Xem mẫu
- BÀI TOÁN 5
TÌM ĐIỀU KIỆN THAM SỐ ĐỂ CÁC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG
TRÌNH THOẢ MÃN ĐIỀU KIỆN K
I. PHƯƠNG PHÁP
Ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1. Tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm x1, x2
a 0
(I)
'
0
Bước 2. Áp dụng định lí Viét, ta được:
x1 x2 f m
(I)
x1 x2 g m
Bước 3. Biểu diễn điều kiện K thông qua (I)
II. VÍ DỤ MINH HỌA
VD1: Cho phương trình:
x 2 2kx k 1 k 3 0
CMR với mọi k, phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2, thỏa
mãn:
1 2
x1 x2 x1 x2 2 x1 x2 3 0
4
- Giải:
Ta có:
2
' 1 k 1 k 3 k 2 4k 4 k 2 0, k
Suy ra phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2, thỏa mãn:
x1 x2 2k
x1 x2 k 1 k 3
Khi đó:
1 1
2 2
x1 x2 x1 x2 2 x1 x2 3 2k k 1 k 3 2.2k 3 0 (đpcm)
4 4
VD2: Cho phương trình: m 1 x 2 2 m 1 x m 2 0
Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1, x2, thỏa mãn:
4 x1 x2 7 x1 x2
Giải:
Phương trình hai nghiệm x1, x2:
a 0 m 1 0
(*)
1 m 3
'
3 m 0
0
Khi đó phương trình hai nghiệm x1, x2, thỏa mãn:
- 2 m 1
x1 x2
m 1
x x m 2
1 2 m 1
Suy ra
2 m 1 m2
4 x1 x2 7 x1 x2 4. m 6 thỏa mãn (*)
7
m 1 m 1
Vậy với m = -6 thỏa mãn điều kiện đầu bài.
VD3: Xác định m để phương trình
mx 2 2 m 1 x m 1 0
có hai nghiệm x1, x2, thỏa mãn: x12 x22 2
Giải:
Điều kiện để phương trình có hai nghiệm x1, x2 là:
a 0 m 0
1 m 0
'
m 1 0
0
Khi đó phương trình hai nghiệm x1, x2, thỏa mãn:
2 m 1
x1 x2
m
x x m 1
12 m
2
4 m 1 2 m 1 2
2
2 2
Ta có: x x 2 x1 x2 2 x1 x2 2 2m
1 2 2
m m 3
- 2
Vậy với m thoả mãn điều kiện đầu bài.
3
VD4: Giả sử phương trình:
ax 2 bx c 0
có hai nghiệm x1, x2. CMR hệ thức: b3 a 2 c ac 2 3abc là điều kiện cần và
đủ để phương trình có một nghiệm bằng bình phương của nghiệm còn lại.
Giải:
Theo giả thiết, ta được:
b
S x1 x2 a
P x x c
12
a
Xét biểu thức:
x
2
x12 x1 x2 x12 x2 x13 x2
2 3
P x1 x2 2
3
x1 x2 x12 x2 x1 x2 3 x1 x2 x1 x2
2
2 3 3 2 2
c c b c b b a c ac 3abc
2 3 3
a a a3
a a a
Vậy nếu b3 a 2 c ac 2 3abc thì một trong hai thừa sốcủa P phải bằng 0 và
ngược lại (đpcm).
VD5: Giả sử phương trình:
ax 2 bx c 0
- 2
có hai nghiệm x1, x2. CMR hệ thức: k 1 ac kb 2 0 k 0 là điều kiện
cần và đủ để phương trình có một nghiệm bằng k lần nghiệm còn lại.
Giải:
Theo giả thiết, ta được:
b
S x1 x2 a
P x x c
12
a
Xét biểu thức:
P x1 kx2 x2 kx1 x1 x2 k x12 x2 k 2 x1 x2
2
2
x1 x2 k x1 x2 x1 x2 k 2 x1 x2
2
2
c k 1 ac kb
b2 c
c
k 2 2 k2
a2
a a a a
2
Vậy nếu k 1 ac kb 2 0 thì một trong hai thừa số của P phảibằng 0 và
ngược lại (đpcm).
III.BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ:
Bài 1. Cho phương trình: x 2 2 m 1 x m 2 3m 4 0
Xác định m để phương trình:
a) Có một nghiệm.
- b) Có hai nghiệm phân biệt. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm
không phụ thuộc vào m
Xác định m để x12 x22 20
c)
Bài 2. Cho phương trình: x 2 2 m 1 x m 2 3m 4 0
Xác định m để:
a) Phương trình có hai nghiệm.
b) Tổng bình phương các nghiệm của phương trình bằng 2.
c) Phương trình có hai nghiệm bằng nhau về trị tuyệt đối.
d) Phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1 x2 1
Bài 3. Cho phương trình: m 2 x 2 2 m 1 x m 2 0
Xác định m để:
a) Phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu.
b) Tổng bình phương các nghiệm của phương trình bằng 3.
c) Phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1 x2 2
Bài 4. Tìm m để phương trình x 2 2mx 4 0 có hai nghiệm x1, x2. Khi đó
a) Tính theo m giá trị các biểu thức:
- E x1 x2
F 4 x1 4 x2
Xác định m sao cho x14 x24 32
b)
2 2
x x
c) Xác định m sao cho 1 2 3
x2 x1
Bài 5. Cho phương trình ax2 bx c 0
Tìm hệ thức liên hệ giữa a và b để phương trình có một nghiệm bằng
k lần nghiệm còn lại.
nguon tai.lieu . vn
