuột nút download bên dưới
Tài liệu Bài tập chuyên đề bổ dưỡng học sinh chuyên nghiệp Đại số 9 lớp 9 có lý thuyết và thí dụ minh họa giúp dễ hình dung, hy vọng tài liệu sẽ giúp ích được cho những bạn học sinh lớp 9 trong kì thi sắp đến nhé, thêm nữa BI TẬP ẠI SỐ CHUYN Ề BỒI DỠNG HỌC SINH GIỎI V N THI VO LỚP 10 PHẦN II: HỚNG DẪN GIẢI m m2, tiếp theo là 1, bên cạnh đó Giả sử 7 l số hữu tỉ  7 (tối giản), tiếp theo là Suy ra 7  2 hay 7n2  m2 n n 2, bên cạnh đó (1), ngoài ra ẳng thức ny chứng tỏ m  7 m 7 l số nguyn tố nn m  7, ngoài ra ặt m =, nói thêm 7k (k  Z), ta có m2 = 49k2 (2), nói thêm là Từ (1) v (2) suy ra 7n2 = 49k2 nên n2 = 7k2, thêm nữa (3), thêm nữa Từ (3) ta lại c n2  7 v v 7 l số nguyn tố nn n  7, kế tiếp là m và n cùng chia m, thêm nữa hết cho 7 nn phn số khng tối giản, tri giả định, bên cạnh đó Vậy 7 khng phải l n, ngoài ra số hữu tỉ; do  7 l số v tỉ, tiếp theo là 2, bên cạnh đó Khai triển vế tri v ặt nhn tử chung, ta ợc vế ph ) vì (ad 2, nói thêm bc) 0, kế tiếp là 3, ngoài ra Cách 1
  1.     BI TẬP ẠI SỐ CHUYN Ề BỒI DỠNG HỌC SINH GIỎI V N THI VO LỚP 10 PHẦN II: HỚNG DẪN GIẢI m m2 1. Giả sử 7 l số hữu tỉ  7 (tối giản). Suy ra 7  2 hay 7n2  m2 n n 2 (1). ẳng thức ny chứng tỏ m  7 m 7 l số nguyn tố nn m  7. ặt m = 7k (k  Z), ta có m2 = 49k2 (2). Từ (1) v (2) suy ra 7n2 = 49k2 nên n2 = 7k2 (3). Từ (3) ta lại c n2  7 v v 7 l số nguyn tố nn n  7. m và n cùng chia m hết cho 7 nn phn số khng tối giản, tri giả thiết. Vậy 7 khng phải l n số hữu tỉ; do  7 l số v tỉ. 2. Khai triển vế tri v ặt nhn tử chung, ta ợc vế ph ) vì (ad 2 bc) 0. 3. Cách 1 : Từ x + y = 2 ta c y = 2 - x. Do  : S = x2 + (2 - x)2 = 2(x - 1)2 + 2 2. Vậy min S = 2  x = y = 1. Cách 2 : p dụng bất ẳng thức Bunh a = x, c = 1, b = y, d = 1, 2 2 2 Ta có :(x + y) (x + y )(1 + 1)  4 ) = 2S  S.2  mim S = 2 khi x = y = 1 4. b) p dụng bất ẳng thức Cauchy cc cặp số dng bc ca bc ab ca ab và ; và ; và lợt c: a b a c b bc ca bc ca bc ab ca ab ca ab  2 . 2 2 .  2b ;   2 .  2a cộng a b a b c a c b c b c từng vế ta ức cần chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi a = b = c. c) Với cc g 3a v 5b , theo bất ẳng thức Cauchy ta c : 3a  5b  (3a + 5b)2  4.15P (vì P = a.b)  122  60P 2 12 12 P  max P = . 5 5 Dấu bằng xảy ra khi 3a = 5b = 12 : 2  a = 2 ; b = 6/5. 5. Ta có b = 1 - a, do  M = a3 + (1 - a)3 = -(3a2 + 3a) . Dấu = xảy ra khi a = . Vậy min M =  a = b = . 6. ặt a = 1 + x  b3 = 2 - a3 = 2 - (1 + x)3 = 1 - 3x - 3x2 -x3 = -(1 + 3x + 3x2 +x3 = -(1 + x)3. Suy ra : b 1 x. Ta lại c a = 1 + x, nn : a + b 1 + x + 1 x = 2. Với a = 1, b = 1 th a3 + b3 = 2 v a + b = 2. Vậy max N = 2 khi a = b = 1. 7. Hiệu của vế tri v vế phải bằng (a b)2(a + b).
