Xem mẫu
- Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam
CHUYÊN 1: TÍNH ƠN I U C A HÀM S
I.Ki n th c cơ b n:
1. nh lý:
ng bi n trên D.
* f / ( x) > 0∀x ∈ D ⇒ f ( x)
* f ( x) < 0∀x ∈ D ⇒ f ( x) ngh ch bi n trên D.
/
2. nh lý m r ng:
* f / ( x) ≥ 0∀x ∈ D và f / ( x) = 0 t i m t s h u h n i m ⇒ f ( x) ng bi n trên D.
* f / ( x) ≤ 0∀x ∈ D và f / ( x) = 0 t i m t s h u h n i m ⇒ f ( x) ngh ch bi n trên D.
3. Chú ý:
* f / ( x) > 0 ∀x ∈ (a; b ) và f(x) liên t c trên [a; b ] ⇒ f ( x) ng bi n trên [a; b ] .
* f / ( x) < 0 ∀x ∈ (a; b ) và f(x) liên t c trên [a; b ] ⇒ f ( x) ngh ch bi n trên [a; b ] .
4. i u ki n không i d u trên R:
Cho f ( x) = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) .
a > 0 a < 0
* f ( x) ≥ 0∀x ∈ R ⇔ * f ( x) ≤ 0∀x ∈ R ⇔
∆ ≤ 0 ∆ ≤ 0
a > 0 a < 0
* f ( x) > 0∀x ∈ R ⇔ * f ( x) < 0∀x ∈ R ⇔
∆ < 0 ∆ < 0
II. Các d ng toán:
1. Tìm i u ki n hàm s ơn i u trên kho ng, o n cho trư c:
1
Ví d 1. Cho hàm s y = x 3 − (m + 1)x 2 + (2m + 1)x + 6
3
a. Xác nh m hàm s ng bi n trên R.
b. Xác nh m hàm s ng bi n trên (2; + ∞ )
c. Xác nh m hàm s ngh ch bi n trên [− 3;1]
Gi i:
a. T p xác nh: D = R.
/ 2
y = x − 2(m + 1)x + 2m + 1
a > 0 1 > 0 m ∈ R
Hàm s ng bi n trên R ⇔ y / ≥ 0 ∀x ∈ R ⇔ ⇔m=0
⇔ 2 ⇔
/
m = 0
∆ ≤ 0 m ≤ 0
b. T p xác nh: D = R.
/ 2
y = x − 2(m + 1)x + 2m + 1
x = 1
y / = 0 ⇔ x 2 − 2(m + 1)x + 2m + 1 = 0 ⇔
x = 2m + 1
1
LT H - Chuyên Kh o Sát Hàm S
- Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam
* Trư ng h p 1: 2m + 1 = 1 ⇔ m = 0 .
Ta có b ng bi n thiên:
x −∞ 1 +∞
y/ + 0 +
+∞
1
y −∞
3
Suy ra hàm s ng bi n trên R nên ng bi n trên (2; + ∞ ) .
Do ó m = 0 th a mãn.
* Trư ng h p 2 : 2m + 1 > 1 ⇔ m > 0 .
Ta có b ng bi n thiên:
x −∞ 1 2m+1 +∞
y/ + 0 - 0 +
y(1) +∞
y −∞ y(2m+1)
D a vào b ng bi n thiên ta th y hàm s ng bi n trên (2; + ∞ )
1
( th a k m>0)
⇔ 2m + 1 > 2 ⇔ m >
2
* Trư ng h p 3 : 2m + 1 < 1 ⇔ m < 0 .
Ta có b ng bi n thiên:
x −∞ 2m+1 1 +∞
y/ + 0 - 0 +
y(2m+1) +∞
y −∞ y(1)
D a vào b ng bi n thiên ta th y không có giá tr nào c a m hàm s ng bi n
trên (2; + ∞ )
1
V y hàm s ng bi n trên R nên ng bi n trên (2; + ∞ ) khi m = 0 ho c m >
2
c. T p xác nh: D = R.
/ 2
y = x − 2(m + 1)x + 2m + 1
x = 1
y / = 0 ⇔ x 2 − 2(m + 1)x + 2m + 1 = 0 ⇔
x = 2m + 1
2
LT H - Chuyên Kh o Sát Hàm S
- Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam
* Trư ng h p 1: 2m + 1 = 1 ⇔ m = 0 .
Ta có b ng bi n thiên:
x −∞ 1 +∞
y/ + 0 +
+∞
1
y −∞
3
Suy ra hàm s ng bi n trên R nên không ngh ch bi n trên [− 3;1]
Do ó m = 0 không th a mãn.
* Trư ng h p 2 : 2m + 1 > 1 ⇔ m > 0 .
Ta có b ng bi n thiên:
x −∞ 1 2m+1 +∞
y/ + 0 - 0 +
y(1) +∞
y −∞ y(2m+1)
D a vào b ng bi n thiên ta th y không có giá tr nào c a m hàm s ngh ch
bi n trên [− 3;1]
* Trư ng h p 3 : 2m + 1 < 1 ⇔ m < 0 .
Ta có b ng bi n thiên:
x −∞ 2m+1 1 +∞
y/ + 0 - 0 +
y(2m+1) +∞
y −∞ y(1)
D a vào b ng bi n thiên ta th y hàm s ngh ch bi n trên
[− 3;1] ⇔ 2m + 1 ≤ −3 ⇔ m ≤ −2 ( Th a mãn i u ki n m
- Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam
Gi i:
a. T p xác nh: D = R.
y / = x 2 + 4x − m
Hàm s ng bi n trên R
a > 0 1 > 0 m ∈ R
⇔ y / ≥ 0 ∀x ∈ R ⇔ / ⇔ m ≤ −4
⇔ ⇔
4 + m ≤ 0 m ≤ −4
∆ ≤ 0
b. * T p xác nh: D = R.
