Xem mẫu
- NGUYỄN QUỐC DƯƠNG
CÁC DẠNG CHUYÊN ĐỀ
TOÁN LỚP 10
LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
HỌC KÌ I
TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ
- MỤC LỤC
I ĐẠI SỐ 1
Chương 1. Mệnh đề và tập hợp 2
§1 – Mệnh đề 2
A Tóm tắt lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
B Các dạng toán và bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
§2 – Tập hợp 7
A Tóm tắt lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
B Các dạng toán và bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
§3 – Các phép toán trên tập hợp 15
A Tóm tắt lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
B Các dạng toán và bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
§4 – Các tập hợp số 26
A Tóm tắt lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
B Các dạng toán và bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Chương 2. Hàm số bậc nhất và hàm số bậc hai 39
§1 – Đại cương về hàm số 39
A Tóm tắt lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
B Dạng toán và bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
| Dạng 1. Xác định hàm số và điểm thuộc đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
| Dạng 2. Tìm tập xác định của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
| Dạng 3. Bài toán tìm tập xác định liên quan đến tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
C Dạng toán và bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
| Dạng 4. Xét tính chẵn, lẻ của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
| Dạng 5. Khảo sát sự biến thiên của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
D Bài tập trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
§2 – HÀM SỐ BẬC NHẤT 78
A Tóm tắt lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
B Dạng toán và bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
| Dạng 1. Khảo sát sự biến thiên, tương giao và đồng quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
i/528 p Nguyễn Quốc Dương – Ô 0375113359
- ii
MỤC LỤC Luôn nổ lực để đạt được thành quả
| Dạng 2. Xác định phương trình đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
C Bài tập trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
§3 – Hàm số bậc hai 99
A Tóm tắt lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
B Dạng toán và bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
| Dạng 1. Xác định và khảo sát sự biến thiên của parabol (P) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
| Dạng 2. BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ VÀ TƯƠNG GIAO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
Chương 3. PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH 133
§1 – ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH 133
A Tóm tắt lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
B DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
§2 – PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC 1 - BẬC 2 136
A Tóm tắt lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
B DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
| Dạng 1. Giải và biện luận phương trình bậc nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
| Dạng 2. Bài toán tìm tham số trong phương trình bậc nhất ax + b = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
C BÀI TẬP ÁP DỤNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
D Dạng toán và bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
| Dạng 3. Giải và biện luận phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
E Dạng toán và bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
| Dạng 4. Định lý Vi-ét và các bài toán liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
| Dạng 5. Tìm tất cả tham số m để phương trình có một nghiệm cho trước. Tính nghiệm
còn lại? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
| Dạng 6. Tìm tất cả các giá trị tham số m để phương trình có hai nghiệm trái dấu? . . 157
| Dạng 7. Tìm tất cả các giá trị tham số m để phương trình có hai nghiệm cùng dấu?158
| Dạng 8. Tìm tất cả các giá trị tham số m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
dương? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
| Dạng 9. Tìm tất cả các giá trị tham số m để phương trình có hai nghiệm phân biệt âm?
161
| Dạng 10. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
x1 ,x2 thỏa điều kiện. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
| Dạng 11. Phương trình chứa ẩn dưới dấu trị tuyệt đối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
| Dạng 12. Phương trình chứa ẩn dưới dấu giá trị tuyệt đối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
| Dạng 13. Phương trình chứa ẩn dưới dấu giá trị tuyệt đối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
| Dạng 14. Phương trình chứa ẩn dưới dấu giá trị tuyệt đối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
