Xem mẫu
- Download Ebook Tai: https://downloadsachmienphi.com
TOÙM TAÉT CAÙC COÂNG THÖÙC CAÀN NHÔÙ MOÂN TOAÙN THẦY NGUYỄN TIẾN ĐẠT
TOÙM TAÉT CAÙC COÂNG THÖÙC
CAÀN NHÔÙ MOÂN TOAÙN
I/ ÑAÏI SOÁ:
1. Tam thöùc baäc hai: Cho tam thöùc baäc hai 0
f ( x) ax 2 bx c af ( ) 0
b
(a 0; , R; ; S ; b 2 4ac) k / x1 x2 af ( ) 0
a S
0 0
a / f ( x) 0, x R 2
a 0 S
0
0 2
b / f ( x) 0, x R
a 0 2. Baát ñaúng thöùc:
c / x1 x2 af ( ) 0 Caùc tính chaát cuûa baát ñaúng thöùc:
a b
* ac
0 b c
d / x1 x2 af ( ) 0 *a b a c b c
S c 0
0 * ac bc
2 a b
c 0
0 * ac bc
a b
e / x1 x2 af ( ) 0
S a b
* ac bd
0 c d
2
*a c b a b c
x1 x2 0
f / a b 0
x1 x2 af ( ) 0 * ac bd
af ( ) 0 c d 0
g / x1 x2 a b 0
af ( ) 0 * a n bn
n N *
af ( ) 0
h / x1 x2
af ( ) 0 *a b 0 a b
af ( ) 0 *a b 3 a 3 b
i / x1 x2
af ( ) 0 Baát ñaúng thöùc chöùc giaù trò tuyeät ñoái:
a a a a R
x1 x2
j/ f ( ). f ( ) 0 x a a x a a 0
x1 x2
x a x a x a
a b ab a b ( a, b R )
Baát ñaêûng thöùc Cauchy( cho caùc soá khoâng
aâm):
“Chúng ta sinh ra không để tầm thường”
Liên hệ: 090.328.8866 | Website: http://www.thi247.com/ | Số 8 ngõ 17 Tạ Quang Bửu
Tron Bo SGK: https://bookgiaokhoa.com
- Download Ebook Tai: https://downloadsachmienphi.com
TOÙM TAÉT CAÙC COÂNG THÖÙC CAÀN NHÔÙ MOÂN TOAÙN THẦY NGUYỄN TIẾN ĐẠT
ab 5. Phöông trình, baát phöông trình chöùa giaù
* ab daáu “=” xaûy ra khi a = b
2 trò tuyeät ñoái:
abc 3 * A B A B
* abc
3
B 0
daáu “=” xaûy ra khi a= b= c *A B
Baát ñaúng thöùc Bunyakovsky ( cho caùc soá A B
thöïc): A B
*A B
*ab cd (a 2 c 2 )(b 2 d 2 ) A B
Daáu “=” xaûy ra khi ad= bc * A B A2 B 2
*a1b1 a2b2 c3b3 a2
1 a22 a32 b12 b22 b32
*A B
A B
a1 a2 a3 A B
Daáu “=” xaûy ra khi
b1 b2 b3 6. Phöông trình , baát phöông trình chöùa caên
3. Caáp soá coäng: thöùc:
a/Ñònh nghóa: Daõy soá u1, u2…….,un,……. A 0 ( B 0)
* A B
Goïi laø caáp soá coäng coù coâng sai laø d neáu A B
un un 1 d B 0
* AB
b/Soá haïng thöù n: un u1 ( n 1) d A B
2
c/Toång cuûa n soá haïng ñaàu tieân: A 0
n n * A B
S n (u1 un ) [2u1 (n )d ] A B
2 2
4. Caáp soá nhaân: A 0
a/Ñònh nghóa: Daõy soá u1, u2…….,un,……. * A B B 0
Goïi laø caáp soá nhaân coù coâng boäi laø q neáu
A B
2
un un 1.q
B 0
b/Soá haïng thöù n: un u1.q n 1
A 0
c/Toång cuûa n soá haïng ñaàu tieân: * AB
B 0
1 qn
S n u1 ( q 1) A B 2
1 q
u 7. Phöông trình, baát phöông trình logarit:
Neáu 1 q 1 lim S n 1 0 a 1
n 1 q
*log a f ( x ) log a g ( x) f ( x) 0 ( g ( x) 0)
f(x)=g(x)
0 a 1
f ( x) 0
*log a f ( x ) log a g ( x)
g ( x) 0
(a 1) f ( x) g ( x) 0
“Chúng ta sinh ra không để tầm thường”
Liên hệ: 090.328.8866 | Website: http://www.thi247.com/ | Số 8 ngõ 17 Tạ Quang Bửu
Tron Bo SGK: https://bookgiaokhoa.com
- Download Ebook Tai: https://downloadsachmienphi.com
TOÙM TAÉT CAÙC COÂNG THÖÙC CAÀN NHÔÙ MOÂN TOAÙN THẦY NGUYỄN TIẾN ĐẠT
8. Phöông trình , baát phöông trình muõ: II. LÖÔÏNG GIAÙC:
0 a 1 A.COÂNG THÖÙC LÖÔÏNG GIAÙC
1. Heä thöùc cô baûn:
f ( x ) g ( x)
*a f ( x)
a g ( x)
sin 2 x cos 2 x 1
a 1
sin x
/ f ( x), g ( x) tgx
cos x
a 0 cos x
*a f ( x ) a g ( x ) cot gx
(a 1) f ( x) g ( x) 0 sin x
9. Luõy thöøa: tgx.cot gx 1
*a .a .a a 1
1 tg 2 x
a cos 2 x
* a
a 1
1 cot g 2 x
*(a ) a sin 2 x
2. Cung lieân keát:
* a a
Cung ñoái:
cos( x ) cos x
a a
* sin( x) sin x
b b
tg ( x) tgx
