Xem mẫu
- .tl
age
ac.p
ais
/l
ttp:/
h
I.Sử dụng một số BĐT cơ bản:
Các BĐT cơ bản ở đây là BĐT Cô-Si: Với n số không âm bất kì:
a1 ; a2 ;...an ( n ³ 2) ta luôn có:
a1 + a2 + ... + an n
³ a1a2 ...an ( I ) ; dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:
n
a1 = a2 = ... = an .
BĐT Bunhiacôpxki: Với hai bộ số thực bất kì ( a1 ; a2 ;...an ),(b1 ; b2 ;...bn ) ta luôn có:
( a1b1 + a2b2 + ... + anbn ) 2 £ ( a12 + a2 + ... + an )(b12 + b22 + ... + bn )( II ) ; dấu bằng
2 2 2
xảy ra khi và chỉ
a
a1 a2
= ... = n . BĐT: a 2 + b 2 + c 2 ³ ab + bc + ca ( III ) ; dấu bằng xảy ra
=
Khi:
b1 b2 bn
khi a = b = c.
n2
11 1
+ + ... + ³
BĐT: ( IV ) ; trong đó a1 , a2 ,...an là các số
an a1 + a2 + ... + an
a1 a2
dương; dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi các số này bằng nhau.
Bài 1: Cho a > b > 0 . Chứng minh:
1 4 1
a/a + ³ 3; b / a + ³ 3; c / a + ³ 2 2.
b( a - b) (a - b)(b + 1) b( a - b) 2
2
1 1
Giải: a/ Theo BĐT (I) ta có: b + (a - b) + ³ 3 3 b.(a - b). =3
b( a - b) b( a - b)
(đpcm).
Dấu bằng xảy ra khi b = 1; a = 2.
Bài 2: Cho a > 1; b > 1. Chứng minh: a b - 1 + b a - 1 £ ab.
1
- (b - 1) + 1 ab
Giải: Theo BĐT (I) ta có: a b - 1 = a (b - 1).1 £ a. = ; tương tự ta
2 2
cũng có:
ab
b a -1 £ . Cộng các vế của các BĐT này lại ta sẽ được đpcm. Dấu bằng xảy ra
2
khi a = b = 2.
Bài 2’: a,b,c là ba số không âm có tổng bằng 1. Chứng minh:
ab + bc + ca - abc £ 8 / 27 .
(1 - a ) + (1 - b) + (1 - c) 2
(1 - a )(1 - b)(1 - c) £ =
Giải: Theo BĐT (I) ta có: 3
3 3
Û 1 - a - b - c + ab + bc + ca - abc = ab + bc + ca - abc £ 8 / 27 (đpcm). Dấu
bằng xảy ra khi
a = b = c =1/3.
Bài 3: Cho ba số không âm a,b,c. Chứng minh:
a 3 + b3 + c 3 ³ a 2 bc + b 2 ca + c 2 ab .
()
34
Giải: Theo BĐT (I) ta có: 4a + b + c ³ 6 6 a b3c 3 = 6a 2 bc ; tương tự ta
3 3 3
cũng có:
4b3 + c 3 + a 3 ³ 6b 2 ca ;4c 3 + a 3 + b3 ³ 6c 2 ab cộng các vế của các BĐT này lại
rồi đơn giản ta sẽ được BĐT cần chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi a = b = c.
Bài 3’: Cho ba số dương x,y,z. Chứng minh: ( x + y + z )6 / xy 2 z 3 ³ 432 .
Bài 4: Tìm GTNN của biểu thức P = ( x + y )9 / x 3 y 6 trong đó x,y là các số dương.
Giải: Theo BĐT (I) ta có:
( x + y )9
3 6
æxö æ yö 99 39
x y
x + y = 3. + 6. ³ 9. ç ÷ ç ÷ Û P = 3 6 ³ 3 6 = 6
9
è3ø è6ø
3 6 xy 36 2
9 6
Vậy GTNN của P bằng 3 / 2 khi y = 2x.
