Xem mẫu
- ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
http://laisac.page.tl Phương trình− Bất phương trình− hệ phương trình Mũ_Logarit
CHUYÊN ĐỀ
MŨ VÀ LOGARIT
Hàm số mũ
I.
• y = a x ; TXĐ D=R
• Bảng biến thiên
a>1 01 0
- ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
http://laisac.page.tl Phương trình− Bất phương trình− hệ phương trình Mũ_Logarit
Với a>0, b>0; m, n∈R ta có:
an 1 1
− −
= a n − m ;( n =a m ; a0=1; a 1= );
anam =an+m; m
a
a
a
n
an
a m
= m;
(an)m =anm ; n nn
(ab) =a b ; = n am .
a n
b b
2. Công thức logarit: logab=c⇔ac=b (00)
Với 00; 0 0] .
+logaf(x)= logag(x)⇔ f ( x ) > 0
+logaf(x)=g(x)⇔
f ( x) = a
g( x)
f ( x) = g ( x)
4Đặt ẩn phụ.
2. Bất phương trình mũ−logarit
a. Bất phương trình mũ:
a > 0 a > 0
4 af(x)>ag(x) ⇔ 4 af(x)≥ ag(x) ⇔
; .
( a − 1) [ f ( x ) − g ( x ) ] > 0 ( a − 1) [ f ( x ) − g ( x ) ] ≥ 0
Đặt biệt:
⇔
* Nếu a>1 thì: af(x)>ag(x) f(x)>g(x);
af(x)≥ag(x) ⇔ f(x)≥g(x).
⇔ f(x)< g(x);
* Nếu 0logag(x)⇔ f ( x ) > 0, g ( x ) > 0 4logaf(x)≥logag(x)⇔ f ( x ) > 0, g ( x ) > 0
; .
( a − 1) [ f ( x ) − g ( x ) > 0] ( a − 1) [ f ( x ) − g ( x ) ≥ 0]
Đặt biệt:
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2
Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952
- ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
http://laisac.page.tl Phương trình− Bất phương trình− hệ phương trình Mũ_Logarit
f ( x) > g( x)
⇔
+ Nếu a>1 thì:
logaf(x)>logag(x) ;
g ( x) > 0
f ( x) < g( x)
+ Nếu 0 0
============================
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH−BẤT PHƯƠNG TRÌNH
HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ-LOGARIT
I. Biến đổi thành tích
( )
− 1 . ( 22 x − 4 ) = 0 .
2 2 2
+x −x −x
− 4.2 x − 22 x + 4 = 0 � 2 x
x
Ví dụ 1: Giải phương trình: 2
Nhận xét: Mặc dù cùng cơ số 2 nhưng không thể biến đổi để đặt được ẩn phụ do đó ta ph ải phân
( )
− 1 . ( 22 x − 4 ) = 0 . Đây là phương trình tích đã biết cách giải.
2
−x
x
tích thành tích: 2
( )
Ví dụ 2: Giải phương trình: 2 ( log 9 x ) = log 3 x.log 3
2
2x + 1 − 1 .
Nhận xét: Tương tự như trên ta phải biến đổi phương trình thành tích:
( )
� 3 x − 2 log 3 2 x + 1 − 1 � 3 x = 0 . Đây là phương trình tích đã biết cách giải.
log .log
� �
Tổng quát: Trong nhiều trường hợp cùng cơ số nhưng không th ể bi ến đ ổi đ ể đ ặt ẩn ph ụ đ ược thì
ta biến đổi thành tích.
II. Đặt ẩn phụ-hệ số vẫn chứa ẩn
Ví dụ 1: Giải phương trình: 9 x + 2( x − 2)3x + 2 x − 5 = 0 . Đặt t = 3x (*), khi đó ta có:
t 2 + 2 ( x − 2 ) t + 2 x − 5 = 0 � t = −1, t = 5 − 2 x . Thay vào (*) ta tìm được x.
Lưu ý: Phương pháp này chỉ sử dụng khi ∆ là số chính phương.
Ví dụ 2: Giải phương trình: log 3 ( x + 1) + ( x − 5 ) log 3 ( x + 1) − 2 x + 6 = 0 . Đặt t = log3(x+1), ta có:
2
t 2 + ( x − 5 ) t − 2 x + 6 = 0 � t = 2, t = 3 − x ⇒ x = 8 và x = 2.