*a b (a.b)
cot g ( x ) cot gx
1
*a Cung buø:
a
k sin( x) sin x
n m
* a a a n. m
k n.m k
cos( x) cos x
10. Logarit:0
- Download Ebook Tai: https://downloadsachmienphi.com
TOÙM TAÉT CAÙC COÂNG THÖÙC CAÀN NHÔÙ MOÂN TOAÙN THẦY NGUYỄN TIẾN ĐẠT
6. Coâng thöùc bieåu dieãn theo sinx, cosx
Cung hôn keùm
2 x
theo t tg
2
sin( x) cos x
2 2t
sin x
1 t2
cos( x) sin x
2 1 t2
cos x
1 t2
tg ( x) cot gx
2 2t
tgx
1 t2
cot g ( x ) tgx
2 7. Coâng thöùc bieán ñoåi:
3. Coâng thöùc coäng: a/Tích thaønh toång:
sin( x y ) sin x cos y sin y cos x 1
cos x.cos y cos( x y ) cos( x y )
cox( x y ) cos x cos y sin x sin y 2
tgx tgy 1
tg ( x y ) sin x sin y cos( x y ) cos( x y )
1 tgxtgy 2
1
4. Coâng thöùc nhaân ñoâi: sin x cos y sin( x y ) sin( x y )
sin 2 x 2 sin x cos x 2
b/Toång thaønh tích:
cos 2 x 2 cos 2 x 1
x y x y
1 2sin 2 x cos 2 x sin 2 x cos x cos y 2 cos cos
2 2
2tgx x y x y
tg 2 x cos x cos y 2 sin sin
1 tg 2 x 2 2
1 cos 2 x x y x y
cos 2 x sin x sin y 2sin cos
2 2 2
1 cos 2 x x y x y
sin 2 x sin x sin y 2 cos sin
2 2 2
5. Coâng thöùc nhaân ba: sin( x y )
tgx tgy
sin 3 x 3sin x 4sin 3 x cos x cos y
cos 3 x 4 cos3 x 3cos x sin( x y )
tgx tgy
3tgx tg 3 x cos x cos y
tg 3x
1 3tg 2 x sin( x y )
cot gx cot gy
3cos x cos 3 x sin x sin y
cos3 x
4 sin( x y )
cot gx cot gy
3sin x sin 3 x sin x sin y
sin 3 x
4 Ñaëc bieät:
sin x cos x 2 sin( x ) 2 cos( x )
4 4
sin x cos x 2 sin( x ) 2 cos( x )
4 4
1 sin 2 x (sin x cos x) 2
“Chúng ta sinh ra không để tầm thường”
Liên hệ: 090.328.8866 | Website: http://www.thi247.com/ | Số 8 ngõ 17 Tạ Quang Bửu
Tron Bo SGK: https://bookgiaokhoa.com
- Download Ebook Tai: https://downloadsachmienphi.com
TOÙM TAÉT CAÙC COÂNG THÖÙC CAÀN NHÔÙ MOÂN TOAÙN THẦY NGUYỄN TIẾN ĐẠT
II.PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC: vaø ñaët t= tgx Chuù yù:
1. Phöông trình cô baûn: d
1
d (1 tg 2 x)
x u k 2
2
cos x
a / sin x sin u k Z 5. Phöông trình daïng:
x x k 2
a.(sin x cos x ) b sin x.cos x c 0
sin x 1 x k 2 Caùch giaûi: Ñaët
2
t sin x cos x 2 sin( x ) 2 t 2
sin x 1 x k 2 4
2
t 1
2
1 t2
sin x 0 x k sin x.cos x (sin x.cos x )
2 2
x u k 2
b / cos x cos u (k Z) vaø giaûi phöông trình baäc hai theo t
x u k 2
cos x 1 x k 2 III. Heä thöùc löôïng trong tam giaùc:
cos x 1 x k 2 1. Ñònh lyù cosin:
a 2 b 2 c 2 2bc cos A
cos x 0 x k
2 b 2 a 2 c 2 2ac cos B
c / tgx tgu x u k (k Z ) c 2 a 2 b2 2ab cos C
d / cot gx cot gu x u k (k Z )
b2 c2 a2
cos A
2bc
2. Phöông trình baäc n theo moät haøm soá a c2 b2
2
löôïng giaùc: cos B
2ac
Caùch giaûi: Ñaët t = sinx (hoaëc cosx, tgx,
a b2 c2
2
cotgx) ta chuyeån veà phöông trình: cos C
2ab
ant n an 1t n 1 ...... a0 0
2. Ñònh lyù haøm soá sin:
Chuù yù: neáu ñaët t = sinx hoaëc cosx thí chuù a b c
yù ñieàu kieän 1 t 1 2R
sin A sin B sin C
3. Phöông trình baäc nhaát theo sinx vaø 3. Coâng thöùc tính ñoä daøi ñöôøng trung tuyeán:
cosx: b2 c2 a2
a sin x b cos x c ma2
2 4
Ñieàu kieän ñeå coù nghieäm: a 2 b 2 c 2
a c b2
2 2
Caùch giaûi: Chia hai veá cho a 2 b 2 vaø mb2
2 4
sau ñoù ñöa veà phöông trình löôïng giaùc cô a b c2
2 2
baûn mc
2
2 4
4. Phöông trình ñaúng caáp baäc hai ñoái vôùi
sinx vaø cosx:
a sin 2 x b sin x cos x c cos 2 x d 0
Caùch giaûi:
*Xeùt cos x 0 x k coù laø
2
nghieämkhoâng?
