Xem mẫu
- Lê Trung Kiên THPT Nguyễn DuThanh OaiHà Nội
CHƯƠ
CH NG I
ƯƠNG I
MỆỆNH Đ
M NH ĐỀỀ TOÁN H
TOÁN HỌ C – TẬ
ỌC – T P HỢ
ẬP H ỢPP
I. MỆỆNH Đ
I. M NH ĐỀỀ TOÁN H
TOÁN HỌ
ỌCC
1. Mệnh đề toán học
Mệnh đề toán học là một câu khẳng định về một sự kiện trong toán học.
Một mệnh đề không thể vừa đúng, vừa sai.
2. Mệnh đề phủ định
Cho mệnh đề P.
Mệnh đề "Không phải P" đgl mệnh đề phủ định của P và kí hiệu là P .
Nếu P đúng thì P sai, nếu P sai thì P đúng.
3. Mệnh đề kéo theo
Cho hai mệnh đề P và Q.
Mệnh đề "Nếu P thì Q" đgl mệnh đề kéo theo và kí hiệu là P Q.
Mệnh đề P Q chỉ sai khi P đúng và Q sai.
Chú ý: Các định lí toán học thường có dạng P Q.
Khi đó: – P là giả thiết, Q là kết luận;
– P là điều kiện đủ để có Q;
– Q là điều kiện cần để có P.
4. Mệnh đề đảo
Cho mệnh đề kéo theo P Q. Mệnh đề Q P đgl mệnh đề đảo của mệnh đề P
Q.
5. Mệnh đề tương đương
Cho hai mệnh đề P và Q.
Mệnh đề "P nếu và chỉ nếu Q" đgl mệnh đề tương đương và kí hiệu là P Q.
Mệnh đề P Q đúng khi và chỉ khi cả hai mệnh để P Q và Q P đều đúng.
Chú ý: Nếu mệnh đề P Q là một định lí thì ta nói P là điều kiện cần và đủ để có
Q.
6. Mệnh đề chứa biến
Mệnh đề chứa biến là một câu khẳng định chứa biến nhận giá trị trong một tập X
nào đó mà với mỗi giá trị của biến thuộc X ta được một mệnh đề.
7. Kí hiệu và
" x X, P(x)" " x X, P(x)"
Mệnh đề phủ định của mệnh đề " x X, P(x)" là " x X, P(x)".
Mệnh đề phủ định của mệnh đề " x X, P(x)" là " x X, P(x)".
8. Phép chứng minh phản chứng
Giả sử ta cần chứng minh định lí: A B.
Cách 1: Ta giả thiết A đúng. Dùng suy luận và các kiến thức toán học đã biết chứng
minh B đúng.
Cách 2: (Chứng minh phản chứng) Ta giả thiết B sai, từ đó chứng minh A sai. Do
A không thể vừa đúng vừa sai nên kết quả là B phải đúng.
https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath
- Lê Trung Kiên THPT Nguyễn DuThanh OaiHà Nội
Baøi 1. Trong các câu dưới đây, câu nào là mệnh đề, câu nào là mệnh đề chứa biến:
a) Số 11 là số chẵn. b) Bạn có chăm học không ?
c) 2x + 3 là một số nguyên dương. d) 2 − 5 < 0 .
.
Baøi 2. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là đúng ? Giải thích ?
a) Nếu a chia hết cho 9 thì a chia hết cho 3.
b) Nếu a b thì a2 b2
c) Nếu a chia hết cho 3 thì a chia hết cho 6.
d) Số π lớn hơn 2 và nhỏ hơn 4.
e) 2 và 3 là hai số nguyên tố cùng nhau.
f) 81 là một số chính phương.
Baøi 3. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là đúng ? Giải thích ?
a) Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng có diện tích bằng nhau.
b) Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng đồng dạng và có một cạnh bằng nhau.
c) Một tam giác là tam giác đều khi và chỉ khi chúng có hai đường trung tuyến bằng
nhau và có một góc bằng 600 .
Baøi 4. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là đúng ? Giải thích ? Phát biểu các mệnh đề
đó thành lời:
a) ∃x �N , x 2 + 2x + 5 là hợp số.
b) ∀n �N , n2 + 1 không chia hết cho 3.
c) ∀n �N * , n(n + 1) là số lẻ.
d) ∀n �N * , n(n + 1)(n + 2) chia hết cho 6.
