Xem mẫu
- Chuyên đề: Phương trình lượng giác
Chương I: Phương trình lượng giác cơ bản
và một số phương trình lượng giác thường gặp
Để giải 1 PTLG , nói chung ta tiến hành theo các bước sau:
Bước 1: Đặt điều kiện để phương trình có nghĩa. Các điều kiện ấy bao hàm các đi ều kiện để căn có
nghĩa, phân số có nghĩa, biểu thức logarit có nghĩa. Ngoài ra trong các PTLG có ch ứa các bi ểu th ức
chứa tan x va cot x thì cần điều kiện để tan x và cot x có nghĩa.
Bước 2: Bằng phương pháp thích hợp đưa các phương trình đã cho về m ột trong các ph ương trình c ơ
bản.
Bước 3: Nghiệm tìm được phải đối chiếu với điều kiện đã đặt ra. Những nghiệm nào không tho ả
mãn điều kiện ấy thì bị loại.
1.1-Phương trình lượng giác cơ bản
1.1.1- Định nghĩa: Phương trình lượng giác là phương trình chứa một hay nhiều hàm số lượng giác .
1.1.2- Các phương trình lượng giác cơ bản.
a) Giải và biện luận phương trình sin x = m (1)
Do sin x � −1;1] nên để giải phương trình (1) ta đi biện luận theo các bước sau
[
Bước1: Nếu |m|>1 phương trình vô nghiệm
Bước 2: Nếu |m|
- Chuyên đề: Phương trình lượng giác
π 3
=
Do sin nên
3 2
π π π
3
sin(3 x + ) = � sin(3 x + ) = sin
4 2 4 3
�ππ ππ �π 2π
�
3x + = + k 2π 3 x = − + + k 2π x= +k
�43 � � 24
43 3
�� �� �� k�ﾢ
�x + π = π − π + k 2π �x = π − π − π + k 2π � = 5π + k 2π
3 3 x
�4 � � 24
3 34 3
Vậy phương trình có hai họ nghiệm.
Bài tập
1. Giải các phương trình sau:
� π� 3 1
2
( ) c. sin ( 2 x + 1) = −
a. sin � + �−
= b. sin x + 25o = −
x
� 5� 2 2
2
� π� 2
5
e. sin ( x − 3) =
d. sin �x − � −
=
3
3
3� 2
�
b) Giải và biện luận phương trình lượng giác cos x = m (b)
Ta cũng đi biện luận (b) theo m
Bước 1: Nếu m > 1 phương trình vô nghiệm .
Bước 2: Nếu m 1 ta xét 2 khả năng:
-Khả năng 1: Nếu m được biểu diễn qua cos của góc đặc biệt, giả sử góc α . Khi đó phương trình
có dạng
x = α + k 2π
cos x = cos α �� ,k ﾢ
x = −α + k 2π
-Khả năng 2: Nếu m không biểu diễn được qua cos của góc đặc biệt khi đó
x = arccos m + k 2π
Ta có: cos x = m �� ,k ﾢ
x = − arccos m + k 2π
Như vậy ta có thể kết luận phương trình có 2 họ nghiệm
Ví Dụ Minh Hoạ.
Ví dụ 1: Giải phương trình sau:
1
cos x = −
2
Giải:
π 2π 2π 2π
1 1
Do cos(π − � x = � + k 2π (k � )
) = cos = − nên cos x = − � cos x = cos ﾢ
3 3 2 2 3 3
Vậy phương trình có 2 họ nghiệm
Ví dụ 2: Giải phương trình:
π
3cos(2 x + ) =1
6
Giải:
π π 1
3cos(2 x + ) = 1 � cos(2 x + ) =
6 6 3
Phan Bá Linh 2
- Chuyên đề: Phương trình lượng giác
1 1
� −1;1 ] và không là giá trị của cung đặc biệt
[
Vì
3 3
π π
1 1
Ta có: cos(2 x + ) = � 2 x + = � ccos + k 2π
ar
6 3 6 4
π π1
1 1
� 2 x = − � ccos + k 2π � x = − � arccos + kπ (k � )
ar ﾢ
6 3 12 2 3
Vậy phương trình có hai họ nghiệm.
Bài tập
2. Giải các phương trình sau:
� π� 3 1
2
( ) c. cos ( 2 x + 1) =
a. cos � + �−
= b. cos x − 25o = −
x
� 3� 2 2
2
� π�5 1
e. cos ( 2 x − 3) =
d. cos � x − �=
2
3� 2 4
�
= m (c )
c) Giải và biện luận phương trình lượng giác tan x
Ta cũng biện luận phương trình (c) theo các bước sau:
π
+ kπ , k ﾢ
Bước 1: Đặt điều kiện x
2
Bước 2: Xét 2 khả năng
α khi đó phương trình có
-Khả năng 1: Nếu m được biểu diễn qua tan của góc đặc biệt , giả sử
dạng
tan x = tan α � x = α + kπ , k �ﾢ
-Khả năng 2: Nếu m không biểu diễn được qua tan của góc đặc biệt, khi đó ta có
tan x = m � x = arctan m + kπ , k � ﾢ
Nhận xét: Như vậy với mọi giá trị của tham số phương trình luôn có nghiệm
Ví Dụ Minh Hoạ:
Ví dụ 1: Giải phương trình: tan x = 3
Giải :
π π π
nên ta có: tan x = 3 � tan x = tan � x = + kπ
3 = tan kﾢ
Do
6 6 6
Vậy phương trình có 1 họ nghiệm.
π
− x) = 2
Ví dụ 2: Giải phương trình: tan(
5
Giải:
π π π
− x � + kπ
− x) ��
Điều kiện: cos( 0
5 5 2
Do 2 không thể biểu diễn được qua tan của góc đặc biệt. Từ đó ta có
π π π
tan( − x) = 2 � − x = arctan 2 + kπ � x = − arctan 2 − kπ (k � ) ﾢ
5 5 5
Vậy phương trình có một họ nghiệm.
