Xem mẫu
- T NG H P 60 BÀI H PHƯƠNG TRÌNH C A MATH.VN
.vn
Bài 1.
x3 − y3 = 35 (1)
Gi i h phương trình:
2x2 + 3y2 = 4x − 9y (2)
Gi i
L y phương trình (1) tr 3 l n phương trình (2) theo v ta đư c: (x − 2)3 = (3 + y)3 ⇒ x = y + 5 (3)
th
y = −2 ⇒ x = 3
Th (3) vào phương trình (2) c a h ta đư c: y2 + 5y + 6 = 0 ⇔
y = −3 ⇒ x = 2
Đáp s : (3; −2), (2; −3) là nghi m c a h .
Bài 2.
ma
x3 + y3 = 9 (1)
Gi i h phương trình:
x2 + 2y2 = x + 4y (2)
Gi i
L y phương trình (1) tr 3 l n phương trình (2) theo v ta đư c: (x − 1)3 = (2 − y)3 ⇒ x = 3 − y (3)
y=1⇒x=2
Th (3) vào phương trình (2) c a h ta đư c: y2 − 3y + 2 = 0 ⇔
y=2⇒x=1
.
Đáp s : (2; 1), (1; 2) là nghi m c a h .
Bài 3.
ww
x3 + y3 = 91 (1)
Gi i h phương trình:
4x2 + 3y2 = 16x + 9y (2)
Gi i
L y phương trình (1) tr 3 l n phương trình (2) theo v ta đư c: (x − 4)3 = (3 − y)3 ⇒ x = 7 − y (3)
y=4⇒x=3
Th (3) vào phương trình (2) c a h ta đư c: y2 − 7y + 12 = 0 ⇔
y=3⇒x=4
/w
Đáp s : (3; 4), (4; 3) là nghi m c a h .
Bài 4.
x2 + y2 = 1 (1)
5
Gi i h phương trình:
4x2 + 3x − 57 = −y (3x + 1) (2)
25
Gi i
p:/
L y phương trình (1) nhân v i 25 c ng theo v i v i phương trình (2) nhân v i 50 r i nhóm l i ta đư c:
7 17
25(3x + y)2 + 50(3x + y) − 119 = 0 ⇔ 3x + y = ; 3x + y = − .
5 5
x2 + y2 = 1
2 1 11 2
5 Th ta đư c: x = ⇒ y = ; x = ⇒y=
Trư ng h p 1: 7 5 5 25 25
y = − 3x
5
x2 + y2 = 1
htt
5
Trư ng h p 2: vô nghi m.
y = − 17 − 3x
5
21 11 2
Vy là nghi m c a h .
; ; ;
55 25 25
Bài 5.
1
- x3 + 3xy2 = −49 (1)
Gi i h phương trình:
.vn
x2 − 8xy + y2 = 8y − 17x (2)
Gi i
L y phương trình (1) c ng v i phương trình (2) nhân v i 3 đư c:
x = −1
x3 + 3x2 + (3y2 − 24y + 51)x + 3y2 − 24y + 49 = 0 ⇔ (x + 1) (x + 1)2 + 3(y − 4)2 = 0 ⇔
x = −1, y = 4
L n lư t th vào phương trình (1) c a h ta đư c (−1; 4), (−1; −4) là nghi m c a h .
th
Bài 6.
6x2 y + 2y3 + 35 = 0 (1)
.
Gi i h phương trình:
5x2 + 5y2 + 2xy + 5x + 13y = 0 (2)
Gi i
ma
L y phương trình (1) c ng v i 3 l n phương trình (2) theo v ta đư c:
(6y + 15)x2 + 3(2y + 5)x + 2y3 + 15y2 + y + 35 = 0
39
5
y=−
12 52 2
⇔ (2y + 5) 3 x + =0⇔
+ y+ .
1 5
2 2
x=− , y=−
2 2
15 15
;− ; − ;−
L n lư t th vào phương trình (1) ta đư c: là nghi m c a h .
22 22
.
Bài 7.
ww
x2 + y2 = xy + x + y
Gi i h phương trình:
x2 − y2 = 3
Gi i
1
Chú ý r ng: x2 − xy + y2 = 3(x − y)2 + (x + y)2
4
3a2 + b2 = 4b
a = x + y (1)
nên ta đ t thì đư c h m i: .
b = x − y ab = 3 (2)
/w
3
Đem th a = t phương trình (2) vào phương trình (1) r i gi i tìm đư c b = 3 ⇒ a = 1
b
T đó tìm l i đư c: x = 2; y = 1 là nghi m c a h .
Bài 7.1 √
x2 + 2x + 6 = y + 1
Gi i h phương trình:
x2 + xy + y2 = 7
p:/
Gi i
ĐK: y ≥ −1 H cho tương đương v i:
đã
x2 + 2x + 6 = y2 + 2y + 1 (x − y)(x + y + 2) = −5
⇔ (∗∗)
1 3(x + y)2 + (x − y)2 = 7 3(x + y)2 + (x − y)2 = 28
4
b(a + 2) = −5 a = −1
a = x + y a = 3
khi đó (∗∗) tr thành ⇔
Đt hay
htt
3a2 + b2 = 28
b = x − y b = −5 b = −1
x = −3 x = 1
Gi i h trên ta thu đư c nghi m: hay
y = 2 y = 2
K t lu n: H phương trình đã cho có t p h p nghi m là: {(−3; 2), (1; 2)}
Bài 8.
2
- x2 + 2y2 = xy + 2y
.
Gi i h phương trình:
.vn
2x3 + 3xy2 = 2y2 + 3x2 y
Gi i
V i y = 0 ⇒ x = 0 là nghi m c a h .
