Chuyên đề lượng giác: Hướng dẫn giải phương trình lượng giác cơ bản và đơn giản (Lớp 11)

hoctoancapba.com- Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Chuyên đề LG lớp 11( Nội bộ - lưu) Tháng 8 năm 2012 HƯỚNG DẪN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN VÀ ĐƠN GIẢN I. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX Bài 1. Giải các phương trình sau : a. sin x +cos x2 + 3cosx=2 c. sinx+cosxsin2x+ 3cos3x=2(cos4x+sin3x) Giải (1−2sin x)cosx (1+2sin x)(1−sinx) d. 3cos5x-2sin3xcos2x-sinx=0 a. sin x +cos x2 + 3cosx=2 1+sinx+ 3cosx=2 1sinx+ 3 cosx=1 x+π = π +k2π x = −π +k2π  sinx+  =sin     (k∈Z) x+ 3 = 6 +k2π x = 2 +k2π x  −π +k2π  1  b. (1+2sin x)(1−sinx) = 3. Điều kiện : sinx 12  x  6 +k2π x  2 +k2π Khi đó : (1+2sin x)(1−sinx) = 3  cosx-sin2x=1-sinx+2sinx-2sin2x  cosx-sinx=sin2x+cos2x  2cos2x-π  = 2cosx+π  2x−π = x+π +k2π x = π +k2π      x = k (k∈Z) 2x− 4 = −x− 4 +k2π x = 3 c. sinx+cosxsin2x+ 3cos3x=2(cos4x+sin3x) sinx+sin3x+sinx + 3cos3x=2cos4x+3sinx-sin3x  3sinx +sin3x+2 3cos3x=4cos4x+3sinx-sin3x  2sin3x+2 3cos3x=4cos4x  2sin3x+ 2 cos3x=cos4x 4x =3x+π +k2π x = π +k2π  cos4x=cos3x+      (k∈Z) 4x = −3x− 6 +k2π x = − 42 + 7 d. 3cos5x-2sin3xcos2x-sinx=0  3cos5x-(sin5x+sinx)−sinx=0  3cos5x-sin5x=2sinx  3 cos5x-1sin5x =sinx hoctoancapba.com- Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Sưu tầm và soạn-Nguyễn Đình Sỹ-ĐT:0985.270.218 Trang 1 hoctoancapba.com- Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Chuyên đề LG lớp 11( Nội bộ - lưu) Tháng 8 năm 2012 5x+π = π − x+k2π x = π + kπ  cos5x+  =sinx=cos − x     (k∈Z) 5x+ 6 = x− 2 +k2π x = − 6 + 2 Bài 2. Giải các phương trình sau : a. 4 sin4 x+cos4x + 3sin4x = 2 b. 2 2(sinx+cosx)cosx=3+cos2x c. cos2x = 3sin2x+ 2(sinx+cosx) d. sin4 x−cos4x = 2 3sinxcosx+1 Giải a. 4(sin4 x+cos4x)+ 3+(1−2sin2 2x)+ 3sin4x = 2  41− 1sin2 2x+ 3sin4x = 2 3sin4x = 2 cos4x+ 3sin4x = −1  2cos4x+ 2 sin4x = −2  cos4x- 3  = −2 = cos 3 4x−π = 2π +k2π x = π + kπ     (k∈Z) 4x− 3 = − 3 +k2π x = −12 + 2 b. 2 2(sinx+cosx)cosx=3+cos2x  2sin2x+2 2cos2x =3+cos2x  2sin2x+ 2(1+cos2x)=3+cos2x  2sin2x( 2 −1)cos2x=3- 2 Ta có : a2 +b2 = 2+( 2 −1)2 =5−2 2, c2 =(3− 2)2 =11−6 2 . Do đó : (11−6 2)−(5−2 2)=6−4 2 = 36 − 32 >0c2 > a2 +b2 . Phương trình vô nghiệm . c. cos2x = 3sin2x+ 2(sinx+cosx) cos2x- 3sin2x = 2sinx+π   2cos2x- 2 sin2x =sinx+ 4  sin2x− 6  =sinx+ 4  2x−π = x+π +k2π