Bài tập
3. Giải các phương trình sau:
π π
1
a. tan( x − )=− b. tan(2 x − 30 ) = −1 c. tan( x + ) = −3
o
3 3 2
Phan Bá Linh 3
- Chuyên đề: Phương trình lượng giác
d) Giải và biện luận phương trình lượng giác cot x = m (d )
Ta cũng đi biện luận theo m
Bước1: Đặt điều kiện x kπ k ﾢ
Bước 2: Xét 2 khả năng
α khi đó phương trình có
-Khả năng 1: Nếu m được biểu diễn qua cot của góc đặc biệt , giả sử
dạng
cot x = cot α � x = α + kπ , k � ﾢ
-Khả năng 2: Nếu m không biểu diễn được qua cot của góc đặc biệt. ta có
cot x = m � x = arc cot m + kπ , k �ﾢ
Nhận xét: Như vậy với mọi giá trị của tham số phương trình (d) luôn có nghiệm.
Ví Dụ Minh Hoạ:
Ví dụ 1:
π 1
− x) =
Giải phương trình sau: cot( (1)
4 3
Giải:
π π π
− x) 0 �−�۹−� kπ kπ k
Điều kiện cos( x x ﾢ (*)
4 4 4
Ta có:
π π π π π
− x) = cot � − x = + kπ � x = − − kπ k�
cot( ﾢ
(1)
4 3 4 3 12
Họ nghiệm trên thoả mãn điều kiện (*)
Vậy phương trình có 1 họ nghiệm.
Ví dụ 2: Giải phương trình
cot(4 x + 35o ) = −1
Giải:
Ta nhận thấy cot( −45 ) = −1 nên ta có cot(4 x + 35 ) = −1 � cot(4 x + 35 ) = cot( −45 )
o o o o
4 x + 35o = −45o + k180o � 4 x = −80o + k180o x = −20o + k 45o (k � )
ﾢ
Vậy phương trình có 1 họ nghiệm .
Lưu ý: Không được ghi hai loại đơn vị ( radian hoặc độ ) trong cùng một công thức.
Bài tập
4. Giải các phương trình sau:
π π
1
a. co t( x + )=− b. cot(2 x + 20 ) = −1 c. cot( x + ) = −3
o
3 3 4
Bài tập tổng hợp
( ) ( 4sin 2xcos 2 2x − 1) = 0 (1)
5. Giải phương trình sau: cos x − sin x
4 4 2
Giải
(1) � ( cos 2 x + sin 2 x ) ( cos 2 x − sin 2 x ) ( sin 2 4x − 1) = 0 � cos2x ( −cos 2 4x ) = 0
π π
π
+ kπ x= +k
2x =
cos2x = 0 4 2
2
� � � k,l �Z
π π
π
cos4x = 0
4x = + lπ 4x = + l
8 4
2
6. Giải phương trình sau: 3 ( cosx − sinx ) = 1 + cos2x − sin 2x (1)
Giải
Phan Bá Linh 4
- Chuyên đề: Phương trình lượng giác
(1) � 3 ( cosx − sinx ) = 2cos 2 x − 2sin xcosx � 3 ( cosx − sinx ) = 2cosx ( cosx − sinx )
� ( cosx − sinx ) ( 3 − 2cosx ) = 0 � cosx − sinx = 0
π
+ kπ
� t anx = 1 � x = k�Z
4
7. Giải các phương trình sau:
( )
b. ( 1 + 2cos2x ) 3 + 2sinx = 0
a. tan 3x.t anx = 1
( )
sin 2x
d. tan 2x sinx + 3 sinx − 3 tan 2x − 3 3 = 0
=0
c.
1 + cos2x
1.2- Một số phương trình lượng giác thường gặp.
1.2.1- Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác
Dạng 1: a sin x + b sin x + c = 0 (a 0; a, b, c ﾢ ) (1)
2
Cách giải: Đặt t = sin x , điều kiện | t | 1
Đưa phương trình (1) về phương trình bậc hai theo t , giải tìm t
chú ý kết hợp với điều kiện rồi giải tìm x
Dạng 2: a cos x + b cos x + c = 0 ( a 0; a, b, c ﾢ ) (2)
2
Cách giải: Đặt t = cos x điều kiện | t | 1
Đưa phương trình (2) về phương trình bậc hai theo t , giải tìm t rồi tìm x
Dạng 3: a tan x + b tan x + c = 0 (a 0; a, b, c ﾢ )
2
(3)
π
kπ
Cách giải: Điều kiện cos x �۹+ �
0 x ,k ﾢ
2
Đặt t = tan x ( t ﾢ ) ta đưa phương trình (3) về phương trình bậc hai theo t , chú ý khi tìm được
nghiệm x cần thay vào điều kiện xem thoả mãn hay không
Dạng 4: a cot x + b cot x + c = 0 ( a 0; a, b, c ﾢ )
2
(4)
Cách giải: Điều kiện sin x �۹� x kπ k ﾢ
0
Đặt t = cot x (t ﾢ ) . Ta cũng đưa phương trình (4) về phương trình bậc hai theo ẩn t.
Ví Dụ Minh Hoạ:
Ví dụ 1: Giải phương trình 2cos x − 3cos x + 1 = 0 (1)
2
Giải:
x = k 2π
cos x = 1
Phương trình (1) � 1� ,k �
π ﾢ
+ k 2π
x=
cos x =
3
2
Vậy phương trình có 3 họ nghiệm.
2
Ví dụ 2: Giải phương trình: cot x − tan x + 4sin 2 x = (2)
sin 2 x
Giải:
kπ
Điều kiện sin 2 x �۹� x
0 ,k ﾢ
2
Ta có:
Phan Bá Linh 5
- Chuyên đề: Phương trình lượng giác
cos x sin x 2
− + 4sin 2 x =
(2) �
sin x cos x sin 2 x
cos x − sin x
2 2
2
+ 4sin 2 x =
�
sin x.cos x sin 2 x
2cos 2 x 2
+ 4sin 2 x = � cos 2 x + 2sin 2 2 x = 1
�
sin 2 x sin 2 x
cos 2 x = 1
( *)
� 2cos 2 x − cos 2 x − 1 = 0 �
2
1
cos 2 x = −
2
Ta thấy cos 2 x = 1 không thoả mãn điều kiện. Do đó (*)
2π π
1
+ k 2π � x = � + kπ k �
cos 2 x = − � 2 x = ﾢ
2 3 3
Vậy phương trình có 2 họ nghiệm.