/ 2
y = x + 4x − m
* Hàm s ng bi n trên [0; + ∞ ) ⇔ y / ≥ 0 ∀x ∈ [0; + ∞ )
⇔ x 2 + 4 x − m ≥ 0 ∀x ∈ [0; + ∞ ) ⇔ x 2 + 4 x ≥ m ∀x ∈ [0; + ∞ )
* Xét hàm s f ( x) = x 2 + 4 x trên [0; + ∞ )
Ta có f / ( x) = 2 x + 4
f / ( x) = 0 ⇔ x = −2 (lo i)
Ta có b ng bi n thiên:
x 0 +∞
f/(x) +
+∞
f(x)
0
D a vào b ng bi n thiên ta th y YCBT ⇔ m ≤ 0
V y m ≤ 0 hàm s ng bi n trên [0; + ∞ ) .
c. * T p xác nh: D = R.
/ 2
y = x + 4x − m
* Hàm s ng bi n trên (− ∞;1) ⇔ y / ≥ 0 ∀x ∈ (− ∞;1)
⇔ x 2 + 4 x − m ≥ 0 ∀x ∈ (− ∞;1) ⇔ x 2 + 4 x ≥ m ∀x ∈ (− ∞;1)
* Xét hàm s f ( x) = x 2 + 4 x trên (− ∞;1)
Ta có f / ( x) = 2 x + 4
f / ( x) = 0 ⇔ x = −2 ( nh n )
Ta có b ng bi n thiên:
x -2 1
−∞
f/(x) - 0 +
+∞
f(x) -4 5
4
LT H - Chuyên Kh o Sát Hàm S
- Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam
D a vào b ng bi n thiên ta th y YCBT ⇔ m ≤ −4
d. * T p xác nh: D = R.
y / = x 2 + 4x − m
Hàm s ngh ch bi n trên o n có dài b ng 1
⇔ phương trình ý = 0 có hai nghi m phân bi t x1 , x 2 sao cho x1 − x 2 = 1
∆/ > 0 4 + m > 0 m > −4
⇔ ⇔ 2 ⇔
2 2 2
= 1 x1 + x 2 − 2 x1 x 2 = 1 (x1 + x 2 ) − 4 x1 x 2 = 1
x1 − x 2
m > −4
m > −4 3
⇔ ⇔ 3 ⇔m=−
2
4
(− 2 ) − 4(−m) = 1 m = − 4
3
V y m=− th a mãn i u ki n bài toán.
4
Ví d 3. Cho hàm s y = x 3 − mx 2 + 12 x − 1
a. Xác nh m hàm s ng bi n trên R.
b. Xác nh m hàm s ng bi n trên (1;+∞ )
c. Xác nh m hàm s ngh ch bi n trên (1; 2)
d. Xác nh m hàm s nghich bi n trên o n có dài b ng 2.
Gi i:
a. T p xác nh: D = R.
y / = 3 x 2 − 2mx + 12
Hàm s ng bi n trên R
a > 0 3 > 0 m ∈ R
⇔ y / ≥ 0 ∀x ∈ R ⇔ / ⇔ −6 ≤ m ≤ 6
⇔ 2 ⇔
− 6 ≤ m ≤ 6
∆ ≤ 0 m − 36 ≤ 0
b. T p xác nh: D = R.
/ 2
y = 3 x − 2mx + 12
* Hàm s ng bi n trên (1;+∞ ) ⇔ y / ≥ 0 ∀x ∈ (1;+∞ )
3 x 2 + 12
⇔ 3 x 2 − 2mx + 12 ≥ 0 ∀x ∈ (1;+∞ ) ⇔ 2m ≤ ∀x ∈ (1;+∞ )
x
3 x 2 + 12
Xét hàm s trên (1;+∞ )
f ( x) =
x
3 x 2 − 12
Ta có f / ( x) =
x2
x = 2 ( n)
3 x 2 − 12
f / ( x) = 0 ⇔ =0⇔
2
x = −2 (l )
x
Ta có b ng bi n thiên:
x 1 2 +∞
f/(x) - 0 +
15 +∞
f(x)
12
5
LT H - Chuyên Kh o Sát Hàm S
- Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam
D a vào b ng bi n thiên ta th y YCBT ⇔ 2m ≤ 12 ⇔ m ≤ 6
V y m ≤ 6 th a mãn i u ki n bài toán.
c. T p xác nh: D = R.
/ 2
y = 3 x − 2mx + 12
* Hàm s ngh ch bi n trên (1;2) ⇔ y / ≤ 0 ∀x ∈ (1;2)
3 x 2 + 12
⇔ 3 x 2 − 2mx + 12 ≤ 0 ∀x ∈ (1;2 ) ⇔ 2m ≤ ∀x ∈ (1;2 )
x
3 x 2 + 12
Xét hàm s trên (1; 2 )
f ( x) =
x
3 x 2 − 12
Ta có f / ( x) =
x2
x = 2 ( l)
3 x 2 − 12
f / ( x) = 0 ⇔ =0⇔
2
x = −2 (l )
x
B ng bi n thiên:
x 1 2
f/(x) -
15
f(x)
12
D a vào b ng bi n thiên ta th y YCBT ⇔ 2m ≤ 12 ⇔ m ≤ 6
V y m ≤ 6 th a mãn i u ki n bài toán.
d. * T p xác nh: D = R.