III. Phương pháp hàm số
Các tính chất:
Tính chất 1: Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) trên khoảng (a;b) thì phương trình f(x)=k (k∈R) có không
quá một nghiệm trong khoảng (a;b).
Tính chất 2: Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) trên khoảng ( a;b) thì ∀u, v ∈(a,b) ta có
f (u ) = f ( v ) � u = v .
Tính chất 3: Nếu hàm f tăng và g là hàm hằng hoặc giảm trong khoảng (a;b) thì phương trình
f(x)=g(x) có nhiều nhất một nghiệm thuộc khoảng (a;b).
Định lý Lagrange: Cho hàm số F(x) liên tục trên đoạn [a;b] và tồn tại F'(x) trên khoảng (a;b) thì
F ( b) − F ( a )
∃ c ∈ ( a; b ) : F ' ( c ) = . Khi áp dụng giải phương trình nếu có F(b) – F(a) = 0 thì
b−a
∃c � a; b ) : F ' ( c ) = 0 � F ' ( x ) = 0 có nghiệm thuộc (a;b).
(
Định lý Rolle: Nếu hàm số y=f(x) lồi hoặc lõm trên miền D thì phương trình f(x)=0 sẽ không có quá
hai nghiệm thuộc D. ( Xem thêm bài viết “ Nghệ thuật giải toán phổ thông” của tác giả.)
Ví dụ 1: Giải phương trình: x + 2.3log2 x = 3 .
Hướng dẫn: x + 2.3log2 x = 3 � 2.3log2 x = 3 − x , vế trái là hàm đồng biến, vế phải là hàm nghịch bi ến
nên phương trình có nghiệm duy nhất x=1.
Ví dụ 2: Giải phương trình: 6 x + 2 x = 5 x + 3x . Phương trình tương đương 6 x − 5 x = 3x − 2 x , giả sử
phương trình có nghiêm α. Khi đó: 6 α − 5 α = 3α − 2 α .
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3
Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952
- ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
http://laisac.page.tl Phương trình− Bất phương trình− hệ phương trình Mũ_Logarit
Xét hàm số f ( t ) = ( t + 1) − t , với t > 0. Ta nhận thấy f(5) = f(2) nên theo định lý lagrange tồn tại
α α
( c α −1 − cα −1 � 0 � α = 0, α = 1 , thử lại ta thấy x = 0, x = 1 là
f ' ( c ) = 0 � α � + 1)
( 2;5) sao cho: =
c �
�
nghiệm của phương trình.
2
Ví dụ 3: Giải phương trình: −2 x + 2 x −1 = ( x − 1) 2 . Viết lại phương trình dưới dạng
−x
+ x 2 − x , xét hàm số f ( t ) = 2 + t là hàm đồng biến trên R ( ??? ). Vậy phương
t
2
2 x −1 + x − 1 = 2 x −x
trình được viết dưới dạng: f ( x − 1) = f ( x − x ) � x − 1 = x − x � x = 1 .
2 2
Ví dụ 4: Giải phương trình: 3x + 2 x = 3 x + 2 . Dễ dàng ta tìm được nghiệm: x = 0 và x = 1. Ta cần
chứng minh không còn nghiệm nào khác.
Xét hàm số f ( x ) = 3x + 2 x − 3x − 2 � f '' ( x ) = 3x ln 2 3 + 2 x ln 2 2 > 0 � Đồ thị của hàm số này lõm,
suy ra phương trình không có quá hai nghiệm.
y
e x = 2007 −
y −12
Ví dụ 5: Chứng minh hệ phương trình có đúng hai nghiệm thỏa mãn x > 0, y >
x
e = 2007 −
y
x2 − 1
0.
x
HD: Dùng tính chất 2 để chỉ ra x = y khi đó xét hàm số f ( x ) = e + − 2007 .
x
x2 − 1
Nếu x < −1 thì f ( x ) < e − 2007 < 0 suy ra hệ phương trình vô nghiệm.
−1
Nếu x > 1 dùng định lý Rôn và chỉ ra với x0 = 2 thì f(2) < 0 để suy ra điều phải chứng minh.
b a
1 1
Ví dụ 6: Cho a ≥ b > 0 . Chứng minh rằng � a + a � � b + b �(ĐH Khối D−2007)
2 2
� �� �
2�� 2�
�
1 1
ln � a + a � ln � b + b �
2 2
� � � �
2 � Xét hàm số
HD: BĐT �+b�+ 2a .