( )
1
( 3)
= 2 − 1 t anx − 2 + 3
Ví dụ 3: Giải phương trình:
cos 2 x
Giải
π
+ kπ k Z
Điều kiện x
2
( ) ( )
( 3) � 1 + tan 2 x = 2 − 1 t anx − 2 + 3 � tan 2 x − 2 − 1 t anx + 2 − 2 = 0
t =1
( )
Đặt t = t anx ta được phương trình t − 2 −1 t + 2 − 2 = 0
2
t = 2 −2
π
+ kπ k �
Với t = 1 � t anx = 1 � x = Z
4
( )
2 − 2 + lπ
Với t = 2 − 2 � t anx = 2 − 2 � x = arctan l�Z
Vậy phương trình có 2 họ nghiệm.
Bài tập:
Bài 1: Giải phương trình: 5sin x − 4sin x − 1 = 0
2
Bài 2 Giải phương trình: cos 2 x − 3cos x − 4 = 0
5
3tan 2 x − 3tan x − =0
Bài 3: Giải phương trình:
2
cos(4 x + 2) + 3sin(2 x + 1) = 2
Bài 4: Giải phương trình:
tan 4 3 x − 3tan 3 x + 1 = 0
Bài 5: Giải phương trình:
25
cos 4 2 x + 6cos 2 2 x =
Bài 6: Giải phương trình:
16
sin 2 x
= tan 6 x
2π
Bài 7: Giải phương trình:
2cos x − 2sin
2
4
Phan Bá Linh 6
- Chuyên đề: Phương trình lượng giác
1 + 2sin 2 x − 3 2 sin x + sin 2 x
=1
Bài 8: Giải phương trình
2sin x.cos x − 1
1
Bài 9: Giải phương trình cot 2 x + = 25
4
sin 4 2 x
sin x,cos x
1.2.2- Phương trình bậc nhất đối với
a)Định nghĩa: Phương trình a sin x + b cos x = c (1) trong đó a, b, c ﾢ và a 2 + b 2 > 0 được gọi là
phương trình bậc nhất đối với sin x,cos x
b) Cách giải.
Ta có thể lựa chọn 1 trong 2 cách sau:
Cách 1: Thực hiện theo các bước
Bước 1:Kiểm tra
-Nếu a 2 + b 2 < c 2 phương trình vô nghiệm
-Nếu a 2 + b 2 c 2 khi đó để tìm nghiệm của phương trình ta thực hiện tiếp bước 2
a 2 + b 2 , ta được
Bước 2: Chia cả 2 vế phương trình (1) cho
a b c
sin x + cos x =
a 2 + b2 a2 + b2 a 2 + b2
a b
)2 + ( ) 2 = 1 nên tồn tại góc α sao cho
Vì (
a 2 + b2 a2 + b2
a b
= cos α , = sin α
a +b a +b
2 2 2 2
c c
Khi đó phương trình (1) có dạng sin x.cos α + sin α .cos x = � sin( x + α ) =
a2 + b2 a 2 + b2
Đây là phương trình cơ bản của sin mà ta đã biết cách giải
Cách 2: Thực hiện theo các bước
x
= 0 � x = π + k 2π (k � ) thử vào phương trình (1) xem có là nghiệm hay
Bước 1: Với cos ﾢ
2
không?
x
�۹+ � π k 2π ( k Z )
Bước 2: Với cos 0 x
2
1− t2
x 2t
Đặt t = tan suy ra sin x = , cos x =
1+ t2 1+ t2
2
Khi đó phương trình (1) có dạng
1− t2
2t
+b = c � (c + b)t 2 − 2at + c − b = 0 (2)
a
1+ t 1+ t
2 2
Bước 3: Giải phương trình (2) theo t , sau đó giải tìm x.
* Dạng đặc biệt:
π
+ kπ ( k � )
. sin x + cos x = 0 � x = − ﾢ
4
π
. sin x − cos x = 0 � x = + kπ (k � ) .
ﾢ
4
Chú ý: Từ cách 1 ta có kết quả sau
Phan Bá Linh 7
- Chuyên đề: Phương trình lượng giác
− a 2 + b2 a sin x + b cos x a 2 + b 2 từ kết quả đó ta có thể áp dụng tìm GTLN và GTNN của
a sin x + b cos x
các hàm số có dạng y = a sin x + b cos x , y = và phương pháp đánh giá cho một số
c sin x + d cos x
phương trình lượng giác .
Ví Dụ Minh Hoạ:
( 1)
Ví dụ 1: Giải phương trình: sin x + 3 cos x = 2
Giải
π π
1 3 2 2
( 1) � sin x + cos x = � sin xcos + cos x sin =
2 2 2 3 3 2
� π� 2 π
� sin � + � = = sin
x
� 3� 2 4
ππ π
x + = + k 2π x = − + k 2π
34 12
� � k� Z
π π 5π
x + = π − + k 2π + k 2π
x=
3 4 12
Ví Dụ 2: Giải phương trình: sin 2 x − 3cos 2 x = 3 (1)
Giải :
12 + 32 = 10 ta được
Cách 1: Chia cả hai vế phương trình (1) cho
1 3 3
sin 2 x − cos 2 x =
10 10 10
3 1
= sin α , = cos α . Lúc đó phương trình (1) viết được dưới dạng
Đặt
10 10
cos α sin 2 x − sin α cos 2 x = sin α � sin(2 x − α ) = sin x
x = α + kπ
2 x − α = α + k 2π kﾢ
� � π
2 x − α = π − α + k 2π x = + kπ
2
Vậy phương trình có 2 nghiệm
Cách 2:-Ta nhận thấy cos x = 0 là nghiệm của phương trình
π 1− t2
2t
kπ , k ﾢ . Đặt t = tan x ,lúc đó sin 2 x =
-Với cos x �۹+ � , cos 2 x =
0 x
1+ t2 1+ t2
2
1− t2
2t
−3 = 3 � 2t − 3(1 − t 2 ) = 3(1 + t 2 ) � t = 3
Phương trình (1) sẽ có dạng
1+ t 1+ t
2 2
Hay tan x = 3 = tan α � x = α + kπ , k � ﾢ
Vậy phương trình có 2 họ nghiệm
Cách 3: Biến đổi phương trình về dạng
sin 2 x = 3(1 + cos 2 x) � 2sin x.cos x = 6cos 2 x
� x = 3 = tan α
� x=0
cos tan
� (sin x − 3cos x)cos x = 0 � � ��
� x − 3cos x = 0 � x=0
sin cos
Phan Bá Linh 8
- Chuyên đề: Phương trình lượng giác
x = α + kπ
� ,k �
π ﾢ
x = + kπ
2
Vậy phương trình có hai họ nghiệm
Chú ý: Khi làm bài toán dạng này chúng ta nên kiểm tra điều kiện trước khi bắt tay vào giải phương
trình bởi có một số bài toán đã cố tình tạo ra những phương trình không thoả mãn điều kiện. Ta xét ví
dụ sau:
( 2)
Ví Dụ 3: Giải phương trình 2 2(sin x + cos x )cos x = 3 + cos 2 x
Giải:
Ta biến đổi phương trình (2)
� 2 sin 2 x + 2(1 + cos 2 x) = 3 + cos 2 x
� 2 sin 2 x + ( 2 − 1)cos 2 x = 3 − 2
a = 2 ; b = 2 −1 ; c = 3 − 2
Ta có:
a 2 + b 2 = 2 + ( 2 − 1) 2 = 5 − 2 2
c 2 = (3 − 2) 2 = 11 − 6 2
Suy ra a 2 + b 2 < c 2
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm .
Ngoài ra chúng ta cần lưu ý rằng việc biến đổi lượng giác cho phù hợp với từng bài toán sẽ biểu diễn
chẵn các họ nghiệm . Ta xét ví dụ sau
Ví Dụ 4: Giải phương trình (1 + 3)sin x + (1 − 3)cos x = 2 (3)
Giải :
Cách 1:Thực hiện phép biến đổi
1+ 3 1− 3 2 1
)sin x + ( )cos x = =
(
(3)
22 2 2 22 2
1+ 3 1− 3
= cos x; = sin x
Đặ t
22 2 2
π
1
Phương trình (3) sẽ được viết thành sin x.cos α + sin α .cos x = � sin( x + α ) = sin
4
2
π �π
�
� + α = 4 + k 2π � = 4 − α + k 2π
x x
�� �� ,k �ﾢ
π � = 3π − α + k 2π
� + α = π − + k 2π
x x
� �4
4
Vậy phương trình có hai họ nghiệm
Cách 2: Biến đổi phương trình về dạng
Phan Bá Linh 9
- Chuyên đề: Phương trình lượng giác
π π
(sin x + cos x) + 3(sin x − cos x) = 2 � 2 sin( x + ) − 6 cos( x + ) = 2
4 4
π π
1 3 1
� sin( x + ) − cos( x + ) =
2 4 2 4 2
π π π π 1
� sin( x + )cos − cos( x + )sin =
4 3 4 3 2
ππ π
� sin( x + − ) = sin
43 4
π
ππ
x = + k 2π
x − = + k 2π
3
12 4
� � k�ﾢ
π π 5π
x − = π − + k 2π + k 2π
x=
12 4 6
Vậy phương trình có hai họ nghiệm
Qua hai cách giải ở bài trên ta nhận thấy bằng cách 2 ta thu được nghiệm phương trình chẵn.
x
Bài trên cĩng có thể sử dụng cách đặt t = tan và ta cũng thu được nghiệm chẵn
2
*Chú ý: Đối với phương trình dạng a sin P ( x ) + b cos Q ( x ) = c sin Q ( x ) + d cos P ( x ) (*) trong
đó a, b, c, d ﾢ thoả mãn a 2 + b 2 = c 2 + d 2 >0 và P(x) ,Q(x) không đồng thời là các hàm hằng số .
Bằng phép chia cho a 2 + b 2 ta có (*) � sin [ P( x ) + α ] = sin [ Q( x) + β ] hoặc
(*) � cos [ P ( x) + α ] = cos [ Q ( x ) + β ] trong đó α , β là các góc phụ thích hợp. Ta xét ví dụ sau:
Ví Dụ 5: Giải phương trình: cos7 x − sin 5 x = 3(cos5 x − sin 7 x) (4)
Giải:
cos7 x + 3 sin 7 x = 3 cos5 x + sin 5 x
(4)
1 3 3 1
� cos 7 x + sin 7 x = cos5 x + sin 5 x
2 2 2 2
π π π π
� cos cos 7 x + sin sin 7 x = cos cos5 x + sin sin 5 x
3 3 6 6
π π π
= 5x − + k 2π x = + kπ
7x −
π π 3 6 12
� cos(7 x − ) = cos(5 x − ) � � k �Z
π kπ
π π
3 6 7x − = −5x+ + k 2π x= +
24 6
3 6
Vậy phương trình có hai họ nghiệm.
Bài tập: Giải các phương trình sau :
1. 3 sin x + cos x = 3
2. 10cos x − 24sin 2 x = 13
3. sin 2 x + 6 cos x = 3cos 2 x + 2 sin x
4. 4cos3 x − 3 sin 3 x = 1 + 3cos x
5. sin 4 x − cos 4 x = 1 + 2 2 sin x.cos x
6. 2( 3 sin x − cos x) = 7 sin 2 x + 3(cos 4 x − sin 4 x)
Phan Bá Linh 10
- Chuyên đề: Phương trình lượng giác
3 1
7. 8sin x = +
cos x sin x
8. 2 2(sin x + cos x )cos x = 3 + cos 2 x
cos x + 2cos 2 x = 2 2 + cos3 x
9.
xπ xπ x 2π 3x π
10. 2 cos( − ) − 6 sin( − ) = 2sin( + ) − 2sin( + )
5 12 5 12 53 56
1.2.3- Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sin x và cos x .
a) Định nghĩa: Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sin x , cos x là phương trình.
a sin 2 x + b sin x.cos x + c cos 2 x = d (1) trong đó a, b, c, d ﾢ
b) Cách giải :
Chia từng vế của phương trình (1) cho một trong ba hạng tử sin 2 x,cos 2 x hoặc sin x.cos x .