  2.     8. Vì | a + b | 0 , | a b | 0 , nên : | a + b | > | a b |  a2 + 2ab + b2 a2 2ab + b2  4ab > 0  ab > 0. Vậy a v b l hai số cng dấu. 9. a) Xt hiệu : (a + 1)2 4a = a2 + 2a + 1 4a = a2 2a + 1 = (a 1)2 0. b) Ta có : (a + 1)2 4a ; (b + 1)2 4b ; (c + 1)2 4c v cc bất ẳng thức ny c hai vế ều dng, nn : [(a + 1)(b + 1)(c + 1)]2 64abc = 64.1 = 82. Vậy (a + 1)(b + 1)(c + 1) 8. 10. a) Ta có : (a + b)2 + (a b)2 = 2(a2 + b2). Do (a b)2 0, nên (a + b) 2 2(a2 + b2). b) Xét : (a + b + c)2 + (a b)2 + (a c)2 + (b c)2. Khai triển v rt gọn, ta ợc : 3(a2 + b2 + c2). Vậy : (a + b + c)2 3(a2 + b2 + c2).  4  2x  3  1  x  3x  4  x 11. a) 2x  3  1  x    x  2  3  2x  3  x  1   x  2 b) x2 4x 5  (x 2)2 33  | x 2 | 3  -3 x 2 3 1 x 5. 2 2 c) 2x(2x 1) 2x 1  (2x 1) 0. Nhng (2x 1) 0  thể : 2x 1 =0 Vậy : x = . 12. Viết ẳng thức  cho dới dạng : a2 + d2 ab ac ad = 0 (1). Nhn hai vế của (1) với 4 rồi a về dạng : a (a 2c)2 + (a 2d)2 = 0 (2). Do  ta c : a = a 2b = a 2c = a 2d = = b = c = d = 0. 2 2 2 13. 2M = (a + b 2) + (a 1) + (b 1) 8 2.1998  M 1998. a  Dấu = xảy ra khi c ồng thời 1 0 Vậy min M =1998a = b= 1.  10 14. Giải tng tự bi 15. a ẳng thức  ạ g : (x 1)2 + 4(y 1)2 + (x 3)2 + 1 = 0. 1 1 1 16. A   . max A=  x  2 . 2 x  x 2  5 5 5 17. a) 9  16  3  4  7 . Vậy 7  15 < 7 b) 17  5  1  16  4  1  4  2  1  7  49  45 . 23  2 19 23  2 16 23  2.4 c)    5  25  27 . 3 3 3 d) Giả sử 2 2 3 2 2 3   3 2   2 3   3 2  2 3  18  12  18  12 . Bất ẳng thức cuối cng ng, nn : 3 2  2 3. 2 3 18. Cc số  c thể l 1,42 v 2 19.Viết lại phng trnh dới dạng : 3(x  1)2  4  5(x  1)2  16  6  (x  1)2 .
  3.     Vế tri của phng trnh khng nhỏ hn 6, cn vế phải khng lớn hn 6. Vậy ẳng thức chỉ xảy ra khi cả hai vế ều bằng 6, suy ra x = -1. 2 ab ab 20. Bất ẳng thức Cauchy ab  viết lại dới dạng ab    (*) 2  2  (a, b 0). p dụng bất dẳng thức Cauchy dới dạng (*) với hai số dng 2x v xy Ta ợc : 2  2x  xy  2x.xy    4  2  Dấu = xảy ra khi : 2x = xy = 4 : 2 tức l khi x = 1, y = 2.  max A = 2  x = 2, y = 2. 1 2 21. Bất ẳng thức Cauchy viết lại dới dạng :  . ab a  b 1998 p dụng ta c S > 2. . 1999 22. Chứng minh nh bài 1. x y x2  y2  2xy (x  y)2 y 23. a)  2   0 2 y x xy xy x  x2 y2   x y   x2 y  x y b) Ta có : A   2  2          .  y x   y x   y x  y x 2 2  x2 y2   x y   y  Theo câu a :A   2  2   2     1    1   0 y x  y x y  x   x4 y x2 y2  x y a) Từ cu b suy ra :  2  2   0 . Vì   2 (câu a). y x  y x  x4 y   x y b) Do  :   2     2. y x   y x 2 24. a) G 2 = m (m : số hữu tỉ)  2 =m 1  2 l số hữu tỉ (v l) 3 3 b) Giả sử m + = a (a : số hữu tỉ)  =a m 3 = n(a m)  n n 3 l số hữu tỉ, v l. 25. C, chẳng hạn 2  (5  2)  5 x y x2 y2 2 x2 y2 26. ặt   a  2  2  2  a . Dễ dng chứng minh 2  2  2 nên y x y x y x a2 4, do  | a | 2 (1). Bất ẳng thức phải chứng minh tng ng với : a2 2 + 4 3a  a2 3a + 2 0  (a 1)(a 2) 0 (2) Từ (1) suy ra a 2 hoặc a -2. Nếu a 2 th (2) ng. Nếu a -2 thì (2) cng ng. Bi ton ợc chứng minh. 27. Bất ẳng thức phải chứng minh tng ng với :