Bài 5: Ba số thực a,b,c thỏa mãn hệ thức: a 6 + b6 + c 6 = 3 . Hãy tìm GTLN của
biểu thức S = a + b + c
2 2 2
Giải: Theo BĐT (I) ta có:
a 6 + 1 + 1 ³ 3a 2 ; b 6 + 1 + 1 ³ 3b 2 ; c 6 + 1 + 1 ³ 3c 2 Þ 9 ³ 3S Û 3 ³ S
Vậy GTLN của S bằng 3 khi a = b = c = 1.
Bài 6: x,y là các số thực thỏa mãn các điều kiện: 0 £ x £ 3;0 £ y £ 4 . Tìm GTLN
của biểu thức:
2
- A = (3 - x)(4 - y )(2 x + 3 y ) .
Giải: Theo BĐT (I) ta có:
(6 - 2 x) + (12 - 3 y ) + (2 x + 3 y )
2(3 - x).3(4 - y ).(2 x + 3 y ) £ =6
3
3
Û 6 A £ 63 Û A £ 36 . Vậy GTLN của A bằng 36 khi x = 0 và y = 2.
Bài 7: x,y,z là các số không âm có tổng bằng 1. Tìm GTLN của biểu thức:
P = xyz ( x + y )( y + z )( z + x) .
Bài 8: a,b,c là các số dương. Chứng minh:
a m + n b m+ n c m + n
+ m + m ³ a n + b n + c n ( m, n Î N * )
m
b c a
n
æ a m+ n ö n m
a m+ n
Giải: Theo BĐT (I) ta có: n m + mb ³ ( m + n) ç m ÷ (b ) = ( m + n)a .
n n
m+ n
èb ø
b
Tương tự
b m+ n c m+n
ta cũng có: n m + mc ³ ( m + n)b ; n m + ma ³ (m + n)c . Cộng các BĐT
n n n n
c a
này lại rồi đơn giản ta sẽ được BĐT cần chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi a = b = c.
a 2 b2 c2
+ + ³ a + b + c.
Chú ý: Nếu m = n = 1 thì ta được BĐT:
b c a
Bài 9: Cho 3 số thực dương a,b,c. Chứng minh:
a+b+c
a3 b3 c3
+ + ³ .
b(c + a ) c(a + b) a (b + c) 2
b c+a a 3 b c + a 3a
a3
++ ³ 33 =
Giải: Theo BĐT (I) ta có: .
b(c + a ) 2 b (c + a ) 2 4
4 2
Tương tự ta cũng có:
c a + b 3b a b + c 3c
b3 c3
++ ³; ++ ³ . Cộng các vế của các BĐT
c ( a + b) 2 2 a (b + c) 2
4 4 2
này lại rồi đơn giản ta sẽ được BĐT cần chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi a = b = c.
Bài 10: Các số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện: x + y + z ³ 6 . Tìm GTNN
của biểu thức:
x3 y3 z3
S= + + .
y+z x+z y+x
3
- Bài 11: Cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn hệ thức: a + b + c = 6 . Tìm GTNN
của biểu thức:
1 1 1
P = (1 +
)(1 + 3 )(1 + 3 ) .
a3 b c
Bài 12: Cho x,y,z là ba số thực thoả mãn hệ thức: x + y + z = 0 . Chứng minh:
S = 3 + 4x + 3 + 4 y + 3 + 4z ³ 6
3 + 4 x = 1 + 1 + 1 + 4 x ³ 4 4 4 x = 2.2 x / 4 . Tương tự
Giải: Theo BĐT (I) ta có:
ta cũng có:
3 + 4 y ³ 2.2 y / 4 ; 3 + 4 z ³ 2.2 z / 4 Þ S ³ 2(2 x / 4 + 2 y / 4 + 2 z / 4 ) ³ 2.3 3 2( x+ y + z ) / 4 = 6
(đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi x = y = z = 0 .
Bài 13: Cho hai số thực dương x,y có tổng bằng 1. Tìm GTNN của biểu thức:
x y
S= + .
1- y 1- x
Giải: Dễ thấy S dương. Theo BĐT (I) ta có:
x2 y2
S +x+ y³ + 2 xy + + 2 xy ³
2
y x
x2 y2
xy = 3( x + y ) Þ S 2 ³ 2 Û S ³ 2 . Vậy MinS = 2 khi x =
xy + 3.