| Dạng 15. Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
| Dạng 16. Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
| Dạng 17. Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
| Dạng 18. Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
F Bài tập về nhà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
ii/528 p Nguyễn Quốc Dương – Ô 0375113359
- iii
MỤC LỤC Luôn nổ lực để đạt được thành quả
G Bài tập về nhà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
§3 – HỆ PHƯƠNG TRÌNH 251
A Dạng toán và bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
| Dạng 1. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
| Dạng 2. Hệ gồm 1 phương trình bậc nhất và 1 phương trình bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
| Dạng 3. Hệ phương trình đối xứng và đẳng cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
Chương 4. BẤT PHƯƠNG TRÌNH & BẤT ĐẲNG THỨC 312
§1 – Bất đẳng thức 312
A Tóm tắt lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
B Dạng toán và bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
| Dạng 1. Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp biến đổi tương đương . . . . . . . . . . . 313
| Dạng 2. Các kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
II HÌNH HỌC 348
Chương 1. Vec-tơ và các phép toán trên vec-tơ 349
§1 – Vec-tơ và các phép toán trên vec-tơ 349
A Tóm tắt lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
B Dạng toán và bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
| Dạng 1. Chứng minh đẳng thức véc-tơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
| Dạng 2. Tìm mô-đun (độ dài) véc-tơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
| Dạng 3. Phân tích véc-tơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377
| Dạng 4. Chứng minh ba điểm thẳng hàng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379
| Dạng 5. Chứng minh song song . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390
| Dạng 6. Tìm tập hợp điểm thỏa mãn hệ thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391
C Bài tập trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395
§2 – HỆ TRỤC TỌA ĐỘ 409
A Tóm tắt lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409
| Dạng 1. Bài toán cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410
| Dạng 2. Tìm điểm đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414
Chương 2. Tích vô hướng của hai véc-tơ 468
§1 – Tích vô hướng của hai véc-tơ 468
A Tóm tắt lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468
B Dạng toán và bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469
| Dạng 1. Tính tích vô hướng và bình phương vô hướng để tính độ dài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469
| Dạng 2. Chứng minh vuông góc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477
| Dạng 3. Chứng minh hệ thức thường gặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480
C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488
iii/528 p Nguyễn Quốc Dương – Ô 0375113359
- iv
MỤC LỤC Luôn nổ lực để đạt được thành quả
§2 – Hệ thức lượng trong tam giác 501
A Tóm tắt lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501
| Dạng 1. Tính các giá trị cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502
iv/528 p Nguyễn Quốc Dương – Ô 0375113359
- I
PHẦN
ĐẠI SỐ
18
16
15
28 46
21 50
8 48
47
11
24 36 5
39
43
31
3
37 19
12
10
22
9
35 49
20
727 2 38
14 29 45
30 32
42 6 33
25
26 17 4
34 23 13 41 40
44 1
- C h ươ ng
1 MỆNH
MỆNH
MỆNH ĐỀ VÀ ĐỀ VÀ
ĐỀ
TẬP HỢP VÀ TẬP
TẬP HỢP
HỢP
BÀI 1. MỆNH ĐỀ
A – TÓM TẮT LÝ THUYẾT
. a) Mệnh đề
○ Mệnh đề là một câu khẳng định đúng hoặc một câu khẳng định sai.
○ Một mệnh đề không thể vừa đúng, vừa sai.
b) Mệnh đề phủ định: Cho mệnh đề P
○ Mệnh đề “không phải P ” được gọi là mệnh đề phủ định của P và kí hiệu là P .
○ Nếu P đúng thì P sai, nếu P sai thì P đúng.
c) Mệnh đề kéo theo: Cho mệnh đề P và Q
○ Mệnh đề “Nếu P thì Q” được gọi là mệnh đề kéo theo và kí hiệu là P ⇒ Q.
○ Mệnh đề P ⇒ Q chỉ sai khi P đúng và Q sai.
d) Mệnh đề đảo: Cho mệnh đề kéo theo P ⇒ Q. Mệnh đề Q ⇒ P được gọi là mệnh đề đảo của
mệnh đề P ⇒ Q.
e) Mệnh đề tương đương: Cho mệnh đề P và Q
○ Mệnh đề “P nếu và chỉ nếu Q” gọi là mệnh đề tương đương và kí hiệu là P ⇔ Q.
○ Mệnh đề P ⇔ Q đúng khi và chỉ khi cả hai mệnh đề P ⇒ Q và Q ⇒ P đều đúng
f) Mệnh đề chứa biến: Mệnh đề chứa biến là một câu khẳng định chứa biến nhận giá trị trong một
tập X nào đó mà với mỗi giá trị của biến thuộc X ta được một mệnh đề.
g) Kí hiệu ∀ và ∃: Cho mệnh đề chứa biến P (x) với x ∈ X. Khi đó
○ “Với mọi x thuộc X”, ký hiệu là: “∀x ∈ X”.
○ “Tồn tại x thuộc X”, ký hiệu là: “∃x ∈ X”.
○ Mệnh đề phủ định của mệnh đề “∀x ∈ X, P (x)” là “∃x ∈ X, P (x)”.
○ Mệnh đề phủ định của mệnh đề “∃x ∈ X, P (x)” là “∀x ∈ X, P (x)”.
○ Mệnh đề chứa ∃ đúng khi ta chỉ ra một phần tử đúng.
