Chuyên đề 1: Khảo sát hàm số và các bài toán liên quan - GV. Nguyễn Bá Trung

Gi¸o viªn: nguyÔn b¸ trung – tr­êng thpt xu©n giang Mobile: 012469.15999 CHUY£N §Ò 1: KH¶O S¸T HµM Sè Vµ C¸C BµI TO¸N LI£N QUAN 1. CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN KHẢO SÁT HÀM SỐ 1.1 Hàm số y = ax+b 1.1.1 BÀI TOÁN ĐIỀU KIỆN CỦA THAM SỐ: Bài toán 1. Tìm m để đường thẳng y = 2x + m cắt đồ thị hàm số y = −2x−4 tại hai điểm phân biệt A, B khi đó tìm quỹ tích trung điểm của AB. Bài toán 2. Tìm m để đường thẳng y = x + mcắt đồ thị hàm số y = 2x+1 tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB vuông tại O. Bài toán tương tự: Cho hàm số y = 2x −1 có đồ thị (C). Tìm m để đường thẳng d: y= x+m cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho ΔOAB vuông tại O. Bài toán 3. Tìm tất cả các giá trị của m sao cho đường thẳng d: y = x + mcắt đồ thị (C) của hàm số y = x +1 tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác IAB có diện tích bằng 4 với I (1;1) Bài toán 4. Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng y = -x + m cắt đồ thị hàm số y = 2x+1 tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tiếp tuyến tại A và B song song với nhau. Bài toán 5. Tìm tất cả các giá trị của m sao cho đường thẳng y = x + m cắt đồ thị y = x+1 tại hai điểm phân biệt A, B và cắt hai tiệm cận của đồ thị hàm số tại hai điểm M, N sao cho M, N chia đoạn thẳng AB thành ba đoạn thẳng bằng nhau. Bài toán 6. Tìm m để đường thẳng y = -x + m cắt đồ thị hàm số y = 2x+1 tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác IAB đều với I (1;2) Bài toán 7. Cho hàm số: y = 2x+1 (C) Tìm các giá trị của tham số m sao cho (D) y=x+m .cắt (C) tại 2 điểm phân biệt M, N sao cho tổng hệ số góc của tiếp tuyến tại M và N bằng -6 Bài toán 8. (ĐH 2011A)Cho hàm số y = 2x−1có đồ thị (C).Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng y = x + m luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A và B. Gọi k1, k2 là hệ số góc của các tiếp tuyến với (C) tại A và B. Tìm m để tổng k1+k2 đạt giá trị nhỏ nhất Bài toán 9. Cho hàm số: y = 2x+1 có đồ thị (C) Tìm các giá trị của tham số m sao cho (D) y=x+m .cắt (C) tại 2 điểm phân biệt M, N sao cho tiếp tuyến tại M và N tạo với nhau góc 600. Bài toán 10. Tìm m sao cho đường thẳng y = x + m cắt đồ thị hàm số y = x −1. tại hai điểm A, B sao cho I(1;1) nhìn A, B dưới một góc 1200. Bài toán 11. Cho hàm số y= mx+4 .Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số nghịch biến trên TR£N CON §¦êng vinh quang kh«ng cã dÊu ch©n cña kÎ l­êi biÕng 1 Gi¸o viªn: nguyÔn b¸ trung – tr­êng thpt xu©n giang Mobile: 012469.15999 khoảng (−;1). Bài tương tự: Tìm m sao cho hàm số CHUY£N §Ò 1: KH¶O S¸T HµM Sè Vµ C¸C BµI TO¸N LI£N QUAN y = 2x+m+1 đồng biến trên (1;+) Bài toán 12.Cho hàm số y= 2 +2 có đồ thị là (C). Chứng minh rằng đường thẳng d: y= −x+m luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B. Tìm m để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất. Bài tương tự: Chứng minh rằng đường thẳng d: y= −x+m luôn cắt đồ thị (C): y = x−2 tại hai điểm phân biệt A, B. Tìm m để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất. Bài toán 13. Cho hàm số y = x+1 có đồ thị (C). Đường thẳng d qua điểm I(−1;1) hệ số góc k .Tìm k sao cho d cắt đồ thị (C) tại hai điểm M, N và I là trung điểm của đoạn MN. Bài toán 14. Cho hàm số y = 2x+4 có đồ thị (C). Gọi (d) là đường thẳng qua A(1; 1) và có hệ số góc k. Tìm k để (d) cắt (C) tại hai điểm M, N sao cho MN = 3 10. Bài toán 15. Cho hàm số y = 2x − 2 (C). Tìm m để đường thẳng (d): y= 2x+m cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB = 5 . Bài toán tương tự:Cho hàm số y= x−1 có đồ thị (C). Tìm các giá trị của tham số m sao cho đường thẳng (d): y= x+2 cắt đồ thị (C) tại hai điểm A và B sao cho AB= 2 2 . Bài toán 16. Cho y = x + 2 có đồ thị (H), A(1;0), đường thẳng d qua A, hệ số góc k. Tìm k để d cắt (H) tại M,N (xM <1< xN ) sao cho AM = −2AN . 