3. 3 3
y x
y = 1/2.
Bài 14: Cho ba số dương a,b,c thỏa mãn điều kiện: a + b + c ³ 3 . Tìm GTNN của
biểu thức:
a b c
S=
+ + .
b c a
Bài 15: Cho 3 số dương a,b,c thỏa mãn hệ thức: a 2 + b 2 + c 2 = 1. Chứng minh:
ab bc ca
S= ++ ³ 3.
c a b
Bài 16: Cho 3 số dương x,y,z có tổng bằng 1. Chứng minh BĐT:
xy yz zx 3
+ + £.
xy + z yz + x zx + y 2
4
- Giải: Do xy + z = xy + z ( x + y + z ) = ( x + z )( y + z ) nên theo BĐT (I) ta có:
1æ x yö
xy x y
= £ç + ÷ . Tương tự ta cũng có:
.
xy + z x + z y + z 2è x + z y + z ø
1æ y zö 1æ x zö
yz xz
£ç + £ç +
÷ ÷
;
yz + x 2 è x + y x + z ø xz + y 2 è x + y y + z ø
Cộng các BĐT trên ta sẽ được BĐT cần chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi
x = y = z = 1/ 3.
Bài 17: Cho hai số thực dương x,y thỏa mãn điều kiện: x + y ³ 6 . Tìm GTNN của
biểu thức:
68
P = 3x + 2 y + +.
xy
Giải: Theo BĐT (I) ta có:
3x 6 y 8 3x 3 y 3x 6 y8 3
P= ++++ + ³ 2. . + 2. . + .6
2x2y2 2 2x 2y 2
= 6 + 4 + 9 = 19 . Vậy MinP = 19 khi x = 2 và y = 4.
Bài 18: Cho 3 số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện: 2 xy + xz = 1. Tìm
GTNN của biểu thức:
3 yz 4 xz 5 xy
S= + + .
x y z
Giải: Theo BĐT (I) ta có:
æ yz xz ö æ yz xy ö æ xy xz ö
S = ç + ÷ + 2 ç + ÷ + 3ç + ÷ ³ 2 z + 4 y + 6 x =
èx zø èz
èx yø yø
2( x + z ) + 4( x + y ) ³ 4 xz + 8 xy = 4 . Vậy MinS = 4 khi x = y = z = 1/3.
Bài 19: Cho hai số thực không âm x,y thỏa mãn các điều kiện:
x + y £ 4;3 x + y £ 6 .
Tìm GTLN của biểu thức: P = 9. 3 x + 4 y .
2 2
Giải: Theo BĐT (I) ta có: P = 3.3 3 x.1.1 + .2 y.3 £ 3( x + 2) + ( y + 3)
3 3
5
- 2 3 -3 9-2 3
= a ( x + y ) + b(3 x + y ) + 6 + 2 3 £ 4a + 6b + 6 + 2 3 = 4. + 6. +6+2 3
2 6
= 9 + 4 3 . ( Do
a + 3b = 3 & a + b = 2 / 3 Þ a = (2 3 - 3) / 2 & b = (9 - 2 3) / 6 ).
Vậy MaxP = 9 + 4 3 khi x = 1 & y = 3 .
Bài 20: Cho 3 số dương a,b,c. Chứng minh BĐT:
1æ 1 1 1ö
1 1 1
+ + £ ç + + ÷.
2a + b + c a + 2b + c a + b + 2c 4 è a b c ø
Giải: Theo BĐT (IV) ưng với n =2 ta có:
1æ 1 1ö
1 1
= £ç + ÷
2a + b + c ( a + b) + ( a + c ) 4 è a + b a + c ø
1 é 1 æ 1 1 ö 1 æ 1 1 öù 1 æ 2 1 1 ö
£ ê ç + ÷ + ç + ÷ ú = ç + + ÷ . Tương tự ta cũng có:
4 ë 4 è a b ø 4 è a c ø û 16 è a b c ø
1 æ1 2 1ö 1 æ1 1 2ö
1 1
£ ç + + ÷; £ ç + + ÷ .Cộng các vế của các
a + 2b + c 16 è a b c ø a + b + 2c 16 è a b c ø
BĐT này lại rồi đơn giản ta sẽ được BĐT cần chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi
a = b = c.