○ Mệnh đề chứa ∀ sai khi ta chỉ ra một phần tử sai.
o
a) Số nguyên tố là số tự nhiên chỉ chia hết cho 1 và chính nó. Ngoài ra nó không chia hết cho
bất cứ số nào khác. Số 0 và 1 không được coi là số nguyên tố. Các số nguyên tố từ 2 đến
100 là 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; 31; 37; 41;. . .
b) Ước và bội: Cho hai số a, b ∈ N. Nếu a chia hết b, thì ta gọi a là bội của b và b là ước của
a.
2/528 p Nguyễn Quốc Dương – Ô 0375113359
- 3
Chương 1. Mệnh đề và tập hợp Luôn nổ lực để đạt được thành quả
○ Ước chung lớn nhất (ƯCLN) của 2 hay nhiều số tự nhiên là số lớn nhất trong tập hợp
các ước chung của các số đó.
○ Bội chung nhỏ nhất (BCNN) của 2 hay nhiều số tự nhiên là số nhỏ nhất trong tập
hợp các bội chung của các số đó.
B – CÁC DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP
1. Bài tập tự luận
c Bài 1. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là đúng? Giải thích?
a) P : “∀x ∈ R, x2 > 0”. b) P : “∃x ∈ R, x > x2 ”.
c) P : “∀n ∈ N, n2 > n”. d) P : “∃x ∈ R, 5x − 3x2 ≤ 1”.
e) P : “∀x ∈ R, x2 > 9 ⇒ x > 3”. f) P : “∀n ∈ N∗ , n(n + 1) là số lẻ”.
Ê Lời giải.
a) Mệnh đề P là mệnh đề sai. Vì tồn tại x = 0 : “02 > 0” sai.
Å ã2
1 1 1
b) Mệnh đề P là mệnh đề đúng. Vì tồn tại x = : “ > ” đúng.
2 2 2
c) Mệnh đề P là mệnh đề sai. Vì tồn tại n = 0 : “02 > 0” sai.
d) Mệnh đề P là mệnh đề đúng. Vì tồn tại x = 0 : “5 · 0 − 3 · 12 ≤ 1” đúng.
e) Mệnh đề P là mệnh đề sai. Vì tồn tại x = −4 : “(−4)2 > 9 ⇒ −4 > 3” sai.
f) Mệnh đề P là mệnh đề sai. Vì tồn tại n = 1 : “1(1 + 1) là số lẻ” sai.
c Bài 2. Nêu mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và xét tính đúng sai của mệnh đề phủ
định?
Học sinh cần nhớ nguyên tắc phủ định của một mệnh đề (dòng trên phủ định với dòng dưới)
Mệnh đề P Có > < = Chia hết ∃
Mệnh đề phủ định P Không ≤ ≥ 6 = Không chia hết ∀
a) P : “∀x ∈ R, x2 6= 1”. b) P : “∃x ∈ R : x2 = 3”.
c) P : “∀x ∈ R, x2 > 0”. d) P : “∃x ∈ R : x > x2 ”.
e) P : “∃x ∈ Q : 4x2 − 1 = 0”. f) P : “∀x ∈ R, x2 − x + 7 ≥ 0”.
g) P : “∀x ∈ R, x2 − x − 2 < 0”. h) P : “∃x ∈ R : (x − 1)2 = (x − 1)”.
i) P : “∃x ∈ R : x < 2 hoặc x ≥ 7”. j) P : “∀x ∈ R, x2 − 5 ≥ 0”.
1 1
k) P : “∃x ∈ R : x < ”. l) P : “∀x ∈ R, x < ”.
x x
3/528 p Nguyễn Quốc Dương – Ô 0375113359
- 4
1. Mệnh đề Luôn nổ lực để đạt được thành quả
Ê Lời giải.
a) Mệnh đề phủ định của mệnh đề P là P : “∃x ∈ R : x2 = 1”. Mệnh đề P là mệnh đề đúng.
b) Mệnh đề phủ định của mệnh đề P là P : “∀x ∈ R, x2 6= 3”. Mệnh đề P là mệnh đề sai.
c) Mệnh đề phủ định của mệnh đề P là P : “∃x ∈ R : x2 ≤ 0”. Mệnh đề P là mệnh đề đúng.
d) Mệnh đề phủ định của mệnh đề P là P : “∀x ∈ R, x ≤ x2 ”. Mệnh đề P là mệnh đề sai.