*Xeùt cos x 0 chia 2 veá chia cho cos2x
“Chúng ta sinh ra không để tầm thường”
Liên hệ: 090.328.8866 | Website: http://www.thi247.com/ | Số 8 ngõ 17 Tạ Quang Bửu
Tron Bo SGK: https://bookgiaokhoa.com
- Download Ebook Tai: https://downloadsachmienphi.com
TOÙM TAÉT CAÙC COÂNG THÖÙC CAÀN NHÔÙ MOÂN TOAÙN THẦY NGUYỄN TIẾN ĐẠT
4. Coâng thöùc ñoä daøi ñöôøng phaân giaùc trong: dx x C ax
a dx C
x
A ln a
2bc cos x 1
x dx C ( 1)
2
la
bc 1 cos xdx sin x C
2ac cos
B
dx
ln x C sin xdx cos x C
2 x
lb dx
ac dx 1
x2 x C cos 2
x
tgx C
C
2ab cos dx
lc 2 e dx e C
x x
sin 2
x
cot gx C
ab
5. Coâng thöùc tính dieän tích tam giaùc:
1
1 1
S a.ha b.hb c.hc
1 Chuù yù: f (ax b)dx a F (ax b) C
2 2 2
3. Dieän tích hình phaúng- Theå tích vaät theå
1 1 1
S bc.sin A ab.sin C ac.sin B troøn xoay:
2 2 2
-Vieát phöông trình caùc ñöôøng giôùi haïn hình
abc
S p.r phaúng.
4R
-Choïn coâng thöùc tính dieän tích:
S p ( p a )( p b)( p c)
III. ÑAÏO HAØM VAØ TÍCH PHAÂN: a
1. Ñaïo haøm caùc haøm soá thöôøng gaëp: S f ( x) g ( x ) dx
b
a
1/( x ) ' .x 1 12 /(u ) ' .u 1.u ' S f ( y ) g ( y ) dy
1 u' b
2 /( x ) ' 13 /( u ) ' -Choïn coâng thöùc tính theå tích:
2 x 2 u
*Hình phaúng quay quanh truïc Ox:
1 1 1 u'
3/ ' 2 14 / ' 2 a
x x u u V f 2 ( x) g 2 ( x) dx
4 /(sin x) ' cos x 15 /(sin u ) ' u '.cos u b
*Hình phaúng quay quanh truïc Oy:
5 /(cos x) ' sin x 16 /(cos u ) ' u '.sin u a
1 u' V f 2 ( y ) g 2 ( y ) dy
6 /(tgx) ' 17 /(tgu ) '
cos 2 x cos 2 u b
1 u' -Bieán x thì caän laø x= a; x=b laø hoaønh ñoä caùc
7 /(cot gx) ' 18 /(cot gu ) ' giao ñieåm.
sin 2 x sin 2 u
Bieán y thì caän laø y= a; y=b laø tung ñoä caùc
8 /(e x ) ' e x 19 /(eu ) ' u ' eu
giao ñieåm.
9 /( a x ) ' a x ln a 20 /( a u ) ' u ' au ln a
1 u' IV. HÌNH HOÏC:
10 /(ln x) ' 21/(ln u ) '
x u PHEÙP DÔØI HÌNH
1 u' Pheùp bieán hình: Pheùp bieán hình ( trong maët
11/(log a x) ' 22 /(log a u ) '
x.ln a u.ln a phaúng) laø moät quy taéc ñeå vôùi moãi ñieåm M
2. Nguyeân haøm caùc haøm soá thöôøng gaëp: thuoäc maët phaúng, xaùc ñònh ñöôïc moät ñieåm
duy nhaát M’ thuoäc maët phaúng aáy. Ñieåm M’
“Chúng ta sinh ra không để tầm thường”
Liên hệ: 090.328.8866 | Website: http://www.thi247.com/ | Số 8 ngõ 17 Tạ Quang Bửu
Tron Bo SGK: https://bookgiaokhoa.com
- Download Ebook Tai: https://downloadsachmienphi.com
TOÙM TAÉT CAÙC COÂNG THÖÙC CAÀN NHÔÙ MOÂN TOAÙN THẦY NGUYỄN TIẾN ĐẠT
goïi laø aûnh cuûa ñieåm M qua pheùp bieán hình kính , bieán goùc thaønh goùc baèng noù.
ñoù.
PHEÙP TÒNH TIEÁN VAØ PHEÙP DÔØI HÌNH PHEÙP ÑOÁI XÖÙNG TRUÏC
Ñònh nghóa pheùp tònh tieán: Pheùp tònh tieán Ñònh nghóa pheùp ñoái xöùng truïc: Pheùp ñoái
theo vectô u laø moät pheùp bieán hình bieán xöùng qua ñöôøng thaúng a laø pheùp pheùp bieán
ñieåm M thaønh ñieåm M’ sao cho MM ' u. hình moãi ñieåm M thaønh ñieåm M’ ñoái xöùng
Pheùp tònh tieán theo vectô u thöôøng ñöôïc kyù vôùi M qua a
hieäu laø T hoaëc Tu . Vectô u ñöôïc goïi laø Ñònh lyù: Pheùp ñoái xöùng truïc laø moät pheùp dôøi
hình
vectô tònh tieán.
Bieåu thöùc toïa ñoä:
Tính chaát cuûa pheùp tònh tieán:
Bieåu thöùc toïa ñoä cuûa pheùp ñoái xöùng qua truïc
Ñònh lyù 1: Neáu pheùp tònh tieán bieán hai ñieåm
Ox bieán ñieåm M(x; y) thaønh M’( x’; y’) ta
M vaø N laàn löôït thaønh hai ñieåm M’ vaø N’ thì
coù:
M’N’ = MN
x ' x
Ñònh lyù 2: Pheùp tònh tieán bieán ba ñieåm thaúng
haøng thaønh ba ñieåm thaúng haøng vaø khoâng y' y
laøm thay ñoåi thöù töï ba ñieåm ñoù Bieåu thöùc toïa ñoä cuûa pheùp ñoái xöùng qua truïc
Oy bieán ñieåm M(x; y) thaønh M’( x’; y’) ta
Heä quaû: Pheùp tònh tieán bieán ñöôøng thaúng
coù:
thaønh ñöôøng thaúng, bieán tia thaønh tia, bieán
ñoaïn thaúng thaønh ñoaïn thaúng baèng noù, bieán x ' x
tam giaùc thaønh tam giaùc baèng noù, bieán y' y
ñöôøng troøn thaønh ñöôøng troøn coù cuøng baùn Truïc ñoái xöùng cuûa moät hình: Ñöôøng thaúng
kính, bieán goùc thaønh goùc baèng noù. d goïi laø truïc ñoái xöùng cuûa hình H neáu pheùp
Bieåu thöùc toïa ñoä cuûa pheùp tònh tieán: Trong ñoái Ñd bieán H thaønh chính noù, töùc laø Ñd(H) =
maët phaúng vôùi heä truïc toïa ñoä Oxy, cho pheùp H
tònh tieán theo vectô u .