V i y = 0, nhân phương trình 1 v i −y r i c ng theo v v i phương trình 2 ta đư c:
2x3 − 4x2 y + 4xy2 − 2y3 = 0 ⇔ x = y
Th l i vào phương trình 1 c a h ta đư c: 2y2 = 2y ⇔ y = 1 ⇒ x = 1
th
V y (1; 1), (0; 0) là nghi m c a h
Bài 9.
x√x − y√=y = 8√x + 2√y
(∗)
Gi i h phương trình:
x − 3y = 6
ma
i
Gi
3 x√x − y√y = 6 4√x + √y (1)
x > 0
. Lúc đó hpt (∗) ⇔
Đk:
x − 3y = 6
y > 0 (2)
√ √ √ √
√ √ √
Thay (2) vào (1) có:3 x x − y y = (x − 3y) 4 x + y ⇔ x x + xy − 12y x = 0
√√ √√ √
√ √
⇔ x x − 3 y + 4 y = 0 ⇔ x = 3 y ⇔ x = 9y. Thay vào (2) có y = 1 ⇒ x = 9.
x
x = 9 .
V y hpt có 1 nghi m
y = 1
ww
Bài 10.
2x 2y
+ =3
y x (∗)
Gi i h phương trình:
x − y + xy = 3
Gi i
2x 2y
2x2 + 2y2 − 5xy = 0
+ =3
y x
Đk x.y > 0 . Lúc đó hpt (∗) ⇔ ⇔
/w
x − y + xy = 3
x − y + xy = 3
(x − 2y) (2x − y) = 0 x = 2y y = 2x
⇔ ⇔ hay .
2y2 + y − 3 = 0 2x2 − x − 3 = 0
x − y + xy = 3
3 3
Lúc đó k t h p v i đk ta đư c hpt có nghi m (x; y) là (2; 1) ; −3; − ; (−1; −2) ; ;3
2 2
Bài 11.
p:/
x4 − y4 = 240
Gi i h phương trình:
x3 − 2y3 = 3(x2 − 4y2 ) − 4(x − 8y)
Gi i
L y phương trình 1 tr đi phương trình 2 nhân v i 8 ta đư c: (x − 2)2 = (y − 4)4 ⇔ x = y − 2; x = 6 − y
L n lư t th vào phương trình th nh c a h ta đư c
t
x4 − y4 = 240 x = −4
htt
⇔
Trư ng h p 1:
x = y − 2 y = −2
x4 − y4 = 240 x = 4
⇔
Trư ng h p 2:
x = 6 − y y = 2
V y (4; 2), (−4; −2) là nghi m c a h .
3
- Bài 12. √
2 (x − y) = √xy
.vn
Gi i h phương trình:
x2 − y2 = 3
Gi i
√ x = 2y
√
2 (x − y) = xy ⇔ 2x2 − 5xy + 2y2 = 0 ⇔ (x − 2y)(2x − y) = 0 ⇔
Đk: x ≥ y. Lúc đó
y = 2x
x = −2
x = 2
th
Khi x = 2y ⇒ y = ±1 ⇒ hay
y = −1
y = 1
Khi y = 2x ⇒ −3x2 = 3 (pt vô nghi m)
V y đ i chi u v i đk hpt có m t nghi m là (2; 1)
Bài 13.
ma
(x − 1)2 + 6(x − 1)y + 4y2 = 20
Gi i h phương trình:
x2 + (2y + 1)2 = 2
Gi i
y = x + 9 (1)
x2 − 2x + 1 + 6xy − 6y + 4y2 = 20
3x − 5
h phương trình ⇔ ⇔
x2 + 4y2 = 1 − 4y 2
x + 4y2 = 1 − 4y
. 2 2
−9
2x + 18 8
th (1) vào h (2) ta đư c x2 + =2⇔ . x− = 1 hay x = −1
+1
ww
3x − 5 55 3
suy ra x = −1 ⇒ y = −1
Bài 14.
x2 + 2xy + 2y2 + 3x = 0 (1)
Gi i h phương trình:
xy + y2 + 3y + 1 = 0 (2)
Gi i
L y (1)+2.(2) ta đư c :(x + 2y)2 + 3 (x + 2y) + 2 = 0⇔ (x + 2y + 1) (x + 2y + 2) = 0
/w
TH1: x + 2y + 1 = 0 ⇒ x = −2y − 1 thay vào (2) ta đư c
√ √
2 − 2y − 1 = 0 ⇒ y = 1 + √2 ⇒ x = −3 − 2√2
y
y = 1 − 2 ⇒ x = −3 + 2 2
TH2: x + 2y + 2 = 0 ⇒ x = −2y − 2 thay vào (2) ta đư c √
√
1− 5
⇒ x = −3 + 5
y = 2√
y2 − y − 1 = 0 ⇒
√
p:/
1+ 5
⇒ x = −3 − 5
y=
2
Do đó hpt đã cho có 4 nghi m
√ √
√ √ √ √ √ 1− 5 √ 1+ 5
−3 − 2 2; 1 + 2 ; −3 + 2 2; 1 − 2 ; −3 + 5; ; −3 − 5;
(x; y) là :
2 2
Bài 15.
x3 − y3 = 3x + 1
Gi i h phương trình:
htt
x2 + 3y2 = 3x + 1
Gi i
t = x3 − 3x − 1
v i t = y3 .
h phương trình ⇔
3t + (x2 − 3x − 1)y = 0
ta có D = x2 − 3x − 1, Dt = (x3 − 3x − 1)(x2 − 3x − 1), Dy = −3(x3 − 3x − 1)
4
- nh n th y n u D = 0 mà Dy = 0 suy ra pt VN
.vn
Dy 3
Dt
hay (x2 − 3x − 1)3 = −27(x3 − 3x − 1)
Xét D = 0 ta có =
D D
⇒ x = 2 hay 28x5 + 47x4 − 44x3 − 151x2 − 83x − 13 = 0 ⇒ x = 2 hay x ≈ −1, 53209
t đây suy ra đư c y
Bài 16.
2x2 + y (x + y) + x (2x + 1) = 7 − 2y
Gi i h phương trình:
th
x (4x + 1) = 7 − 3y
Gi i
Cách 1: Th 7 = 4x2 + x + 3y phương trình (2) vào phương trình (1) ta đư c:
(2x2 + y)(x + y 2x2 + y ⇒ y = −2x2 ho c y = 1 − x
)=
y = −2x2
ma
Trư ng h p 1: vô nghi m.
x (4x + 1) = 7 − 3y
√ √
1 − 17
1 + 17
x = x =
y = 1 − x
4 4
√ √
⇔
Trư ng h p 2: ho c
y = 3 − 17 y = 3 + 17
x (4x + 1) = 7 − 3y
√4 4
√ √ √
1 − 17 3 + 17 1 + 17 3 − 17
Đáp s : là nghi m c a h .