/ 2
y = 3 x − 2mx + 12
Hàm s ngh ch bi n trên o n có dài b ng 2
⇔ phương trình ý = 0 có hai nghi m phân bi t x1 , x 2 sao cho x1 − x 2 = 2
∆/ > 0 m ∈ (− ∞; − 6 ) ∪ (6; + ∞ )
m 2 − 36 > 0
⇔ ⇔ 2 ⇔
2 2
x1 + x 2 2 − 2 x1 x 2 = 4 ( x1 + x 2 ) − 4 x1 x 2 = 4
=4
x1 − x 2
m ∈ (− ∞; − 6 ) ∪ (6; + ∞ )
m ∈ (− ∞; − 6 ) ∪ (6; + ∞ )
2
⇔ m = 6
⇔ 2m ⇔ m ∈φ
− 4.4 = 4
m = −6
3
V y không có giá tr nào c a m th a i u ki n bài toán.
6
LT H - Chuyên Kh o Sát Hàm S
- Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam
mx + 9
Ví d 4. Cho hàm s y = .
x+m
a. Xác nh m hàm s ngh ch bi n trên t ng kho ng xác nh.
b. Xác nh m hàm s ng bi n trên (2; + ∞ ) .
c. Xác nh m hàm s ngh ch bi n trên (− ∞; − 1)
Gi i:
a. TX : D = R \ {− m}
m2 − 9
y/ =
( x + m )2
Hàm s ngh ch bi n trên t ng kho ng xác nh ⇔ y / > 0 ∀x ≠ −m
⇔ m 2 − 9 > 0 ⇔ m ∈ (− 3; 3)
V y: m ∈ (− 3; 3) th a i u ki n bài toán.
b. TX : D = R \ {− m}
m2 − 9
y/ =
( x + m )2
Hàm s ng bi n trên ⇔ y / > 0 ∀x ∈ (2; + ∞ ) và x ≠ − m
m 2 − 9 > 0 m ∈ (− ∞; − 3) ∪ (3; + ∞ ) m ∈ (− ∞; − 3) ∪ (3; + ∞ )
⇔m>3
⇔ ⇔ ⇔
− m ≤ 2 m ≥ −2
− m ∉ (2; + ∞ )
V y: m > 3 th a i u ki n bài toán.
c. TX : D = R \ {− m}
m2 − 9
y/ =
( x + m )2
Hàm s ngh ch bi n trên (− ∞; − 1) ⇔ y / < 0 ∀x ∈ (− ∞; − 1) và x ≠ − m
m 2 − 9 < 0 m ∈ (− 3; 3) m ∈ (− 3; 3)
⇔ −3 < m ≤ 1
⇔ ⇔ ⇔
− m ≥ −1 m ≤ 1
− m ∉ (− ∞; − 1)
V y: − 3 < m ≤ 1 th a i u ki n bài toán.
2 . ng d ng tính ơn i u ch ng minh b t ng th c:
Ví d 1. Ch ng minh r ng:
a. sinx < x ∀x ∈ 0; b. x < tan x ∀x ∈ 0;
π π
c. x 4 − 2 x 2 ≤ 0 ∀x ∈ [− 1;1]
2 2
Gi i:
a. Ta có: sinx < x ⇔ x − sin x > 0
Xét f ( x) = x − sin x V i ∀x ∈ 0;
π
2
Ta có f / ( x) = 1 − cos x = 2 sin 2 ≥ 0 ∀x ∈ 0;
π
x
2
2
7
LT H - Chuyên Kh o Sát Hàm S
- Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam
π
x x
f / ( x) = 0 ⇔ sin = 0 ⇔ = kπ ⇔ x = k 2π ⇔ x = 0 ( Do x ∈ 0; )
2 2 2
ng bi n trên 0;
π
Suy ra, f ( x)
2
Do ó, ∀x ∈ 0;
π
2
Ta có 0 < x ⇒ f (0) < f ( x) ⇔ 0 < x − sin x ⇔ sin x < x
V y: sinx < x ∀x ∈ 0;
π
2
b. Ta có: x < tan x ⇔ x − tan x < 0
π
Xét hàm s f ( x) = x − tan x trên 0;
2
1
Ta có f / ( x) = 1 − 2 = − tan 2 x ≤ 0 ∀x ∈ 0;
π
2
cos x
π
f / ( x) = 0 ⇔ tan x = 0 ⇔ x = kπ ⇔ x = 0 ( Do x ∈ 0; )
2
Suy ra, f ( x) ngh ch bi n trên 0;
π
2
Do ó, ∀x ∈ 0;
π
2
Ta có 0 < x ⇒ f (0) > f ( x) ⇔ 0 > x − tan x ⇔ x < tan x
V y x < tan x ∀x ∈ 0;
π
2
c. x − 2 x ≤ 0 ∀x ∈ [− 1;1]
4 2
Xét hàm s f ( x) = x 4 − 2 x 2 v i x ∈ [− 1;1]
Ta có f / ( x) = 4 x 3 − 4 x
x = 0
f ( x) = 0 ⇔ 4 x − 4 x = 0 ⇔ 4 x(x − 1) = 0 ⇔ x = 1
/ 3 2
x = −1
B ng bi n thiên:
x -1 0 1
f/(x) + 0-
0
f(x)
-1 -1
D a vào b ng bi n thiên ta th y f ( x) = x 4 − 2 x 2 ≤ 0 ∀x ∈ [− 1;1] ( pcm)
8
LT H - Chuyên Kh o Sát Hàm S
- Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam
CHUYÊN 2: C C TR C A HÀM S
1. Tìm i u ki n hàm s t c c tr tai m t i m:
Cách 1. ( Thư ng dùng cho hàm a th c )
y / ( x0 ) = 0
t c c tr t i x = x 0 ⇔
* f(x)
y // ( x0 ) ≠ 0
/
y ( x0 ) = 0
* f(x) t c c i t i x = x0 ⇔ //
y ( x0 ) < 0
y / (x ) = 0
t c c ti u t i x = x0 ⇔ // 0
* f(x)
y ( x0 ) > 0
Cách 2. ( Thư ng dùng cho hàm phân th c )
* N u f(x) t c c tr t i x = x0 thì y / ( x0 ) = 0 .
