Xem mẫu
- TRUNG TAÂM LUYEÄN THI NHAÁT ÑAÏO
Nguyễn Đức Trung (Trung Trắng Trẻo)
034.316.3612
Xóm 1 – Lại Đà – Đông Hội – Đông Anh – Hà Nội
BÀI 2. KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG CHÉO NHAU
Dạng 1: Hai đường thẳng d1 và d 2 vuông góc với nhau
T1. Cho hình chóp S. ABC có SA vuông góc với đáy; SA = a 3 . Tam giác ABC đều cạnh a. Tính
khoảng cách
a) SA và BC
b) SB và CI với I là trung điểm của AB
c) Từ B tới mặt phẳng ( SAC )
d) Từ J tới mặt phẳng ( SAB ) với J là trung điểm của SC
Lời giải
S
a 3
J
N
A H C
a
I M
B
SA ⊥ AM 3 3
a)Gọi M là trung điểm của BC . Ta có: d ( SA; BC ) = AM = BC. =a
BC ⊥ AM 2 2
b)Ta có: CI ⊥ AB và CI ⊥ SA CI ⊥ ( SAB ) (*)
IH ⊥ SB
Trong ( SAB ) kẻ IH ⊥ SB tại H. Ta có d ( SB; CI ) = IH
IH ⊥ CI ( CI ⊥ ( SAB ) )
a
Ta có IB = ; SB = SA2 + AB 2 = 2a
2
a SA a a 3 3a
IHB vuông tại H nên: IH = IB.sin IBH = . = . =
2 SB 2 2a 4
Chuyên đề: KHOẢNG CÁCH Page 1
- TRUNG TAÂM LUYEÄN THI NHAÁT ÑAÏO
Nguyễn Đức Trung (Trung Trắng Trẻo)
034.316.3612
Xóm 1 – Lại Đà – Đông Hội – Đông Anh – Hà Nội
BN ⊥ AC
BN ⊥ ( SAC ) d ( B; ( SAC ) ) = BN =
a 3
c)Gọi N là trung điểm của AC. Ta có:
BN ⊥ SA 2
d ( J ; ( SAB ) )
= d ( J ; ( SAB ) ) = CI (do(*))
JS 1 1
d)Ta có: CJ ( SAB ) = S =
d ( C; ( SAB ) ) CS 2 2
1 a 3 a 3
= . =
2 2 4
T2. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD , đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a; AD = a 3 , và SA vuông
góc với ( ABCD ) . Biết góc giữa ( SCD ) và đáy bằng 600 . Tính khoảng cách:
a)Từ O đến ( SCD ) với O là tâm đáy
b)Từ G đến ( SAB ) với G là trọng tâm tam giác SCD
c) SA và BD
1
d) CD và AI với I là điểm thuộc SD sao cho SI = ID
2
Giải
S
S
I
3a 3a
P
2a 3
H G
a a
B A B
A
a 3 a 3
60° O
K
D M C D C
a)Góc giữa ( SCD ) và ( ABCD ) là SDA = 600
Chuyên đề: KHOẢNG CÁCH Page 2
- TRUNG TAÂM LUYEÄN THI NHAÁT ÑAÏO
Nguyễn Đức Trung (Trung Trắng Trẻo)
034.316.3612
Xóm 1 – Lại Đà – Đông Hội – Đông Anh – Hà Nội
Ta có: SA = AD.tan 600 = 3a và SD = SA2 + AD 2 = 2 3a
CD ⊥ AD
Trong ( SAD ) kẻ AH ⊥ SD tại H . Ta có: CD ⊥ ( SAD)
CD ⊥ SA
CD ⊥ AH mà AH ⊥ SD nên AH ⊥ ( SCD ) d ( A; ( SCD ) ) = AH =
AS . AD 3a.a 3 3a
= =
SD 2 3a 2
d ( O; ( SCD ) )
= d ( O; ( SCD ) ) = .