Bài 21: Cho hai số dương a,b có tổng bằng 1. Chứng minh các BĐT sau:
1 1 2 3
+2 ³ 6; b / +2 ³ 14.
a/
ab a + b ab a + b 2
2
Giải: a/ Theo BĐT (IV) ứng với n =2 ta có:
1 1 1 1 1
+2 = + +2 ³
ab a + b 2 2ab 2ab a + b 2
2 4
+ = 2 + 4 = 6 (đpcm). Dấu bằng xảy ra khi a = b = 1 / 2.
(a + b) 2 2ab + a 2 + b 2
a = b = 1 / 2.
Bài 22: Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện: a + b + c £ 3 / 2.
Chứng minh:
a + b + c + 1 / a + 1/ b + 1/ c ³ 15 / 2.
Bài 23: Ba số dương x,y,z có tích bằng 1. Chứng minh: x 2 + y 2 + z 2 ³ x + y + z .
6
- Giải: Áp dụng BĐT (II) và (I) ứng với n = 3 ta có:
( x + y + z )2
x +y +z ³ = ( x + y + z ).
2 2 2
3
x+ y+z
³ ( x + y + z ). 3 xyz = x + y + z (đpcm). Dấu bằng xảy ra khi
3
x = y = z = 1.
a 2 b2 c2 a b c
Chú ý: Từ BĐT trên ta suy ra BĐT: 2 + 2 + 2 ³ + + với a,b,c là các số
b c a bca
dương.
Bài 24: Cho a > c > 0; b > c > 0 . Chứng minh: c(b - c) + c( a - c) £ ab .
Giải: Áp dụng BĐT (II) cho hai bộ số ( c ; a - c ) & ( b - c ; c ) ta được:
( c(b - c) + c(a - c)) 2 £ (c + a - c)(b - c + c) = ab từ đó suy ra BĐT ccm. Dấu
bằng xảy ra khi
ab = c(a + b)
Bài 25: Cho 4 số dương x,y,a,b thỏa man các điều kiện: a > x; a + b > x + y .
Chứng minh:
(a - x)2
x2 a2
+ ³ .
x+ y a+b- x- y a+b
Giải: Áp dụng BĐT (II) cho hai bộ số
æx ö
a-x
÷ & ( x + y ; a + b - x - y ) ta
ç ;
ç x+ y a+b- x- y ÷
è ø
æ x2 (a - x) 2 ö
+ ÷ ( x + y + a + b - x - y ) ³ ( x + a - x) từ đó suy ra
2
được: ç
è x+ y a+b- x- y ø
BĐT ccm. Dấu
bằng xảy ra khi bx = ay.
Bài 26: Bốn số thực a,b,c,d thỏa mãn hệ thức: a 2 + b 2 + c 2 + d 2 = 1; x là số thực
bất kì. Chứng minh:
( x 2 + ax + b)2 + ( x 2 + cx + d )2 £ (2 x 2 + 1) 2
Giải: Áp dụng BĐT (II) ứng với n = 3 ta có:
( x 2 + ax + b) 2 £ ( x 2 + x 2 + 12 )( x 2 + a 2 + b 2 );
7
- ( x 2 + cx + d ) 2 £ ( x 2 + x 2 + 12 )( x 2 + c 2 + d 2 ) Þ
( x 2 + ax + b)2 + ( x 2 + cx + d )2 £
(2 x 2 + 1)( x 2 + a 2 + b 2 + x 2 + c 2 + d 2 ) = (2 x 2 + 1)2 (đpcm). Dấu bằng xảy ra khi
b=d=1&x=a=c.