* Gi i phương trình y / ( x0 ) = 0 tìm m, thay m v a tìm ư c vào hàm s .
* L p b ng bi n thiên và k t lu n.
1
Ví d 1. Cho hàm s y = x 3 − (m − 1)x 2 + (m 2 − 3m + 2)x + 5 .
3
a. Tìm m hàm s t c c t r t i x = 0.
b. Tìm m hàm s t c c i t i x = 1.
c. Tìm m hàm s t c c ti u t i x = 3.
Gi i:
a. TX : D = R
y / = x 2 − 2(m − 1)x + m 2 − 3m + 2
y // = 2 x − 2(m − 1)
m = 1
y / (0) = 0 m 2 − 3m + 2 = 0
⇔ m = 2 ⇔ m = 2
Hàm s t c c tr t i x = 0 ⇔ // ⇔
y (0) ≠ 0 − 2(m − 1) ≠ 0 m ≠ 1
V y Hàm s t c c tr t i x = 0
b. TX : D = R
y / = x 2 − 2(m − 1)x + m 2 − 3m + 2
y // = 2 x − 2(m − 1)
Hàm s tc c it ix=1
5+ 5
m =
2
y / (1) = 0 m 2 − 5m + 5 = 0 5+ 5
⇔
⇔ // ⇔ 5− 5 ⇔ m =
2
y (1) < 0 4 − 2 m < 0 m =
2
m > 2
c. TX : D = R
y / = x 2 − 2(m − 1)x + m 2 − 3m + 2
y // = 2 x − 2(m − 1)
Hàm s t c c ti u t i x = 3
9
LT H - Chuyên Kh o Sát Hàm S
- Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam
y / (3) = 0 m 2 − 9m + 17 = 0 m ∈ φ
⇔ // ⇔ ⇔ ⇔ m ∈φ
m < 4
y (3) > 0 8 − 2m > 0
V y không có giá tr nào c a m hàm s t c c ti u t i x = 3 .
1 1 1
Ví d 2. Cho hàm s y = − x 3 + ax 2 + bx + . Xác nh a và b hàm s tc c
3 2 3
i t i x = 1 và giá tr c c i t i i m ó b ng 2.
Gi i:
* TX : D = R
* y / = − x 2 + ax + b
y // = −2 x + a
Hàm s tc c i t i x = 1 và giá tr c c i t i i m ó b ng 2
y / (1) = 0 − 1 + a + b = 0 a = −2
// a = −2
⇔ y (1) < 0 ⇔ − 2 + a < 0 ⇔ b = 3 ⇔
b = 3
y (1) = 2 1 a < 2
a+b = 2
2
a = −2
Vy th a mãn i u ki n bài toán.
b = 3
Ví d 3. Xác nh m hàm s y = x 4 − 2m 2 x 2 + 5
a. Hàm s t c c ti u t i x = - 1
b. Hàm s t c c ti u t i x = - 2.
Gi i:
a. TX : D = R
y / = 4 x 3 − 4m 2 x
y // = 12 x 2 − 4m 2
m = 1
y / (−1) = 0 − 4 + 4 m 2 = 0
Hàm s t c c ti u t i x = - 1 ⇔ // ⇔ m = −1
⇔
y (−1) > 0 12 − 4m > 0
2
( )
m ∈ − 3 ; 3
m = 1
⇔
m = −1
b. TX : D = R
y / = 4 x 3 − 4m 2 x
y // = 12 x 2 − 4m 2
Hàm s tc c it ix=-2
10
LT H - Chuyên Kh o Sát Hàm S
- Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam
m = 2
y / (−2) = 0 − 32 + 8m 2 = 0
⇔ m = −2 ⇔m=2
⇔ // ⇔
y (−2) < 0 48 − 4m < 0
2
( )( )
m ∈ − ∞; − 2 3 ∪ 2 3 : + ∞
x 2 − 2mx + 5
Ví d 4. Xác nh m hàm s y = t c c ti u t i x = 3.
x +1
Gi i:
TX : D = R \ {− 1}
x 2 + 2 x − 2m − 5
y/ =
(x + 1)2
* N u hàm s t c c ti u t i x = 3 thì y / (3) = 0
10 − 2m
=0⇔m=5
⇔
16
* V i m = 5 ta có
x 2 + 2 x − 15
y/ =
(x + 1)2
x = 3
y/ = 0 ⇔
x = 5
x 3 5
−∞ +∞
y/ + 0 - 0 +
C +∞
y −∞ CT
D a vào BBT ta th y x = 3 không ph i là i m c c ti u.