OA 1 3a
Ta có: AO ( SCD ) = C =
d ( A; ( SCD ) ) OC 2 4
GS 2
b)Gọi M là trung điểm của CD . Ta có S , G, M thẳng hàng và =
MS 3
Ta có:
CD / / ( SAB ) d ( M ; ( SAB ) ) = d ( O; ( SAB ) ) = DA = 3a (vì M CD và DA ⊥ ( SAB ) )
d ( G; ( SAB ) )
= d ( G; ( SAB ) ) =
GS 2 2a 3
MG ( SAB ) = S = .
d ( M ; ( SAB ) ) MS 3 3
AK ⊥ SA
c)Trong ( ABCD ) , kẻ AK ⊥ BD tại K . Ta có d ( SA; BD ) = AK
AK ⊥ BD
1 1 1 1 1 4 a 3
Ta có: 2
= 2
+ 2
= 2 + 2 = 2 AK =
AK AD AB 3a a 3a 2
a 3
Vậy d ( SA; BD ) =
2
1 1 2 3 4 3
d)Theo giả thiết SI = ID SI = SD = a và ID = a
2 3 3 3
Ta có: CD / / ( ABI ) d ( CD; AI ) = d ( CD; ( ABI ) ) = d ( D; ( ABI ) )
Trong ( SAD ) . Kẻ DP ⊥ AI tại P. Ta có AB ⊥ ( SAD ) AB ⊥ DP
Do đó DP ⊥ ( ABI ) d ( D; ( ABI ) ) = DP
2
2 3 2 3 3 13 2
Ta có: IA = SI + SA − 2SI .SA.cos ISA =
2 2 2
a + 9a 2 − 2. a.3a. = a
3 3 2 3
39
IA = a
3
Chuyên đề: KHOẢNG CÁCH Page 3
- TRUNG TAÂM LUYEÄN THI NHAÁT ÑAÏO
Nguyễn Đức Trung (Trung Trắng Trẻo)
034.316.3612
Xóm 1 – Lại Đà – Đông Hội – Đông Anh – Hà Nội
1 1 4 3
SADI = DI .DA.sin ADI = . a.a 3.sin 600 = 3a 2
2 2 3
1 1 39 6 13
Và SADI = DP. AI = 3a 2 = . a.DP DP = a
2 2 3 13
6 13
Vậy d ( CD; AI ) = a
13
Dạng 2: Hai đường thẳng d1 và d 2 bất kì.
T3. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD , đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với ( ABCD )
và góc giữa ( SBC ) và đáy bằng 60 . Tính khoảng cách:
a) giữa hai đường thẳng BC và SD .
b) giữa hai đường CD và SB .
c) giữa hai đường SA và BD .
d) giữa hai đường SI và AB , với I là trung điểm của CD .
e) giữa hai đường DJ và SA , với J là điểm trên cạnh BC sao cho BJ = 2JC .
f) giữa hai đường DJ và SC , với J là điểm trên cạnh BC sao cho BJ = 2JC .
g) giữa hai đường AE và SC , với E là trung điểm của cạnh BC .
Lời giải
Chuyên đề: KHOẢNG CÁCH Page 4
- TRUNG TAÂM LUYEÄN THI NHAÁT ÑAÏO
Nguyễn Đức Trung (Trung Trắng Trẻo)
034.316.3612
Xóm 1 – Lại Đà – Đông Hội – Đông Anh – Hà Nội
BC ⊥ AB
Ta có: BC ⊥ ( SAB ) BC ⊥ SB .
BC ⊥ SA
( SBC ) ( ABCD ) = BC
Khi đó: AB ( ABCD ) : AB ⊥ BC ( ( SBC ) ; ( ABCD ) ) = SBA = 60 .
SB ( SBC ) : SB ⊥ BC
Trong SAB , ta có: SA = AB.tan 60 = a 3 .
SD ( SAD )
a) Ta có d ( BC , SD ) = d ( BC , ( SAD ) ) = d ( B, ( SAD ) ) = BA = a .
BC AD ( SAD )
SB ( SAB )
b) Ta có d ( CD, SB ) = d ( CD, ( SAB ) ) = d ( D, ( SAB ) ) = AD = a .