x = 5π +k2π     (k∈Z) 2x− 6 = 4 − x+k2π x = 36 + 3 d. sin4 x−cos4x = 2 3sinxcosx+1 cos2x+ 3sin2x = −1  2cos2x+ 2 sin2x = −1cos2x- 3  =cosπ  2x− 3 =π +k2π  x = 3 +kπ Bài 3. Giải các phương trình sau : a. 4sin xsinπ + xsinπ −x+4 3cosxcosx+ 3 cosx+ 3  = 2 b. 2sin4x+16sin3 x.cosx +3cos2x = 5 c. 1+ 3sin4x = cos6x+sin6 x Giải a. 4sin xsinπ + xsinπ −x+4 3cosx.cosx+ 3 cosx+ 3  = 2 Trang 2 Sưu tầm và soạn-Nguyễn Đình Sỹ-ĐT:0985.270.218 hoctoancapba.com- Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Chuyên đề LG lớp 11( Nội bộ - lưu) Tháng 8 năm 2012  2sin xcos2x-cos 2π +2 3cosxcos(2x+2π)+cos 2π  = 2  2sin xcos2x+2sinx.1 +2 3cosx.cos2x-2 3cosx.1 = 2  sin3x−sinx+sinx + 3(cos3x+cosx)- 3cosx = 2 sin3x+ 3cos3x= 2  2sin3x+ 3 cos3x= 2  cos3x- 6  =cos 4 x = π + k2π   (k∈Z) x = −36 + 3 b. 2sin4x+16sin3 x.cosx +3cos2x = 5 Ta có : 16sin3 xcosx = 4cosx(3sin x−sin3x)=6sin2x−2.2sin3x.cosx =6sin2x-2(sin4x+sin2x)= 4sin2x−2sin4x Cho nên (1) : 2sin4x+4sin2x−2sin4x+3cos2x=54sin2x.+3cos2x=5  5sin2x+ 5cos2x=1 cos(2x-)=1 2x− = k2π  x = 2 +kπ (k ∈Z) Và : cos= 3;sin = 4 c. 1+ 3sin4x = cos6x+sin6 x Do : sin6 x+cos6x =1− 3sin2 2x =1− 31−cos4x  = 5+ 3cos4x Cho nên (c) trở thành : 1+8sin4x = 8 +8cos4x  cos4x-sin4x=1 2cos4x+ 4  =1 4x+π = π +k2π x = kπ  cos4x+  = = cos     (k∈Z) 4x+ 4 = − 4 +k2π x = − 8 + 2 Bài 4. Giải các phương trình sau : a. sin8x−cos6x= 3(sin6x+cos8x) b. cos7x-sin5x= 3(cos5x-sin7x) c. 3sin3x− 3cos9x=1+4sin33x d. 3cos5x+sin5x-2cos2x=0 Giải a. sin8x−cos6x= 3(sin6x+cos8x) sin8x− 3cos8x= 3sin6x+cos6x Chia hai vế ơhw[ng trình cho 2 ta có :  2sin8x− 2 cos8x= 2 sin6x+ 2cos6x sin8x- 3  =sin6x+ 6  8x−π = 6x+π +k2π 2x = π +k2π x = π +kπ       (k∈Z) 8x− 3 = −6x+ 6 +k2π 14x = 6 +k2π x =12 + 7 b. cos7x-sin5x= 3(cos5x-sin7x) cos7x+ 3sin7x = 3cos5x+sin5x Sưu tầm và soạn-Nguyễn Đình Sỹ-ĐT:0985.270.218 Trang 3 hoctoancapba.com- Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Chuyên đề LG lớp 11( Nội bộ - lưu) Tháng 8 năm 2012 Chia hai vế phương trình cho 2 ta có kết quả :  2cos7x+ 2 sin7x = 2 cos5x+2sin5x cos7x+ 3  =cos5x- 6  7x+π =5x−π +k2π 2x = −π +k2π x = −π +kπ       (k∈Z) 7x+ 3 = −5x+ 6 +k2π 12x = − 6 +k2π x = −72 + 6 c. 3sin3x− 3cos9x=1+4sin33x  Từ công thức nhân ba : sin9x = 3sin3x−4sin3 3x cho nên phương trình (c) viết lại : 3sin3x−4sin33x+ 3cos9x=1sin9x+ 3cos9x=1 2sin9x+ 2 cos9x= 2 9x-π = π k2π x = π + k2π  cos9x- = = cos     (k∈Z) 9x- 6 = − 3 +k2π x = − 27 + 9 d. 3cos5x+sin5x-2cos2x=0  2 cos5x+2sin5x=cos2x cos5x- 6  =cos2x 5x−π = −π +k2π x = − π + k2π     (k∈Z) 5x− 6 = 3 +k2π x =10 + 5 II. PHƯƠNG TRÌNH : BẬC NHẤT - BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Bài 1. Giải các phương trình sau : a. 5sinx+cos3x+sin3x  =3+cos2x c. cos4 x+sin4 x+cosx- 4 .sin3x− 4 − 2 =0 Giải b. cos2 3x.cos2x-cos2x = 0 d. 4.sinxcosx+3sin2x = 6sin x a. 5sinx+cos3x+sin3x  =3+cos2x. Điều kiện : sin2x  − 1 (*) Phương trình (a) trở thành : 5sinx+2sinx.sin2x+cos3x+sin3x  =3+cos2x 5sinx+cosx-cos3x+cos3x+sin3x  =3+cos2x sinx+cosx+sin3x (sinx+sin3x)+cosx 2sin2x.cosx+cosx cosx(1+2sin2x) 1+2sin2x 1+2sin2x 1+2sin2x 1+2sin2x Cho nên (a)  5cosx = 2+2cos2 x  2cos2 x−5cosx+2 = 0  cosx= 2 cosx=2>1 x = π +k2π Vậy : cosx =   . Kiểm tra điều kiện : x = − 2 +k2π Trang 4 Sưu tầm và soạn-Nguyễn Đình Sỹ-ĐT:0985.270.218 hoctoancapba.com- Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Chuyên đề LG lớp 11( Nội bộ - lưu) Tháng 8 năm 2012 - 2sin 3 +4kπ +1= 2.2 +1= 2  0. Cho nên nghiệm phương trình là x = π +k2π - 2sin− 3 +4kπ +1= 2.− 2+1=0 Vi phạm điều kiện , cho nên loại . Tóm lại phương trình có một họ nghiệm : x = π +k2π b. cos2 3x.cos2x-cos2x = 0  cos2 3x.cos2x-1+cos2x = 0  2cos2 3x.cos2x-(1+cos2x)=0  cos2x(1+cos6x)−1−cos2x=0  cos6x.cos2x=1 cos4x=1  cos8x+cos4x=2  2cos2 4x+cos4x-3=0  cos4x=-2 < −1 Do đó : cos4x =1 4x = k2π  x = kπ (k ∈Z) c. cos4 x+sin4 x+cosx- 4 .sin3x− 4 − 2 =0 1− 2sin2 2x+ 2 sin4x− 2 +sin2x− 2 =0 1− 1sin2 2x+ 1−cos4x +sin2x− 3 = 0  2−sin2 2x+ −(1−2sin2 2x)+sin2x−3= 0 sin2 2x+sin2x-2=0  sin2x=-2<-1  sin2x =1 2x = π +k2π  x = π + kπ (k ∈Z) d. 4.sinxcosx+3sin2x =6sin x sinx(4cosx+3sinx-6)=0  4cosx+3sinx=6 - Với sinx =0  x = kπ (k∈Z) - Do : 42 +32 = 25< 62 = 36. Cho nên phương trình 4cosx+3sinx=6 vô nghiệm . Bài 2. Giải các phương trình sau a. sin2 3x−cos2 4x = sin2 5x−cos2 6x c. tan 2 − x+2tan2x+ 2  = 2 Giải b. sin2  2 − 4 tan2 x−cos2 2 =0 d. 5.sinx-2=3(1-sinx).tan2 x a. sin2 3x−cos2 4x = sin2 5x−cos2 6x  1− cos6x −1+ cos8x = 1− cos10x −1+ cos12x  (cos8x+cos6x) = (cos10x+cos12x) x = 2 +kπ x = 2 +kπ  2cos7xcosx = 2cos11xcosx  cos11x=cos7x  11x = 7x+k22π  x = 2 (k∈Z)  x = 9 b. sin2  2 − 4 tan2 x−cos2 2 =0. Điều kiện : cosx khác không . Khi đó phương trình trở thành : Sưu tầm và soạn-Nguyễn Đình Sỹ-ĐT:0985.270.218 Trang 5 ... - tailieumienphi.vn