Bieát toïa ñoä cuûa u laø (a,b). Giaû söû ñieåm PHEÙP QUAY VAØ PHEÙP ÑOÁI XÖÙNG TAÂM
M(x;y) bieán thaønh ñieåm M’(x’; y’). Khi ñoù Ñònh nghóa pheùp quay: Trong maët phaúng
ta coù: cho ñieåm O coá ñònh vaø goùc löôïng giaùc
x ' x a khoâng ñoåi. Pheùp bieán hình bieán ñieåm O
thaønh ñieåm O, bieán moãi ñieåm M khaùc O
y' y b
Pheùp dôøi hình: Pheùp dôøi hình laø pheùp pheùp thaønh ñieåm M’ sao cho OM = OM’ vaø
bieán hình khoâng laø thay ñoåi khoaûng caùch (OM , OM ') ñöôïc goïi laø pheùp quay taâm
giöõa hai ñieåm baát kì. O goùc quay .
Ñònh lyù: Pheùp dôøi hình bieán ba ñieåm thaúng Ñònh lyù: Pheùp quay laø moät pheùp dôøi hình
haøng thaønh ba ñieåm thaúng haøng vaø khoâng Pheùp ñoái xöùng taâm: Pheùp ñoái xöùng qua
laøm thay ñoåi thöù töï ba ñieåm ñoù, bieán ñöôøng ñieåm O laø moät pheùp bieán hình bieán moãi
thaúng thaønh ñöôøng thaúng, bieán tia thaønh tia, ñieåm M thaønh ñieåm M’ ñoái xöùng vôùi M qua
bieán ñoaïn thaúng thaønh ñoaïn thaúng baèng noù, O, coù nghóa laø OM OM ' 0
bieán tam giaùc thaønh tam giaùc baèng noù, bieán Bieåu thöùc toïa ñoä cuûa pheùp ñoái xöùng taâm:
ñöôøng troøn thaønh ñöôøng troøn coù cuøng baùn Trong maët phaúng vôùi heä truïc toïa ñoä Oxy,
cho pheùp ñoái xöùng taâm I(a;b). Giaû söû ñieåm
“Chúng ta sinh ra không để tầm thường”
Liên hệ: 090.328.8866 | Website: http://www.thi247.com/ | Số 8 ngõ 17 Tạ Quang Bửu
Tron Bo SGK: https://bookgiaokhoa.com
- Download Ebook Tai: https://downloadsachmienphi.com
TOÙM TAÉT CAÙC COÂNG THÖÙC CAÀN NHÔÙ MOÂN TOAÙN THẦY NGUYỄN TIẾN ĐẠT
M(x;y) bieán thaønh ñieåm M’(x’; y’). Khi ñoù Toïa ñoä ñieåm G ñöôïc xaùc ñònh bôûi:
ta coù: x A xB xC
x ' 2a x xG 3
G
y ' 2b y y y A y B yC
Taâm ñoái xöùng cuûa moät hình: Ñieåm O goïi laø G 3
taâm ñoái xöùng cuûa moät hình H neáu pheùp ñoái *Cho tam giaùc ABC coù
xöùng taâm Ño bieán hình H thaønh chính noù, töùc AB (a1; a2 ), AC (b1; b2 )
laø Ño (H) = H 1
S ABC a1b2 a2b1
2
HAI HÌNH BAÈNG NHAU: 2/ Ñöôøng thaúng:
Ñònh lyù:Neáu ABC vaø A’B’C’ laø hai tam giaùc a/Phöông trình ñöôøng thaúng :
baèng nhau thì coù pheùp dôøi hình bieán tam -Phöông trình toång quaùt: Ax By C 0
giaùc ABC thaønh tam giaùc A’B’C’.
