Xem mẫu
- CÁC DẠNG BÀI TẬP RÚT GỌN BIỂU THỨC
ÔN THI HỌC KỲ LỚP 9
x x-4
x
Bài 1: Cho biểu thức P = .
+
x −2 x + 2 4x
a. Rút gọn P
b. Tìm giá trị của x để cho P > 3
x+ x x +1 x − 2
Bài 2: Cho biểu thức P = .
+
x −2 x + 2 x +1
a. Rút gọn P
b. Tìm x? để cho P ≥ 2
c. Tìm các giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên.
x +1 x − x − 2 x −1
Bài 3: Cho biểu thức P = .
x −1 + x - 1 4x − 1
a. Rút gọn P
1
b. Chứng minh rằng ∀x > 0, x ≠ 1, x ≠ thì giá trị của P luôn dương
4
và không nguyên.
c. Tính giá trị của P với x = 35 - 8 6 + 3 + 9 − 2 2
HƯỚNG DẪN – ĐÁP SỐ
Bài 1:
a. Đk: x > 0, x ≠ 4
P= x
b. x > 9
Bài 2
a. Đk: x ≥ 0, x ≠ 4
( ) 4
P= x +1 -
x +2
b. Dấu “=’’ không xảy ra, P > 2 khi và chỉ khi x > 4
c. Với x = 0 thì P nhận giá trị nguyên.
THƯ VIỆN TÀI LIỆU THAM KHẢO
1
- Bài 3
1
a. Đk: x ≥ 0, x ≠ 1, x ≠
4
x +1
P=
2 x +1
1 1
b. Biến đổi P về dạng P = +
2 4 x +2
1
⇒ ∀x > 0, x ≠ 1, x ≠ thì 0 < P < 1 hay giá trị của P luôn dương và
4
không nguyên (đpcm)
c. x = 35 - 8 6 + 3 + 9 − 2 2 = (4 2 - 3 ) 2 + 3 + 9 − 2 2
( ) 2
= 4 2 + 9 − 2 2 = 2 2 +1 − 2 2 =1
Vì x = 1 ∉ TXĐ nên giá trị của P không xác định.
Lưu ý: Học sinh thường hay nhầm lẫn cách giải giữa 2 dạng sau đây:
Dạng 1: Tìm các giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên.
Ở dạng này biểu thức sau khi rút gọn, biến đổi thường có dạng P
α
= (trong đó α là hằng số, Q(x) là biểu thức chứa biến x).
Q(x)
Các bước giải bài toán:
+ Tìm các ước của α
+ Giải các phương trình Q(x) = t (với t là các ước của α )
+ So sánh với TXĐ, rồi kết luận.
Dạng 2: Tìm các giá trị của x để P nhận giá trị nguyên.
Ở dạng này biểu thức sau khi rút gọn, biến đổi thường có dạng P
S(x)
= (trong đó S(x) và Q(x) đều là các biểu thức chứa biến x).
Q(x)
Các bước giải bài toán:
+ Chuyển vế và biến đổi thành phương trình bậc 2 với ẩn x:
P.Q(x) – S(x) = 0 (1)
+ Tính ∆ , sau đó tìm P nguyên trong bất phương trình ∆ ≥ 0
+ Cuối cùng thay P vào phương trình (1) để tìm x, so sánh với
TXĐ rồi kết luận.
Trên đây là phương pháp giải thông thường, trong 1 số trường h ợp
đặc biệt thì ta lại có cách giải khác nhanh hơn (ví dụ câu b bài 3 ở trên).
Xem xét các ví dụ sau:
CÁC DẠNG BÀI TẬP RÚT GỌN BIỂU THỨC
2
- x +1 x −2 x+ x
Ví dụ 1: Cho biểu thức P = x x + 1 x - x − 2 .
+ x
a. Rút gọn P
b. Tìm các giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên.
c. Tìm các giá trị của x để P nhận giá trị nguyên.