; ; ;
.
4 4 4 4
Cách 2: Phân tích (1) ta có 2x3 + 2x2 y + xy + y2 + 2x2 + x = 7 − 2y
ww
⇔ 2x3 + 2x2 (y + 1) + x(y + 1) + (y + 1)2 = 8 ⇔ 2x2 (x + y + 1) + (y + 1)(x + y + 1) = 8
⇔ (x + y + 1)(2x2 + y + 1) = 8 ⇔ (x + y + 1)(4x2 + 2y + 2) = 16
(x + y + 1)(4x2 + 2y + 2) = 16 (x + y + 1) [9 − (x + y)] = 16
⇔ suy ra x + y = 1 hay x + y = 7
ta có
4x2 = 7 − x − 3y 4x2 = 7 − x − 3y
√
1
V i x + y = 1 ta tìm đc x = 1 ± 17 hay y = 1 − x
4
/w
V i x + y = 7 thay vào (2) phương trình VN
KL
Bài 16.1
x3 + 7y = (x + y)2 + x2 y + 7x + 4 (1)
Gi i h phương trình:
3x2 + y2 + 8y + 4 = 8x (2)
Gi i
p:/
T pt th (2) trong h ta rút 4 = 8x − 3x2 − y2 − 8y
x=y
x2 + 2x − 15
Thay vào pt th (1) trong h thu g n ta đư c (x − y) =0⇔ x=3
x = −5
V i x = y thay vào pt th 2 ta đư c −4x2 = 4 pt vô nghi m
y = −1
V i x = 3 thay vào pt th 2 ta đư c y2 + 8y + 7 = 0⇔
htt
y = −7
2 + 8y + 119 = 0 pt vô nghi m
V i x = −5 thay vào pt thư 2 ta đư c y
V y h pt có 2 nghi m (x; y) là (3; −1); (3; −7)
Bài 17.
5
-
x3 − 12z2 + 48z − 64 = 0
.vn
y3 − 12x2 + 48x − 64 = 0
Gi i h phương trình:
3
z − 12y2 + 48y − 64 = 0
Gi i
C ng theo v các phương trình c a h ta đư c: (x − 4)3 + (y − 4)3 + (z − 4)3 = 0 (∗)
t đó suy ra trong 3 s h ng t ng này ph i có ít nh t 1 s h ng không âm,
không m t t ng quát ta gi s (z − 4)3 ≥ 0 ⇒ z ≥ 4
th
Th thì phương trình th nh t c a h tương đương x3 − 16 = 12(z − 2)2 ≥ 12.22 ⇒ x ≥ 4
Th thì phương trình th hai c a h tương đương y3 − 16 = 12(x − 2)2 ≥ 12.22 ⇒ y ≥ 4
Do v y t (x − 4)3 + (y − 4)3 + (z − 4)3 = 0 (∗) ⇒ x = y = z = 4 Th l i th a mãn.
V y (4; 4; 4) là nghi m c a h .
ma
Bài 18.
x4 + 4x2 + y2 − 4y = 2
Gi i h phương trình:
x2 y + 2x2 + 6y = 23
Gi i
t − 4y = 2 − x4 − 4x2
h đã cho tương đương .
(x2 + 6)y = 23 − 2x2
v i t = y2 ta tính đư c D = x2 + 6, Dt = −x6 − 10x4 − 30x2 + 104, Dy = 23 − 2x2 .
ww
Dy 2
Dt
suy ra (x2 + 6)(−x6 − 10x4 − 30x2 + 104) = (23 − 2x2 )2
=
ta có
D D
⇔ (1 − x)(1 + x)(1 + x2 )(x4 + 16x2 + 95) = 0 v y suy ra x = 1 hay x = −1 , t đây tìm đư c y
Bài 19.
x2 + xy + y2 = 3
Gi i h phương trình:
x2 + 2xy − 7x − 5y + 9 = 0
/w
Gi i
Cách 1: C ng theo v 2 phương trình c a h ta đư c (2x + y − 3)(x + y − 2) = 0 T đó d n đ n 2 trư ng
h p:
x2 + xy + y2 = 3 x = 1 x = 2
⇔
Trư ng h p 1: ho c
y = 3 − 2x y = −1
y = 1
x2 + xy + y2 = 3
p:/
x = 1
⇔
Trư ng h p 2:
y = 2 − x y = 1
K t lu n: (1; 1), (2; −1) là nghi m c a h
.
a2 + b2 + 3a + 3b + ab = 0
x = a + 1 (1)
Cách 1: đ t h tr thành
a2 − 3a − 3b + 2ab = 0
y = b + 1 (2)
2a2 + b2 + 3ab = 0 ⇔ (2a + b)(a + b) = 0 suy x và y
c ng (1) và (2) ta đc
htt
Bài 20.
1
3 x2 + y2 + = 2(10 − xy)
(x − y)2
Gi i h phương trình:
2x + 1 = 5
x−y
Gi i
6
- 1
2(x + y)2 + (x − y)2 + = 20 u = x + y
(x − y)2
.vn
H⇔ Đt
v = x − y + 1
x + y + x − y + 1 = 5
x−y
x−y
u = 1
2u2 + v2 − 2 = 20 v = 5 − u u = 3
3
⇔ ⇔
Ta có h sau: ho c
v = 14
2u2 + (5 − u)2 = 22
u + v = 5 v = 2
3
x + y = 3
u = 3 x + y = 3 x = 2
th
⇔ ⇔ ⇔
TH 1:
x − y + 1 = 2 x − y = 2
v = 2 y = 1
x−y
x + y = 1
u = 1 x + y = 3 x + y = 3
√ √
3
3 ⇔ ⇔
TH 2: ho c
x − y = 7 − 2 10
x − y + 1 = 14 x − y = 7 + 2 10
v = 14
x − y √3 3 3
3
ma
√
x = 4 − 10
x = 4 + 10
3√ 3√
⇔ ho c
y = −3 − 10 y = −3 + 10
3 3
Bài 21.