CD AB ( SAB )
c) Gọi O là trung điểm BD AO ⊥ BD (vì ABCD là hình vuông cạnh a )
Ta lại có AO ⊥ SA vì SA ⊥ ( ABCD ) .
a 2
Vậy AO là đường vuông góc chung của hai đường SA và BD hay d ( SA, BD ) = AO = .
2
Chuyên đề: KHOẢNG CÁCH Page 5
- TRUNG TAÂM LUYEÄN THI NHAÁT ÑAÏO
Nguyễn Đức Trung (Trung Trắng Trẻo)
034.316.3612
Xóm 1 – Lại Đà – Đông Hội – Đông Anh – Hà Nội
SI ( SCD )
d) Ta có: d ( AB, SI ) = d ( AB, ( SCD ) ) = d ( A, ( SCD ) ) = AH với H là hình
AB CD ( SCD )
1 1 1 1 1 a 3
chiếu vuông góc của A lên SD . Khi đó ta có: 2
= 2+ 2
= 2 + 2 AH =
AH SA AD 3a a 2
a
e) Từ J kẻ JP CD, P AD . Khi đó ta có tam giác PDJ vuông tại P và DP = ; PJ = a .
3
a 10 PJ a 3
DJ = DP 2 + PJ 2 = . Vậy sin PDJ = = = .
3 DJ a 10 10
3
AN ⊥ DJ
Gọi N là hình chiếu vuông góc của A lên DJ . Khi đó ta có:
AN ⊥ SA ( SA ⊥ ( ABCD ) )
AN là đường vuông góc chung của hai đường SA và DJ hay d ( SA, DJ ) = AN .
AN 3
Xét tam giác AND vuông tại N . Có sin ADN = AN = AD.sin ADN = a. .
AD 10
3a
Vậy d ( SA, DN ) = .
10
f) giữa hai đường DJ và SC , với J là điểm trên cạnh BC sao cho BJ = 2JC .
S
A B
G
X
B
A J
F
J
V F
D C V
D C
Chuyên đề: KHOẢNG CÁCH Page 6
- TRUNG TAÂM LUYEÄN THI NHAÁT ÑAÏO
Nguyễn Đức Trung (Trung Trắng Trẻo)
034.316.3612
Xóm 1 – Lại Đà – Đông Hội – Đông Anh – Hà Nội
Gọi F = DJ AC . Kẻ GF SC với G SA .
DJ ( GDJ )
Khi đó: d ( SC , DJ ) = d ( SC , ( GDJ ) ) = d ( C , ( GDJ ) )
SC GF ( GDJ )
= d ( C , ( DGJ ) ) = d ( A, ( DGJ ) ) .
FC CJ 1 1
Lại có =
AF AD 3 3
Gọi V , X lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên DJ , GV .
DJ ⊥ ( GAV ) DJ ⊥ AX
Ta chứng minh được AX ⊥ ( DGJ ) d ( A, ( DGJ ) ) = AX .
GV ⊥ AX
3 3 3a
Ta có AG = AS = .
4 4
DC a 3
Trong tam giác vuông DJC có cos JDC = = = .
DJ a
2
10
a2 +
3
AV 3 3a
Trong tam giác vuông ADV có cos JDC = sin ADV = = AV = .
AD 10 10
Trong tam giác vuông GAV có
1 1 1 1 1 46 3 138a
2
= 2
+ 2
= 2
+ 2
= 2
AV = .
AX AG AV 3 3a 3a 27a 46
4 10
Vậy d ( SC , DJ ) = d ( C , ( DGJ ) ) = d ( A, ( DGJ ) ) = AV =
1 1 138a
.
3 3 46
g) giữa hai đường AE và SC , với E là trung điểm của cạnh BC .
Chuyên đề: KHOẢNG CÁCH Page 7
- TRUNG TAÂM LUYEÄN THI NHAÁT ÑAÏO
Nguyễn Đức Trung (Trung Trắng Trẻo)
034.316.3612
Xóm 1 – Lại Đà – Đông Hội – Đông Anh – Hà Nội
S
A B
M
Q K E
B
A
M E
K
D C D C
SC ( SCK )
Gọi K là trung điểm AD d ( AE , SC ) = d ( AE , ( SCK ) ) = d ( A, ( SCK ) ) .