V y không có giá tr nào c a m hàm s t c c ti u t i x = 3 .
x 2 + 2x + m
Ví d 5. Xác nh m hàm s y = tc c it i x= 2.
x 2 − 2x + 2
Gi i:
TX : D = R
− 4 x 2 + 4 x − 2mx + 2m
* y/ = 2
(x )
2
− 2x + 2
* N u hàm s t c c ti u t i x = 2 thì y / ( 2 ) = 0
( )
4 2 − 8 + 21− 2 m
= 0 ⇔ m = −2 2
⇔ 2
(4 − 2 2 )
( )
− 4x 2 + 4 + 4 2 x − 4 2
* V i m = −2 2 ta có y / = 2
(x )
2
− 2x + 2
11
LT H - Chuyên Kh o Sát Hàm S
- Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam
x = 2
y/ = 0 ⇔
x = 1
B ng bi n thiên:
x 1 2
−∞ +∞
y/ - 0 + 0 -
1 C
y
CT 1
D a vào BBT ta th y hàm s tc c it i x= 2.
V y m = −2 2 th a mãn i u ki n bài toán.
2. Tìm m hàm s có c c tr th a mãn i u ki n cho trư c:
1
Ví d 1. Cho hàm s y = x 3 − (2m − 1)x 2 + (1 − 4m )x + 1
3
a. Xác nh m hàm s có c c i và c c ti u.
b. Xác nh m hàm s có hai i m c c tr x1 , x2 sao cho x1 − x2 = 4 .
c. Xác nh m hàm s có hai i m c c tr x1 , x2 sao cho 3x1 + x2 = 4 .
d. Xác nh m hàm s có hai i m c c tr x1 , x2 th a mãn: x1 2 + x2 2 ≤ 2.
e. Xác nh m th hàm s có hai i m c c n m v cùng phía so v i tr c
tung.
Gi i:
a. TX : D = R
y / = x 2 − 2(2m − 1)x + 1 − 4m
y / = 0 ⇔ x 2 − 2(2m − 1)x + 1 − 4m = 0 (*)
Hàm s có c c i và c c ti u ⇔ phương (*) có hai nghi m phân bi t
∆/ = 4m 2 ≥ 0 ⇔ m 2 ≥ 0 ⇔ m ≠ 0
V y m ≠ 0 hàm s có c c i và c c ti u.
b. TX : D = R
y / = x 2 − 2(2m − 1)x + 1 − 4m
y / = 0 ⇔ x 2 − 2(2m − 1)x + 1 − 4m = 0 (*)
* Hàm s có hai i m c c tr x1 , x2 ⇔ phương (*) có hai nghi m phân bi t
⇔ ∆ / = 4m 2 ≥ 0 ⇔ m 2 ≥ 0 ⇔ m ≠ 0
* V i m ≠ 0 hàm s có hai i m c c tr x1 , x2
x + x = 2(2m − 1)
Ta có x1 , x2 là nghi m c a phương trình (*) nên 1 2
x1 .x 2 = 1 − 4m
Theo ta có x1 − x2 = 4 ⇔ x1 2 + x2 2 − 2 x1 x2 = 16 ⇔ (x1 + x2 )2 − 4 x1 x2 = 16
12
LT H - Chuyên Kh o Sát Hàm S
- Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam
m = 1 (n)
2
⇔ [2(2m − 1)] − 4.(1 − 4m ) = 16 16m 2 = 16 ⇔
m = −1 (n)
V y m = 1; m = -1 th a mãn i u ki n bài toán.
c. TX : D = R
y / = x 2 − 2(2m − 1)x + 1 − 4m
y / = 0 ⇔ x 2 − 2(2m − 1)x + 1 − 4m = 0 (*)
* Hàm s có hai i m c c tr x1 , x2 ⇔ phương (*) có hai nghi m phân bi t
∆/ = 4m 2 ≥ 0 ⇔ m 2 ≥ 0 ⇔ m ≠ 0
* V i m ≠ 0 hàm s có hai i m c c tr x1 , x2
x + x = 2(2m − 1) (1)
Ta có x1 , x2 là nghi m c a phương trình (*) nên 1 2
x1 .x 2 = 1 − 4m (2)
Theo ta có 3x1 + x2 = 4 (3)
4 − 2 x1 = 2(2m − 1)
T (3) ⇒ x 2 = 4 − 3x1 thay vào (1) và (2) ta ư c
x1 (4 − 3 x1 ) = 1 − 4m
x1 = 3 − 2m (3)
⇔ 2
4 x1 − 3 x1 = 1 − 4m (4)
Thay x1 = 3 − 2m vào (4) ta ư c 4(3 − 2m ) − 3(3 − 2m )2 = 1 − 4m
2
m = 3 ( n)
2
− 12m + 32m − 16 = 0 ⇔
m = 2 ( n)
2
V y m = ; m = 2 th a T KBT.
3
d. TX : D = R
y / = x 2 − 2(2m − 1)x + 1 − 4m
y / = 0 ⇔ x 2 − 2(2m − 1)x + 1 − 4m = 0 (*)
* Hàm s có hai i m c c tr x1 , x2 ⇔ phương (*) có hai nghi m phân bi t
∆/ = 4m 2 ≥ 0 ⇔ m 2 ≥ 0 ⇔ m ≠ 0
* V i m ≠ 0 hàm s có hai i m c c tr x1 , x2
x + x = 2(2m − 1)
Ta có x1 , x2 là nghi m c a phương trình (*) nên 1 2
x1 .x 2 = 1 − 4m
Theo ta có x1 2 + x2 2 ≤ 2 ⇔ (x1 + x2 )2 − 2 x1 x2 ≤ 2 ⇔ [2(2m − 1)]2 − 2(1 − 4m ) ≤ 2
1
⇔ 16m 2 − 8m ≤ 0 ⇔ 0 ≤ m ≤
2
1
V y 0≤m≤ th a T KBT.