Bài 27: Cho 5 số dương x,y,z,p,q bất kì. Chứng minh:
x y z 3
+ + ³ .
py + qz pz + qx px + qy p + q
Giải: Theo BĐT (III) ta có:
x( py + qz ) + y ( pz + qx) + z ( px + qy ) = ( p + q)( xy + yz + zx) £
( p + q )( x + y + z )2 / 3 (*). Áp dụng BĐT (II) cho hai bộ số
æ ö
x y z
ç ÷ và
; ;
py + qz pz + qx px + qy ø
è
( x( py + qz ); y ( pz + qx); z ( px + qy )) ta được:
æx zö
y
÷ [ x( py + qz ) + y ( pz + qx) + z ( px + qy ) ] ³ ( x + y + z )
+ + 2
ç
è py + qz pz + qx px + qy ø
Kết hợp với BĐT (*) ta sẽ được BĐT ccm. Dấu bằng xảy ra khi;
py + qz = pz + qx = px + qy .
Bằng cách giải tương tự ta sẽ chứng minh được các BĐT sau:
a b c 3
+ + ³ với a,b,c là các số dương bất kì.
1/
b+c a+c b+a 2
a b c d
+ + + ³ 2 với a,b,c,d là các số dương bất kì.
2/
b+c d +c d +a a+b
a+b+c
a2 b2 c2
+ + ³ với a,b,c là các số dương bất kì.
3/
b+c a+c b+a 2
a2 b2 c2
+ + ³ a + b + c với a,b,c là độ dài ba cạnh của một
4/
b+c-a a +c-b b+ a -c
tam giác.
8
- a b c
+ + ³ 3 với a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam
5/
b+c-a a +c-b b+ a -c
giác.
Bài 28: Cho các số thực x,y,u,v thỏa mãn điều kiện: x 2 + y 2 = u 2 + y 2 = 1. Chứng
minh:
u ( x - y ) + v( x + y ) £ 2
Giải: Theo BĐT (II) :
[u ( x - y ) + v( x + y ) ]
£ (u 2 + v 2 ) é( x - y )2 + ( x + y )2 ù = 2( x 2 + y 2 ) = 2
2
ë û
Từ đó suy ra BĐT cần chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi u ( x + y ) = v ( x - y ).
Bài 29: Cho a,b,c là 3 số dương thỏa mãn điều kiện: a 2 + b 2 + c 2 ³ 1. Chứng minh:
a3 b3 c3 1
+ + ³
b+c a+c b+a 2
Giải: Theo BĐT (II) ta có:
æa cö
3 3 3
b
÷ [ a (b + c) + b(a + c) + c(b + a )] ³
+ +
ç
b+c a+c b+aø
è
(a 2 + b 2 + c 2 ) 2 ³ (a 2 + b 2 + c 2 ) ³ ab + bc + ca . Từ đó ta suy ra BĐT cần chứng
minh. Dấu bằng xảy ra khi a = b = c = 3 / 3 .
Bài 30: Ba số x,y,z thỏa mãn điều kiện: x( x - 1) + y ( y - 1) + z ( z - 1) £ 4 / 3.
Chứng minh:
-1 £ x + y + z £ 4 .
Giải: Từ điều kiện ta suy ra: ( x - 1/ 2) + ( y - 1/ 2) + ( z - 1/ 2) £ 25/12 . Áp
2 2 2
dụng BĐT (II) ta được:
[1.( x - 1/ 2) + 1.( y - 1/ 2) + 1.( z - 1/ 2)] £ 3 é( x - 1/ 2) 2 + ( y - 1/ 2) 2 + ( z - 1/ 2) 2 ù £ 25/
2
ë û
Þ x + y + z - 3 / 2 £ 5 / 2 Û -5 / 2 £ x + y + z - 3/ 2 £ 5 / 2 Û -1 £ x + y + z £ 4
(đpcm).
Dấu bằng xảy ra khi x = y = z = 4 / 3 .
Bài 31: Hai số a,b thỏa mãn điều kiện: a 2 + b 2 + 16 = 8a + 6b . Chứng minh:
a / 10 £ 4a + 3b £ 40; b / 7b £ 24a
Giải: a/ Từ điều kiện ta suy ra: ( a - 4) + (b - 3) = 9 . Áp dụng BĐT (II) ta được:
2 2
9
- [ 4(a - 4) + 3(b - 3)] £ é(a - 4)2 + (b - 3) 2 ù (42 + 32 ) = 9.25 Û 4a + 3b - 25 £ 15
2
ë û
Û -15 £ 4a + 3b - 25 £ 15 Û 10 £ 4a + 3b £ 40 (đpcm). Dấu bằng xảy ra khi a =
24/5,b = 24/3
hoặc a = 16/5, b = 6/5.
