Chuyên đề: Sử dụng hàm số tìm điều kiện nghiệm của phương trình

GV. Nguyễn Vũ Minh Khảo Sát Hàm Số Chuyên Đề SỬ DỤNG HÀM SỐ TÌM ĐIỀU KIỆN NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH I. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Bài toán: Tìm điều kiện của tham số m để phương trình f(x) = g(m) (1) có nghiệm thực x ∈ D. Các bước giải tổng quát: i) Bước 1: Tìm GTNN (min f(x)) và GTLN (max f(x)) của f(x) trên X. ii) Bước 2: minf(x) ≤ g(m) ≤ maxf(x). Chú ý: + Nếu bài toán không hạn chế khoảng nghiệm thì ta xem X = Df(x) (miền xác định của f(x)). + Nếu hàm f(x) không đạt min hoặc max thì ta phải dùng giới hạn, ta có thể thay bước 2) bằng bảng biến thiên (BBT) của f(x). + Đối với câu hỏi tìm điều kiện m để phương trình có từ 2 nghiệm phân biệt trở lên thì ta phải dùng BBT. + Đôi khi ta phải đặt ẩn phụ t = t(x) và nhớ tìm điều kiện của t (miền giá trị của t). II. CÁC DẠNG BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP Bài 1. Tìm điều kiện của m để phương trình x2 +2x − m = 2x −1 (1) 1) có nghiệm thực, 2) có 1 nghiệm thực, 3) có 2 nghiệm thực phân biệt. HƯỚNG DẪN GIẢI ⎪x ≥ 1 (1) ⎪x2 + 2x − m = (2x −1)2 ⇔ ⎪x ≥ 1 ⎪m = −3x2 + 6x −1. Đặt y = −3x2 + 6x −1, với x ≥ 1 ta có: Bảng biến thiên x −∞ y 1 2 1 2 +∞ 5 4 Dựa vào bảng biến thiên, ta có: −∞ Đt : 0919.008.716 1 Email : ngvuminh249@yahoo.com GV. Nguyễn Vũ Minh 1) m ≤ 2, 2) m < 5 ∨ m = 2, Khảo Sát Hàm Số 3) 5 ≤ m < 2. Bài 2. Tìm điều kiện của m để phương trình x + x + 1 + x + 1 = m (2) có nghiệm thực. +∞HƯỚNG DẪN GIẢI Đặt t = x + 1 ≥ 0 ⇔ x = t2 − 1, (2) trở thành: t2 − 4 + t2 + t + 4 = m ⇔ t2 + t + 4 = m . y`= 2t +1= 0 ⇔ t = −1 Bảng biến thiên : x −∞ −1/ 2 0 +∞ y’ − 0 y +∞ 1 Suy ra : m ≥ 1 4 Bài 3. Tìm điều kiện của m để phương trình 16 − x2 − (3) có nghiệm thực. HƯỚNG DẪN GIẢI m − 4 = 0 16 − x2 Đặt t = 16 −x2 ⇒ t ∈ (0; 4], (3) trở thành t − m − 4 = 0 ⇔ t2 − 4t = m. Lập BBT của hàm số y = t2 – 4t , ta có −4 ≤ m ≤ 0. x −1 Bài 4. Tìm điều kiện của m để phương trình x +2 có nghiệm thực. x +2 +2 = 0 (4) Đt : 0919.008.716 2 Email : ngvuminh249@yahoo.com GV. Nguyễn Vũ Minh Khảo Sát Hàm Số HƯỚNG DẪN GIẢI Đặt t = x −1 ⇒ t ∈ (0;+∞)\ {1}, (4) trở thành t − m +2 = 0 ⇔ t2 + 2t = m . Lập BBT của hàm số y = t2 + 2t, ta có 0 < m ≠ 3. Bài 5. Tìm điều kiện của m để phương trình x +1 − m Điều kiện: x ≥ 1. x −1 + 24 x2 −1 = 0 (5) có nghiệm thực. HƯỚNG DẪN GIẢI + x = 1: (5) vô nghiệm. + x > 1: (5) ⇔ x +1 x −1 x −1 x +1 . Đặt t = 4 