2
e. TX : D = R
y / = x 2 − 2(2m − 1)x + 1 − 4m
y / = 0 ⇔ x 2 − 2(2m − 1)x + 1 − 4m = 0 (*)
* Hàm s có hai i m c c tr ⇔ phương (*) có hai nghi m phân bi t
∆/ = 4m 2 ≥ 0 ⇔ m 2 ≥ 0 ⇔ m ≠ 0
13
LT H - Chuyên Kh o Sát Hàm S
- Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam
* V i m ≠ 0 hàm s có hai i m c c tr . G i x1 , x2 là hai i m c c tr c a hàm
s.
x1 + x 2 = 2(2m − 1)
Ta có x1 , x2 là nghi m c a phương trình (*) nên
x1 .x 2 = 1 − 4m
th hàm s có hai i m c c n m v cùng phía so v i tr c tung
1
⇔ x1 .x 2 > 0 ⇔ 1 − 4m > 0 ⇔ m <
4
1
K t h p v i i u ki n m ≠ 0 ta ư c m ≠ 0; m <
4
1
V y m ≠ 0; m < th a T KBT.
4
Ví d 2. Cho hàm s y = x 4 − 2mx 2 + 2
a. Xác nh m hàm s có ba i m c c tr .
b. Xác nh m th hàm s có ba i m c c tr l p thành m t tam giác vuông
cân.
c. Xác nh m th hàm s có ba i m c c tr l p thành m t tam giác u.
d. Xác nh m th hàm s có ba i m c c tr l p thành m t tam giác có
di n tích b ng 1.
Gi i:
a. TX : D = R
y / = 4 x 3 − 4mx
y / = 0 ⇔ 4 x 3 − 4mx = 0 (*)
x = 0 (1)
( )
⇔ 4x x 2 − m = 0 ⇔ 2
x = m ( 2)
Hàm s có ba i m c c tr ⇔ phương trình (*) có ba nghi m phân bi t
⇔ phương trình (2) có hai nghi m phân bi t khác 0
m > 0 m > 0
⇔m>0
⇔ 2 ⇔
m ≠ 0
0 ≠ m
V y m > 0 th a mãn T KBT.
b. TX : D = R
y / = 4 x 3 − 4mx
y / = 0 ⇔ 4 x 3 − 4mx = 0 (*)
x = 0 (1)
( )
⇔ 4x x 2 − m = 0 ⇔ 2
x = m ( 2)
* Hàm s có ba i m c c tr ⇔ phương trình (*) có ba nghi m phân bi t
⇔ phương trình (2) có hai nghi m phân bi t khác 0
m > 0 m > 0
⇔m>0
⇔ 2 ⇔
m ≠ 0
0 ≠ m
* V i m > 0 , ta có (2) ⇔ x = ± m nên th hàm s có ba di m c c tr
A( 0; 2), B (− m ; 2 − m 2 ) , C ( m ; 2 − m 2 ) .
Ta có AB = m 4 + m ; AC = m 4 + m ⇒ AB = AC nên tam giác ABC cân t i A.
14
LT H - Chuyên Kh o Sát Hàm S
- Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam
Do ó tam giác ABC vuông cân ⇔ ∆ABC vuông t i A ⇔ AB . AC = 0 (**)
Có AB = (− m ; − m 2 ) ; AC = ( m ; − m 2 )
m = 0 (l )
V y (**) ⇔ − m . m + (−m 2 ).(−m 2 ) = 0 ⇔ −m + m 4 = 0 ⇔
m = 1 ( n)
V ym=1 th hàm s có ba i m c c tr l p thành m t tam giác vuông cân.
c. TX : D = R
y / = 4 x 3 − 4mx
y / = 0 ⇔ 4 x 3 − 4mx = 0 (*)
x = 0 (1)
( )
⇔ 4x x 2 − m = 0 ⇔ 2
x = m ( 2)
* Hàm s có ba i m c c tr ⇔ phương trình (*) có ba nghi m phân bi t
⇔ phương trình (2) có hai nghi m phân bi t khác 0
m > 0 m > 0
⇔m>0
⇔ 2 ⇔
m ≠ 0
0 ≠ m
* V i m > 0 , ta có (2) (2) ⇔ x = ± m nên th hàm s có ba di m c c tr
A( 0; 2), B (− m ; 2 − m 2 ) , C ( m ; 2 − m 2 ) .
Tam giác ABC u
m4 + m = m4 + m
AB = AC
⇔ m 4 + m = 4m
⇔ AB = AC = BC ⇔ ⇔
AC = BC m + m = 4m
4
m = 0 (l )
( )
⇔ m 4 − 3m = 0 ⇔ m m 3 − 3 ⇔ 3
m = 3 ( n)
V y m = 3 3 th a mãn KBT.
d. TX : D = R
y / = 4 x 3 − 4mx
y / = 0 ⇔ 4 x 3 − 4mx = 0 (*)
x = 0 (1)
( )
⇔ 4x x 2 − m = 0 ⇔ 2
x = m ( 2)
* Hàm s có ba i m c c tr ⇔ phương trình (*) có ba nghi m phân bi t
⇔ phương trình (2) có hai nghi m phân bi t khác 0
m > 0 m > 0
⇔m>0
⇔ 2 ⇔
m ≠ 0
0 ≠ m
* V i m > 0 , ta có (2) (2) ⇔ x = ± m nên th hàm s có ba di m c c tr
A( 0; 2), B (− m ; 2 − m 2 ) , C ( m ; 2 − m 2 ) .