e) Mệnh đề phủ định của mệnh đề P là P : “∀x ∈ Q, 4x2 − 1 6= 0”. Mệnh đề P là mệnh đề sai.
f) Mệnh đề phủ định của mệnh đề P là P : “∃x ∈ R : x2 − x + 7 < 0”. Mệnh đề P là mệnh đề sai.
g) Mệnh đề phủ định của mệnh đề P là P : “∃x ∈ R : x2 − x − 2 ≥ 0”. Mệnh đề P là mệnh đề sai.
h) Mệnh đề phủ định của mệnh đề P là P : “∀x ∈ R, (x − 1)2 6= (x − 1)”. Mệnh đề P là mệnh đề
sai.
i) Mệnh đề phủ định của mệnh đề P là P : “∀x ∈ R, 2 ≤ x < 7”. Mệnh đề P là mệnh đề sai.
j) Mệnh đề phủ định của mệnh đề P là P : “∃x ∈ R : x2 − 5 < 0”. Mệnh đề P là mệnh đề đúng.
1
k) Mệnh đề phủ định của mệnh đề P là P : “∀x ∈ R, x ≥ ”. Mệnh đề P là mệnh đề sai.
x
1
l) Mệnh đề phủ định của mệnh đề P là P : “∃x ∈ R : x ≥ ”. Mệnh đề P là mệnh đề đúng.
x
c Bài 3. Điền vào chỗ trống từ nối “và” hay “hoặc” để được mệnh đề đúng?
a) π < 4 . . . π > 5.
b) a · b = 0 khi a = 0 . . . b = 0.
c) a · b 6= 0 khi a 6= 0 . . . b 6= 0.
d) a · b > 0 khi a > 0 . . . b > 0 . . . a < 0 . . . b < 0.
e) Một số chia hết cho 6 khi và chỉ khi nó chia hết cho 2 . . . cho 3.
Ê Lời giải.
a) π < 4 hoặc π > 5.
b) a · b = 0 khi a = 0 hoặc b = 0.
c) a · b 6= 0 khi a 6= 0 và b 6= 0.
d) a · b > 0 khi a > 0 và b > 0 hoặc a < 0 và b < 0.
e) Một số chia hết cho 6 khi và chỉ khi nó chia hết cho 2 và cho 3.
2. Bài tập trắc nghiệm
4/528 p Nguyễn Quốc Dương – Ô 0375113359
- 5
Chương 1. Mệnh đề và tập hợp Luôn nổ lực để đạt được thành quả
c Câu 1. Trong các câu sau, có bao nhiêu câu là mệnh đề?
a) Cố lên, sắp đến rồi! b) Số 15 là số nguyên tố.
c) Tổng các góc của một tam giác là 180◦ . d) Số 5 là số nguyên dương.
A. 4. B. 1. C. 3. D. 2.
Ê Lời giải.
Câu số 1 không phải là mệnh đề, các khẳng định 2,3,4 là mệnh đề.
Chọn đáp án C
c Câu 2. Mệnh đề phủ định của mệnh đề “Phương trình ax2 + bx + c = 0(a 6= 0) vô nghiệm” là
mệnh đề nào sau đây
A. Phương trình ax2 + bx + c = 0 (a 6= 0) không có nghiệm.
B. Phương trình ax2 + bx + c = 0 (a 6= 0) có hai ngiệm phân biệt.
C. Phương trình ax2 + bx + c = 0 (a 6= 0) có nghiệm kép.
D. Phương trình ax2 + bx + c = 0 (a 6= 0) có nghiệm.
Ê Lời giải.
Mệnh đề phủ định của mệnh đề “Phương trình ax2 + bx + c = 0 (a 6= 0) vô nghiệm” là “Phương trình
ax2 + bx + c = 0 (a 6= 0) có nghiệm”.
Chọn đáp án D
c Câu 3. Phủ định của mệnh đề: “Có ít nhất một số vô tỷ là số thập phân vô hạn tuần hoàn”
là
A. Mọi số vô tỷ đều là số thập phân vô hạn không tuần hoàn.
B. Mọi số vô tỷ đều là số thập phân tuần hoàn.
C. Mọi số vô tỷ đều là số thập phân vô hạn tuần hoàn.
D. Có ít nhất một số vô tỷ là số thập phân vô hạn không tuần hoàn .
Ê Lời giải.
Phủ định của mệnh đề: “Có ít nhất một số vô tỷ là số thập phân vô hạn tuần hoàn” là “Mọi số vô tỷ
đều là số thập phân vô hạn không tuần hoàn”.