  4.     x4z2  y4 x2  z4 x2   x2 z  y2 x  z2 y xyz  0. x2 y2z2 Cần chứng minh tử khng m, tức l : x3z2(x y) + y3x2 (y z) + z3y2(z x) 0. (1) Biểu thức khng ổi khi hon vị vng x y z x nn c thể giả sử x l số lớn nhất. Xt hai trờng hợp : a) x y z > 0. Tch z x ở (1) thnh (x y + y z), (1) tng ng với : x3z2(x y) + y3x2(y z) z3y2(x y) z3y2(y z) 0  z2(x y)(x3 y2z) + y2(y z)(yx2 z3) 0 Dễ thấy x y 0 , x3 y2z 0 , y z 0 , yx2 z3 0 nn bất ẳng thức trn ng. b) x z y > 0. Tch x y ở (1) thnh x z + z y , (1) tng ng với : x3z2(x z) + x3z2(z y) y3x2(z y) z3y2(x z) 0  z2(x z)(x3 zy2) + x2(xz2 y3)(z y) 0 Dễ thấy bất ẳng thức trn dng. Cch khc : Biến ổi bất ẳng thức phải chứng minh t với : 2 2 2 x  y  z  x y   1    1    1      . y  z  x    28. Chứng minh bằng phản chứng. Giả sử tổ ữu tỉ a với số v tỉ b l số hữu tỉ c. Ta c : b = c a. Ta thấy, hiệu ữu tỉ c v a l số hữu tỉ, nn b l số hữu tỉ, tri với giả thiết.  số v tỉ. 2 2 29. a) Ta có : (a + b) + (a b) = 2(a  (a + b)2 2(a2 + b2). b) Xét : (a + b + c)2 + (a b)2 + (a c 2 Khai triển v rt gọn ta ợc : 2 2 2 2 2 2 3(a + b + c ). Vậy : (a + b + c) 3 b +c) c) Tng tự nh câu b 30. Giả sử a + b > 2  8  a3 + b3 + 3ab(a + b) > 8  2 + 3ab(a + b) > 8  ab(a + b) > 2  b) a3 + b3. Chia hai vế cho số dng a + b : ab > a2 ab +  (a b)2 Vậy a + b 2. 31. Cách  x x ;  y y nên x +  y x + y. Suy ra  x +  y là số nguyn khng vợt qu x + y (1). Theo ịnh ngha phần nguyn,  x  y là số nguyn lớn nhất khng vợt qu x + y (2). Từ (1) v (2) suy ra :  x +  y  x  y . Cách 2 : Theo ịnh ngha phần nguyn : 0 x -  x < 1 ; 0 y -  y < 1. Suy ra : 0 (x + y) (  x +  y ) < 2. Xt hai trờng hợp : - Nếu 0 (x + y) (  x +  y ) < 1 thì  x  y =  x +  y (1) - Nếu 1 (x + y) (  x +  y ) < 2 thì 0 (x + y) (  x +  y + 1) < 1 nên  x  y =  x +  y + 1 (2). Trong cả hai trờng hợp ta ều c :  x +  y +  x  y
  5.     32. Ta có x2 6x + 17 = (x 3)2 + 8 8 nn tử v mẫu của A l cc số dng , 1 suy ra A > 0 do  : A lớn nhất  nhỏ nhất  x2 6x + 17 nhỏ nhất. A 1 Vậy max A =  x = 3. 8 33. Khng ợc dng php hon vị vng quanh x y z x v giả sử x y z. Cách 1 : p dụng bất ẳng thức Cauchy cho 3 số dng x, y, z : x y z x y z A    33 . .  