Chẳng hạn nếu chia cho cos 2 x ta làm theo các bước sau:
Bước 1: Kiểm tra:
π
+ kπ , k � xem nó có phải là nghiệm của phương trình(1) hay không?
cos x = 0 � x = ﾢ
2
Bước 2: Với cosx 0 chia cả hai vế cho cos 2 x lúc đó phương trình (1) trở thành
a tan 2 x + b tan x + c = d (1 + tan 2 x )
� ( a − d ) tan 2 x + b tan x + c − d = 0
Đây là phương trình bậc hai theo tan ta đã biết cách giải.
1 − cos 2 x 1 + cos 2 x sin 2 x
Cách 2: Dùng công thức hạ bậc sin x = ; cos 2 x = ; sin x.cos x =
2
2 2 2
đưa phương trình đã cho về phương trình
b sin 2 x + (c − a)cos 2 x = d − c − a
Đây là phương trình bậc nhất đối với sin và cos ta đã biết cách giải
*Chú ý: Đối với phương trình đẳng cấp bậc n (n 3) với dạng tổng quát
A(sin n x,cos n x,sin k x cos h x) = 0 trong đó k + h = n; k , h, n ﾢ
Khi đó ta cũng làm theo 2 bước :
Bước 1: Kiểm tra xem cos x = 0 có phải là nghiệm của phương trình hay không?
Bước 2: Nếu cos x 0 .Chia cả hai vế của phương trình trên cho cos n x ta sẽ được phương trình
bậc n theo tan . Giải phương trình này ta được nghiệm của phương trình ban đầu.
Ví Dụ Minh Hoạ:
Ví Dụ 1: Giải phương trình : 2 3 cos 2 x + 6sin x.cos x = 3 + 3 (1)
Giải:
Cách 1: Phương trình (1) � 3(1 + cos 2 x) + 3sin 2 x = 3 + 3 � cos 2 x + 3 sin 2 x = 3
π
1 3 3 3
� cos 2 x + sin 2 x = � cos(2 x − ) =
2 2 2 3 2
ππ π
2 x − = + k 2π x = + k 2π
36 4
� � k� ﾢ
π π π
x − = − + k 2π x = + k 2π
3 6 12
Vậy phương trình có hai họ nghiệm.
Phan Bá Linh 11
- Chuyên đề: Phương trình lượng giác
π
+ k 2π
Cách 2: +) Thử với cos x = 0 � x = k � vào phương trình (1) ta có 0 = 3 + 3
ﾢ
2
vô lí.
π
+ k 2π k ﾢ không là nghiệm của phươngtrình.
Vậy x =
2
+)Với cos x 0 Chia cả hai vế của phương trình cho cos 2 x ta được
2 3 + 6 tan x = (3 + 3)(1 + tan 2 x) � (3 + 3) tan 2 x − 6 tan x + 3 − 3 = 0
tan x = 1 π
x = + kπ
� � k�
4 ﾢ
3− 3
= tan α
tan x =
x = α + kπ
3+ 3
Vậy phương trình có hai họ nghiệm
* Chú ý: Không phải phương trình nào cũng ở dạng thuần nhất ta phải thực hiện
một số phép biến đổi thích hợp
π
Ví Dụ 2: Giải phương trình: sin ( x − ) = 2 sin x
3
(2)
4
Giải :
π
Ta nhận thấy sin( x − ) có thể biểu diễn được qua sin x − cos x . Luỹ thừa bậc ba biểu thức
4
sin x − cos x
ta sẽ đưa phương trình về dạng thuần nhất đã biết cách giải
3
π π�
�
Phương trình (2) � 2 2 sin ( x − ) = 4sin x � 2 sin( x − ) �= 4sin x
3
�
4 4�
�
� (sin x − cos x)3 = 4sin x
π
+) Xét với cos x = 0 � x = + k 2π k � . Khi đó phương trình có dạng
ﾢ
2
π π
� sin 3 ( + kπ ) = 4sin( + kπ ) � mâu thuẫn
2 2
π
Vậy phương trình không nhận x = + k 2π làm nghiệm
2
+) Với cos x 0 . Chia cả hai vế của phương trình (2) cho cos3 x ta được :
(tan x − 1)3 = 4(1 + tan 2 x) tan x � 3tan 3 x + 3tan 2 x + tan x − 1 = 0 .
Đặt t = tan x phương trình có được đưa về dạng:
3t 3 + 3t 2 + t − 1 = 0 � (t + 1)(3t 2 + 1) = 0
π
� t = 1 � x = − + kπ k� ﾢ
4
Họ nghiệm trên thoả mãn điều kiện của phương trình .
Vậy phương trình có duy nhất 1 họ nghiệm
*Chú ý: Ngoài phương pháp giải phương trình thuần nhất đã nêu ở trên có những phương trình có thể
giải bằng phương pháp khác tuỳ thuộc vào từng bài toán để giải sao cho cách giải nhanh nhất ,khoa
học nhất.