a(a + b) = 3
Gi i h phương trình: b(b + c) = 30 .
c(c + a) = 12
ww
Gi i
Bài 22.
x3 + y3 − xy2 = 1
Gi i h phương trình:
4x4 + y4 − 4x − y = 0
Gi i
/w
V ix=0⇒y=1
V iy=0⇒x=1
V i x = 0; y = 0 thay (1) vào (2) ta đư c:
y
=1
2
y y
+1 = 0 ⇔ x 1
4x4 + y4 = (4x + y)(x3 + y3 − xy2 ) ⇔ 3y2 − 4xy + x2 = 0 ⇔ 3 −4 y
x x =
x3
p:/
V i x = y thay vào (1) ta có x = 1 ⇒ y = 1
3 1
V i x = 3y thay vào (1) ta có x = √ ⇒ y = √
3 3
25 25
3 1
V y hpt có 4 nghi m phân bi t (x; y) là (0; 1); (1; 0); (1; 1); √ ; √
3 3
25 25
Bài 23.
x2 − y2 = 3 (1)
Gi i h phương trình:
log (x + y) − log (x − y) = 1 (2)
htt
3 5
Gi i
x + y > 0
ĐK:
x − y > 0
T pt (1) có log3 (x2 − y2 ) = 1 ⇔ log3 (x + y) + log3 (x − y) = 1 ⇔ log3 (x + y) = 1 − log3 (x − y) (∗)
7
- Thay (∗) vào pt (2) có
.vn
1 − log3 (x − y) − log5. log3 (x − y) = 1 ⇔ log3 (x − y)(1 − 3 5) = 0 ⇔ log3 (x − y) = 0 ⇔ x − y = 1
3 log
x2 − y2 = 3 x + y = 3 x = 2
⇔ ⇔
Lúc đó ta có hpt m i
x − y = 1 x − y = 1 y = 1
x = 2
V y hpt có 1 nghi m duy nh t
y = 1
Bài 24.
th
log (x2 + y2 ) − log (2x) + 1 = log (x + 3y)
4 4 4
Gi i h phương trình:
log4 (xy + 1) − log4 (2y2 + y − x + 2) = log4 x − 1
2
y
Gi i
ma
2 2
(x + y )2
= x + 3y (1)
x
h phương trình ⇔ xy + 1 x
= (2)
2 +y−x+2
2y 2y
x = y (3)
(1) ⇔ x2 − 3xy + 2y2 = 0 ⇔
x = 2y (4)
(2), (3) ⇔ x, y ∈ R > 0
.
(2), (4) ⇔ x = 2, y = 1
Bài 25.
ww
x2 (y + 1) = 6y − 2(1)
Gi i h phương trình:
x4 y2 + 2x2 y2 + y(x2 + 1) = 12y2 − 1(2)
Gi i
4y − 4 2 9y + 1
D th y y = 0 và y = −1. T (1) ⇒ x2 y(y + 1) = 6y2 − 2y, và x2 − 2 = ;x +3 =
y+1 y+1
Thay (1) vào (2), ta có: x4 y2 + x2 y2 + y + 6y2 − 2y = 12y2 − 1 (x2 − 2)(x2 + 3)y2 − y + 1 = 0
⇔
√
y=1⇒x=± 2
/w
2
4(y − 1)(9y + 1)y y=1
⇔ = y−1 ⇔ ⇔ 1
(y + 1)2 4(9y + 1)y2 = (y + 1)2 y= ⇒x=0
3
Bài 26.
x3 − y3 + 3y2 − 3x = 2(1)
Gi i h phương trình: √
x2 + 1 − x2 − 3 2y − y2 = −2(2)
Gi i
p:/
1 − x2 ≥ 0 −1 ≤ x ≤ 1
⇒
Cách 1: Đk:
2y − y2 ≥ 0 0 ≤ y ≤ 2
Đ t t = x + 1, ≤ t ≤ 2.Lúc đó hpt đã cho tr thành:
0
t 3 − 3t 2 + 2 = y3 − 3y2 + 2 t 3 − 3t 2 = y3 − 3y2
⇒
√ √
x2 + 1 − x2 − 3 2y − y2 = −2 x2 + 1 − x2 − 3 2y − y2 = −2
htt
a=0
Xét hàm s f (a) = a3 − 3a2 , 0 ≤ a ≤ 2. Có f (a) = 3a2 − 6a; f (a) = 0 ⇔ 3a2 − 6a = 0 ⇔
a=2
3 − 3a2 ngh ch bi n v i 0 ≤ a ≤ 2 V y f (t ) = f (y) ⇒ t = y ⇒ x + 1 = y
L p BBT ta có f (a) = a
√ √
Thay x + 1 = y vào pt (2) có x2 − 2 1 − x2 = −2 ⇔ 1 − x2 + 2 1 − x2 − 3 = 0
√
√ √ 1 − x2 = 1
⇔ ( 1 − x2 − 1)( 1 − x2 + 3) = 0 ⇔ √ ⇒x=0⇒y=1
1 − x2 = −3
8
- V y hpt có 1 nghi m (x; y) duy nh t là(0; 1)
.vn
Cách 2: S xu t hi n c a 2 căn th pt (2) mách b o ta đ t z = 1 − y khi đó h tr thành
c
x3 − 3x + z3 − 3z = 0
√ √
x2 + 1 − x2 − 3 1 − z2 = −2
Phương trình (1) c a h này tương đương x + z = 0 ho c x2 + xz + z2 = 3
Th thì x y ra 2 trư ng h p:
z = −x x = 0 x = 0
th
⇔ ⇔
Trư ng h p 1: √ √
x2 + 1 − x2 − 3 1 − z2 = −2 z = 0 y = 1
x2 + xz + z2 = 3
Trư ng h p 2: √ √
x2 + 1 − x2 − 3 1 − z2 = −2
ma
Phương trình đ u c a h này k t h p v i đi u ki n c a x và z d n đ n x = z = −1; x = z = 1,
c 2 kh năng này đ u không th a mãn phương trình th 2, nên trư ng h p này vô nghi m.