Chọn đáp án A
c Câu 4. Cho mệnh đề “∃x ∈ R, 2x2 − 3x − 5 < 0”. Mệnh đề phủ định sẽ là
A. “∀x ∈ R, 2x2 + 3x − 5 ≥ 0”. B. “∀x ∈ R, 2x2 + 3x − 5 > 0”.
C. “∃x ∈ R : 2x2 + 3x − 5 > 0”. D. “∃x ∈ R : 2x2 + 3x − 5 ≥ 0”.
Ê Lời giải.
Mệnh đề phủ định của mệnh đề đã cho là “∀x ∈ R, 2x2 + 3x − 5 ≥ 0”.
Chọn đáp án A
c Câu 5. Cho mệnh đề P : “∀x ∈ R, x2 − x + 7 < 0”. Mệnh đề phủ định của P là
A. @x ∈ R : x2 − x + 7 < 0. B. ∀x ∈ R, x2 − x + 7 > 0.
C. ∀x ∈ R, x2 − x + 7 < 0. D. ∃x ∈ R : x2 − x + 7 ≥ 0.
Ê Lời giải.
2
Mệnh đề phủ định của P là ∃x ∈ R : x − x + 7 ≥ 0.
Chọn đáp án D
5/528 p Nguyễn Quốc Dương – Ô 0375113359
- 6
1. Mệnh đề Luôn nổ lực để đạt được thành quả
c Câu 6. Mệnh đề phủ định của mệnh đề ∀x ∈ R : x2 + x + 5 > 0 là
A. ∀x ∈ R, x2 + x + 5 < 0. B. ∃x ∈ R : x2 + x + 5 ≤ 0.
C. ∀x ∈ R, x2 + x + 5 ≤ 0. D. ∃x ∈ R : x2 + x + 5 < 0.
Ê Lời giải.
Mệnh đề phủ định của mệnh đề đã cho là ∃x ∈ R, x2 + x + 5 ≤ 0.
Chọn đáp án B
c Câu 7. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. ∀x ∈ R, x2 > 9 ⇒ x > −3. B. ∀x ∈ R, x > −3 ⇒ x2 > 9.
C. ∀x ∈ R, x2 > 9 ⇒ x > 3. D. ∀x ∈ R, x > 3 ⇒ x2 > 9.
Ê Lời giải.
Mệnh đề đúng là ∀x ∈ R, x > 3 ⇒ x2 > 9.
Chọn đáp án D
6/528 p Nguyễn Quốc Dương – Ô 0375113359
- 7
Chương 1. Mệnh đề và tập hợp Luôn nổ lực để đạt được thành quả
BÀI 2. TẬP HỢP
A – TÓM TẮT LÝ THUYẾT
. a) Tập hợp
○ Tập hợp là một khái niệm cơ bản của toán học, không định nghĩa mà chỉ mô tả.
○ Có hai cách xác định tập hợp:
— Liệt kê các phần tử: viết các phần tử của tập hợp trong hai dấu móc {. . . ;. . . ;. . . ;. . . }.
c Ví dụ 1. X = {0; 1; 2; 3; 4}.
— Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp.
c Ví dụ 2. X = {n ∈ Z : 3 < n2 < 36}.
○ Tập rỗng: là tập hợp không chứa phần tử nào, kí hiệu ∅.
c Ví dụ 3. Phương trình x2 + x + 1 = 0 không có nghiệm. Ta nói tập hợp các nghiệm
của phương trình này là tập hợp rỗng, tức S = ∅.
b) Tập hợp con – Tập hợp bằng nhau
○ Tập hợp con: A ⊂ B ⇔ (∀x ∈ A ⇒ x ∈ B)
• A ⊂ A, ∀A và ∅ ⊂ A, ∀A.
• A ⊂ B, B ⊂ C ⇒ A ⊂ C.
®
A⊂B
○ Tập hợp bằng nhau A = B ⇔
B ⊂ A.
○ Nếu tập A có n phần tử thì A có 2n tập con.
c) Một số tập hợp con của tập hợp số thực R.
Tập hợp con của R : N∗ ⊂ N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R. Trong đó
• N∗ : là tập hợp số tự nhiên không có số 0.
• N: là tập hợp số tự nhiên.
• Z: là tập hợp số nguyên.
• Q: là tập hợp số hữu tỷ.
• R = (−∞; +∞): là tập hợp số thực.