Baøi 5. Chứng minh các mệnh đề sau bằng phương pháp phản chứng:
a) Nếu a + b < 2 thì một trong hai số a và b nhỏ hơn 1.
b) Một tam giác không phải là tam giác đều thì nó có ít nhất một góc nhỏ hơn 600 .
c) Nếu x −1 và y −1 thì x + y + xy −1.
d) Có vô hạn các số nguyên tố
e) Chứng minh rằng a,b,c là các số dương thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng nếu
1 1 1
a + b + c > + + thì có một và chỉ một trong 3 số a,b,c lớn hơn 1.
a b c
a+b+c > 0
f) Cho các số a,b,c thỏa mãn: ab + bc + ca > 0 thì cả 3 số a,b,c đều dương
abc > 0
g) Cho a,b là các số tự nhiên, chứng minh rằng nếu a2 + b2M 3 thì abM 9
h) Chứng minh rằng tam giác có hai đường phân giác bằng nhau thi tam giác đó là tam
giác cân
II. TẬ
II. T P HỢ
ẬP H P . CÁC PHÉP TOÁN TẬ
ỢP . CÁC PHÉP TOÁN T P HỢ
ẬP H ỢPP
1. Tập hợp
Tập hợp là một khái niệm cơ bản của toán học, không định nghĩa.
Cách xác định tập hợp:
+ Liệt kê các phần tử: viết các phần tử của tập hợp trong hai dấu móc { … }.
https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath
- Lê Trung Kiên THPT Nguyễn DuThanh OaiHà Nội
+ Chỉ ra tính chất đăc trưng cho các phần tử của tập hợp.
Tập rỗng: là tập hợp không chứa phần tử nào, kí hiệu .
2. Tập hợp con – Tập hợp bằng nhau
A �B � ( ∀x �A � x �B )
+ A �A, ∀A + ��A, ∀A + A �B, B �C � A �C
A = B ���( A B va�B A)
3. Một số tập con của tập hợp số thực
N * �N �Z �Q �R
Khoảng: (a; b) = { x �R a < x < b} ; (a; +�) = { x �R a < x} ; (−�; b) = { x �R x < b}
Đoạn: [a; b] = {Σ�
x Ra x b}
Nửa khoảng: [a; b) = { x Σ R a x < b} ; (a; b] = { x �R a < x �b} ;
) = {Σx
[a; + � Ra x} ; (−�;=b]Σ {x Rx b}
4. Các phép toán tập hợp
Giao của hai tập hợp: A �B � { x x �A va�
x �B}
Hợp của hai tập hợp: A �B � { x x �A hoac�x �B}
Hiệu của hai tập hợp: A \ B � { x x �A va�
x �B}
Phần bù: Cho B A thì C A B = A \ B .
Baøi 1. Viết mỗi tập hợp sau bằng cách liệt kê các phần tử của nó:
{
A = x �R (2x 2 − 5x + 3)(x 2 − 4x + 3) = 0 } {
B = x �R (x 2 − 10x + 21)(x 3 − x ) = 0 }
C = { x �R (6x 2 − 7x + 1)(x 2 − 5x + 6) = 0} D = { x �Z 2x 2 − 5x + 3 = 0}
E = { x �N x + 3 < 4 + 2x va�
5x − 3 < 4x − 1} F = { x �Z x + 2 �1}
Baøi 2. Viết mỗi tập hợp sau bằng cách chỉ rõ tính chất đặc trưng cho các phần tử của nó:
A = { 0; 1; 2; 3; 4} B = { 0; 4; 8; 12; 16} C = { −3 ; 9; − 27; 81}
D = { 9; 36; 81; 144} E = { 2,3,5,7,11} F = { 3,6,9,12,15}
Baøi 3. Trong các tập hợp sau đây, tập nào là tập rỗng:
A = { x �Z x < 1} B = { x �R x 2 − x + 1= 0} {
C = x �Q x 2 − 4x + 2 = 0 }
{
D = x �Q x 2 − 2 = 0 }
E = { x �N x 2 + 7x + 12 = 0} F = { x �R x 2 − 4x + 2 = 0}
Baøi 4. Tìm tất cả các tập con, các tập con gồm hai phần tử của các tập hợp sau:
A = { 1, 2} B = { 1, 2, 3} C = { a, b, c, d}
D = { x �R 2x 2 − 5x + 2 = 0} {
E = x �Q x 2 − 4x + 2 = 0 }
Baøi 5. Tìm A B, A B, A \ B, B \ A với:
a) A = {2, 4, 7, 8, 9, 12}, B = {2, 8, 9, 12}
b) A = {2, 4, 6, 9}, B = {1, 2, 3, 4}
Baøi 6. Tìm tất cả các tập hợp X sao cho:
a) {1, 2} X {1, 2, 3, 4, 5}. b) {1, 2} X = {1, 2, 3, 4}.