1.1.2 BÀI TOÁN TÌM ĐIỂM: Bài toán 1. Cho hàm số y= 2x−1 có đồ thị (C). Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) để tiếp tuyến của (C) tại M với đường thẳng đi qua M và giao điểm hai đường tiệm cận có tích các hệ số góc bằng –9. Bài toán 2. Cho hàm số y = 2x+1 có đồ thị (C). Tìm trên (C) những điểm có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận của (C) nhỏ nhất. Bài toán tương tự:. Tìm điểm A trên đồ thị hàm số y = x−2 để tổng khoảng cách từ A đến hai đường tiệm cận nhỏ nhất. Bài toán 3. Cho hàm số y= 3x−2 có đồ thị (C). Tìm các điểm thuộc (C) cách đều 2 tiệm cận. Bài toán tương tự. Tìm điểm A trên đồ thị hàm số y = x−3 cách đều hai đường tiệm cận. TR£N CON §¦êng vinh quang kh«ng cã dÊu ch©n cña kÎ l­êi biÕng 2 Gi¸o viªn: nguyÔn b¸ trung – tr­êng thpt xu©n giang Mobile: 012469.15999 CHUY£N §Ò 1: KH¶O S¸T HµM Sè Vµ C¸C BµI TO¸N LI£N QUAN Bài toán tương tự. Tìm điểm A trên đồ thị hàm số y = x+2 cách đều hai trục tọa độ Bài toán 4. Cho hàm số y= 2x−4 có đồ thị (C). Tìm trên (C) hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng MN biết M(–3; 0) và N(–1; –1). Bài toán tương tự. Tìm hai điểm A, B trên đồ thị hàm số y = x−1 đối xứng nhau qua đường thẳng y = -2x Bài toán 5. Cho hàm số y = x −1 có đồ thị (C). Tìm trên đồ thị (C) hai điểm B, C thuộc hai nhánh sao cho tam giác ABC vuông cân tại đỉnh A với A(2; 0). Chú ý: Tam giác ABC vuông cân tại A mà AB (a;b) thì AC (b;-a) hoặc AC (-b;a) Bài toán 6. Cho hàm số y = 2x −1 có đồ thị (C). Tìm tọa độ điểm M ∈ (C) sao cho khoảng cách từ điểm I(−1;2)tới tiếp tuyến của (C) tại M là lớn nhất. Bài toán tương tự:. Tìm điểm A thuộc đồ thị hàm số y = 2x−1 sao cho khoảng cách từ điểm I (-2;2) tới tiếp tuyến tại A lớn nhất. Bài toán 7. Cho hàm số y = 2 +2 có đồ thị (C).Tìm những điểm trên đồ thị (C) cách đều hai điểm A(2; 0) và B(0; 2). Bài toán 8. Cho hàm số y= x−3 có đồ thị (C) .Tìm trên hai nhánh của đồ thị (C) hai điểm A và B sao cho AB ngắn nhất. Bài toán tương tự: . Tìm điểm A và B trên hai nhánh đồ thị hàm số y = x−2 để AB ngắn nhất Bài toán 9. Tìm tất cả các điểm thuộc Oy mà từ mỗi điểm đó chỉ kẻ được đúng 1 tiếp tuyến tới đồ thi (C) của hàm số y = x −1 . Bài toán 10. Cho hàm số y= 2x−3 có đồ thị (C). Tìm trên (C) những điểm M sao cho tiếp tuyến tại M của (C) cắt hai tiệm cận của (C) tại A, B sao cho AB ngắn nhất. Bài toán tương tự: Tìm điểm thuộc đồ thị (C) y = x +1 sao cho tiếp tuyến tại điểm đó cắt hai tiệm cận tại A và B sao cho AB ngắn nhất Bài toán 11. Cho hàm số y= x−2 . Cho M là điểm bất kì trên (C). Tiếp tuyến của (C) tại M cắt các đường tiệm cận của (C) tại A và B. Gọi I là giao điểm của các đường tiệm cận. Tìm toạ độ điểm M sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất. Bài toán 12. Cho hàm số y = 2x +1 có đồ thị (C). Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận. Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M cắt 2 tiệm cận tại A và B với chu vi tam giác IAB đạt giá trị TR£N CON §¦êng vinh quang kh«ng cã dÊu ch©n cña kÎ l­êi biÕng 3 Gi¸o viªn: nguyÔn b¸ trung – tr­êng thpt xu©n giang Mobile: 012469.15999 CHUY£N §Ò 1: KH¶O S¸T HµM Sè Vµ C¸C BµI TO¸N LI£N QUAN nhỏ nhất. Bài toán 13. Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị hàm số y = −3x+5 đối xứng nhau qua điểm I (1;-2) Bài toán 14. Cho hàm số y= x+1. Cho M là điểm trên (C). Tiếp tuyến của (C) tại M cắt các đường tiệm cận của (C) tại A và B. Gọi I là giao điểm của các đường tiệm cận. Tìm toạ độ điểm M sao cho đường tròn nội tiếp tam giác IAB có bán kính r = 3− 5 . Bài toán 15. Cho hàm số y = x − 2 (H). Tìm trên (H) những điểm M có toạ độ nguyên Bài toán 16. Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) của hàm số y = x+1 sao cho tam giác IAB đều với I (1;1) Bài toán 17. Tìm điểm A trên đồ thị (C) của hàm số y = x−2 để khoảng cách từ A đến đường thẳng d: y = -x nhỏ nhất 1.1.3 BÀI TOÁN CHỨNG MINH TÍNH CHẤT CỦA HÀM PHÂN THỨC: Bài toán 1. Cho hàm số : y= x+2 (C) Chứng minh rằng mọi tiếp tuyến của đồ thị (C) đều lập với hai đường tiệm cận một tam giác có diện tích không đổi. Bài toán tương tự: Cho hàm số. y= x +1. Chứng minh rằng mọi tiếp tuyến của đồ thị hàm số tạo với 2 tiệm cận 1 Δ có diện tích không đổi .Tìm điểm ∈ đồ thị sao cho tiếp tuyến tại điểm đó tạo với 2 tiệm cận 1 Δ có chu vi nhỏ nhất Bài toán 2. Cho hàm số y= x+3. Cho điểm Mo(xo;yo) thuộc đồ thị (C). Tiếp tuyến của (C) tại M0 cắt các tiệm cận của (C) tại các điểm A và B. Chứng minh Mo là trung điểm của đoạn thẳng AB. Bài toán 3. Cho hàm số: y= x+ 2 có đồ thị (C). Chứng minh rằng với mọi giá trị m thì trên (C) luôn có cặp điểm A, B nằm về hai nhánh của (C) và thỏa xA − yA + m= 0 . Bài toán 4. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đường thẳng y = x + m cắt đồ thị y = x−1 tại hai điểm phân biệt A, B và cắt hai tiệm cận của đồ thị hàm số tại hai điểm M, N và MN có chung trung điểm với đoạn thẳng AB Bài toán 5. cho hàm số y = mx + m −1 . C MR ∀ m  1 đồ thị luôn tiếp xúc với 1 đường thẳng cố định 1.1.4 BÀI TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN: TR£N CON §¦êng vinh quang kh«ng cã dÊu ch©n cña kÎ l­êi biÕng 4 Gi¸o viªn: nguyÔn b¸ trung – tr­êng thpt xu©n giang Mobile: 012469.15999 CHUY£N §Ò 1: KH¶O S¸T HµM Sè Vµ C¸C BµI TO¸N LI£N QUAN Bài toán 1. Cho hàm số y = x+2 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết rằng khoảng cách từ tâm đối xứng của đồ thị (C) đến tiếp tuyến là lớn nhất. Bài tập tương tự: Tìm điểm A thuộc đồ thị (C) y = 2x −1 sao cho khỏng cách từ I (−2;2) tới tiếp tuyến tại A lớn nhất. Bài toán 2. Cho hàm số y= x+2 (1). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân. Bài toán tương tự: 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = 2x+1 sao cho tiếp tuyến tạo với hai trục toạ độ một tam giác cân. 2. Cho hàm số y = − 2x +1. Viết pt T2 biết T2 song song với đường thẳng y =-x Bài toán 3. Cho hàm số y = 2x −1. Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến này cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại các điểm A và B thoả mãn OA = 4OB. Bài toán 4. Cho hàm số: y= x+2 (C). Cho điểm (0;a). Tìm a để từ A kẻ được 2 tiếp tuyến tới đồ thị (C) sao cho 2 tiếp điểm tương ứng nằm về 2 phía của trục hoành. Bài toán 5. Cho hàm số y= 2x−1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết khoảng cách từ điểm I(1; 2) đến tiếp tuyến bằng 2 . Bài toán 6. Cho hàm số y= 2x+1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết rằng tiếp tuyến cách đều hai điểm A(2; 4), B(−4; −2). Bài toán 7. Cho hàm số y= 2x−3 (C). Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M thuộc (C) biết tiếp tuyến đó cắt tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại A, B sao cho côsin góc ABI bằng 4 , với 17 I là giao 2 tiệm cận. Bài toán 8. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị y = x −1. biết tiếp tuyến tạo với trục Oy và đường thẳng y = x + 2 một tam giác vuông cân. 1.2 HÀM SỐ y = ax3 + bx2 + cx + d 1.2.1 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ: Bài toán 1. Cho hàm số y= 1(m−1)x3 +mx2 +(3m−2)x (1) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) đồng biến trên tập xác định của nó. Bài toán tương tự. Với giá trị nào của m hàm số y = x3 + (m-1)x2 + (m2-4)x + 9 đồng biến trên R TR£N CON §¦êng vinh quang kh«ng cã dÊu ch©n cña kÎ l­êi biÕng 5 ... - tailieumienphi.vn