B – CÁC DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP
1. Bài tập tự luận
c Bài 1. Viết mỗi tập hợp sau bằng cách liệt kê các phần tử của nó?
a) A = {x ∈ N : x < 20 và x chia hết cho 3}. b) A = {x ∈ N : 2 ≤ x < 10}.
√ √
c) A = {x ∈ Z : − 7 < x < 15}. d) A = {x ∈ N : 14 − 3x > 0}.
e) A = {x ∈ N∗ : 15 − 2x > 0}. f) A = {x ∈ N∗ : 20 − 2x ≥ 0}.
7/528 p Nguyễn Quốc Dương – Ô 0375113359
- 8
2. Tập hợp Luôn nổ lực để đạt được thành quả
g) A = {x ∈ N∗ : |x − 1| ≤ 3}. h) A = {x ∈ Z : |x + 2| ≤ 1}.
ß ™ ß ™
1 1 1 ∗ 1
i) A = x ∈ Q : x = n ≥ , n ∈ N . j) A = x : x = với n ∈ N và x ≥ .
2 32 2n 8
k) A = {x : x = 4k, k ∈ Z và −4 ≤ x < 12}. l) A = {x : x = 2n2 − 1, với n ∈ N và
x < 9}.
m) A = {x ∈ N : x là số nguyên tố và x < 11}. n) A = {x ∈ N : x là bội chung của 4 và 6}.
Ê Lời giải.
a) A = {x ∈ N : x < 20 và x chia hết cho 3}.
Do x ∈ N, thỏa x < 20 và x chia hết cho 3 nên A = {0; 3; 6; 9; 12; 15; 18}.
b) A = {x ∈ N : 2 ≤ x < 10}.
Do x ∈ N và 2 ≤ x < 10 nên A = {2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}.
√ √
c) A = {x ∈ Z : −√ 7 < x < √ 15}.
Do x ∈ Z và − 7 < x < 15 nên A = {−2; −1; 0; 1; 2; 3}.
d) A = {x ∈ N : 14 − 3x > 0}.
14
Ta có 14 − 3x > 0 ⇔ x < . Vì x ∈ N nên A = {0; 1; 2; 3; 4}
3
e) A = {x ∈ N∗ : 15 − 2x > 0}.
15
Ta có 15 − 2x > 0 ⇔ x < . Vì x ∈ N∗ nên A = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}.
2
f) A = {x ∈ N∗ : 20 − 2x ≥ 0}.
Ta có 20 − 2x ≥ 0 ⇔ x ≤ 10. Vì x ∈ N∗ nên A = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}.
g) A = {x ∈ N∗ : |x − 1| ≤ 3}.
Ta có: |x − 1| ≤ 3 ⇔ −3 ≤ x − 1 ≤ 3 ⇔ −2 ≤ x ≤ 4. Do x ∈ N∗ ⇒ A = {1; 2; 3; 4}.
o Học sinh cần nhớ |X| < a ⇔ −a < X < a với a > 0.
h) A = {x ∈ Z : |x + 2| ≤ 1}.
Ta có: |x + 2| ≤ 1 ⇔ −1 ≤ x + 2 ≤ 1 ⇔ −3 ≤ x ≤ −1. Do x ∈ Z ⇒ A = {−3; −2; −1}.
ß ™
1 1
i) A = x ∈ Q : x = n ≥ , n ∈ N .
2 32
1 1
Ta có n ≥ ⇔ 2n ≤ 32 ⇔ 2n ≤ 25 ⇔ n ≤ 5, vì n ∈ N nên n ∈ {0; 1; 2; 3; 4; 5}.
2 32 ß ™
1 1 1 1 1
Từ đó tìm được A = 1; ; ; ; ; .
2 4 8 16 32
ß ™
1 ∗ 1
j) A = x : x = với n ∈ N và x ≥ .
2n 8
1 1 1
Ta có x ≥ ⇔ ≥ ⇔ 2n ≤ 8 ⇔ n ≤ 4, vì n ∈ N∗ nên n ∈ {1; 2; 3; 4}.
8 2n ß8 ™
1 1 1 1
Từ đó tìm được A = ; ; ; .
2 4 6 8
k) A = {x : x = 4k, k ∈ Z và −4 ≤ x < 12}. Vì x = 4k, k ∈ Z và −4 ≤ x < 12 nên A = {−4; 0; 4; 8}.
8/528 p Nguyễn Quốc Dương – Ô 0375113359
- 9
Chương 1. Mệnh đề và tập hợp Luôn nổ lực để đạt được thành quả
l) A = {x : x = 2n2 − 1, với n ∈ N và x < 9}.