K t lu n: (0; 1) là nghi m c a h .
Bài 27.
x2 − y2 − y = 0
Gi i h phương trình:
x2 + xy + x = 1
.
Gi i
ww
Bài 28.
9y3 (3x3 − 1) = −125
Gi i h phương trình:
45x2 y + 75x = 6y2
Gi i
3 2
i y = 0 h pt vô nghi V i y = 0 chia 2 v pt (1) và pt (2) l n lư t cho y = 0; y = 0 ta có hpt
V m.
3 125 27x3 + 125 = 9
27x + =9
/w
y3 y3
⇔ (∗)
2
3x. (3x + 5 ) = 6
5
x
45 + 75 x = 6
y2 y y
y
5
Đ t u = 3x; v = , v = 0
y
u3 + v3 = 9 (u + v)3 − 3uv(u + v) = 9 (u + v)3 = 27
Lúc đó: (∗) ⇔ ⇔ ⇔
uv(u + v) = 6n uv(u + v) = 6 uv(u + v) = 6
p:/
u + v = 3 u = 1 u = 2
⇔ ⇔ hay
uv = 2 v = 2 v = 1
x = 1
3x = 1
u = 1
3
⇔5 ⇔
Vi
y = 5
=2
v = 2
y
2
htt
x = 2
3x = 2
u = 2
3
⇔5 ⇔
Vi
=1
v = 1 y = 5
y
15 2
V y hpt đã cho có 2 nghi m (x; y) là ; ; ;5
32 3
Bài 29.
9
- √x + √32 − x − y2 + 3 = 0
4
(1)
.vn
Gi i h phương trình: √
√
4 x + 32 − x + 6y − 24 = 0 (2)
i
Gi
√ √
0 ≤ x ≤ 32 √ √
x + 32 − x + 4 x + 4 32 − x = y2 − 6y + 21 (∗)
. L y (1) + (2) v theo v ta có
Đk:
y ≤ 4
Có y2 + 6y + 21 = (y − 3)2 + 12 ≥ 12
√ √ √
√ √ √
th
L i có x + 32 − x ≤ (1 + 1)(x + 32 − x) = 8 ⇔ 4 x + 4 32 − x ≤ (1 + 1)( x + 32 − x) = 4
√ √
√ √
V y x + 32 − x 4 x + 4 32 − x ≤ 12
+
√x = √32 − x
x = 16
√
√
Do (∗) nên có hpt 4 x = 4 32 − x ⇔
y = 3
ma
y − 3 = 0
V y h pt có m t nghi m duy nh t (x; y) là (16; 3)
Bài 30.
√x + y + 1 + 1 = 4(x + y)2 + √3x + 3y
(1)
Gi i h phương trình:
12x(2x2 + 3y + 7xy) = −1 − 12y2 (3 + 5x) (2)
Gi i .
√ √
Đ t x + y + 1 = a ≥ 0; 3x + 3y = b ≥ 0
ww
3a2 − b2 = 3 3a2 − b2 = 3 3a2 − b2 = 3
(1) ⇔ ⇔ ⇔
9a + 3a2 − b2 2 = 4b4 + 9b
9a + 9 = 4b4 + 9 9a − 9b + 9a4 − 6a2 b2 − 3b4 = 0
3a2 − b2 = 3 3a2 − b2 = 3
⇔ ⇔
(a − b) 9a3 + 9a2 b + 3ab2 + 3b3 = 0 a = b
√
6
⇔b= ⇔ 2x + 2y = 1. ⇔ 2x = 1 − 2y
2
/w
−5 4 7 −1
Thay vào (2) ta đư c : (x, y) = ,
; ;
63 10 6
Bài 31.
x3 y (1 + y) + x2 y2 (y + 2) + xy3 = 30
Gi i h phương trình:
x2 y + x 1 + y + y2 + y − 11 = 0
Gi i
p:/
Bài 32.
x(1 + x) + 1 1 + 1 = 4 (1)
yy
Gi i h phương trình: Gi i h
33
x y + y2 x2 + xy + 1 = 4y3 (2)
Gi i
1 1 1 1
x2 + 2 = 4 T (1), (2) ⇒ x + và x2 + 2 là nghi m c a pt
(2) ⇔ x +
htt
y y y y
1
1
x+ = 2 x + = 2
y y
2 − 4A + 4 = 0 ⇔ ⇔ ⇔x=y=1
A
x =1
x2 + 1 = 2
y2 y
Bài 33.
10
- √
2 + 6y + x − 2y = x
y
.vn
Gi i h phương trình: √
x + x − 2y = x + 3y − 2
Gi i
Bài 34.
√
1 − 12 x = 2 (1)
y + 3x
Gi i h phương trình:
th
√
1 + 12 y = 6 (2)
y + 3x
Gi i
Cách 1: Đk: x > 0; y > 0
√ + 6 = 2
2
√
ma
x y
T đó l y (1) + (2); (2) − (1) ta đư c hpt
24 = 6 − √ 2
√
y + 3x y x
12 91
⇒ = − ⇒ 12xy = (y + 3x)(9 − y)
y + 3x y x
⇒ y2 + 6xy − 27x2 = 0 ⇒ (y + 9x)(y − 3x) = 0 ⇒ y = 3x do x > 0, y > 0
√ √ √
√ √
Thay y = 3x vào pt (1) ta đư c: x − 2 x − 2 = 0 ⇒ x = 1 + 3 ⇒ x = 4 + 2 3 ⇒ y = 3(4 + 2 3)
√ √
.