1 − tan x
= 1 + sin 2 x
Ví Dụ 3: Giải phương trình: (3)
1 + tan x
Phan Bá Linh 12
- Chuyên đề: Phương trình lượng giác
Giải :
π
+ kπ
x
cos x 0 2
�� k�ﾢ
Điều kiện �
π
tan x = −1
− + kπ
x
4
Cách 1: Biến đổi phương trình về dạng :
cos x − sin x
( cos x + sin x )
2
=
cos x + sin x
� cos x − sin x = ( cos x + sin x )
3
Chia cả hai vế của phương trình (3) cho cos3 x 0 ta được :
1 + tan 2 x − ( 1 + tan 2 x ) tan x = ( 1 + tan x )
3
� tan 3 x + tan 2 x + 2 tan x = 0
� ( tan 2 x + tan x + 2 ) tan x = 0 (*)
(do tan 2 x + tan x + 2 = 0 vô nghiệm) nên:
Phương trình (*) � tan x = 0 � x = kπ ( k � )
Z
Vậy phương trình có một họ nghiệm
Cách 2: Biến đổi phương trình về dạng
cos x − sin x
= ( cos x + sin x )
2
cos x + sin x
� π�
cos � + �
x
� 4 � 2sin 2 � + π � cot( x + π ) = 2
=
� �
x
� �
4 1 + cot 2 ( x + π )
� π� � 4�
sin � + �
x
4
� 4�
π
Đặt t = cot( x + ) ta được :
4
2
� t 3 + t − 2 = 0 � ( t − 1) ( t 2 + t + 2 ) = 0 � t = 1
t=
1+ t 2
π ππ
hay cot( x + ) = 1� x + = + kπ � x = kπ (k � ) ﾢ
4 44
Vậy phương trình có một họ nghiệm
Bài tập :
Giải các phương trình sau :
1) 3sin x − 4sin x.cos x + cos x = 0
2
2cos3 x + sin 3 x − 11sin 2 x − 3cos x = 0
2)
1
3) 4sin x + 6cos x =
cos x
4) sin 3 x = 2sin x
3
5) sin 3 x − 5sin 2 x cos x + 7sin x cos 2 x − 2cos 3 x = 0
Phan Bá Linh 13
- Chuyên đề: Phương trình lượng giác
6) sin 2 x sin x + sin 3 x = 6cos 3 x
3 1
7) 8cos x = +
sin x cos x
8) (sin x − 4cos x )(sin x − 2sin x.cos x) = 2cos x
2 2 4
9) cos3 x − sin 3 x = sin x − cos x
1.2.4-Phương trình đối xứng đối với sin x và cos x .
a) Định nghĩa: Phương trình đối xứng đối với sin x và cos x là phương trình dạng
a(sin x + cos x) + b sin x cos x + c = 0 trong đó a, b, c ﾢ (1)
b) Cách giải:
Cách 1: Do (sin x + cosx) = 1 + sin x cos x nên ta đặt
2
π π
t = sin x + cos x = 2 sin( x + ) = 2 cos( − x) . Điều kiện | t | 2
4 4
t −1
2
và phương trình (1) được viết lại: bt + 2at − (b + 2c ) = 0
2
Suy ra sin x cos x =
2
Đó là phương trình bậc hai đã biết cách giải
π π
Cách 2: Đặt t = − x thì sin x + cos x = 2 cos( − x) = 2 cos t
4 4
π
1 1 1 1
sin x cos x = sin 2 x = cos( − 2 x) = cos 2t = cos 2 t − nên phương trình (1) trở thành
2 2 2 2 2
b
b cos 2 x + 2 cos x − + c = 0 . Đây là phương trình bậc hai đã biết cách giải
2
*Chú ý: Hai cách giải trên có thể áp dụng cho phương trình a (sin x − cos x) + b sin x cos x + c = 0
1− t2
bằng cách đặt t = sin x − cos x và lúc đó sin x cos x =
2
Ví Dụ Minh Hoạ :
Ví Dụ 1: Giải phương trình sin x + cos x − 2sin x cos x + 1 = 0 (1)
Giải:
t2 −1
Cách 1: Đặt sin x + cos x = t điều kiện | t | 2 . Lúc đó sin x cos x =
2
t2 −1
Khi đó phương trình (1) sẽ có dạng t − 2( ) +1 = 0
2
t = −1
� t2 − t − 2 = 0 � (*)
t=2
Với t = 2 không thoả mãn điều kiện nên
(*) � t = −1 � sin x + cos x = −1
π
x = − + k 2π
π π 1
� 2 sin( x + ) = −1 � sin( x + ) = − � k�
2 ﾢ
4 4 2
x = π + k 2π
π
Cách 2: Đặt z = − x . Khi đó phương trình có dạng
4
Phan Bá Linh 14
- Chuyên đề: Phương trình lượng giác
π
− x) − sin 2 x + 1 = 0
2 cos(
4
π π
2 cos z − sin 2( − z ) + 1 = 0 2 cos z − sin( − z ) + 1 = 0
4 2
2 cos z − cos 2 z + 2 = 0 � 2 cos z − (2cos z − 1) + 1 = 0
2
cos z = 2
(*’)
−2cos 2 z + 2 cos z + 1 = 0 2
cos z = −
2
Ta thấy cos z = 2 không thoả mãn
3π
+ k 2π
z=−
2 4
Do đó (*’) � cos z = − �
3π
2
+ k 2π
z=
4
π 3π
π
+ k 2π
−x=
x = − − k 2π
4 4 � k�
2 ﾢ
π 3π
x = π − k 2π
+ k 2π
−x=
4 4
Vậy phương trình có hai họ nghiệm
*Chú ý: Ta có thể đưa một số dạng phương trình về dạng phương trình đối xứng đã xét ở trên
Bài toán 1: Giải phương trình a tan x + b cot x = c( a sin x b cos x) (1) ab 0
2 2
a 2 sin 2 x − b 2 cos 2 x
= c(a sin x b cos x)
Cách giải: Phương trình (1) có thể viết
sin x.cos x
(a sin x − b cos x)( a sin x + b cos x) = c( a sin x b cos x)
(a sin x [ ] b cos x) � sin x [ m] b cos x) − c sin x.cos x � 0 =
(a
� �
a sin x [ ] b cos x = 0
a sin x [ m] b cos x − c sin x.cos x = 0
*Quy ước: Khi có nhiều dấu [ ] trong một biểu thức hay một hệ hiểu là cùng lấy dòng trên hoặc
cùng lấy dòng dưới
Ví Dụ 2: Giải phương trình tan x − 3cot x = 4(sin x + 3 cos x ) (2)
Giải:
kπ
Điều kiện: sin x.cos x �۹� x
0 k ﾢ
2
1
(sin 2 x − 3cos 2 x) = 4(sin x + 3 cos x)
Ta có (2) �
sin x.cos x
� (sin x − 3 cos x)(sin x + 3 cos x) = 4(sin x + 3 cos x)sin x.cos x
� (sin x + 3 cos x). � x − 3 cos x)sin 2 x � 0 =
(sin
� �
Phan Bá Linh 15
- Chuyên đề: Phương trình lượng giác
sin x + 3 cos x = 0 (4)
sin x − 3 cos x − sin 2 x = 0 (3)
π
Ta có (3) � tan x = − 3 � x = − + kπ (5)
3
π π
1 3
cos x = sin 2 x � cos sin x − sin cos x = sin 2 x
(4) � sin x −
3 3
2 2
π π
2 x = x − + l 2π x = − + l 2π
π 3 3
� sin( x − ) = sin 2 x � � l�ﾢ (6)
π 4π
3
2 x = π − x + + l 2π + l 2π
x=
3 3
Các gía trị của x trong (5) và (6) đều thoả mãn điều kiện của phương trình
Vậy theo phương trình có hai họ nghiệm.