Ta có x < 9 ⇔ 2n2 − 1 < 9 ⇔ n2 < 5, vì n ∈ N nên n ∈ {0; 1; 2}.
Từ đó tìm được A = {−1; 1; 7}.
m) A = {x ∈ N : x là số nguyên tố và x < 11}.
Tập hợp các số nguyên tố nhỏ thua 11 là A = {2; 3; 5; 7}.
n) A = {x ∈ N : x là bội chung của 4 và 6}.
Ta có B(4) = {0; 4; 8; 12; 16; 20; 24; 28; 32; 36 . . .} và B(6) = {0; 6; 12; 18; 24; 30; 36 . . .}.
Từ đó tìm được BC(4, 6) = {0; 12; 24; 36 . . .}.
c Bài 2. Viết tập hợp sau bằng cách liệt kê các phần tử của tập hợp A =
{x ∈ Z : (2x2 − 5x + 3) (4 − x2 ) = 0}.
Ê Lời giải.
3
ñ 2
2 2
2x − 5x + 3 = 0 x = 1, x =
Ta có (2x − 5x + 3) (4 − x ) = 0 ⇔ ⇔ 2
4 − x2 = 0 x = ±2.
Vì x ∈ Z nên A = {1; ±2}.
c Bài 3. Viết tập hợp sau bằng cách liệt kê các phần tử của tập hợp A =
{x ∈ Z : (x2 − 4x + 3) (2x + 1) = 0}.
Ê Lời giải.
ñ 2
x − 4x + 3 = 0 x = 1, x = 3
Ta có (x2 − 4x + 3) (2x + 1) = 0 ⇔ ⇔ 1
2x + 1 = 0 x=− .
2
Vì x ∈ Z nên A = {1; 3}.
c Bài 4. Viết tập hợp sau bằng cách liệt kê các phần tử của tập hợp A =
{x ∈ Z : 2x3 − 7x2 − 5x = 0}.
Ê Lời giải.
ñ x=0
3 2 2
x=0 √ √
Ta có 2x −7x −5x = 0 ⇔ x(2x −7x−5) = 0 ⇔ ⇔
7 + 89 7 − 89
2x2 − 7x − 5 = 0 x= ,x = .
4 4
Vì x ∈ Z nên A = {0}.
c Bài 5. Viết tập hợp sau bằng cách liệt kê các phần tử của tập hợp A =
{x ∈ N : (x4 − 8x2 − 9) (x2 − 16) = 0}.
Ê Lời giải.
ñ 4
x − 8x2 − 9 = 0
ñ 2
x = −1, x2 = 9
ñ
4 2 2
x = ±3
Ta có (x − 8x − 9) (x − 16) = 0 ⇔ 2 ⇔ ⇔
x − 16 = 0 x = ±4 x = ±4.
Vì x ∈ N nên A = {3; 4}.
c Bài 6. Viết tập hợp A = {2; 6; 12; 20; 30} bằng cách nêu tính chất đặc trưng của nó?
Ê Lời giải.
A = {x ∈ N : x = n(n + 1), 1 ≤ n ≤ 5}.
9/528 p Nguyễn Quốc Dương – Ô 0375113359
- 10
2. Tập hợp Luôn nổ lực để đạt được thành quả
c Bài 7. Viết tập hợp A = {2; 3; 5; 7} bằng cách nêu tính chất đặc trưng của nó?
Ê Lời giải.
A = {x là số nguyên tố và x ≤ 7}.
¶ √ √ ©
c Bài 8. Viết tập hợp A = 1 + 3; 1 − 3 bằng cách nêu tính chất đặc trưng của nó?
Ê Lời giải.
2
A = {x ∈ R : x − 2x − 2 = 0}.
c Bài 9. Viết tập hợp A = {9; 36; 81; 144} bằng cách nêu tính chất đặc trưng của nó?
Ê Lời giải.
2 ∗
A = {x = (3n) : n < 5, n ∈ N }.
ß ™
1 1 1 1 1
c Bài 10. Viết tập hợp A = ; ; ; ; bằng cách nêu tính chất đặc trưng của nó?
2 6 12 20 30
Ê Lời giải.
ß ™
1
A= x= : n ≤ 5, n ∈ N∗ .
n(n + 1)
ß ™
1 1 1 1 1
c Bài 11. Viết tập hợp A = 1; ; ; ; ; bằng cách nêu tính chất đặc trưng của nó?
