Chuyên đề ôn thi đại học: Một số dạng toán về phương trình, bất phương trình vô tỷ và phương pháp giải

PT – BPT vô tỷ LỜI NÓI ĐẦU Phương trình, bất phương trình vô tỷ là một chủ đề quan trọng trong chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi cũng như luyện thi đại học, cao đẳng. Có rất nhiều dạng toán về phương trình, bất phương trình hay và khó, có thể dùng là một câu phân loại trong các đề thi HSG hay đề thi ĐH, CĐ. Xuất phát từ quá trình tự học, tự nghiên cứu của bản thân và những kinh nghiệm trong quá trình dạy học, dạy luyện thi, dạy bồi dưỡng HSG, tác giả viết chuyên đề : “ Một số dạng toán về phương trình, bất phương trình vô tỷ và phương pháp giải”. Ở mỗi phần là phương pháp giải, dạng toán, cách giải tương ứng, những lưu ý, ví dụ minh hoạ sau đó là bài tập vận dụng. Có ba phương pháp giải cơ bản thường dùng là phương pháp biến đổi tương đương, phương pháp đặt ẩn phụ và phương pháp hàm số. Trong bản báo cáo này tác giả có đề cập thêm phương pháp khử căn đưa về phương trình bậc bốn. Đề tài được viết nhằm giúp học sinh có kỹ năng và phương pháp giải về phương trình, bất phương trình được tốt hơn. Do hạn chề về thời gian chắc không tránh khỏi thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được ý kiến đóng góp của các bạn đồng nghiệp và cấp trên. Tác giả xin chân thành cảm ơn! Tác giả Đỗ Thị Thanh Huyền Tổ trưởng tổ Toán-Tin, Trường THPT Trần Phú Đỗ Thị Thanh Huyền-Trường THPT Trần Phú 1 PT – BPT vô tỷ CHUYÊN ĐỀ Phương trình - bất phương trình vô tỷ I. Phương pháp biến đổi tương đương 1. Kiến thức cần nhớ: 1. (n a)n = a 2. a =b  a2n =b2n (ab > 0) 3. a =b  a2n+1 =b2n+1 (∀a,b) 4. a b  0  a2n b2n 5.a b  a2n+1 b2n+1 (∀a,b) 2. Các dạng cơ bản: * Dạng 1: f (x) = g(x) g (x)0 2 (x)(Không cần đặt điều kiện f (x)0) * Dạng 2: * Dạng 3: f (x) > g(x) xét 2 trường hợp: TH1:  f (x)< 0 TH2: g(x) 0 2 (x)  f (x)  0 f (x)  g(x) g(x) 0  f (x) g2 (x) Lưu ý: + g(x) thường là nhị thức bậc nhất (ax+b) nhưng có một số trường hợp g(x) là tam thức bậc hai (ax2+bx+c), khi đó tuỳ theo từng bài ta có thể mạnh dạn đặt điều kiện cho g(x)0 rồi bình phương 2 vế đưa phương trình−bất phương trình về dạng quen thuộc. + Chia đa thức tìm nghiệm: Phương trình a0 xn + a xn−1 + a2 xn−2 + nghiệm x= thì chia vế trái cho cho x– ta được (x −)(b xn−1 +b xn−2 + + an−1x + an = 0 có +b −2 x +b −1 )=0, tương tự cho bất phương trình. * Phương trình−bất phương trình bậc 3: Nếu nhẩm được 1 nghiệm thì việc giải theo hướng này là đúng, nếu không nhẩm được nghiệm thì ta có thể sử dụng phương pháp hàm số để giải tiếp và nếu phương pháp hàm số không được nữa thì ta phải quay lại sử dụng phương pháp khác. * Phương trình−bất phương trình bậc 4, lúc này ta phải nhẩm được 2 nghiệm thì việc giải phương trình theo hướng này mới đúng, còn nếu nhẩm được 1 nghiệm thì sử dụng như phương trình−bất phương trình bậc 