Bài tập về sự tương giao liên quan đến hàm phân thức

VữBÀI TẬP VỀ SỰ TƯƠNG GIAO LIÊN QUAN ĐẾN HÀM PHẦN 7: BÀI TẬP VỀ SỰ TƯƠNG GIAO LIÊN QUAN ĐẾN HÀM PHÂN THỨC VD1: Cho ham sô y = x +1 cô đô thi la (C). a) Chưng minh rang đương thang (d): y = 2x + m luôn luôn cat (C) tai hai điêm phân biêt M va N. b) Xac đinh m đê đô dai MN nhô nhat. Phương trinh hoanh đô giaô điêm cua (d) va (C): x +3 = 2x +m  g(x) = 2x2 +(m+1)x +m−3= 0 (x  −1) (*) Δ = (m+1)2 −8(m−3) = (m−3)2 +16 > 0,∀m g(−1) = −2  0,∀m → phương trinh (*) luôn luôn cô hai nghiêm phân biêt khac – 1. Vay (d) luôn cat (C) tai hai điêm phân biêt M va N. Gôi x1, x2 lan lươt la hoanh đô cua M va N thi x1, x2 la nghiêm cua phương trinh (*). Ta cô: x1 + x2 = − 1 (m+1), x1x2 = 1 (m−3) . Mat khac: y1 = 2x1 +m,y2 = 2x2 +m. Ta cô: MN2 = (x2 −x1)2 +(y2 −y1)2 = (x2 −x1)2 +4(x2 −x1)2 =5(x1 +x2)2 −4x1x2  =51(m+1)2 −2(m−3) MN2 = 5 (m−3)2 +16  20  MN  2 5 . Vay MNmin =2 5, đat đươc khi m = 3. VD2: Cho hàm số y = m− x có đồ thị là (Hm), với m là tham số thực. Tìm m để đường thẳng d :2x + 2y −1= 0 cắt (Hm) tại hai điểm cùng với gốc tọa độ tạo thành một tam giác có diện tích là S = 3. Vững vàng nền tảng, Khai sáng tươg lai Hôành độ giaô điểm A, B của d và (Hm ) là các nghiệm của phương trình − x+ m = −x+ 2  2x2 + x+2(m−1) = 0, x  −2 (1)  17 Pt (1) có 2 nghiệm x1, x2 phân biệt khác −2  2.(−2)2 −2+ 2(m−1)  0  m  −2. Ta có AB = (x2 −x1)2 +(y2 − y1)2 = 2. (x2 −x1)2 = 2. (x2 + x1)2 −4x1x2 = 2. 17−16m. Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến d là h = 212 . Suy ra SΔOAB = 2.h.AB = 2.212. 2 . 17−16m = 8  m= 2, thỏa mãn. VD3: Cho hàm số y = x−2 (C) . Tìm m để đường thẳng (d ): y = x + m cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt thuộc 2 nhánh khác nhau của đồ thị sao cho khoảng cách giữa 2 điểm đó là nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó. Để (d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt thì pt x2x2 = x+m hay x2 + (m - 4)x -2x = 0 (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 2. Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 2 khi và chỉ khi Δ = m2 +16 ∀m (2).  Giả sử A(x1;y1), B(x2;y2) là 2 giaô điểm khi đó x1, x2 là 2 nghiệm phương trình (1). Thêô định lí viet ta có x x2 = −2m m(3), y1=x1+m, y2=x2+m Để A, B thuộc 2 nhánh khác nhau của đồ thị thì A, B nằm khác phía đối với đt x – 2 = 0. A, B nằm khác phía đối với đt x – 2 = 0 khi và chỉ khi (x1- 2)(x2 - 2) < 0 hay x1x2 – 2(x1 + x2) +4 < 0 (4) thay (3) vàô 4 ta được – 4 < 0 luôn đúng (5) mặt khác ta lại có AB = (x − x2)2 +(y − y2)2 = 2(x + x2)2 −8x x2 (6) Thay (3) vàô (6) ta được AB = 2m2 +32  32 vậy AB = 32 nhỏ nhất khi m = 0 (7). Từ (1), (5), (7) ta có m = 0 thoả mãn . Vững vàng nền tảng, Khai sáng tươg lai VD4: Cho hàm số y = x−1 . Tìm a và b để đường thẳng (d): y = ax+b cắt (C) tại hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua đường thẳng (Δ): x−2y+3= 0. Phương trình của (Δ) được viết lại: y = 1 x + 3 . Để thoả đề bài, trước hết (d) vuông góc với (Δ) hay a = −2 Khi đó phương trình hôành độ giao điểm giữa (d) và (C): x + 1 = −2x + b  2x2 − (b− 3)x − (b+1) = 0. (1) Để (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B  (1) có hai nghiệm phân biệt  Δ > 0  b2 + 2b + 17 > 0  b tuỳ ý. Gọi I là trung điểm của AB, ta có xI = xA + xB = b − 3 yI = −2xI + b = b + 3 toàn taïi A, B Vậy để thoả yêu cầu bài toán  AB  (Δ)  I ∈ (Δ) ∀b a = −2 xI − 2yI + 3 = 0 a = −2  b − 3 − (b + 3) + 3 = 0  a = −2 b = −1 VD5: Cho hàm số y = x+1 ( 1 ) có đồ thị (C). Chứng minh rằng đường thẳng (d): y = 2x+m luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B thuộc hai nhánh khác nhau. Xác định m để đôạn AB có độ dài ngắn nhất. Chứng minh rằng đường thẳng (d): y = 2x+m luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B thuộc hai nhánh khác nhau. Xác định m để đôạn AB có độ dài ngắn nhất . Để đường thẳng (d) luôn cắt ( C ) tại hai điểm phân biệt thì phương trình. x+1 = 2x+m có hai nghiệm phân biệt với mọi m và x <1< x2 Vững vàng nền tảng, Khai sáng tươg lai  x+1=(x−1)(2x+m) có hai nghiệm phân biệt x <1< x2  2x2 +(m−3)x−m−1= 0 (*) có hai nghiệm phân biệt x <1< x2 Δ > 0 Δ = (m+1)2 +16 > 0 ∀m f (1) <0  f (1) = 2+(m−3)−m−1= −2< 0 Vậy với mọi giá trị của m thìđường thẳng (d): y = 2x+m luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B thuộc hai nhánh khác nhau. Gọi A(x ;2x +m),B(x2;2x2 +m) là hai điểm giao giữa (d) và (C).( x ;x2 là hai nghiệm của phương trình (*)) Ta có AB = (x2 − x ;2(x2 − x )) AB = (x2 − x )2 +(2(x2 − x ))2 = 5(x2 − x )2 Theo Vi ét ta có AB = 1 5(m+ )2 +16  2 5 ∀m. AB = 2 5 m = −1 Vậy với m = -1 là giá trị cần tìm. Ví dụ 6: Cho hàm y = 1− x . Tìm m để đường thẳng d:y = mx−m−1 cắt (C) tại hai điểm phân biệt M, N sao cho AM2 + AN2 đạt giá trị nhỏ nhất, với A(−1;1). PT hôành độ giaô điểm của (C) và d: 1− x = mx−m−1 mx2 −2mx+m+1= 0 (2) d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt  (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 1  m < 0 . Gọi I là trung điểm của MN  I(1;−1) cố định. Ta có: AM2 + AN2 = 2AI2 + MN2 . Dô đó AM2 + AN2 nhỏ nhất  MN nhỏ nhất MN2 =(x2 − x1)2(1+m)2 = −4m− 4 8. Dấu "=" xảy ra  m = −1. Vậy: min(AM2 + AN2)=20 khi m = −1. Vững vàng nền tảng, Khai sáng tươg lai VD7: Cho hàm số y = 2x +1 (1). Định k để đường thẳng d: y = kx + 3 cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm M, N sao cho tam giác OMN vuông góc tại O. ( O là gốc tọa độ) Xét pt: 2x +1 = kx+3 (x 1)  kx2 −(k −1)x − 4 = 0 = g(x) k  0 d cắt đồ thị hs (1) tại M, N  g(1)  0  k < −7−4 3  k > −7+ 4 3 OM  ON  OM.ON = 0  xM .xN +(kxM +3)(kxN +3) = 0  (k2 +1)(xM .xN )+3k(xM + xN )+9 = 0  k2 −6k + 4 = 0  k = 3 5 xM + xN = k −1 xM .xN = − k VD 8: Cho hàm số y = f(x)= 2x+1. Tìm các giá trị của m saô chô đường thẳng (d): y = x+m cắt (C) tại 2 điểm phân biệt M, N sao cho diện tích tam giác IMN bằng 4 (I là tâm đối xứng của (C)). Tâm đối xứng của (C) là I(1; 2). Xét phương trình hôành độ giaô điểm của (d) và (C): 2x+1 = x+m  f(x)= x2 +(m−3)x−m−1= 0 d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt M, N  f(x)= 0 có hai nghiệm phân biệt xM,xN khác 1  Δ = m1−2m+13> 0 (đúng với mọi m). Tọa độ các giaô điểm là M(xM;yM),N(xN;yN ). MN = 2(xM + xN )2 −4xMxN  = 2(m2 −2m+13); d = d(I,d)= m−1 2 SIMN = 4  1MN.d = 4  m−1. m2 −2m+13 =8  m =3;m = −1. ... - tailieumienphi.vn