AE KC ( SKC )
Gọi M , Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên KC, SM .
Ta chứng minh được KC ⊥ ( SMA ) KC ⊥ AQ .
AQ ⊥ SM
Vậy AQ ⊥ ( SMC ) d ( A, ( SKC ) ) = AQ .
AQ ⊥ KC
a
a.
AM AK CD. AK 2 a 5
Ta có AKM CKD = AM = = = .
CD CK CK a
2 5
a2 +
2
1 1 1 1 1 16 a 3
Trong tam giác vuông SAM có = + 2 = + = AQ = .
( )
2 2 2 2 2
AQ AM SA a 5 a 3 3a 4
5
a 3
Vậy d ( SC , AE ) = .
4
T4. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD , đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a; AD = a 3 , tam giác
SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi H là trung điểm AB . Tính khoảng cách:
a) từ A tới mặt phẳng ( SBD ) .B) giữa hai đường SH và CD .
Chuyên đề: KHOẢNG CÁCH Page 8
- TRUNG TAÂM LUYEÄN THI NHAÁT ÑAÏO
Nguyễn Đức Trung (Trung Trắng Trẻo)
034.316.3612
Xóm 1 – Lại Đà – Đông Hội – Đông Anh – Hà Nội
c) giữa hai đường SH và AC .
d) giữa hai đường SB và CD .
Lời giải
S
J
P
I
A T
B
H
K N
O M
D
E C
a 3
a) Theo giả thiết thì SH là đường cao của hình chóp S.ABCD . Mà SAB đều SH = .
2
Lại có H là trung điểm AB d ( A, ( SBD ) ) = 2d ( H , ( SBD ) ) .
1 1 1 4 a 3
Gọi M là hình chiếu của A lên BD 2
= 2
+ 2
= 2 AM = .
AM AB AD 3a 2
1 a 3
Gọi N là hình chiếu vuông góc của H lên BD HN = AM = .
2 4
Gọi I là hình chiếu vuông góc của H lên SN . Ta dễ dàng chứng minh được HI ⊥ ( SBD ) .
Chuyên đề: KHOẢNG CÁCH Page 9
- TRUNG TAÂM LUYEÄN THI NHAÁT ÑAÏO
Nguyễn Đức Trung (Trung Trắng Trẻo)
034.316.3612
Xóm 1 – Lại Đà – Đông Hội – Đông Anh – Hà Nội
Vậy d ( H , ( SBC ) ) = HI . Ta lại có:
1 1 1 1 1 a 15
2
= 2
+ 2
= 2
+ 2
HI = .
HI SH HN a 3 a 3 10
2 4
Khi đó d ( A, ( SBD ) ) = 2 HI =
a 15
.
5
b) Gọi E là trung điểm CD HE ⊥ CD (vì đáy ABCD là hình chữ nhật)
Lại có SH ⊥ ( ABCD ) SH ⊥ HE .
Vậy HE là đường vuông góc chung của hai đường SH và CD .
Vậy d ( SH , CD ) = HE = a 3 .
c) Gọi K là hình chiếu của H lên AC HK ⊥ AC .
Mà SH ⊥ ( ABCD ) SH ⊥ HK .
Vậy HK là đường vuông góc chung của SH và AC d ( SA, AC ) = HK .
BC a 3 3
Trong tam giác vuông ACB có sin A = = = A = 60 .
AC 2a 2
HK a 3 a 3
Trong tam giác vuông AHK sin A = HK = AH .sin A = . = .
AH 2 2 4
SB ( SAB )
d) Ta có: d ( SB, CD ) = d ( CD, ( SAB ) ) = d ( E , ( SAB ) ) = HE = a 3 .
CD AB ( SAB )
Chuyên đề: KHOẢNG CÁCH Page 10
nguon tai.lieu . vn