1� 1� 2�
� �
ln � a ln � b
2
� a� � �
a b
2b �
2�
� �
�x + 1 �
ln �2 �
2 x �với x > 0
f ( x) = �
x
Suy ra f’(x) < 0 với mọi x > 0, nên hàm số nghịch biến vậy với a ≥ b > 0 ta có f (a ) ≤ f ( b ) (Đpcm).
IV. Một số bài toán (đặc biệt là các bài logarrit) ta thường phải đưa về phương trình – hệ
phương trình – bất phương trình mũ rồi sử dụng các phương pháp trên.
1.Dạng 1: Khác cơ số:
Ví dụ: Giải phương trình log7 x = log3 ( x + 2) . Đặt t = log 7 x � x = 7t . Khi đó phương trình trở
t t
�7� 1
7t + 2 � 1 = � �+ 2. � �
t = log 3 ( 7t + 2) � 3t =
thành: .
��
3� 3
��
�
2.Dạng 2: Khác cơ số và biểu thức trong dấu log phức tạp
Ví dụ 1: Giải phương trình log 6 ( x 2 − 2 x − 2) = 2 log 5 ( x 2 − 2 x − 3 ) .
4
Đặt t = x2 – 2x – 3 ta có log 6 ( t + 1) = log 5 t .
( )
log x
Ví dụ 2: Giải phương trình log 2 x + 3 6 = log 6 x . Đặt t = log 6 x , phương trình tương
t
3
đương 6t + 3t = 2t � 3t + � � = 1 .
��
2 ��
3. Dạng 3: ( Điều kiện: b = a + c )
logb ( x +c )
=x
a
Ví dụ 1: Giải phương trình 4log7 ( x +3) = x . Đặt t = log 7 ( x + 3) � 7t = x + 3 ,
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 4
Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952
- ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
http://laisac.page.tl Phương trình− Bất phương trình− hệ phương trình Mũ_Logarit
t t
4 1
phương trình tương đương 4t = 7t − 3 � � �+ 3. � �= 1 .
�� ��
7 7
�� ��
Ví dụ 2: Giải phương trình 2 log3 ( x +5 ) = x + 4 . Đặt t = x+4 .
phương trình tương đương: 2 log3 ( t +1) = t
Ví dụ 3: Giải phương trình 4log3 ( x +1) − ( x − 1) 2log3 ( x +1) − x = 0 .
=c log ( dx + ) + x +β , với d = ac + α , e = bc + β
4. Dạng 4: s α ax +b
e s
Phương pháp: Đặt ay + b = log s (dx + e) rồi chuyển về hệ hai phương trình, lấy phương trình hai
trừ phương trình một ta được: s ax +b + acx = s ay +b + acy . Xét f ( t ) = s at +b + act .
Ví dụ: Giải phương trình 7 x −1 = 6 log 7 (6 x − 5) + 1 . Đặt y − 1 = log 7 ( 6 x − 5) . Khi đó chuyển thành hệ
� = 6 ( y − 1) + 1
7 x −1 7 x −1
� = 6y − 5
� 7 x −1 + 6 x = 7 y −1 + 6 y . Xét hàm số f ( t ) = 7t −1 + 6t suy ra x=y,
� � y −1
�
y − 1 = log 7 ( 6 x − 5 ) 7 = 6x − 5
Khi đó: 7 x −1 − 6 x + 5 = 0 . Xét hàm số g ( x ) = 7 x −1 − 6 x + 5 . Áp dụng định lý Rolle và nhẩm nghiệm ta
được 2 nghiệm của phương trình là: x = 1, x = 2.
5. Dạng 5: Đặt ẩn phụ chuyển thành hệ phương trình.
2x 8
18
+
= x−1 1− x
Ví dụ: Giải phương trình x −1 x
2 +1 2 + 2 2 + 2 + 2
8 1 18
HD: Viết phương trình dưới dạng x −1 + 1− x = x −1 1− x , đặt
2 +1 2 + 2 2 + 2 + 2
u = 2 x −1 + 1, v = 21− x + 1.u , v > 0 .
81 18
+=
Nhận xét: u.v = u + v. Từ đó ta có hệ: u v u + v
u.v = u + v
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1: Giải các phương trình sau:
a. ( 2 + 3 ) + ( 2 − 3 ) − 4 = 0
x x
( ) +( )
x x
2− 3 2+ 3 =4
b.
c. ( 7 + 4 3 ) − 3 ( 2 − 3 ) + 2 = 0
x x
d. ( 3 + 5 ) + 16 ( 3 − 5 ) = 2 x +3
x x
( )( )
x x
ĐS: x=1, x=−1.