Vectô phaùp tuyeán n ( A; B ); A2 B 2 0
Töø ñònh lyù treân ta coù theå phaùt bieåu: Hai tam
x x0 at
giaùc baèng nhau khi vaø chæ khi coù pheùp dôøi -Phöông trình tham soá: tR
hình bieán tam giaùc naøy thaønh tam giaùc kia. y y0 bt
Vectô chæ phöông u ( a; b) vaø qua ñieåm M(x0; y0)
x x0 y y0
-Phöông trình chính taéc:
a b
x y
-Phöông trình ñoaïn chaén: 1
HÌNH HOÏC GIAÛI TÍCH: a b
I/ PHÖÔNG PHAÙP TOÏA ÑOÄ TRONG MAËT qua A( a; 0) ; B(0; b)
PHAÚNG: b/ Goùc taïo bôûi hai ñöôøng thaúng:
1/ Toïa ñoä cuûa vectô: Caùc coâng thöùc caàn nhôù Ax By C 0
* AB ( xB x A , yB y A ) A' x B ' y C ' 0
MA A. A ' B.B '
*Ñieåm M chia ñoaïn AB theo tæ soá k: k Cos
MB A2 B 2 . A '2 B '2
( k 1) c/Khoaûng caùch töø moät ñieåm M ( x0 ; y0 ) ñeán ñöôøng
Toïa ñoä ñieåm M ñöôïc xaùc ñònh bôûi: thaúng:
x A kxB Ax0 By 0 C
xM 1 k dM /
M A2 B 2
y y A kyB d/Phöông trình ñöôøng phaân giaùc cuûa goùc taïo bôûi
M
1 k
hai ñöôøng thaúng:
*Ñieåm I laø trung ñieåm cuûa AB: AX By C A' x B ' y C '
Toïa ñoä ñieåm I ñöôïc xaùc ñònh bôûi:
A B
2 2
A '2 B '2
x A xB
xI 2 e/Xaùc ñònh phöông trình ñöôøng phaân giaùc trong
I vaø phaân giaùc ngoaøi
y y A yB Hai ñieåm M(x1; y1) vaø M’(x2; y2) naèm cuøng phía so
I 2
vôùi t1.t2 0
*Ñieåm G laø troïng taâm cuûa tam giaùc ABC:
Hai ñieåm M(x1; y1) vaø M’(x2; y2) naèm khaùc phía so
vôùi t1.t2 0
“Chúng ta sinh ra không để tầm thường”
Liên hệ: 090.328.8866 | Website: http://www.thi247.com/ | Số 8 ngõ 17 Tạ Quang Bửu
Tron Bo SGK: https://bookgiaokhoa.com
- Download Ebook Tai: https://downloadsachmienphi.com
TOÙM TAÉT CAÙC COÂNG THÖÙC CAÀN NHÔÙ MOÂN TOAÙN THẦY NGUYỄN TIẾN ĐẠT
Ax1 By1 C A ' x2 B ' y 2 C ' x2 y2
(t1 ; t2 ) a/ Phöông trình chinh taéc Elip (E) 1
A2 B 2 A '2 B '2 a2 b2
c2 a2 b2
3/Ñöôøng troøn: -Tieâu ñieåm: F1(-c; 0) , F2(c; 0)
Phöông trình ñöôøng troøn: -Ñænh: A1(-a; 0) , A2(a; 0)
-Daïng 1: Phöông trình ñöôøng troøn coù taâm I(a; b) vaø c
-Taâm sai : e 1
baùn kính R a
a
x a y b R2
2 2
-Phöông trình ñöôøng chuaån: x
e
-Daïng 2: Phöông trình coù daïng b
x 2 y 2 2ax 2by c 0 -Phöông trình tieäm caän: y x
a
Vôùi ñieàu kieän a 2 b 2 c 0 laø phöông trình ñöôøng -Baùn kính qua tieâu:
troøn (C) coù taâm I(a; b) vaø baùn kính R a b c 2 2
MF1 exM a
-Phöông tích cuûa moät ñieåm M0 (x0 ; y0) ñoái vôùi moät MF2 exM a
ñöôøng troøn:
-Phöông trình tieáp tuyeán cuûa (E) taïi M0( x0; y0)
PM /(C ) x02 y02 2ax0 2by0 c (E)
4/Elip: x0 x y0 y
2 1
x2 y2 a2 b
-Phöông trình chinh taéc Elip (E) 2 2 1
a b -Ñieàu kieän tieáp xuùc cuûa
(a b); c a b
2 2 2
x2 y2
(E): 2 2 1 vaø : Ax By C 0 laø:
-Tieâu ñieåm: F1(-c; 0) , F2(c; 0) a b
-Ñænh truïc lôùn: A1(-a; 0) , A2(a; 0) A a B b C2
2 2 2 2
-Ñænh truïc nhoû: B1(0; -b) , B2(0; b) 6/ Parabol:
c
-Taâm sai : e 1 -Phöông trình chính taéc cuûa Parabol:
a ( P) : y 2 2 px
a p
-Phöông trình ñöôøng chuaån: x -Tieâu ñieåm: F ( ; 0)
e 2
-Baùn kính qua tieâu: p
MF1 a exM -Phöông trình ñöôøng chuaån: x
2
MF2 a exM -Phöông trình tieáp tuyeán vôùi (P) taïi M(x0 ; y0) ( P) :
-Phöông trình tieáp tuyeán cuûa (E) taïi M0( x0; y0) y0 y p ( x0 x)
(E) -Ñieàu kieän tieáp xuùc cuûa (P) vaø : Ax By C 0
x0 x y0 y
2 1 2 AC B 2 p
a2 b
-Ñieàu kieän tieáp xuùc cuûa II. PHÖÔNG PHAÙP TOÏA ÑOÄ TRONG KHOÂNG
x2 y2 GIAN:
(E): 2 2 1 vaø : Ax By C 0 laø: 1/ Tích coù höôùng cuûa hai vectô:
a b
a/Ñònh nghóa: cho hai vectô
A a B b C2
2 2 2 2
u ( x; y; z )
5/Hypebol: v ( x '; y '; z ')
“Chúng ta sinh ra không để tầm thường”
Liên hệ: 090.328.8866 | Website: http://www.thi247.com/ | Số 8 ngõ 17 Tạ Quang Bửu
Tron Bo SGK: https://bookgiaokhoa.com
- Download Ebook Tai: https://downloadsachmienphi.com
TOÙM TAÉT CAÙC COÂNG THÖÙC CAÀN NHÔÙ MOÂN TOAÙN THẦY NGUYỄN TIẾN ĐẠT