Bài toán 2: Giải phương trình:
a(tan x [ ] sin x) + b(cot x [ ] cos x ) (a + b) = 0 với a , b , c , d ﾢ (1)
Cách giải:
a(tan x [ ] sin x 1) + b(cot x [ ] cos x 1) = 0
a b
۱+ + �+ = x [ ] sin x.cos x cos x) (sin x [ ] sin x.cos x cos x) 0
(sin
Ta có: cos x sin x
a b
)(sin x [ �sin x.cos x + cos x) = 0
]
+
�(
cos x sin x
�a b b
�
+ =0 tan x = −
� � x sin x ��
cos a
� �
� x [ ] sin x cos x + cos x = 0 � x [ ] sin x cos x + cos x = 0
sin sin
Đến đây chúng ta đã biết cách giải
Tương tự cho phương trình a (tan x [ ] sin x) + b(cot x [ ] cos x) − a + b = 0
Ví Dụ 3: Giải phương trình
tan x − 3 cot x − sin x + 3 cos x + 1 − 3 = 0 (3)
Giải:
kπ
Điều kiện sin 2 x �۹� x
0 kﾢ
2
(3) � tan x − sin x − 3(cot x − cos x ) + 1 − 3 = 0
1 3
(sin x − sin x cos x + cos x) − (sin x − sin x.cos x + cos x) = 0
�
cos x sin x
1 3
− )(sin x − sin x.cos x + cos x) = 0
�(
cos x sin x
1 3
− =0 (4)
cos x sin x
sin x − sin x.cos x + cos x = 0 ( 5 )
Phan Bá Linh 16
- Chuyên đề: Phương trình lượng giác
π
+ kπ
Giải (4) � tan x = 3� x= k�ﾢ
3
π
Giải (5): Đặt t = sin x + cos x = − x) | t |
2 cos( 2 (*)
4
t2 −1
Suy ra sin x. cos x = .
2
t =1− 2
t2 −1
Phương trình (5) trở thành t − = 0 � t2 − t −1 = 0
t =1+ 2
2
Kết hợp với điều kiện (*) thì t = 1 + 2 bị loại
π π 1− 2
= cos α
− x) = 1 − 2 � cos( − x) =
Với t = 1 − 2 cos(
2 ta có
4 4 2
π π
α �ﾢ , l �
� − x = � + l 2π � x = − � + l 2π
α α ﾢ
4 4
Các nghiệm của phương trình (4) và (5) đều thoả mãn điều kiện của phương trình
Vậy phương trình có ba họ nghiệm
Chú ý: Ta có thể áp dụng phương pháp đối với phương trình hỗn hợp chứa các biểu thức đối xứng
đối với sin x và cos x với bậc lớn hơn 2.
x x
− sin 4 = sin 2 x
4
Ví dụ 4: Giải phương trình: cos (1)
2 2
Giải :
x x x x x x
− sin 4 = (cos 2 − sin 2 )(cos 2 + sin 2 ) = cos x
4
Ta có: cos
2 2 2 2 2 2
cos x = sin 2 x � cos x = 2sin x.cos x
π
+ k 2π x=
6
1
sin 2 x = 5π
Phương trình (1) có dạng
+ k 2π
� cos x(1 − 2sin x) = 0 � 2� x= k�ﾢ
6
cos x = 0
π
x = + k 2π
2
Vậy phương trình có 3 họ nghiệm
sin 6 x + cos6 x
= tan 2 x + cot 2 x
Ví Dụ 5: Giải phương trình: 8 (2)
sin 2 x
Giải:
Điều kiện: sin 2 x 0
sin 2 x cos 2 x
32
Phương trình (2) � 8(1 − sin 2 x) = 2sin 2 x( 2 + )
cos x sin 2 x
4
1
1 − sin 2 2 x
� 8 − 6sin 2 2 x = 4sin 2 x. 2 2
sin 2 x
(8 − 6sin 2 x)sin 2 x = 4 − 2sin 2 2 x
2
Phan Bá Linh 17
- Chuyên đề: Phương trình lượng giác
3sin 3 2 x − sin 2 2 x − 4sin 2 x + 2 = 0
(sin 2 x − 1)(3sin 2 2 x + 2sin 2 x − 2) = 0
sin 2 x − 1 = 0
3sin 2 2 x + 2sin 2 x − 2 = 0
π
sin 2 x = 1 + kπ
x=
4
−1 − 7 (loại) � x = α + kπ
sin 2 x = k�ﾢ
3
x = π − α + kπ
7 −1
= sin α
sin 2 x =
3
Các nghiệm đều thoả mãn điều kiện sin 2 x 0
Vậy phương trình có 3 họ nghiệm
Bài tập:
Giải các phương trình sau:
20 1 1
= ( tan x + )cos 2 x − 9
1.
sin 2 x − 2(sin x − cos x) 2 sin x + cos x
2(tan x − sin x) + 3(cot x − cos x) + 5 = 0
2.
3. 1 + cos x − sin x = sin 2 x
3 3
sin x + cos x = ( 3 − 1)cos 2 x
4.
x
2cos 2 (1 − sin x) + cos 2 x = 0
5.
2
sin x + cos3 x = sin 2 x + sin x + cos x
3
6.
4(sin 4 x + cos 4 x) + 3 sin 4 x = 2
7.
17
sin 8 x + cos8 x =
8.
32
1 1 2
sin 3 x.cos x + cos 4 2 x = sin x.cos 3 x + sin 4 2 x +
9.
4 4 8
sin x + cos x = 2(sin x + cos x)
3 3 5 5
10.
5
sin 8 x + cos8 x = (sin10 x + cos10 x) + cos 2 x
11.
