Bài tập phương pháp tách trong biến đổi phân thức đại số Toán nâng cao 8

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TÁCH TRONG BIẾN ĐỔI
PHÂN THỨC ĐẠI SỐ TOÁN NÂNG CAO 8
**Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào biến.
1



1

1



 x  y  y  z   z  x  x  y   y  z  z  x 
suy ra hằng đẳng thức:

1



với x  y ; y  z ; z  x . Từ kết quả trên ta có thể
1



1

 x  y  x  z   z  y  x  z   x  y  y  z 

(*) trong đó x ; y; z đôi

một khác nhau.
Thực chất ở đ}y ta thay x – y bởi z – y thay z - x bởi y – x giữ nguyên thừa số kia sẽ có hai
số hạng ở vế phải, Vận dụng hằng đẳng thức (*) giải các bài tập sau:
Bài toán 1:
Cho a  b; b  c; c  a chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào a, b, c.
A

a2
b2
c2


 a  b  a  c   b  c  b  a   c  a  c  b 

Áp dụng hằng đẳng thức (*) A 

a2
b2
b2
c2



 a  b  a  c  b  c  c  a   a  c b  a   c  a c  b 

 a  b  a  b    b  c b  c 
a2
b2
b2
c2





 a  b  a  c   a  b  a  c  b  c  c  a  b  c  c  a   a  b  a  c  b  c c  a 


ab bc a b bc



1
ac ca a c a c

Bài toán 2:
Cho a  b; b  c; c  a . Rút gọn biểu thức
B

 x  b  x  c    x  c  x  a    x  a  x  b 
 a  b  a  c   b  c b  a   c  a  c  b 

Giải Vận dụng công thức (*) ta đ ược
B

 x  b  x  c    x  c  x  a    x  a  x  b  
 a  b  a  c  b  c b  a   c  a  c  b 

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai



 x  b  x  c    x  c  x  a    x  c  x  a    x  a  x  b 
 a  b  a  c   b  c  c  a   a  c b  a   c  a  c  b 

 x  b  x  c    x  c  x  a    x  c  x  a    x  a  x  b  
 a  b  a  c   b  c  c  a   a  c  a  b   a  c  c  b 
 x  b  x  c    x  c  x  a    x  c  x  a    x  b  x  a    x  c  a  b    x  a b  c 

 a  b  a  c 
 b  c  c  a 
 a  b  a  c   a  b  a  c 




xc xa xc xa


1
ac ac
a c

Bài toán 3:
Cho a, b, c đôi một khác nhau. Chứng minh rằng:
a
b
c
x



 a  b  a  c  x  a  b  a b  c  x  b   c  a c  b c  x   x  a  x  b  x  c 

Biến đổi vế tr|i, ta được:

a
b
c
=


 a  b  a  c  x  a  b  a b  c  x  b   c  a c  b c  x 



a
b
b
c
=



 a  b  a  c  x  a  b  a  a  c  x  b   c  a b  c  x  b  c  a c  b c  x 



b 
1
c 
 a
 b
 x  a  x  b    c  a  (b  c)  x  b  x  c  =
 a  b  a  c  






 bx  cx  
(ax  bx)
1
x
x

.

 a  b  a  c   x  a  x  b   c  a b  c   x  b  x  c   a  c  x  a  x  b  c  a  x  b  x  c 



1

1

.

x a  c
1 
x
 1


 x  a x  c   a  c  x  b  x  c  x  a    x  b  x  c  x  a  . Sau khi biến đổi
 a  c  x  b  

x

vế trái bằng vế phải. Đẳng thức được chứng minh.
Bài toán 4:
Cho a, b, c đôi một khác nhau. Chứng minh:
bc
ca
a b
2
2
2





 a  b  a  c  b  c b  a   c  a  c  b  a  b b  c c  a

Giải: Ta có

bc
ba
a c
1
1
(1)




 a  b  a  c   a  b  a  c   a  b  a  c  c  a a  b

Tương tự ta có:

W: www.hoc247.net

ca
1
1


 b  c  b  a  b  c a  b

(2)

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

a b
1
1
(3)


 c  b  c  a  b  c c  a

Từ (1) ;(2) và (3) ta có
bc
ca
a b
1
1
1
1
1
1








 a  b  a  c  b  c b  a   c  a  c  b  c  a a  b b  c a  b b  c c  a



2
2
2
(đpcm)


a b bc c a

Bài toán 5:
Rút gọn biểu thức:
a 2  bc
b2  ac
c 2  ab
với a  b; b  c; c  a


 a  b  a  c  b  c b  a   c  a  c  b 

Giải:
Ta có:

a 2  bc
a 2  ab  bc  ab a(a  b)  b(c  a )
a
b
(1)




 a  b  a  c   a  b  a  c 
 a  b  a  c  a  c a  b

b2  ac
b
c
Tương tự:
(2)


 b  a b  c  a  b b  c

c 2  ab
c
a
(3)


 c  a  b  c  c  b c  a

Cộng (1), (2) và (3) vế theo vế ta có
a 2  bc
b2  ac
c 2  ab
a
b
b
c
c
a








0
 a  b  a  c  b  c b  a   c  a  c  b  a  c a  b a  b b  c c  b c  a

Bài toán 6:
Cho ba phân thức

a b
bc
ca
;
;
. Chứng minh rằng tổng ba phân thức bằng tích của
1  ab 1  bc 1  ca

chúng.
Giải:
Ta có :

bc ba a c
a b b c c a a b b a a c c a








nên
1  bc 1  bc 1  bc
1  ab 1  bc 1  ca 1  ab 1  bc 1  bc 1  ca

1 
1   a  b 1  bc  1  ab   c  a 1  bc  1  ac 
 1
 1
  a  b 


   c  a  1  ac  1  bc  
1  ab 1  bc 
1  ac 1  bc 
1  ab 1  bc 




b  a  b  c  a 

 a  b  c  a   b  c    a  b  c  a b  c 
(đpcm).
1  ab 1  bc  1  ac 1  bc 
1  bc  1  ab 1  ac  1  ab 1  bc 1  ac 



W: www.hoc247.net



c  c  a  b  a 



F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Bài toán 7:
Cho ba số nguyên dương a, b, c tuỳ ý, tổng sau có phải là số nguyên dương không?
a
b
c


ab bc ca

Giải:
Ta có M 

a
b
c
a
b
c
a bc






1
ab bc ca a bc abc abc abc

hay M > 1 .

b  
c  
a 
b
c
a



M  1 


  1 
  1 
  3
  3  1  2 hay M < 2
 ab   bc   ca 
 a b c b c a c a b 

Vậy 1 < M