y z z x x y Ax By Cz D 0
u , v ; ;
y ' z ' z ' x ' x' y' A' x B ' y C ' z D ' 0
Caùc öùng duïng: b/ Phöông trình tham soá:
- u , v cuøng phöông u , v 0 x x0 at
y y0 bt
- u , v, w ñoàng phaúng u , v .w 0 z z ct
1
0
- S ABC AB, AC Trong ñoù (x0; y0; z0) vaø coù vectô chæ phöông laø
2
u ( a; b; c )
-ABCD laø töù dieän AB, AC . AD m 0
c/ Phöông trình chính taéc cuûa ñöôøng thaúng:
1 x x0 y y0 z z0
- VABCD m
6 a b c
b/ Maët phaúng: (a b c 0)
2 2 2
-Phöông trình toång quaùt maët phaúng: 4/ Vò trí töông ñoái cuûa hai ñöôøng thaúng trong
Daïng 1: khoâng gian:
Ax By Cz D 0
Giaû söû ñöôøng thaúng d qua M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) vaø coù vectô
n ( A; B; C ) ( A2 B 2 C 2 0)
chæ phöông laø u ( a; b; c ) vaø ñöôøng thaúng d’ qua
Daïng 2:
M '0 ( x '0 ; y '0 ; z '0 ) vaø coù vectô chæ phöông laø
A( x x0 ) B ( y y0 ) C ( z z0 ) 0
u ' ( a '; b '; c ')
n ( A, B, C ), M 0 ( x0 ; y0 ; z0 )
a / d , d ' u.u ' .M 0 M '0 0
-Phöông trình maët phaúng chaén:
x y z
1 u.u ' .M 0 M '0 0
a b c b / d d ' I
(( ) qua A(a; 0; 0), B (0; b; 0), C(0; 0; c)) a : b : c a : b ' : c '
-Phöông trình maët phaúng qua giao tuyeán cuûa 2 maët c / d d ' a : b : c a ' : b ' : c ' x x0 : y y0 : z z0
phaúng khaùc: d / d d ' a : b : c a ' : b ' : c ' x x0 : y y0 : z z0
( ) : Ax By Cz D 0
laø e / d , d ' u.u ' .M 0 M '0 0
( ) : A ' x B ' y C ' z D ' 0
( Ax By Cz D ) ( A ' x B ' y C ' z D ') 0 5/ Vò trí töông ñoái cuûa ñöôøng thaúng vaø maët phaúng
Trong ñoù 2 2 0 trong khoâng gian: trong khoâng gian cho :
-Vò trí töông ñoái cuûa hai maët phaúng: cho hai maët x x0 y y0 z z0
d:
phaúng: a b c
: Ax By Cz D 0 : Ax By Cz D 0
: A' x B ' y C ' z D 0 a / d I aA bB cC 0
a / d A : B : C A ' : B ' : C ' aA bB cC 0
b / d
A B C D Ax0 By0 Cz0 D 0
b /
A' B ' B ' D ' aA bB cC 0
c / d
A B C D Ax0 By0 Cz0 D 0
c / //
A' B ' C ' D ' 6/ Caùc coâng höùc tính khoaûng caùch:
3/Phöông trình ñöôøng thaúng: -Khoaûng caùcg töø moät ñieåm ñeán moät maët phaúng:
a/Phöông trình toång quaùt:
“Chúng ta sinh ra không để tầm thường”
Liên hệ: 090.328.8866 | Website: http://www.thi247.com/ | Số 8 ngõ 17 Tạ Quang Bửu
Tron Bo SGK: https://bookgiaokhoa.com
- Download Ebook Tai: https://downloadsachmienphi.com
TOÙM TAÉT CAÙC COÂNG THÖÙC CAÀN NHÔÙ MOÂN TOAÙN THẦY NGUYỄN TIẾN ĐẠT
M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) : AX By Cz D 0
: Ax By Cz D 0 : A' x B ' y C ' z D ' 0
Ax0 By0 Cz0 D AA ' BB ' CC '
d(M / ) cos
A2 B 2 C 2 A2 B 2 C 2 A '2 B '2 C '2
-Khoaûng caùch töø moät ñieåm ñeán moät ñöôøng thaúng:
Trong khoâng gian cho ñieåm 8/Phöông trình maët caàu:
M 1 ( x1; y1 ; z1 ) Daïng 1: Coù taâm I(a; b; c) vaø baùn kính R
x x0 y y0 z z0 x a y b z c R2
2 2 2
d:
a b c Daïng 2: x 2 y 2 z 2 2ax 2by 2cz d 0
M 0 M .u
Trong ñoù taâm I (a; b; c), baùn kính
dM / d
u R a 2 b2 c 2 d
-Khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng cheùo nhau:
x x0 y y0 z z0 III/ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
: -Ñöôøng thaúng vaø maët phaúng:
a b c
x x '0 y y '0 z z '0 Caùc tieân ñeà:
': .Tieân ñeà 1: Qua hai ñieåm phaân bieät coù moät ñöôøng
a' b' c'
thaúng vaø chæ moät maø thoâi
u.u ' .M 0 .M '0
.Tieân ñeà 2: Qua 3 ñieåm khoâng thaúng haøng coù moät
d / '
u.u ' maët phaúng vaø chæ moät maø thoâi
.Tieân ñeà 3: Moät ñöôøng thaúng coù 2 ñieåm phaân bieät
7/ Goùc :
thuoäc maët phaúng thì ñöôøng thaúng aáy thuoäc maët
- Goùc giöõa hai ñöôøng thaúng:
phaúng
Goïi laø goùc giöõa hai ñöôøng thaúng d vaø d’ ta coù:
.Tieân ñeà 4:Hai maët phaúng phaân bieät coù 1 ñieåm
d : u ( a; b; c) chung thì coù chung 1 ñöôøng thaúng ñi qua ñieåm
d ' : u ' (a ', b ', c ') chung aáy.