3 y z x y z x x y z x y z Do  min      3     x  y  z  y z x y z x x y z  x y  y z y x y Cách 2 : Ta có :            . Ta  c  2 (do x, y z x  y x  z x x x y z y y > 0) nn ể chứng minh    3 ta cần chứng m    1 (1) y z x x x (1)  xy + z2 yz xz (nhn hai vế với số d  xy + z2 yz xz 0  y(x z) z(x z)(y z) 0 (2) (2) ng với giả thiết rằng z l số nhỏ nhất t số x, y, z, do  (1) ng. x Từ  tm ợc gi trị nhỏ nhất của  y 34. Ta có x + y = 4  x2 + 2xy + 6. Ta lại c (x y)2 0  x2 2xy + y2 0. Từ  suy ra 2(x2 + y2) 16  + y 8. min A = 8 khi chỉ khi x = y = 2. 35. p dụng bất ẳng t ho ba số khng m : + z 3. 3 xyz (1) 2 = (x + y + (z + x) 3. 3 (x  y)(y  z)(z  x) (2) Nhn từng 2) (do hai vế ều khng m) : 2 9. 3 A 3  2 1  A = ax A =   khi v chỉ khi x = y = z = . 9 9 3 36. a) C thể. b, c) Khng thể. 37. Hiệu của vế tri v vế phải bằng (a b)2(a + b). 1 4 38. p dụng bất ẳng thức  với x, y > 0 : xy (x  y)2 a c a 2  ad  bc  c2 4(a 2  ad  bc  c2 )    (1) bc da (b  c)(a  d) (a  b  c  d)2 b d 4(b2  ab  cd  d 2 ) Tng tự   (2) cd a b (a  b  c  d)2 Cộng (1) với (2) a b c d 4(a 2  b2  c2  d 2  ad  bc  ab  cd)     = 4B bc cd d a a b (a  b  c  d)2
  6.     1 Cần chứng minh B , bất ẳng thức ny tng ng với : 2 2B 1  2(a2 + b2 + c2 + d2 + ad + bc + ab + cd) (a + b + c + d)2  a2 + b2 + c2 + d2 2ac 2bd 0  (a c)2 + (b d)2 0 : ng. 39. - Nếu 0 x -  x < thì 0 2x - 2  x < 1 nên  2x = 2  x . - Nếu x -  x < 1 thì 1 2x - 2  x < 2  0 2x (2  x + 1) < 1   2x = 2  x + 1 40. Ta sẽ chứng minh tồn tại cc số tự nhin m, p sao cho : 96000...00 a + 15p < 97000...00         m chöõ 0 soá m chöõ 0 soá a 15p Tức l 96 m  m < 97 (1). Gọi a + 15 l số c k chữ số : 10 k 1 a + 15 10 10 < 10k 1 a 15 a 15p   k  k  1 (2). ặt x n  k  k . Theo (2) 10 10 10 10 10 15 Ta có x1 < 1 và k < 1. 10 Cho n nhận lần lợt cc gi trị 2, 3, 4, …, cc n tng dần, mỗi lần tng khng qu 1 n vị, khi   x n  sẽ trải trị 1, 2, 3, ến một a 15p lc no  ta c  x p  = 96. Khi  96   tức l 96  < 97. Bất 10k 10k ẳng thức (1) ợc chứng minh. 42. a) Do hai vế của bất ẳng hứ g m nn ta c : |A+ B|= |A|+ |B|  + B |2 = ( | A | + | B | )2  A2 + B2 + 2AB + 2| AB |  AB = | AB | (bất ẳng thức ng). Dấu = xảy ra b) Ta có : M = | x 3 | = | x + 2 | + | 3 x | | x + 2 + 3 x | = 5. Dấu = xả hi (x + 2)(3 x) 0  -2 x 3 (lập bảng xt dấu) Vậy min -2 x 3. c) Phng ho  | 2x + 5 | + | x 4 | = | x + 9 | = | 2x + 5 + 4 x |  (2x + 5)(4 x) 0  -5/2 x 4  x  1 43. iều kiện tồn tại của phng trnh : x2 4x 5 0   x  5 ặt ẩn phụ x2  4x  5  y  0 , ta ợc : 2y2 3y 2 = 0  (y 2)(2y + 1) = 0. 45. Vô nghiệm 46. iều kiện tồn tại của x l x 0. Do  : A = x + x 0  min A = 0  x = 0. 47. iều kiện : x 3. ặt 3  x = y 0, ta có : y2 = 3 x  x = 3 y2. 13 13 13 11 B = 3 y2 + y = - (y )2 + . max B =  y=  x= . 4 4 4 4 48. a) Xét a2 và b2. Từ  suy ra a = b.