c) X {1, 2, 3, 4}, X {0, 2, 4, 6, 8} d)
Baøi 7. Chứng minh rằng:
https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath
- Lê Trung Kiên THPT Nguyễn DuThanh OaiHà Nội
a) Nếu A B thì A B = A. b) Nếu A C và B C thì (A B) C.
c) Nếu A B = A B thì A = B d) Nếu A B và A C thì A (B
C).
Bài 8. Cho A,B,C là 3 tập hợp bất kì chứng minh rằng
a) A �( B �C ) = ( A �B ) �( A �C )
b) A �( B �C ) = ( A �B ) �( A �C )
Một số bài toán suy luận
Bài 1 : Để phục vụ cho hội nghị quốc tế, ban tổ chức đã huy động 30 cán bộ phiên
dịch tiếng Anh, 25 cán bộ phiên dịch tiếng Pháp, trong đó 12 cán bộ phiên dịch được
cả 2 thứ tiếng Anh và Pháp. Hỏi :
a, Ban tổ chức đã huy động tất cả bao nhiêu cán bộ phiên dịch cho hội nghị đó.
b, Có bao nhiêu cán bộ chỉ dịch được tiếng Anh, chỉ dịch được tiếng Pháp?
Bài 2 : Có 200 học sinh trường chuyên ngữ tham gia dạ hội tiếng Nga, Trung và
Anh. Có 60 bạn chỉ nói được tiếng Anh, 80 bạn nói được tiếng Nga, 90 bạn nói
được tiếng Trung. Có 20 bạn nói được 2 thứ tiếng Nga và Trung. Hỏi có bao nhiêu
bạn nói được 3 thứ tiếng ?
Bài 3 : Trên bàn là 3 cuốn sách giáo khoa : Văn, Toán và Địa lí được bọc 3 màu khác
nhau : Xanh, đỏ , vàng. Cho biết cuốn bọc bìa màu đỏ đặt giữa 2 cuốn Văn và Địa lí,
cuốn Địa lí và cuốn màu xanh mua cùng 1 ngày. Bạn hãy xác định mỗi cuốn sách đã
bọc bìa màu gì?
Bài 4 : Cúp Tiger 98 có 4 đội lọt vào vòng bán kết : Việt Nam, Singapor, Thái Lan và
Inđônêxia. Trước khi vào đấu vòng bán kết ba bạn Dũng, Quang, Tuấn dự đoán như
sau
Dũng : Singapor nhì, còn Thái Lan ba.
Quang : Việt Nam nhì, còn Thái Lan tư.
Tuấn : Singapor nhất và Inđônêxia nhì.
Kết quả mỗi bạm dự đoán đúng một đội và sai một đội. Hỏi mỗi đội đã đạt giải
mấy ?
Bài 5 : Trong 1 ngôi đền có 3 vị thần ngồi cạnh nhau. Thần thật thà (luôn luôn nói
thật) ; Thần dối trá (luôn nói dối) ; Thần khôn ngoan (lúc nói thật, lúc nói dối). Một
nhà toán học hỏi 1 vị thần bên trái : Ai ngồi cạnh ngài?
Thần thật thà.
Nhà toán học hỏi người ở giữa :
Ngài là ai? Là thần khôn ngoan.
Nhà toán học hỏi người bên phải
Ai ngồi cạnh ngài?
https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath
- Lê Trung Kiên THPT Nguyễn DuThanh OaiHà Nội
Thần dối trá.
Hãy xác định tên của các vị thần.
https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath
nguon tai.lieu . vn