Caùch xaùc ñònh ñöôøng thaúng, maët phaúng :
u.u ' aa ' bb ' cc '
cos 1/ Moät ñieåm ñöôïc xaùc ñònh bôûi 2 ñöôøng thaúng caét
u .u' a 2 b 2 c 2 a '2 b '2 c '2 nhau A a b
- Goùc giöõa ñöôøng thaúng vaø maët phaúng: 2/ Moät maët phaúng ñöôïc xaùc ñònh bôûi moät trong caùc
Goïi laø goùc giöõa ñöôøng thaúng vaø maët phaúng: ñieàu kieän sau:
a/ Ba ñieåm khoâng thaúng haøng ( ) ( ABC )
d : u (a; b; c)
b/ Moät ñöôøng thaúng vaø moät ñieåm ôû ngoaøi ñöôøng
: n ( A; B; C ) thaúng ( ) (a, A)
00 900 c/ Hai ñöôøng thaúng caét nhau ( ) (a, b)
Aa Bb Cc d/ Hai ñöôøng thaúng song song : a//a’ ( ) (a, a ')
sin
A2 B 2 C 2 a 2 b 2 c 2 Quan heä song song :
- Goùc giöõa hai maët phaúng: 1/ Hai ñöôøng thaúng song song khi chuùng cuøng naèm
trong moät maët phaúng vaø khoâng coù ñieåm chung.
“Chúng ta sinh ra không để tầm thường”
Liên hệ: 090.328.8866 | Website: http://www.thi247.com/ | Số 8 ngõ 17 Tạ Quang Bửu
Tron Bo SGK: https://bookgiaokhoa.com
- Download Ebook Tai: https://downloadsachmienphi.com
TOÙM TAÉT CAÙC COÂNG THÖÙC CAÀN NHÔÙ MOÂN TOAÙN THẦY NGUYỄN TIẾN ĐẠT
2/ Neáu ñöôøng thaúng d song song vôùi moät ñöôøng 7/ Neáu ñöôøng thaúng d vuoâng goùc vôùi hai ñöôøng
thaúng d’ baát kyø thuoäc maët phaúng thì d song song thaúng caét nhau thuoäc maët phaúng (P) thì d vuoâng goùc
vôùi maët phaúng vôùi (P)
3/ Neáu d// , maët phaúng naøo chöùa ñöôøng thaúng d vaø 8/ Coù hai maët phaúng song song, ñöôøng thaúng naøo
caét theo moät giao tuyeán thì giao tuyeán ñoù cuõng vuoâng goùc vôùi maët phaúng thöù nhaát thì cuõng vuoâng
song song vôùi d goùc vôùi maët phaúng thöù hai.
4/ Hai maët phaúng cuøng song song vôùi ñöôøng thaúng d 9/ Hai maët phaúng phaân bieät cuøng vuoâng goùc vôùi moät
vaø caét nhau thì giao tuyeán cuûa chuùng cuõng song ñöôøng thaúng thì song song nhau
song vôùi d 10/ Hai ñöôøng thaúng phaân bieät cuøng vuoâng goùc vôùi
5/ Hai maët phaúng laàn löôït chöùa hai ñöôøng thaúng moät maët phaúng thì song song nhau
song song d vaø d’ thì giao tuyeán cuûa chuùng (neáu coù) 11/ Moät ñöôøng thaúng vaø moät maët phaúng khoâng chöùa
cuõng song song vôùi d vaø d’ ñöôøng thaúng cuøng vuoâng goùc vôùi moät ñöôøng thaúng
6/ Coù 2 ñöôøng thaúng cuøng song song, maët phaúng khaùc thì song song nhau
naøo song song vôùi ñöôøng thaúng naøy thì cuõng song 12/ Coù moät ñöôøng thaúng vaø moät maët phaúng song
song hoaëc chöùa ñöôøng thaúng kia song, maët phaúng naøo vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng
7/ Neáu 1 maët phaúng song song vôùi giao tuyeán cuûa 2 thì cuõng vuoâng goùc vôùi maët phaúng.
maët phaúng vaø caét 2 maët phaúng naøy thì 2 giao tuyeán 13/ Neáu hai maët phaúng vuoâng goùc, ñöôøng thaúng naøo
môùi song song nhau naèm trong moät maët phaúng vaø vuoâng goùc vôùi giao
8/ Neáu // thì song song vôùi moïi ñöôøng thaúng tuyeán thì cuõng seõ vuoâng goùc vôùi maët phaúng kia.
naèm trong 14/ Hai maët phaúng caét nhau vaø cuøng vuoâng goùc vôùi
9/ Neáu chöùa hai ñöôøng thaúng caét nhau cuøng song maët phaúng thöù ba thì giao tuyeán cuûa chuùng cuõng
vôùi thì // vuoâng goùc vôùi maët phaúng thöù ba
15/ Coù hai maët phaúng song song, maët phaúng naøo caét
10/ Coù hai maët phaúng song song, maët phaúng naøo caét
maët phaúng thöù nhaát thì cuõng caét maët phaúng thöù hai
maët phaúng thöù nhaát thì cuõng caét maët phaúng thöù hai
vaø hai giao tuyeán song song
vaø hai giao tuyeán song song nhau.
16/ Ñònh lyù ba ñöôøng vuoâng goùc
Quan heä vuoâng goùc:
OH
1/ Moät ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi 1 maët phaúng thì
vuoâng goùc vôùi moïi ñöôøng thaúng naèm trong maét Giaû söû OA laø ñöôøng xieân
A d naèm trong
phaúng
2/ Neáu ñöôøng thaúng d vuoâng goùc vôùi maët phaúng (P) Ta coù OA D HA D
thì maët phaúng naøo chöùa ñöôøng thaúng d thì cuõng seõ O
vuoâng goùc vôùi maët phaúng (P)
3/ Coù hai ñöôøng thaúng song song, ñöôøng thaúng naøo
vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng thöù nhaát thì cuõng vuoâng
goùc vôùi ñöôøng thaúng thöù hai. d
4/ Hai ñöôøng thaúng vuoâng goùc thì caét nhau hoaëc
cheùo nhau H A
5/ Hai ñöôøng thaúng phaân bieät cuøng naèm trong moät
maët phaúng vaø vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng thöù ba thì
song song nhau.