HƯỚNG DẪN – ĐÁP SỐ
x > 0, x ≠ 4
a. Đk:
x+2
P=
x - x +1
x+2 x +1
b. Ta có P = =1+
x - x +1 x - x +1
x +1 x +1
Để P nguyên tức là 1 +
x - x + 1 nguyên, hay là
x - x + 1 nguyên.
x +1
( )( )
Muốn x - x + 1 nguyên thì ta phải có x + 1 ≥ x - x + 1
Giải bpt trên với đk x > 0, x ≠ 4 ta được: 0 < x < 4 .
Vì x nguyên nên x sẽ nhận giá trị là x = 1 hoặc x = 2 hoặc x = 3
Chọn giá trị x = 1 thì P = 2 (thoả mãn)
x+2
( )
c. Ta có P = ↔ P x - x +1 = x + 2
x - x +1
↔ ( P - 1) x - P x + P - 2 = 0 (1)
• Với P = 1 thì (1) trở thành - x − 1 = 0 (vô lý)
• Với P ≠ 1 thì (1) trở thành phương trình bậc 2 với ẩn là x
Ta có ∆ = -3P 2 + 12 P − 8
6+2 3
6-2 3
Δ ≥ 0 ↔ −3P 2 + 12 P - 8 ≥ 0 ↔ ≤P≤
3 3
Vì P nguyên nên P nhận 2 giá trị là P = 2 và P = 3
+ Với P = 2 thì
x = 0
x =0
( )
(1) ↔ x - 2 x = 0 ↔ x x − 2 = 0 ↔ ↔ ( lo¹i )
x=4
x =2
+ Với P = 3 thì
x = 1
( )( )
(1) ↔ 2x - 3 x + 1 = 0 ↔ x − 1 2 x − 1 = 0 ↔ ( tho¶ m·n )
x = 1/4
THƯ VIỆN TÀI LIỆU THAM KHẢO
3
- 3 x − 2 4 x − 4 1− 2 x
Ví dụ 2: Cho biểu thức P = 1 - 2 x + x + 1 . 2 − x
a. Rút gọn P
b. Tìm các giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên.
c. Tìm các giá trị của x để P nhận giá trị nguyên.
HƯỚNG DẪN – ĐÁP SỐ
1
a. Đk: x ≥ 0, x ≠ ,x ≠ 4
4
5 x −3
P=
x +1
8
b. Biến đổi P về dạng P = 5 -
x +1
Với x = 0, x = 1, x = 9, x = 49 thì giá trị của P lần lượt là P = - 3,
P = 1, P = 3, và P = 4.
Vậy với các giá trị nguyên của x là x = 0, 1, 9, 49 thì P nhận giá trị
nguyên.
5 x −3
( )
c. Ta có P = ↔ P x +1 = 5 x − 3
x +1
↔ ( 5 − P) x = P + 3 (2)
• Với P = 5 thì (2) trở thành 0 = 8 (vô lý)
P+3
• Với P ≠ 5 thì phương trình (2) có nghiệm là x =
5- P
P+3
≥ 0 ↔ ( P + 3) ( 5 − P ) ≥ 0 ↔ - 3 ≤ P < 5
Do x ≥ 0 nên suy ra
5- P
Theo câu b. thì với P = - 3, P = 1, P = 3, và P = 4 đều thoả mãn. Còn
1
với P = - 2, P = - 1, P = 0, P = 2 thì giá trị của x lần lượt là x = ,
49
1 9 25
x = , x = , và x = đều thoả mãn TXĐ.
9 25 9
119 25
Vậy với các giá trị của x là x = 0, ,, , 1, , 9, 49 thì P
49 9 25 9
nhận giá trị nguyên.
Ta thấy phương pháp giải của dạng 2 còn được áp dụng vào các bài
toán tìm max, min của biểu thức. Ở ví dụ 2 thì min P = - 3 khi x = 0.
CÁC DẠNG BÀI TẬP RÚT GỌN BIỂU THỨC
4
nguon tai.lieu . vn