2 −1 + 2 + 1 − 2 2 = 0 (ĐH_Khối B 2007)
e.
f. 3.8x+4.12x−18x−2.27x=0. (ĐH_Khối A 2006) ĐS: x=1.
g. 2 x + x − 4.2 x − x − 22 x + 4 = 0 (ĐH_Khối D 2006)
2 2
ĐS: x=0, x=1.
ĐS: x=−1, x=2.
k. 2 x − x − 22+ x − x = 3 (ĐH_Khối D 2003)
2 2
i. 3.16 x + 2.8 x = 5.32 x
1 1 1
j. 2.4 x + 6 x = 9 x
Bài 2: Giải các hệ phương trình sau:
5 x + y = 125
4 x+ y = 128
a. b.
53 x −2 y −3 = 1
2
4( x − y ) −1 = 1
2 x + 2 y = 12
c.
x+ y =5
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 5
Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952
- ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
http://laisac.page.tl Phương trình− Bất phương trình− hệ phương trình Mũ_Logarit
log 2 ( x + y ) = 1 + log ( xy )
2 2
2
(ĐH_Khối A 2009) ĐS: (2;2), (−2;−2)
d.
x 2 − xy + y 2
= 81
3
x −1 + 2 − y =1
(ĐH_Khối B 2005) ĐS: (1;1), (2;2).
e.
3log 9 ( 9 x 2 ) − log 3 y 3 = 3
1
log 1 ( y − x ) − log 4 =1
y (ĐH_Khối A 2004) ĐS: (3;4)
f. 4
x + y = 25
2 2
23 x = 5 y 2 − 4 y
(ĐH_Khối D 2002) ĐS: (0;1), (2;4).
g. 4 x + 2 x +1
=y
2 +2 x
Bài 3: Giải và biện luận phương trình:
a . ( m − 2 ) .2 x + m.2 − x + m = 0 . b . m.3x + m.3− x = 8 .
Bài 4: Cho phương trình log 3 x + log3 x + 1 − 2m − 1 = 0 (m là tham số). (ĐH_Khối A 2002)
2 2
a. Giải phương trình khi m=2.
b. Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn � 3 �
1; 3 .
��
, b. 0 ≤ m ≤ 2
ĐS: a. x = 3 3
( )
x −1 x
Bài 5: Cho bất phương trình 4 − m. 2 + 1 > 0
16
a. Giải bất phương trình khi m= .
9
b. Định m để bất phương trình thỏa ∀x R .
Bài 6: Giải các phương trình sau:
a. log5 x = log5 ( x + 6 ) − log5 ( x + 2 ) b. log 5 x + log 25 x = log 0,2 3
( ) x+3
2
d. lg( x 2 + 2 x − 3) + lg
c. log x 2 x − 5 x + 4 = 2 =0
x −1
e. log2x−1(2x2+x−1)+logx+1(2x−1)2=4 (ĐH Khối A_2008) ĐS: x=2; x=5/4.
f. log 2 ( x + 1) − 6 log 2 x + 1 + 2 = 0 (ĐH_Khối D 2008) ĐS: x=1, x=3.
2
1
g. log 2 ( 4 + 15.2 + 27 ) + 2 log 2 =0
x x
(ĐH_Khối D 2007) ĐS: x=log23.
4.2 − 3
x
Bài 7: Giải bất phương trình:
a. 2 log3 (4 x − 3) + log 1 ( 2 x + 3) 2 (ĐH Khối A_2007) ĐS: 3/4 ≤ x ≤ 3.
3
x2 + x �
�
< (ĐH_Khối B 2008) ĐS: −4< x < −3, x > 8.
b. log 0,7 � 6
log �0
x+4 �
�
c. log 5 ( 4 + 144 ) − 4 log 5 2 < 1 + log 5 ( 2 + 1)
x−2
x
(ĐH_Khối B 2006) ĐS: 2 < x < 4.
x 2 − 3x + 2
)(
(ĐH_Khối D 2008) ĐS: � − 2;1 U 2; 2 + 2 �
d. log 1 0 2 .
� �
x
2
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 6
Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952
- ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
http://laisac.page.tl Phương trình− Bất phương trình− hệ phương trình Mũ_Logarit
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 7
Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952
nguon tai.lieu . vn