“Chúng ta sinh ra không để tầm thường”
Liên hệ: 090.328.8866 | Website: http://www.thi247.com/ | Số 8 ngõ 17 Tạ Quang Bửu
Tron Bo SGK: https://bookgiaokhoa.com
- Download Ebook Tai: https://downloadsachmienphi.com
TOÙM TAÉT CAÙC COÂNG THÖÙC CAÀN NHÔÙ MOÂN TOAÙN THẦY NGUYỄN TIẾN ĐẠT
Hình choùp- Hình laêng truï- Hình laäp phöông
Khoaûng caùch – goùc – ñöôøng voâng goùc chung cuûa 1
1/ Theå tích hình choùp: V= Sñaùy .h
hai ñöôøng thaúng cheùo nhau 3
1/ Khoaûng caùch töø O ñeán ñöôøng thaúng d laø ñoaïn 2/ Theå tích choùp cuït:
OH d 1 B,B' laø dieän tích 2 ñaùy
2/ Khoaûng caùch töø O ñeán d laø ngaén nhaát so vôùi caùc V=
3
B B ' B.B ' .h
h laø chieàu cao hình choùp
khoaûng caùch töø O ñeán moãi ñieåm cuûa d
3/ Khoaûng caùc töø O ñeán maët phaúng laø ñoä daøi 3/Theå tích hình hoäp chöõ nhaät: V= a.b.c
ñoaïn OH 4/ Dieän tích xung quanh hình truï: Sxq 2 Rh
4/ Khoaûng caùch töø O ñeán laø ngaén nhaát so vôùi caùc 5/ Dieän tích toaøn phaàn hình truï: Stp Sxq 2 Sñaùy
khoaûng caùch töø O ñeán moãi ñieåm treân
6/ Theå tích hình truï: V= R 2 h
5/ Khoaûng caùch giöõa d // laø khoaûng caùch töø moät
7/ Dieän tích xung quanh hình noùn: Sxq Ra
ñieåm baát kyø treân d ñeán
6/Khoaûng caùch giöõa // laø khoaûng caùch töø moät 1
8/Theå tích hình noùn V= R 2 h
ñieåm baát kyø treân ñeán 3
7/ Khoaûng caùh giöõa 2 ñöôøng thaúng cheùo nhau laø ñoä 9/ Dieän tích xung quanh hình noùn cuït:Sxq R R ' a
daøi ñoaïn vuoâng goùc chung giöõa hai ñöôøng thaúng 2
1 2
8/ Goùc giöõa ñöôøng thaúng d vaø maët phaúng laø goùc 10/ Theå tích hình noùn cuït: V=
3
R R '2 RR ' h
nhoïn taïo bôûi d vaø hình chieáu d’ cuûa noù xuoáng
9/ Goùc giöõa hai ñöôøng thaúng cheùo nhau laø goùc nhoïn 11/ Dieän tích xung quanh maët caàu: Sxq 4 R 2
taïo bôûi hai ñöôøng thaúng song song vôùi hai ñöôøng 4
12 / Theå tích maët caàu: V= R 3
thaúng aáy veõ töø moät ñieåm baát kyø 3
10/ Goùc giöõa hai maët phaúng laø goùc nhoïn taïo bôûi hai
ñöôøng thaúng laàn löôït vuoâng goùc vôùi hai maët phaúng V/ GIAÛI TÍCH TOÅ HÔÏP
aáy -Hoaùn vò: Pn n ! n(n 1)(n 2)...3.2.1
11/ Goùc phaúng nhò dieän laø goùc taïo bôûi 2 ñöôøng n!
thaúng naèm trong hai maët phaúng cuûa nhò dieän cuøng -Chænh hôïp: Ank 0 k n
n k !
voâng goùc vôùi giao tuyeán.
n!
12/ Ñoaïn vuoâng goùc chung cuûa hai ñöôøng thaúng -Toå hôïp: Cnk
cheùo nhau d1 vaø d2:
n k !k !
- Döïng maët phaúng chöùa d2 vaø song song vôùi d1 -Caùc heä thöùc caàn nhôù:
- Tìm hình chieáu d’ cuûa d1 leân , d’ caét d2 taïi N n ! n 1 !n
- Töø N veõ ñöôøng vuoâng goùc vôùi caét d1 taïi M Cnk Cnn k 0 k n
- Suy ra MN laø ñoaïn vuoâng goùc chung cuûa d1 vaø d2
Cnk Cnk1 Cnk11 0 k n
-Nhò thöùc Newton:
(a b) n Cn0 a n b 0 Cn1 a n 1b ... Cnk a n k b k ... Cnnb n
k 0
Cnk a n k b k
n
-Caùc coâng thöùc caàn nhôù:
Cn0 Cn1 Cn2 ... Cnn 2 n
Cn0 Cn1 Cn2 ... ( 1)k Cnk ... ( 1) n Cnn 0
“Chúng ta sinh ra không để tầm thường”
Liên hệ: 090.328.8866 | Website: http://www.thi247.com/ | Số 8 ngõ 17 Tạ Quang Bửu
Tron Bo SGK: https://bookgiaokhoa.com
- Download Ebook Tai: https://downloadsachmienphi.com
TOÙM TAÉT CAÙC COÂNG THÖÙC CAÀN NHÔÙ MOÂN TOAÙN THẦY NGUYỄN TIẾN ĐẠT
Bài giảng và các phương pháp
đầy đủ nhất chỉ có tại lớp toán
thầy đạt:
Số 8 ngõ 17 tạ quang bửu – hà nội
Những bạn ở xa học online thầy
tại HTTP://HOC24H.VN
“Chúng ta sinh ra không để tầm thường”
Liên hệ: 090.328.8866 | Website: http://www.thi247.com/ | Số 8 ngõ 17 Tạ Quang Bửu
Tron Bo SGK: https://bookgiaokhoa.com
nguon tai.lieu . vn