3 9 27 81 234
Ê Lời giải.
ß ™
1
A = x = n : n ≤ 5, n ∈ N .
3
c Bài 12. Viết tập hợp A = {3; 6; 9; 12; 15} bằng cách nêu tính chất đặc trưng của nó?
Ê Lời giải.
∗
A = {x = 3n : n ≤ 5, n ∈ N }.
c Bài 13. Viết tập hợp A = {3; 6; 12; 24; 48} bằng cách nêu tính chất đặc trưng của nó?
Ê Lời giải.
n
A = {x = 3 · 2 : n ≤ 4, n ∈ N}.
c Bài 14. Viết tập hợp A = {0; 4; 8; 12; 16} bằng cách nêu tính chất đặc trưng của nó?
Ê Lời giải.
A = {x = 4n : n ≤ 4, n ∈ N}.
c Bài 15. Viết tập hợp A = {1; 2; 4; 8; 16} bằng cách nêu tính chất đặc trưng của nó?
Ê Lời giải.
n
A = {x = 2 : n ≤ 4, n ∈ N}.
10/528 p Nguyễn Quốc Dương – Ô 0375113359
- 11
Chương 1. Mệnh đề và tập hợp Luôn nổ lực để đạt được thành quả
c Bài 16. Tìm tất cả các tập hợp con của tập hợp sau
a) A = {a; b}. b) B = {0; 1; 2}.
Ê Lời giải.
a) Tập A = {a; b} có 2 phần tử nên có 22 = 4 tập con. Các tập con đó là: ∅, {a}, {b}, A.
b) Tập B = {0; 1; 2} có 3 phần tử nên có 23 = 8 tập con. Các tập con đó là: ∅, {0}, {1}, {2},
{0; 1}, {0; 2}, {1; 2}, B.
c Bài 17. Cho các tập hợp A = {−4; −2; −1; 2; 3; 4} và B = {x ∈ Z : |x| ≤ 4}. Tìm các tập X
sao cho A ⊂ X ⊂ B.
Ê Lời giải.
Ta có |x| ≤ 4 ⇔ −4 ≤ x ≤ 4 và do x ∈ Z nên B = {−4; −3; −2; −1; 0; 1; 2; 3; 4}.
Theo đề A ⊂ X ⊂ B ⇒ {−4; −2; −1; 2; 3; 4} ⊂ X ⊂ {−4; −3; −2; −1; 0; 1; 2; 3; 4} nên tập hợp
X là một trong những tập hợp {−4; −2; −1; 2; 3; 4}, {−4; −3; −2; −1; 2; 3; 4}, {−4; −2; −1; 0; 2; 3; 4},
{−4; −2; −1; 1; 2; 3; 4}, {−4; −2; −1; 0; 2; 3; 4}, {−4; −3; −2; −1; 1; 2; 3; 4}, {−4; −2; −1; 0; 1; 2; 3; 4}, {−4; −3; −
c Bài 18. Cho A = {1; 2} và B = {1; 2; 3; 4; 5}. Tìm các tập hợp X sao cho A ⊂ X ⊂ B.
Ê Lời giải.
Theo đề A ⊂ X ⊂ B ⇒ {1; 2} ⊂ X ⊂ {1; 2; 3; 4; 5} nên tập hợp X là một trong những tập hợp {1; 2},
{1; 2; 3}, {1; 2; 4}, {1; 2; 5}, {1; 2; 3; 4}, {1; 2; 3; 5}, {1; 2; 4; 5}, {1; 2; 3; 4; 5}
ß
- 3x + 8 ™
c Bài 19. Cho tập hợp A = x ∈ Z
- ∈ Z . Tìm các tập hợp con của A có 3 phần tử?
-
x+1
Ê Lời giải.
x+1=1 x=0
3x + 8 3(x + 1) + 5 5 . x + 1 = −1 x = −2
Ta có ∈Z⇔ ∈Z⇔3+ ∈ Z ⇒ 5 .. (x + 1) ⇒ ⇔
x+1 x+1 x+1 x + 1 = 5 x = 4
x + 1 = −5 x = −6.
Suy ra A = {−2; 0; 4; 6} nên tập hợp con có 3 phần tử là {−2; 0; 4}, {−2; 0; 6}, {−2; 4; 6}, {0; 4; 6}.
ß
- 14 ™
c Bài 20. Cho tập hợp A = x ∈ R
nguon tai.lieu . vn