  7.     b) 5  13  4 3  5  (2 3  1)  4  2 3  3  1. Vậy hai số ny bằng nhau. c) Ta có :  n  2  n 1  n  2  n  1  1 và n+1  n   n 1  n  1.  Mà n  2  n  1  n  1  n nên n+2  n  1  n  1  n . 49. A = 1 - | 1 3x | + | 3x 1 |2 = ( | 3x 1| - )2 + . Từ  suy ra : min A =  x = hoặc x = 1/6 51. M = 4 52. x = 1 ; y = 2 ; z = -3. 2 3 53. P = | 5x 2 | + | 3 5x | | 5x 2 + 3 5x | = 1. min P = 1   x . 5 5 54. Cần nhớ cch giải một số phng trnh dạng sau : A  0 (B  0) B  0 A  0 a) A  B   b) A  B  2 c B  0 A  B A  B B  0 B  0  A 0 d) A  B   A  B e) A  B  0  A  B  a) a phng trnh về dạng : A  b) a phng trnh về dạng : A  B c) Phng trnh c dạng : A  B d) a phng trnh về dạng : A e) a phng trnh về dạng : | |B|=0 g, h, i) Phng trnh  k) ặt x  1 = y 0, rnh về dạng : | y 2 | + | y 3 | = 1 . Xt dấu vế tri. l) ặt : 3x  5  v  0 ; 7x  4  z  0 ; 2x  2  t  0 .  z t Ta ợc hệ  2 . Từ  suy ra : u = z tức l :  u  v2  z2  t 2 8x  1  7x  4  x  3 . 55. Cách 1 : Xét x2  y2  2 2(x  y)  x2  y2  2 2(x  y)  2  2xy  (x  y  2)2  0 . 2 Cách 2 : Biến ổi tng ng x2  y2 2 2  x2  y2   8 2 x y  x  y  (x2 + y2)2 -8(x- y)2  0 (x2 + y2)2 - 8(x2 + y2 )  0  (x2 + y2)2 - 8(x2 + y2) + 16  0  (x2 + y2+ 4)2  0. Cách 3 : Sử dụng bất ẳng thức Cauchy :
  8.     x2  y2 x2  y2  2xy  2xy (x  y)2  2.1 2 1    (x  y)   2 (x  y). x y xy xy xy x y (x > y). 6 2 6 2 Dấu ẳng thức xảy ra khi x  ; y hoặc 2 2  6 2  6 2 x ; y 2 2 2  1 1 1 1 1 1  1 1 1  1 1 1 2(c b a 62.      2  2  2  2     2  2  2  =  a b c a b c  ab bc ca a b c abc 1 1 1 = 2  2  2 . Suy ra iều phải chứng minh. a b c  x  6  x2  16x  60  0 (x  6)(x  10)  0  63. iều kiện :      x  10 . x  6  0 x  6 Bình phng hai vế : x2 16x + 60 < x2 12x + 36  Nghiệm của bất phng trnh  cho : x 10. 64. iều kiện x2 3. Chuyển vế : x2  3 x x   3 3  0  ặt thừa chung : x 2  3 .(1 - x2  3   x  2 1  x 2  3  0   x  2  Vậy nghiệm của bất phng tr h  3 ; x 2 ; x -2. 2 2 2 2 65. Ta có x (x + 2y 3) + (y 1  (x2 + y2)2 4(x2 + y2) + 3 = - x2 0. Do  : A2 4A + 3 0 A 3) 0  1 A 3. min A = 1  x = 0, . max A = 3  x = 0, khi  y = 3 . 66. a) x 1 b) B c n   4  x  4 16  x 2  0  4  x  4    x  4  2 2 1  2x  1  0  (x  4)2  8       x  42 2 . x 2  8x  8  0  x  4  2 2  2  1 x     2 x   1  2 2 x  2x  0  x(x  2)  0 x  2 67. a) A c ngha    2 2  2 x   x  2x  x  x  2x x  0 b) A = 2 x2  2x với iều kiện trn. c) A < 2  x 2  2x < 1  x2 2x < 1  (x 1)2 < 2  - 2 < x 1 < 2  kq