Bài 32: Ba số x,y,z thỏa mãn điều kiện: x 2 + y 2 + z 2 - 4 x + 2 z £ 0. Tìm GTNN
và GTLN của biểu thức:
S = 2 x + 3 y - 2 z.
Bài 33: Cho a,b,c là ba số không âm thỏa mãn hệ thức: a + b + c = 3. Tìm GTNN
của biểu thức:
S = a 2 + ab + b 2 + c 2 + cb + b 2 + a 2 + ac + c 2 .
Giải: Theo BĐT (II) ta có:
4 éæ b ö æ 3b ö ù é 2 æ 1 ö ù æ
2 2
2 2
b bö
(a + ab + b ). = êç a + ÷ + ç ÷ ú ê1 + ç ÷ ú ³ ç a + 2 + 2 ÷ = (a + b)
2 2 2
3 êè 2ø è 2 ø úê è 3ø ú è ø
ûë û
ë
Þ a 2 + ab + b 2 ³ 3(a + b) / 2 . Tương tự ta cũng có:
c 2 + cb + b 2 ³ 3(c + b) / 2 ;
c 2 + ca + a 2 ³ 3(c + a) / 2 Þ S ³ 3(a + b + c) = 3 . Vậy MinS = 3 khi
a = b = c = 3 / 3.
II.Sử dụng phương pháp đánh giá:
Bài 34: Cho 3 số dương a,b,c. Chứng minh các BĐT sau:
1 1 1 1
+3 +3 3 £
a/ 3 ;
a + b3 + abc c + b3 + abc a + c + abc abc
a+b+c
1 1 1
+2 +2 £
b/ 2 .
a + bc b + ac c + ab 2abc
Giải:a/Ta có:
a 3 + b3 + abc = (a + b)(a 2 - ab + b 2 ) + abc ³ (a + b)ab + abc = ab(a + b + c) > 0
10
- 1 1 c
Þ £ = . Tương tự ta cũng có các
a 3 + b3 + abc ab(a + b + c) abc(a + b + c)
BĐT:
1 a 1 b
£ £ . Cộng các vế của
;3
c 3 + b3 + abc abc(a + b + c) c + a 3 + abc abc(a + b + c)
các BĐT này lại
rồi giản ước ta sẽ được BĐT cần chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi a = b = c.
b/ Theo BĐT (I) ta có:
bc b + c
1 1
a 2 + bc ³ 2a bc > 0 Þ £ = £ .
a + bc 2a bc 2abc 4abc
2
a+c b+a
1 1
£ £
Tương tự ta cũng có: 2 . Cộng các vế của các BĐT
;2
b + ac 4abc c + ab 4abc
này lại rồi đơn giản ta sẽ được BĐT cần chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi a = b = c.
Bài 35: Cho 3 số dương x,y,z thỏa mãn điều kiện: x 2 + y 2 + z 2 £ 3. Tìm GTNN
của biểu thức:
1 1 1
P= + + .
1 + xy 1 + zy 1 + zx
Bài 36: Cho 3 số dương a,b,c có tổng bằng 2. Chứng minh:
ab cb ac
S= + + £ 1.
2-c 2-a 2-b
Bài 37: Cho 3 số dương a,b,c thỏa mãn điều kiện: 1 / a + 1/ b + 1/ c = 3. Tìm GTLN
của biểu thức:
ab cb ac
S= +3 + 3 3.
a 3 + b3 c + b3 a + c
Bài 38: Cho ba số dương x,y,z có tích bằng 8. Tìm GTNN của biểu thức:
S = log 2 x + 1 + log 2 y + 1 + log 2 z + 1.
2 2 2
Giải: Ta có:
(log 2 x + 1)2 (log 2 x + 1) 2 (log 2 x + 1)2 1
S³ + + = ( log 2 x + 1 + log 2 y + 1 + lo
2 2 2 2
1 6
= 3 2. Vậy MinS = 3 2 khi x = y = z = 2.