. BC = 4m
. BC = (2 m ; 0) = 2 m . (1; 0) ⇒ vectơ pháp tuy n c a ư ng th ng BC là n = (0;1)
Nên BC có phương trình: y + m 2 − 2 = 0
d( A; BC)= m 2 = m 2
1
Ta có, S ABC = .BC. d ( A; BC ) = 1
2
15
LT H - Chuyên Kh o Sát Hàm S
- Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam
1
⇔ . 4m .m 2 = 1 ⇔ m 5 = 1 ⇔ m = 1 (n)
2
V y m = 1 th a KBT.
Ví d 3. Cho hàm s y = -x3 + 3x2 + 3(m2 - 1)x - 3m2 - 1 (1)
Tìm m hàm s (1) có c c i, c c ti u và các i m c c tr c a th hàm s
(1) cách u g c t a O.
Gi i:
TX : D = R
y’ = –3x2 + 6x + 3(m2 - 1),
y' = 0 ⇔ x2 - 2x - (m2 - 1) = 0 ⇔ x = 1 - m ho c x = 1 + m
Do ó (1) có c c i và c c ti u ⇔ 1 - m ≠ 1 + m ⇔ m ≠ 0
G i A(x1; y1), B(x2; y2) là 2 i m c c tr c a th hàm s (1)
3 3
⇒ A(1 + m; 2(m - 1)); B(1 - m; -2(m +1))
1 1
Ta coù : OA2 = OB2 ⇔ x12 + y12 = x22 + y22 ⇔ 4m = 16m3 ⇔ m2 = (vìm ≠ 0) ⇔ m = ±
4 2
x 2 − (m + 1)x − m 2 + 4m − 2
Ví d 4. Cho hàm s y =
x −1
a. Xác nh m hàm s có c c tr .
b. Xác nh m hàm s ng bi n trên t ng kho ng xác nh.
Gi i:
a. TX :
x 2 − 2 x + m 2 − 3m + 3
y/ =
(x − 1)2
x ≠ 1 (1)
y/ = 0 ⇔ 2 2
x − 2 x + m − 3m + 3 = 0 (2)
Hàm s có c c tr ⇔ phương trình (2) có hai nghi m phân bi t khác 1
∆/ > 0 − m 2 + 3m − 2 > 0
⇔1< m < 2
⇔ 2 ⇔ 2
1 − 2.1 + m − 3m + 3 ≠ 0 m − 3m + 2 ≠ 0
2
b. Hàm s ng bi n trên t ng kho ng xác nh
/ 2 2
⇔ y ≥ 0 ∀x ≠ 1 ⇔ x − 2 x + m − 3m + 3 ≥ 0 ∀x ≠ 1
1 > 0
⇔ x 2 − 2 x + m 2 − 3m + 3 ≥ 0 ∀x ∈ R ⇔ / ⇔ − m 2 + 3m − 2 ≤ 0 ⇔ m ∈ (− ∞;1] ∪ [2; + ∞ )
∆ ≤ 0
x 2 + mx + 1
Ví d 5. Cho hàm s y =
x+m
Ch ng minh r ng v i m i m hàm s có c c tr .
Gi i:
16
LT H - Chuyên Kh o Sát Hàm S
- Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam
TX : D = R \ {− m}
x 2 + 2mx + m 2 − 1
y/ =
( x + m )2
x ≠ −m (1)
y/ = 0 ⇔ 2 2
x + 2mx + m − 1 = 0 (2)
Hàm s có c c tr ⇔ phương trình (2) có hai nghi m phân bi t
∆/ > 0 1 > 0
⇔ ⇔ ⇔ m∈R
− 1 ≠ 0
(− m )2 + 2m.(−m) + m 2 − 1 ≠ 0
V y v i m i m hàm s luôn có c c tr .
3. Phương trình ư ng th ng i qua i m c c tr và c c tr c a th hàm s :
A. Ki n th c cơ b n:
a/ Cho hàm s y = ax 3 + bx 2 + cx + d .
Th c hi n phép chia a th c cho y cho y/ ta ư c: y = y / .( Ax + B ) + Cx + D
G i (x1 ; y1) và (x2 ; y2) là hai i m c c tr c a th hàm s . Khi ó,
y1 = Cx + D và y2 = Cx + D
Suy ra phương trình ư ng th ng i qua hai i m c c tr là y = Cx + D.
ax 2 + bx + c
b/ Cho hàm s y = .
dx + e
G i (x1 ; y1) và (x2 ; y2) là hai i m c c tr c a th hàm s .
2x + b 2x + b
Khi ó, y1 = 1 và y 2 = 2 .
d d
2x + b
Suy ra, phương trình ư ng th ng i qua hai i m c c tr là y =
d
c/ G i (x1 ; y1) và (x2 ; y2) là hai i m c c tr c a th hàm s .
Khi ó,
* th hàm s có hai i m n m v cùng phía so v i tr c hoành ⇔ y1 . y 2 > 0
* th hàm s có hai i m n m v khác phía so v i tr c hoành ⇔ y1 . y 2 < 0
B. Các ví d :
Ví d 1. Cho hàm s y = x 3 + mx 2 + 7 x + 3 . Tìm m hàm s có c c i, c c ti u.