V y hpt có 1 nghi m (x; y) là (4 + 2 3; 3(4 + 2 3))
√
Cách 2:Đk: x > 0; y > 0 Nhân pt (1) v i 3 và nhân pt (2) v i h s o i r i c ng 2 v ta đư c:
ww
√ 12 √ √
√ √
3x + yi − ( 3x − yi) = 2 3 + 6i
y + 3x
√ √ √
√ 12
= 2 3 + 6i ⇔ z2 − (2 3 + 6i)z − 12 = 0
Đ t z = 3x + yi thì z −
z
√ √ √ √ √
⇔ z = 3 + 3 + (3 + 3i) (th mãn) ho c z = ( 3 −) + (3 − 3i)(lo i vì 3x < 0)
a 3
√3x = 3 + √3 x = 4 + 2√3
√ √
V i z = 3 + 3 + (3 + 3i ⇔ √⇔ √
√y = 3 + 3 y = 12 + 6 3
/w
Bài 35.
2y x2 − y2 = 3x
Gi i h phương trình:
x x2 + y2 = 10y
Gi i
Nhân chéo ta có:
3x2 x2 + y2 = 20y2 x2 − y2 ⇔ 3x4 − 17x2 y2 + 20y4 = 0 ⇔ 3x2 = 5y2 or x2 = 4y2
p:/
3 27
Thay vào ta có các nghi m (x;y)= (0; 0) , ± 4 ;± 4 ; (±1; ±2)
5 125
Bài 36.
2√x + 3y + 2 − 3√y = √x + 2 (1)
Gi i h phương trình:
√y − 1 − √4 − x + 8 − x2 = 0 (2)
htt
Gi i
√
√ √
(1) ⇔ 2 x + 3y + 2 = x + 2 + 3 y ⇔ 4(x + 3y + 2) = x + 2 + 9y + 6 y(x + 2)
√ √
⇔ ( x + 2 − y)2 = 0 ⇔ y = x + 2
√ √ x−3 x−3
Thay vào (2), ta có: x + 1 − 4 − x + 8 − x2 = 0 ⇔ √ +√ + (3 − x)(3 + x) = 0
4−x+1
x+1+2
⇔x=3⇒y=5
11
- 1 1
Ta c n cm pt √ √ = x + 3(∗) vô nghi m trên đo n [−1, 4]
+
.vn
x+1+2 1+ 4−x
1 1 1 1 1 3
Ta có: √ ≤√ ≤1⇒ √ √ < mà x + 3 ≥ 2 ⇒ (∗) vô nghi m
+
x+1+2 2 4−x+1 x+1+2 1+ 4−x 2
Bài 37.
(x + √1 + x2 )(y + 1 + y2 ) = 1 (1)
Gi i h phương trình:
x√6x − 2xy + 1 = 4xy + 6x + 1 (2)
Gi i √
th
√ t2 + 1 + t |t | − t
t
Cách 1:Xét f (t ) = t + t 2 + 1, f (t ) = 1 + √ =√ >√ ≥0
t2 + 1 t2 + 1 t2 + 1
Do đó f (t ) đ ng bi n trên R
√
(1) ⇔ x + x2 + 1 = −y + 1 + y2 ⇔ f (x) = f (−y) ⇔ x = −y
√
√ √ 2x 2 + 6x + 1 = 3x
25 2
x
ma
2 + 1 = −4x2 + 6x + 1 ⇔ ( 2x2 + 6x + 1 − )2 = x⇔√ 2
(2) ⇔ x 6x + 2x
2 4 2x + 6x + 1 = −2x
2x2 + 6x + 1 = 9x2 7x2 − 6x − 1 = 0
√
V i 2x2 + 6x + 1 = 3x ⇔ ⇔ ⇔ x = 1 → y = −1
x ≥ 0 x ≥ 0
√ √
2x2 + 6x + 1 = 4x2 2x2 − 6x − 1 = 0
√ 3 − 11 −3 + 11
2 + 6x + 1 = −2x ⇔ ⇔ ⇔x= →y=
V i 2x
2 2
x ≤ 0 x ≤ 0
. √
Cách 2:Bi n đ i phương trình th nh t c a h thành: x + 1 + x2 = −y + 1 + y2 (1)
√
ww
Rõ ràng (1) khi n ta nghĩ đ n hàm s f (t ) = t + t 2 + 1, hàm này đ ng bi n trên R
nên (1) tương đương x = −y th vào phương trình th hai c a h ta đư c:
√
x 6x + 2x2 + 1 = −4x2 + 6x + 1 (2) Có m √cách hay đ gi i (2) b ng n ph , nhưng đ đơn gi n, ta
t
3 − 11
lũy th a 2 v ta tìm đư c nghi m x = 1; x =
2
√ √
3 − 11 3 − 11
K t lu n: (1; −1); ( ;− ) là nghi m c a h .
2 2
Bài 38.
/w
2x3 − 4x2 + 3x − 1 = 2x3 (2 − y)√3 − 2y
Gi i h phương trình:
√x + 2 = 3 14 − x√3 − 2y + 1
Gi i
13
√ √
1
= (3 − 2y)3 + 3 − 2y
2x3 − 4x2 + 3x − 1 = 2x3 (2 − y) 3 − 2y ⇔ 1 − + 1−
x x
√ 1
p:/
(Do hàm s f (t ) = t 3 + t đ ng bi n trên R)
⇔ 3 − 2y = 1 −
x √
√
x + 2 − 3 − 3 15 − x − 2 = 0
Thay vào phương trình th hai ta đư c:
x−7 x−7 111
⇔√ =0⇔x=7⇒y=
+ √ 98
x+2+3 (15 − x)2 + 2 3 15 − x + 4
3
Bài 39.