³ 3 + log 2 xyz =
2 2
11
- Bài 39: Cho 3 số thực x,y,z có tổng bằng 1. Tìm GTNN của biểu thức:
S = x 4 + y 4 + z 4 - xyz.
Giải: Theo BĐT (II) ta có:
2
1 é1 ù
1 1
x 4 + y 4 + z 4 ³ ( x 2 + y 2 + z 2 )2 ³ ê ( x + y + z )2 ú = . Áp dụng
3 ë3 û
3 27
BĐT (I) ta được:
x +y +z 3æ 1ö
4 4 4
1/ 27 3 xyz
1
S= + ç x4 + y 4 + z 4 + 4 ÷ - - xyz ³ + .4
4è 3 ø 4.27
4 4 4 3
1
- xyz = xyz - xyz ³ 0. Vậy MinS = 0 khi x = y = z = 1 / 3.
-
4.27
Bài 40: Cho 3 số dương x,y,z bất kì.Tìm GTNN của biểuthức:
x2 y2 z2
S= 2 + + .
x + 2 yz y 2 + 2 yx z 2 + 2 yx
Bài 41: Cho 3 số dương x,y,z bất kì. Chứng
2x 2y 2z 1 1 1
minh: S = 4 +4 +4 £ 4 + 4 + 4.
y + z 6 z + x6 x + y 6 x y z
III.Chứng minh BĐT hoặctìm cực trị bằng phương pháp đổi biến:
Bài 42: Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn hệ thức: ab + bc + ca = abc. Chứng
minh BĐT:
b 2 + 2a 2 c 2 + 2b 2 a 2 + 2c 2
S= + + ³ 3.
ab cb ac
Giải: Đặt x = 1/a, y = 1/b, z = 1/c thì điều kiện trở thành: x + y + z = 1 và BĐT trở
thành:
S = x 2 + 2 y 2 + y 2 + 2 z 2 + z 2 + 2 x 2 ³ 3 . Theo BĐT (II) ta có:
S ³ ( x + 2 y ) 2 / 3 + ( y + 2 z ) 2 / 3 + ( z + 2 x)2 / 3 = 3( x + y + z ) / 3 = 3
(đpcm).
Dấu bằng xảy ra khi x = y = z = 1 / 3 hay a = b = c = 3.
12
- Bài 43: Cho 3 số thực dương x,y,z có tích bằng 1. Chứng minh BĐT:
1 1 1 3
S= 3 +3 +3 ³.
x ( y + z ) y ( x + z ) z ( y + x) 2
Giải: Đặt x = 1/a, y = 1/b, z = 1/c thì điều kiện trở thành: abc = 1 và BĐT trở thành:
a2 b2 c2 3
S= + + ³ .Áp dụng BĐT (II)&(I) ta có
b+c a+c b+a 2
( a + b + c) 2 a + b + c 3
ngay: S ³ = ³
2( a + b + c) 2 2
Dấu bằng xảy ra khi a = b = c = 1 hay x = y = z = 1.
Bài 44: Cho 3 số dương x,y,z thỏa mãn điều kiện: 1 / x + 1/ y + 1/ z = 1. Chứng
minh BĐT:
x + yz + y + xz + z + yx ³ xyz + x + y + z .
Giải: Đặt x = 1/a, y = 1/b, z = 1/c thì điều kiện trở thành: a + b + c = 1 và BĐT trở
thành:
a + bc + b + ac + c + ab ³ 1 + ab + bc + ca . Ta có:
a + bc = a (a + b + c) + bc ³ a 2 + 2a bc + bc = (a + bc )2 = a + bc .
Tương tự ta cũng có: b + ac ³ b + ac ; c + ab ³ c + ab . Cộng các BĐT này
lại ta sẽ được BĐT ccm.
Dấu bằng xảy ra khi a = b = c = 1 / 3 hay x = y = z = 3.
Bài 45: Cho hai số thực x,y khác 0 và thỏa mãn điều kiện: x 2 + y 2 = 2 x 2 y + y 2 x .
Tìm GTNN và
GTLN của biểu thức: S = 2 / x + 1/ y.