L p phương trình ư ng th ng i qua các i m c c i, c c ti u ó.
Gi i:
TX : D = R
y / = 3 x 2 + 2mx + 7
y / = 0 ⇔ 3 x 2 + 2mx + 7 = 0 (*)
*Hàm s có c c i và c c ti u ⇔ phương trình (*) có hai nghi m phân bi t
17
LT H - Chuyên Kh o Sát Hàm S
- Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam
m < − 21
⇔ ∆/ = m 2 − 21 > 0 ⇔
m > 21
m < − 21
*V i hàm s có hai i m c c tr
m > 21
G i (x1 ; y1) và (x2 ; y2) là hai i m c c tr c a th hàm s
Th c hi n phép chia a th c y cho y/ ta ư c:
1 14 2m 2
1 7
y = y / . x + m + − x + 3 − m
9 3
3 9 9
G i (x1 ; y1) và (x2 ; y2) là hai i m c c tr c a th hàm s
14 2m 2
7
Ta có: y1 = x1 + 3 − m
−
3 9 9
14 2m 2 7
y2 = − x2 + 3 − m
3
9 9
14 2m 2 7
Suy phương trình ư ng th ng qua hai i m c c tr là y = − x + 3 − m
3 9 9
Ví d 2. Cho hàm s y = x 3 − 6 x 2 + 3(m + 2)x − m − 6 .
a. Xác nh m th hàm s có c c i, c c ti u cùng d u.
b. Xác nh m th hàm s có c c i, c c ti u n m v khác phía so
v i tr c hoành.
c. Xác nh m th hàm s có c c i, c c ti u n m v khác phía so
v i tr c tung.
Gi i:
a. Ta có y = 3x − 12 x + 3m + 6
/ 2
* th hàm s có c c i, c c ti u
⇔ phương trình y / = 0 có hai nghi m phân bi t
∆/ = 36 − 9m − 18 > 0 ⇔ m < 2
* V i th hàm s có c c i, c c ti u
G i (x1 ; y1) và (x2 ; y2) là hai i m c c tr c a th hàm s
1
Chia y cho y / ta ư c y = y / (x − 2) + (m − 2)(2 x + 1)
3
Ta có y1 = (m − 2)(2 x1 + 1) ; y 2 = (m − 2)(2 x2 + 1)
Suy ra y1 . y 2 = (m − 2)2 (2 x1 + 1)(2 x 2 + 1) = (m − 2)2 (4 x1 x 2 + 2(x1 + x 2 ) + 1)
x1 + x 2 = 4
Do x1 , x2 là nghi m c a phương trình y / = 0 nên
x1 x 2 = m + 2
Do ó y1 . y 2 = (m − 2)2 (4m + 17 )
17
m > −
V y y1 và y 2 cùng d u ⇔ y1 . y 2 > 0 ⇔ (m − 2 ) (4m + 17 ) > 0 ⇔
2
m
m ≠ 2
18
LT H - Chuyên Kh o Sát Hàm S
- Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam
17
K t h p v i i u k i n m < 2 ta ư c − < m < 2
4
b. Ta có y = 3x − 12 x + 3m + 6
/ 2
* th hàm s có c c i, c c ti u
⇔ phương trình y / = 0 có hai nghi m phân bi t
∆/ = 36 − 9m − 18 > 0 ⇔ m < 2
* V i th hàm s có c c i, c c ti u
G i (x1 ; y1) và (x2 ; y2) là hai i m c c tr c a th hàm s
1
Chia y cho y / ta ư c y = y / (x − 2) + (m − 2)(2 x + 1)
3
Ta có y1 = (m − 2)(2 x1 + 1) ; y 2 = (m − 2)(2 x2 + 1)
Suy ra y1 . y 2 = (m − 2)2 (2 x1 + 1)(2 x 2 + 1) = (m − 2 )2 (4 x1 x 2 + 2(x1 + x 2 ) + 1)
x1 + x 2 = 4
Do x1 , x2 là nghi m c a phương trình y / = 0 nên
x1 x 2 = m + 2
Do ó y1 . y 2 = (m − 2)2 (4m + 17 )
th hàm s có c c i, c c ti u n m v khác phía so v i tr c hoành
m ≠ 2
17
y1 . y 2 < 0 ⇔ 17 ⇔ m < −
2
m < − 2
17
K t h p v i i u k i n m < 2 ta ư c m < −
2
17
V y m
- Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam
V y m = 3 th a yêu c u bài toán.
b. TX : D = R
y / = 3x 2 − 6 x
x = 0
y/ = 0 ⇔
x = 2
Suy ra th luôn có hai c c tr là A( 0 ; m), B( 2; m – 4)
OA = (0; m ) , OB = (2; m − 4 )
m = 0 (l ) ( Do A ≡ O )
Tam giác OAB vuông t i O ⇔ OA .OB = 0 ⇔ m(m − 4) = 0 ⇔
m = 4
V y m =4 th a i u ki n bài toán.
* V i m = 4 ⇒ A(0; 4) và B(2; 0)
1 1
⇒ S OAB = OA.OB = .4.2 = 4
2 2
c. TX : D = R
y / = 3x 2 − 6 x
x = 0
y/ = 0 ⇔
x = 2
Suy ra th luôn có hai c c tr là A( 0 ; m), B( 2; m – 4)
th c t tr c hoành t i ba i m phân bi t y A . y B < 0 ⇔ m(m − 4) < 0
⇔0
nguon tai.lieu . vn