x2 + 2xy − 2x − y = 0
Gi i h phương trình:
htt
x4 − 4(x + y − 1)x2 + y2 + 2xy = 0
Gi i
T pt (2) ta có x4 − 4x3 − 4yx2 + 4x2 + y2 + 2xy = 0
⇔ (x4 − 4x3 + 4x2 ) − 4(x2 − 2x)y + 4y2 − 3y2 − 6xy = 0 ⇔ (x2 − 2x − 2y)2 = 3y2 + 6xy
12
-
x2 + 2xy − 2x − y = 0 y = x2 + 2xy − 2x (3)
⇒
.vn
Lúc đó hpt đã cho tr thành:
(x2 − 2x − 2y)2 = 3y2 + 6xy y2 (1 + 2x)2 = 3y(y + 2x) (4)
y=0
T (4) có 2y(2xy + 2x2 − 3x − y) = 0 ⇔
2xy + 2x2 − 3x − y = 0
x=0
+ V i y= 0 t (3) có x2 − 2x = 0 ⇔
x=2
x=0⇒y=0
th
+V i 2xy + 2x2 − 3x − y = 0 ⇒ y = 2xy + 2x2 y − 3x thay vào (3) có x(2xy − x − 1) = 0 ⇔ x+1
y= (x = 0)
2x
x+1
(x = 0) vào pt (3) ta có (x − 1)(2x2 + 1) = 0 ⇔ x = 1 ⇒ y = 1
Thay y =
2x
V y hpt đã cho có 3 nghi m (x; y) là (0; 0), (2; 0), (1; 1)
ma
Bài 40.
x2 + y2 + 2y = 4
Gi i h phương trình:
(x2 + xy)(y + 1) + x = 6
Gi i
Bài 41.
3y − m√x2 + 1 = 1
.
Tìm m đ h có nghi m duy nh t: 1
ww
= m2
√
x + y +
2 +1
1+ x
Gi i √
y + x2 + 1 = m2
(I )
H pt đã cho tr thành √
3y − m x2 + 1 = 1
* Đi u ki n c n:
gi s hpt có nghi m (x0 ; y0 ) thì (−x0 ; y0 ) cũng là nghi m c a h
/w
nên hpt có nghi m duy nh t ⇔ x0 = −x0 ⇒ x0 = 0
y = m2 − 1 4
⇒ 3m2 − m − 4 = 0 ⇔ m = −1 ∨ m =
Lúc đó h (I ) ⇔
3
3y = 1 + m
*Đi u ki n đ : √
y + x2 + 1 = 1 x = 0
+ V i m= -1 ta có (I ) ⇔ ⇔ V y m= -1 (nh n)
√
p:/
3y + x2 + 1 = 1 y = 0
√2
y + x + 1 = 16
x = 0
4 4
9
+ V i m = ta có (I ) ⇔ ⇒ V y m = (nh n)
3y − 4 √x2 + 1 = 1 y = 7
3 3
9
3
4
Do đó m = −1; m = là các giá tr c n tìm.
3
Bài 42.
htt
x2 y2 − 2x + y − 1 = 0
Gi i h phương trình:
2x2 + y2 − 4x − 5 = 0
Gi i
Bài 43.
13
-
xy + x − 7y = −1 (1)
.vn
Gi i h :
x2 y2 + xy − 13y2 = −1 (2)
Gi i
T pt (1) ⇒ xy + 1 = 7y − x th xu ng pt (2)
pt (2) ⇔ (xy + 1)2 − xy − 13y2 = 0 ⇔ (7y − x)2 − xy − 13y2 = 0 ⇔ x2 − 15xy + 36y2 = 0
⇔ (x − 3y)(x − 12y) = 0 ⇒ x = 3y Ho c x = 12y
T i đó là ra r i :D
th
Bài 44.
(2011x + 3) (ln(x − 2) − ln 2011x) = (2011y + 3) (ln(y − 2) − ln 2011y) (1)
(x; y ∈ Z)
Gi i h :
2y6 + 55y2 + 58√x − 2 = 2011 (2)
Gi i
ma
Đi u ki n: x, y > 2, khi đó t (1), ta xét hàm s : f (t ) = (2011t + 3)(ln(t − 2) − ln 2011t ) t > 2,
d th y f (t ) đơn đi u trên t p xác đ nh c a nó nên : f (x) = f (y) ⇔ x = y,
Thay vào (2), ta đư c phương trình:
√ √
2x6 + 55x2 + 58 x − 2 = 2011 ⇔ 2x6 + 55x2 − 1953 + 58 x − 2 − 1 = 0
x−3
⇔ (x − 3)(x + 3)(x4 + 18x2 + 217) + 58 √ =0
x−2+1
. 58
⇔ (x − 3) (x + 3)(2x4 + 18x2 + 217) + √ =0
x−2+1
ww
58
⇔ x = 3, vì: (x + 3)(2x4 + 18x2 + 217) + √ >0 x>2
x−2+1
K t lu n: H phương trình đã cho có nghiêm là:(3; 3)
Bài 45.
8x6 − 1 xy = y − 3x4 (1)
2
Gi i h :
x3 − 4x2 y = y (2)
Gi i
/w
8x6 + 3x2
T phương trình th nh t rút ra: y =
x+2
x3
T phương trình th hai rút ra: y = 2
4x + 1
8x6 + 3x2 x3
⇒ x3 (64x6 + 16x4 + 23x2 − 2x + 6) = 0 ⇒ x = 0 ⇒ y = 0.
=2
T đó d n đ n:
x+2 4x + 1
Đáp s : (0; 0)
p:/
Bài 46.
x2 + xy + 2x + 2y − 16 = 0 (1)
Gi i h :
(x + y)(4 + xy) = 32 (2)
Gi i
(x + y)(x + 2) = 16 (1 )
H pt đã cho
htt
(x + y)(4 + xy) = 32 (2 )
x=2 hpt đã cho th a
* V i x = y t pt(1) có x2 + 2x − 8 = 0 ⇔
x = −4 hpt đã cho không th a
* V i x = −y hpt không th a.
x=0 ⇒y=8
(1 ) x+2 1
* V i x = −y l y ⇒ = ⇒ x(2 − y) = 0 ⇒
(2 ) 4 + xy 2 y = 2 ⇒ x = 2 hay x = −6
14
- V y hpt có 3 nghi m phân bi t (x; y) là (2; 2), (0; 8), (−6; 2)
.vn
Bài 47.
xy = x + 7y + 1
Gi i h :
x2 y2 = 10y2 − 1
Gi i
7y + 1
T phương trình th nh t c a h rút x theo y ta đư c: x =
y−1
7y + 1 2 2
th
.y = 10y2 − 1
Th vào phương trình th hai c a h ta đư c:
y−1
y = −1 ⇒ x = 3
⇒ 39y4 + 34y3 − 8y2 − 2y + 1 = 0 ⇒ 1
y=− ⇒x=1
3
ma
1
Đáp s : (3; −1), 1; − là nghi m c a h .