x −1 = 4 1 + x −1 ⇒ t ∈ (1;+∞), (5) trở thành t − m + 2 = 0 ⇔ t2 + 2t = m . Lập BBT của hàm số y = t2 + 2t, ta có m > 3. Bài 6. Tìm điều kiện của m để phương trình x2 −2x − 3 = x + m (6) 1) có nghiệm thực, 2) có 2 nghiệm phân biệt. HƯỚNG DẪN GIẢI Ta có (6) ⇔ x2 −2x −3 − x = m. Đặt y = x2 −2x − 3 − x Với : x ≤ −1∨ x ≥ 3 ⇒ y` = x −1 −1 x2 −2x − 3 = x −1− x2 −2x − 3 . x2 −2x − 3 Đt : 0919.008.716 3 Email : ngvuminh249@yahoo.com GV. Nguyễn Vũ Minh Khảo Sát Hàm Số Bảng biến thiên x −∞ –1 y’ – y +∞ 1 Dựa vào bảng biến thiên: 1) −3 ≤ m < −1∨ m ≥ 1, 3 +∞ + −1 –3 2) không có m. Bài 7. Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình x +1 + Xét hàm số 1− x = m (7). HƯỚNG DẪN GIẢI f(x) = 1 + x + Bảng biến thiên X 1− x, x ∈ [−1; −∞ −1 1] ⇒ f/(x) = 0 1 1− x − 1 + x 2 1− x2 . +∞ f’(x) + 0 – f(x) − 2 2 2 Dựa vào bảng biến thiên, ta có: + m < 2 ∨ m > 2: (7) vô nghiệm. + m = 2 : (7) có 1 nghiệm. + 2 ≤ m < 2: (7) có 2 nghiệm phân biệt. Bài 8. Tìm điều kiện m để phương trình x + 9 − x = −x2 + 9x + m (8) có nghiệm thực. HƯỚNG DẪN GIẢI ⎪ x + 9 − x ≥ 0 ⎧0 ≤ x ≤ 9 ⎪9 +2 9x − x2 = 9x − x2 + m ⎪ (9x − x2) +2 9x − x2 + 9 = m. Đặt t = 9x − x2 ⇒ 0 ≤ t ≤ x +(9 − x) = 9,∀x ∈ [0; 9] ta có (8) trở thành:−t2 +2t + 9 = m. Đt : 0919.008.716 4 Email : ngvuminh249@yahoo.com GV. Nguyễn Vũ Minh Khảo Sát Hàm Số Lập BBT của hàm số y = −t2 + 2t + 9 trên [0 ; 9/2] ta có −9 ≤ m ≤ 10. Bài 9. Tìm điều kiện m để phương trình x + 4 x −4 + x + x −4 = m (9) có nghiệm thực. HƯỚNG DẪN GIẢI Đặt t = x − 4 ≥ 0 ⇒ x = t2 + 4. Ta có (9) trở thành: t2 + 4t + 4 + t2 + 4 + t = m ⇔ t2 + 2t + 6 = m. Lập BBT của hàm số y = t2 + 2t + 6, t ≥ 0 ta có m ≥ 6 . Bài 10. Tìm m để phương trình x −1 + 3 −x − (x −1)(3 −x) = m (10) có nghiệm thực. HƯỚNG DẪN GIẢI Đặt t = x −1 + 3 − x ≥ 0 ⇒ t2 = 2 + 2 x −1. 3 − x ≥ 2 ⇒ t ≥ 2. Mặt khác t2 = 2 +2 x −1. 3 − x ≤ 2 +[(x −1) +(3 − x)] = 4 ⇒ 2 ≤ t ≤ 2. Ta có (10) trở thành: t− t2 2 2 = m ⇔ −1t2 + t +1 = m. Lập BBT của hàm số y = −1 t2 + t +1, t ∈ ⎡ 2; 2⎤ ta có 1 ≤ m ≤ 2. Chú ý: Nên lập BBT của t = x −1 + 3 − x để tìm miền giá trị t. Bài 11. Tìm m để phương trình 1+ x + 8 − x + (1+ x)(8 − x) = m có nghiệm thực. Đáp số: 3 ≤ m ≤ 9 + 6 2 . Bài 12. Tìm m để phương trình x4 + 4x + m + 4 x4 + 4x + m = 6 (12) có nghiệm thực. HƯỚNG DẪN GIẢI Đặt t = 4 x4 + 4x + m ≥ 0. Ta có: (12) ⇔ t2 + t −6 = 0 ⇔ t = 2 ⇔ 4 x4 + 4x + m = 2 ⇔ −x4 − 4x +16 = m . Đt : 0919.008.716 5 Email : ngvuminh249@yahoo.com ... - tailieumienphi.vn