4
Phan Bá Linh 18
- Chuyên đề: Phương trình lượng giác
cotx .
tan x
1.2.5- PTLG hỗn hợp chứa các biểu thức đối xứng và
* Phương trình có dạng
n
(tan k x + α k cot k x) + q (tan x α cot x) + r = 0 ( α > 0; k
pk 2)
k =1
Cách giải:
t = tan x + α cot x |t | 2 2
Bước 1: Đặt ẩn phụ
t = tan x − α cot x tﾢ
đưa phương trình đã cho về dạng đại số F (t ) = 0
Bước 2: Giải phương trình F (t ) = 0 loại những nghiệm không thoả mãn điều kiện của bài toán
Bước 3: Với nghiệm t tìm được ở bước 2 thế vào bước 1 để tìm x
Ví dụ Minh Hoạ:
Ví Dụ 1: Giải phương trình tan x − cot x − 3(tan x + cot x ) − 3(tan x − cot x ) + 10 = 0 (1)
3 3 2 2
Giải:
Phương trình (1) � tan x − cot x − 3tan x.cot x(tanx − cotx ) − 3(tan x + cot x − 2) + 4 = 0
3 3 2 2
� (tan x − cot x)3 − 3(tan x − cot x) + 4 = 0 (2)
Đặt t = tan x − cot x , phương trình (2) trở thành
t 3 − 3t + 4 = 0 � (t + 1)(t 2 − 4t + 4) = 0
t = −1 tan x − cot x = −1
� (t + 1)(t − 2) 2 = 0 � hay
t=2 tan x − cot x = 2
π
�x = 2α + kπ x =α + k
1 2
�
cot 2 x = = cot 2α 2
�� �� � k�
π
2 ﾢ
π π
� �x = − + kπ
2
� 2 x = −1 x=− +k
cot � 4
8 2
Vậy phương trình có hai họ nghiệm
Ví Dụ 2: Giải phương trình:
tan 3 x + tan 2 x + tan x + cot 3 x + cot 2 x + cot x = 6 (2)
Giải:
π
Điều kiện sin x.cos x �۹
0 x k
2
Ta có: Phương trình (2)
� � 3 x + cot 3 x + 3tan x.cot x(tan x + cot x) �+
tan
� �
tan 2 x + cot 2 x + 2 tan x.cot x − 2(tan x + cot x) − 8 = 0
� (tan x + cot x)3 + (tan x + cot x) 2 − 2(tan x + cot x) − 8 = 0 (3)
Đặt t = tan x + cot x | t | 2 , phương trình (3) có dạng
t 3 + t 2 − 2t − 8 = 0 t 3 − 8 + t 2 − 2t = 0
� (t − 2)(t 2 + 2t + 4) − t (t − 2) = 0 � (t − 2)(t 2 + 2t + 4 − t ) = 0 � (t − 2)(t 2 + t + 4) = 0
Với | t | 2 thì t 2 + t + 4 > 0 nên (4) � t − 2 = 0 � t = 2
π
Suy ra tan x + cot x = 2 � sin 2 x = 1 � x = + kπ ( thoả mãn điều kiện(2)).
4
Phan Bá Linh 19
- Chuyên đề: Phương trình lượng giác
π
+ kπ là họ nghiệm duy nhất của phương trình đã cho
Vậy x =
4
Bài tập:Giải các phương trình sau:
1. 2(tan x + cot x ) = tan x + cot x
7 7
2 tan x + tan x + cot x + cot x − 4 = 0
3 2 2 3
3. 5(tan x + cot x ) − 3(tan x + cot x) − 8 = 0
2 2
11 1
4. tan x − 2(tan x + cot x) = −2
2
3 sin x
2
+ tan x + cot x + 2 tan 2 x = 8
5. 2
sin x
6. sin x + cos x = tan x + cot x
7. 8(tan x + cot x ) = 9(tan x + cot x ) − 10
4 4 2
1.3- Vấn đề loại nghiệm không thích hợp của PTLG.
Với nhiều PTLG ta cần đặt điều kiện cho ẩn. Khi đó, trước khi kết luận nghiệm ta cần kiểm
tra xem các nghiệm tìm được có thoả mãn điều kiện đã đặt ra hay không, để ta có thể loại những
nghiệm không thích hợp.
Chúng ta có thể xét ba phương pháp sau:
1.3.1 Phương pháp loại nghiệm trực tiếp.
Giả sử ta cần tìm nghiệm của phương trình (1) thoả mãn điều kiện (*) nào đó Trước hết ta
giải phương trình (1) sau đó thay nghiệm của phương trình (1) tìm được vào (*) để loại nghiệm không
thích hợp.
1 + sin x
=0
Ví Dụ: Giải phương trình (1)
sin 4 x
Giải:
Điều kiện sin 4 x 0 (*)
π
+ k 2π , k �
Khi đó (1) � 1 + sin x = 0 � sin x = −1 � x = − ﾢ
2
π
+ k 2π vào (*) xem có thoả mãn hay không ?
Thay x = −
2
�π �
sin � − + k 2π ) � sin(−2π + k 2π ) = sin(−2π ) = 0
=
4(
�2 �
π
Suy ra x = − + k 2π không thoả mãn (*) .
2
Vậy phương trình (1) vô nghiệm .
1.3.2- Phương pháp hình học (dùng đường tròn lượng giác).
Giả sử ta cần tìm nghiệm của phương trình (1) thoả mãn điều kiện (*) nào đó .G ọi L là t ập các cung
không thoả mãn các điều kiện (*), N là tập nghiệm của phg trình (1).Ta bi ểu di ễn đi ểm cu ối c ủa các
cung thuộc hai tập L và N lên trên cùng một đường tròn lượng giác. Ch ẳng h ạn đi ểm cu ối c ủa các
cung thuộc L ta đánh dấu (x), điểm cuối của các cung thuộc N ta đánh d ấu ( .). Khi đó những cung có
điểm cuối được đánh dấu (.) mà không bị đánh dấu (x) là nghiệm của phương trình.
cos x.cot 2 x = sin x (1)
Ví Dụ: Giải phương trình:
Giải:
Phan Bá Linh 20
nguon tai.lieu . vn