  9.     68. ặt 0,999...99 = a. Ta sẽ chứng minh 20 chữ số thập phn ầu tin của     20chöõ 9 soá a l cc chữ số 9. Muốn vậy chỉ cần chứng minh a < a < 1. Thật vậy ta có : 0 < a < 1  a(a 1) < 0  a a < 0  a < a. Từ a2 < a < 1 suy ra a < 2 2 a < 1. Vậy 0,999...99  0,999...99 .         20 chöõ 9 soá 20chöõ 9 soá 69. a) Tm gi trị lớn nhất. p dụng | a + b | | a | + | b |. A | x | + 2 + | y | + 1 = 6 + 2  max A = 6 + 2 (khi chẳng hạn x = - 2, y = - 3) b) Tm gi trị nhỏ nhất. p dụng | a b | | a | - | b . A | x | - 2 | y | - 1 = 4 - 2  min A = 4 - 2 (khi chẳng hạn x = 2, y = 3) 70. Ta có : x4 + y4 2x2y2 ; y4 + z4 2y2z2 ; z4 + x4 2 uy ra : 4 4 4 2 2 2 2 2 2 x +y +z xy +yz +zx 1 Mặt khc, dễ dng chứng minh ợc : Nếu a + b + 1 th a2 + b2 + c2 . 3 Do  từ giả thiết suy ra : x2y2 + y2z2 + z2x2 1 3 Từ (1) , (2) : min A =  x= y= 3 3 71. Làm nh bài 8c ( 2). Thay vì so s n  n  2 và 2 n+1 ta so sánh n  2  n  1 và n  1  n : n  2  n 1  n  1  n  2  2 n 1 . 72. Cách 1 : Viết cc ới dấu cn thnh bnh phng của một tổng hoặc một hiệu Cách 2 : T a A. 73. p dụ b)(a b) = a2 b2. 74. Ta ch g bằng phản chứng. a) Giả sử tồn tại số hữu tỉ r mà 3  5 = r  3 + 2 15 + 5 = r2  r2  8 15  . Vế tri l số v tỉ, vế phải l số hữu tỉ, v l. Vậy 3  5 l số 2 v tỉ. b), c) Giải tng tự. 75. a) Giả sử a > b rồi biến ổi tng ng : 3 3  3  2 2 1  3 3  2 2  2 2 2      3 3  2 2  2  27  8  4  8 2  15  8 2  225  128 . Vậy a > b l ng. b) Bình phng hai vế ln rồi so snh. 76. Cách 1 : ặt A = 4  7  4  7 , rõ ràng A > 0 và A2 = 2  A = 2
  10.     Cách 2 : ặt B = 4  7  4  7  2  2.B  8  2 7  8  2 7  2  0  B =0. 77 Q 2  3  2.3  2.4  2 4   2 3 4  2   2 3 4   1 2 2 3 4 2 3 4 . 78. Viết 40  2 2.5 ; 56  2 2.7 ; 140  2 5.7 . Vậy P = 2 5 7. 79. Từ giả thiết ta c : x 1  y2  1  y 1  x2 . Bình phng hai vế của ẳng thức ny ta ợc : y  1  x2 . Từ  : x2 + y2 = 1. 80. Xét A2 ể suy ra : 2 A2 4. Vậy : min A = 2  x = 1 ; max A = 2  x = 0. 2 2 2 81. Ta có : M   a b   a b   a b   2a   a b  maxM  2   ab a  b  1  2 82. Xt tổng của hai số : 2a  b  2 cd    2c  d  2 ab   a  b  2  2 cd  a  c = 2 2 =  a  c   a  b    c  d   a 83. N  4 6  8 3  4 2  18  1 4 6 4 2 2 = 2 2 = 2  32 2 2 2 32    2 3 2 2   2 3  2  2. 84. Từ x  y  z  xy x  2 2  x y    y z x  0. Vậy x = y 85. p dụ ng thức Cauchy cho 1 v ai ( i = 1, 2, 3, n ). 86. p dụ g bất ẳng thức Cauchy với hai số a + b 0 v 2 ab 0, ta có : 2 a  b  2 ab  2 2(a  b) ab hay  a b   2 2(a  b) ab . Dấu = xảy ra khi a = b. 87. Giả sử a b c > 0. Ta c b + c > a nn b + c + 2 bc > a hay 2 2  b c   a Do  : b  c  a . Vậy ba oạn thẳng a , b , c lập ợc thnh một tam giác. 88. a) iều kiện : ab 0 ; b 0. Xt hai trờng hợp : b.( a  b) a a b a * Trờng hợp 1 : a 0 ; b > 0 : A      1 . b. b b b b