Giải: Đặt u = 1 / x & v = 1/ y thì điều kiện trở thành:
u 2 + v 2 = u + 2v Û (u - 1/ 2) 2 + (v - 1) 2 = 5/ 4 . Theo BĐT (II) ta có:
( S - 2) 2 = [ 2(u - 1/ 2) + v - 1] £ (22 + 12 ) é (u - 1/ 2) 2 + (v - 1) 2 ù £ 25 / 4 Þ -5 / 2 £ S -
2
ë û
Þ -0,5 £ S £ 4,5 . Vậy MinS = - 0,5 khi x = - 2; y = 2. MaxS = 4,5 khi x = y = 2/3.
Bài 46: Hai số thực x,y thỏa mãn các điều kiện: y £ 0 & x 2 + x = y + 12. Tìm
GTNN và GTLN
của biểu thức: A = xy + x + 2 y + 17.
Giải: Từ điều kiện ta suy ra: y = x + x - 12 £ 0 Þ -4 £ x £ 3 ;
2
13
- đồng thời A = f ( x) = x + 3 x - 9 x - 7
3 2
Từ BBT của hàm số ta suy ra: x -4 -3 1 3
f’(x) + 0 - 0 +
MaxA = Maxf ( x) = f (-3) = f (3) = 20 20 20
f(x)
[ -4;3] 13 -12
MinA = Minf ( x) = f (1) = -12
[ -4;3]
Bài 47: Cho hai số dương x,y thỏa mãn điều kiện: x 2 + y 2 = 1. Tìm GTNN của
biểu thức:
S = ( x + 1)(1 + 1/ y ) + ( y + 1)(1 + 1/ x)
Bài 48: Cho các số thực x,y thỏa mãn điều kiện: x 2 + y 2 = 1. Tìm GTNN và
GTLN
4 x 2 + 2 xy - 1
của biểu thức: T =
2 xy - 2 y 2 + 3
3 x 2 + 2 xy - y 2
. Nếu y = 0 Þ x = 1 Þ T = 1.
Giải: Từ điều kiện ta suy ra: T = 2
2
3 x + 2 xy + y 2
Nếu y ¹ 0 đặt
3t 2 + 2t - 1
t = x/ y ÞT = 2 Û (3T - 3)t 2 + 2(T - 1)t + T + 1 = 0(*) . (*) không có
3t + 2t + 1
nghiệm khi T=1
Với T ¹ 1,(*) có D ' = (T - 1)(-2T - 4) ³ 0 khi -2 £ T < 1 . Kết hợp với trên ta có:
MinT=-2 khi x = ± 10 /10; y = m3 10 /10 . MaxT=1 khi x = ±1 và y = 0.
Bài 49: Cho hai số dương x,y thỏa mãn điều kiện: x + y = 5 / 4 . Tìm GTNN của
biểu thức:
S = 4 / x + 1/ 4 y.
Bài 50: Cho hai số không âm x,y có tổng bằng 1. Tìm GTNN và GTLN của biểu
thức:
S = 1 + x 2008 + 1 + y 2008 .
14
- Giải: Ta có:
1004(1 - x) 2007
1004 x 2007
S = f ( x) = 1 + x + 1 + (1 - x) . f '( x) = -
2008 2008
1 + x 2008 1 + (1 - x) 2008
f '( x) = 0 Û x 2007 1 + (1 - x) 2008 = (1 - x) 2007 1 + x 2008 Û x 4014 é1 + (1 - x) 2008 ù =
ë û
(1 - x) 4014 (1 + x 2008 ) Û é x 4014 - (1 - x) 4014 ù + x 2008 (1 - x) 2008 é x 2006 - (1 - x) 2006 ù = 0
ë û ë û
Û (2 x - 1) P ( x) + x 2008 (1 - x) 2008 (2 x - 1) P2 ( x) = 0 Û 2 x - 1 = 0 Û x = 1/ 2 .
1
( Vì x và 1 - x không đồng thời bằng 0 nên P ( x) > 0; P2 ( x) > 0 )
1
Do
f (0) = f (1) = 1 + 2; f (1/ 2) = 2 1 + 1/ 22008 Þ MaxS = 1 + 2; MinS = 2 1 + 1/ 22008
15
nguon tai.lieu . vn