3 và nếu không ta phải chuyển sang hướng khác. Ví dụ 1: Giải phương trình: 2x −1+ x2 −3x +1= 0(ĐH Khối D – 2006) Biến đổi phương trình thành: 2x −1 = −x2 + 3x −1 (*), đặt điều kiện rồi bình phương 2 vế ta được: x4 −6x3 +11x2 −8x+2 = 0 ta dễ dạng nhẩm được nghiệm x = 1 sau đó chia đa thức ta được: (*) (x – 1)2(x2 – 4x + 2) = 0. Đỗ Thị Thanh Huyền-Trường THPT Trần Phú 2 PT – BPT vô tỷ Ví dụ 2: Giải bất phương trình: 4(x +1)2 (2x +10)(1− 3+ 2x)2 , ĐK: x  − 3 pt  x2 + 2x +1(x +5)(2+ x − 3+ 2x)(x +5) 3+ 2x 9+5x (1), Với x  − 3 hai vế (1) đều không âm nên ta bình phương 2 vế: x3 – x2 – 5x – 3  0 (x −3)(x +1)2 0 b) Tương tự với 2 dạng: * f (x)  g(x) * f (x) < g(x) Ví dụ 1: Giải bất phương trình 2x2 −6x +1− x + 2<0 (1) Giải (1) 2x2 −6x +1< x − 2 bất phương trình tương đương với hệ: x − 2 6x +1 0  x  3− 7  x  3+ 7  3+ 7  x 3 2x2 − 6x +1< x − 2 −1< x <3 Ví dụ 2: Tìm m để phương trình x2 −2mx +1=m−2có nghiêm. Giải * Nếu m < 2  phương trình vô nghiệm. * Nếu m  2  phương trình  x2−2mx−m2+4m−3=0. Phương trình này có Δ=2m2−4m+3>0 với mọi m. Vậy với m  2 thì phương trình đã cho có nghiêm. Ví dụ 3: Tìm m để phương trình 2x2 + mx −3 = x +1 có hai nghiệm phân biệt. Giải: Cách 1: PT  x +(m − 2)x − 4=0,(*) , phương trình (*) luôn có 2 nghiệm: 1 = 2 − m + m2 − 4m + 20 > 0,x2 = 2 − m − m2 − 4m + 20 < 0. Phương trình đã cho có 2 nghiệm (*) có 2 nghiệm x  −1  x2  −1 4 − m  m2 − 4m + 20  (4 − m)2  m2 − 4m + 20  m −1 Chú ý: + x1 > 0, x2 < 0 vì x1 > x2 và a.c < 0 nên pt có 2 nghiệm trái dấu. + Cách 1 thường dùng khi hệ số a luôn dương hoặc luôn âm. + Cách 2: Đặt t = x + 1 suy ra x = t – 1, khi đó với x  −1 t  0. (*) trở thành: (t −1)2 +(m − 2)(t −1)− 4 = 0 (**). Để (*) có 2 nghiệm x  −1thì (**) phải có 2 nghiệm t  0. Ví dụ 4: (ĐH Khối B – 2006). Tìm m để phương trình có hai nghiệm thực phân biệt: x2 +mx+2 = 2x+1, (1) Giải: pt  2x2+10− 4)x −1=0,(2) để (1) có hai nghiệm thực phân biệt thì (2) có hai Δ =(m − 4)2 +12 > 0 nghiệm lớn hơn hoặc bằng − 1 hay  f − 1 0  m 9 . S 1 2 2 Đỗ Thị Thanh Huyền-Trường THPT Trần Phú 3 PT – BPT vô tỷ Chú ý : Cách 2: đặt t = x + 1 , khi đó để (2) có hai nghiệm lớn hơn hoặc bằng − 1 thì 3t − 12 −(m − 4)t − 1 −1= 0 có hai nghiệm thực lớn hơn hoặc bằng 0. 3. Các kỹ năng: a. Để bình phương 2 vế phương trình – bất phương trình thì một là ta biến đổi cho 2 vế không âm hai là đặt điều kiện cho 2 vế không âm. Ví dụ 1: Giải bất phương trình: 5x −1 − x −1 > 2x − 4 (ĐH Khối A – 2005) Vế phải không âm, nhưng vế trái chưa nhận xét được do đó ta phải biến đổi thành: 5x −1 > x −1+ 2x − 4 khi đó ta bình phương 2 vế rồi đưa về dạng cơ bản để giải. Ví dụ 2: Giải phương trình: x(x −1) + x(x + 2) = 2 x2 (1). Giải x 1 Điều kiện: x  −2(*) x = 0 (1) 2x2 + x + 2 x2 (x −1)(x + 2) = 4x2  2 x2 (x −1)(x + 2) = x(2x −1)  4x2 (x2 + x − 2)= x2 (2x −1)2  x2 (8x −9)= 0 Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x=0, x = 9 . (Còn có cách giải khác) Ví dụ 3: Tìm m để phương trình 2x2 −mx − x2 −4 =0 có nghiệm. HD: Chuyển vế, đặt điều kiện, bình phương hai vế tìm được 1,2 = m  m2 −16 . Kết hợp với điều kiện ta tìm được |m|  4. b. Chuyển về phương trình – bất phương trình tích: - Đặt nhân tử chung, hằng đẳng thức Lưu ý: Để sử dụng phương pháp này ta phải chú ý đến việc thêm, bớt, tách, phân tích... Ví dụ 4: Giải phương trình: x2 + x + 7 = 7. HD:  Bình phương hai vế.  Dùng hằng đẳng thức a2 − b2=0.  Nghiệm x = 2, x =1− 229 . Ví dụ 5: Giải các bất phương trình: a. 1+ 2 > x − 4 1+ x b. (x2 −3x) 2x2 −3x − 2 0 ĐS: a. −1x<8, b. −;− 1 2 3;+). Ví dụ 6: (Khối B – 2007): Chứng minh rằng với mọi giá trị dương của tham số m, phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt: x2 +2x−8 = m(x−2) .(1) Giải: ĐK: x  2, do m > 0. Đỗ Thị Thanh Huyền-Trường THPT Trần Phú 4 PT – BPT vô tỷ pt  (x −2)(x + 4)= m(x −2)  x3 +6x2 −32 = m,(2). Để chứng minh ∀m > 0, phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt thì chỉ cần chứng minh phương trình (2) có một nghiệm khác 2. Thật vậy: đặt f (x)= x3 +6x2 −32,x  2, ta có f(2) = 0, lim f (x)=+, f ` (x)=3x2 +12x >0,∀x 2 nên f(x) là hàm liên tục trên 2;+) và đồng biến trên khoảng đó suy ra ∀m > 0 phương trình (2) luôn có nghiệm x0 mà 2 < x0 < + . Một số dạng chuyển thành tích: - Dạng: ax+b  cx+d = (a-c)x+(b-d) Ta biến đổi thành: m( ax +b  cx + d)=(ax +b)−(cx + d) Ví dụ: Giải phương trình: 4x +1 − 3x − 2 = x + 3 . - Dạng: u+v=1+uv  (u-1)(v-1)=0 Ví dụ: Giải phương trình: 3 x +1+ 3 x + 2 =1+ 3 x2 +3x + 2 . x=−1. ĐS: x=2. ĐS: x=0, Ví dụ: Giải phương trình: 4 x +1+ x =1+ 4 x3 + x2 . ĐS: x=0, x=1. - Dạng: au+bv=ab+uv  (u−b)(v−a)=0 Ví dụ 1: Giải phương trình: x +3 + 2x x +1=2x + x2 + 4x +3. ĐS: x=0, x=1. Ví dụ 2: Giải phương trình: x3 + x2 +3x +3 + 2x = x2 +3 + 2x2 + 2x . ĐS: x=0. - Dạng: a3−b3  (a−b)(a2+ab+b2)=0  a=b Ví dụ: Giải phương trình: 2+33 9x2 (x + 2) =2x +33 3x(x + 2)2 . ĐS: x=1. c. Chuyển về dạng: A1 + A2 +....+ An = 0 với A  0,1 i  n khi đó pt tương đương với: A = 0, A = 0, A = 0. Ví dụ 1: Giải phương trình:4x2 + 3x + 3= 4x x + 3 + 2 2x −1 . HD: Phương trình tương đương (4x2 − 4x x +3 + x +3)(1− 2 2x −1+ 2x −1)=0. ĐS: x=1. Ví dụ 2: Giải phương trình: 4x− y2 − y+2 = 4x2 +3y+4 . Giải Bình phương hai vế ta được (2x−1)2 +(y +2)2 +2 (y +2)(4x2 +3y +4)=0  x = 1, y = −2. d. Sử dụng lập phương: Với dạng tổng quát 3 a  3 b = 3 c ta lập phương hai vế và sử dụng hằng đẳng thức (a b)3 = a3 b3  3ab(a b) khi đó phương trình tương đương với hệ a b 33 abc =c . Giải hệ này ta có nghiệm của phương trình. Ví dụ: Giải bất phương trình 3 x −1 + 3 x − 2 = 3 2x − 3. ĐS: x =1;x = 2;x = 3 . e. Nếu bất phương trình chứa ẩn ở mẩu: - TH1: Mẫu luôn dương hoặc luôn âm thì ta quy đồng khử mẩu: Đỗ Thị Thanh Huyền-Trường THPT Trần Phú 5 ... - tailieumienphi.vn