  11.     ab  b 2 a a a a * Trờng hợp 2 : a 0 ; b < 0 : A     1  1 2 .  b2 b b b b  (x  2)2  8x  0   x  0 b) iều kiện :  x  0  . Với cc iều kiện  thì :  x  2 2  x 0   x (x  2) 2  8x (x  2) 2 . x x  2 . x B   . 2 x 2 x2 x x  Nếu 0 < x < 2 th | x 2 | = -(x 2) và B = - x.  Nếu x > 2 th | x 2 | = x 2 v B = x 2 89. Ta có : 2 a 2   a2 1 1  a2  1  1 . ẳng thức a2 1 a2  1 a2 1 Cauchy: 1 1 a2  1  2 a 2  1.  2 . Vậ 2 . ẳng thức xảy ra 2 a 1 a2 1 khi : a2 1  a  0. 93. Nhn 2 vế của pt với 2,t c : 2x  5  3  2x  5  1  4  x  5/2 94. Ta chứng minh bằn on học : a) Với n = 1 ta c : P (*) ng. 3 1.3.5...(2k  1) 1 b) Giả sử   (1) 2k  1 2.4.6...2k 2k  1 c) Ta chứ g ằng (*) ng khi n = k + 1 , tức l : 1 1.3.5...(2k  1) 1 Pk 1    (2) 2k  3 2.4.6...(2k  2) 2k  3 2k  1 2k  1 Với mọi số nguyn dng k ta c :  (3) 2k  2 2k  3 Nhn theo từng vế cc bất ẳng thức (1) v (3) ta ợc bất ẳng thức (2). Vậy  n  Z+ 1.3.5...(2n  1) 1 Ta có Pn   2.4.6...2n 2n  1 a2 b2 a 3  b3 95. Biến ổi tng ng : a b   a b b a ab
  12.     ( a  b)(a  ab  b) 2  a b ab  ab  a  ab  b   a b  0 (ng).  x  4(x  1)  0   x  4(x  1)  0 1  x  2 96. iều kiện :   x  2  x2  4(x  1)  0   x  1  0 2 2 Xt trn hai khoảng 1 < x < 2 v x > 2. Kết quả : A  và A= 1 x x-1 105. Cách 1 : Tính A 2 . Cách 2 : Tính A2 Cách 3 : ặt 2x  1 = y 0, ta có : 2x 1 = y2. 2x  2 2x  1 2x  2 2x  1 y2  1 2y y2  1 1 y 1 A     2 2 2 2 2 1 Với y 1 (tức l x 1), A  (y  1  y  1)  2 1 1 Với 0 y < 1 (tức l x < 1), A  (y  1  y 2  4x  2 . 2 2 2 108. Nếu 2 x 4 th A = 2 2 . Nếu x = 2 x2 . 109. Biến ổi : x  y  2  2  x y nh phng hai vế rồi rt gọn, ta ợc : 2(x  y  2)  xy . Lại b h h hai vế rồi rt gọn : (2 y)(x 2) = 0. 2 , y 0 , x 0 , y = 2. 110. Biến ổi tng  (1)  a2 2 a 2 2 2 2 2  b2  c2  d2  a + c + 2ac + b + d + 2bd  a2 d2  ac + bd (2) * Nếu ac + bd < 0, (2) ợc chứng minh. * Nếu ac + bd 0, (2) tng ng với : (a2 + b2)(c2 + d2) a2c2 + b2d2 + 2abcd  a2c2 + a2d2 + b2c2 + b2d2 a2c2 + b2d2 + 2abcd  (ad bc)2 0 (3). Bất ẳng thức (3) ng, vậy bất ẳng thức (1) ợc chứng minh. 111. Cách 1 : Theo bất ẳng thức Cauchy : a2 b c a2 b  c a a2 b c  2 .  2.  a   a . b c 4 b c 4 2 b c 4 b2 a c c2 a b Tng tự :  b ;  c . a c 4 a b 4
901503

Sponsor Documents


Tài liệu liên quan


Xem thêm