3
Bài 48.
x3 (3y + 55) = 64
Gi i h :
xy(y2 + 3y + 3) = 12 + 51x
Gi i
3y + 55 = t 3
.
D th y x = 0 không th a mãn h . Vi t l i h dư i d ng:
y3 + 3y2 + 3y = 3t + 51
ww
4
v it= C ng v v i v c a h ta đư c:
x
(y + 1)3 + 3 (y + 1) + 51 = t 3 + 3t + 51 ⇔ y + 1 = t ( do f (t ) = t 3 + 3t + 51 đ ng bi n trên R)
t đó có: t 3 − 3 (y − 1) − 55 = 0 ⇔ (t − 4) t 2 + 4t + 13 = 0 ⇔ t = 4
x=1
V y h có nghi m
y=3
Bài 49.
log (2x + 1) − log (x − y) = √4x2 + 4x + 2 − (x − y)2 + 1 − 3x2 + y2 − 4x − 2xy − 1
/w
3 3
Gi i h phương trình: √ √
log (2x) + 4x2 − 4x2 + 1 = 1 − 2
3
Gi i
Vi t phương trình th nh t c a h thành:
(2x + 1)2 + 1 − (2x + 1)2 − log3 (2x + 1) = (x − y)2 + 1 − (x − y)2 − log3 (x − y) (∗)
Xét hàm s : f (t ) = (t )2 + 1 − (t )2 − log3 (t ) v i t > 0
p:/
√
1 1
t
− (2t + ) ≤ √ − 2 2 ≤ 0 nên f ngh ch bi n Th thì (∗) ⇔ 2x + 1 = x − y (1)
Có: f (t ) =
t
(t )2 + 1 2 √
V i phương trình th hai, xét hàm: f (x) = log3 (2x) + 4x2 − 4x2 + 1 v i x > 0
1 1
Có: f (x) = 4x(2 − √ ) + > 0 nên f đ ng bi n
x
4x 2 + 1
√
1 1
= 1 − 2 nên x = th a mãn phương trình th hai.
Th mà f
2 2
htt
3 13
K t h p v i (1) cho ta y = − V y ;− là nghi m c a h .
2 22
Bài 50.
x4 y4 2 2
+ − ( x + y ) + x + y = −2 (1)
Gi i h : y4 x4 y2 x2 yx
2
x + y6 − 8x + 6 = 0 (2)
15
- Gi i
.vn
ĐK: x = 0; y = 0
x2 y2 x2 y2
xy
V i pt(1): Đ t + = t ⇒ t 2 = 2 + 2 + 2 ⇒ 2 + 2 = t 2 − 2
yx y x y x
22
2 4 4
x y x y
= (t 2 − 2)2 ⇒ 4 + 4 + 2 = t 4 − 4t 2 + 4
M t khác : 2 + 2
y x y x
4 4
x y
T đó: 4 + 4 = t 4 − 4t 2 + 2
y x
th
x2 y2
Theo AM_GM có 2 + 2 ≥ 2 ⇔ t 2 ≥ 4 ⇔ |t | ≥ 2
y x
Ta có v trái c a pt (1) g(t ) = t 4 − 5t 2 + t + 4, |t | ≥ 2 Có g (t ) = 2t (2t 2 − 5) + 1
Nh n xét:
+ t ≥ 2 ⇒ 2t (2t 2 − 5) ≥ 4(8 − 5) > 0 ⇒ g (t ) > 0
ma
+ t ≤ −2 ⇒ 2t ≤ −4; 2t 2 − 5 ≥ 3 ⇒ −2t (2t 2 − 5) ≥ 12 ⇒ 2t (2t 2 − 5) ≤ −12 ⇒ g (t ) < 0
L p BBT có giá tr nh nh t c a g(t) =-2 đ t đư c t i t = −2
xy
V y t pt(1) có + = −2 (∗)
yx
y1
x
Đ t u = ⇒ = ,u = 0
y xu
1
Lúc đó pt (∗) ⇔ u + = −2 ⇔ (u + 1)2 = 0 ⇔ u = −1 ⇔ x = −y
.
u
Thay x = −y vào pt(2) có :x6 + x2 − 8x + 6 = 0 ⇔ (x − 1)2 (x4 + 2x3 + 3x2 + 4x + 6) = 0
ww
⇔ (x − 1)2 x2 (x + 1)2 + 2(x + 1)2 + 4 = 0 ⇔ x − 1 = 0 ⇒ x = 1 ⇒ y = −1
V y hpt có duy nh t 1 nghi m (x; y) là (1; −1)
Bài 51.
(2x2 − 1)(2y2 − 1) = 7 xy
2
Gi i h phương trình:
x2 + y2 + xy − 7x − 6y + 14 = 0
Gi i
/w
D th y xy = 0 không th a mãn h .
1 1 7
2x − 2y − =
2
x y
V i: xy = 0 vi t l i h dư i d ng:
2 + y2 + xy − 7x − 6y + 14 = 0
x
2 + y2 + xy − 7x − 6y + 14 = 0 ( n x) có nghi m là:
ĐK đ phương trình x
7
∆1 = (y − 7)2 − 4y2 + 24y − 56 ≥ 0 ⇔ y ∈ 1;
3
p:/
2 + y2 + xy − 7x − 6y + 14 = 0 ( n y) có nghi m là:
ĐK đ phương trình x
10
∆2 = (x − 6)2 − 4x2 + 28x − 56 ≥ 0 ⇔ x ∈ 2;
3
1
Xét hàm s f (t ) = 2t − đ ng bi n trên (0; +∞)
t
7
Nên: ⇒ f (x) . f (y) ≥ f (2) . f (1) =
2
x=2
htt
K t h p v i phương trình th nh t ta đư c là nghi m c a h
y=1
Bài 52.
√
x + 2y3 − x = − 1 + 3 3 (1)
4
4
Gi i h phương trình:
y4 + 2x3 − y = − 1 − 3√3 (2)
4
16
- Gi i
.vn
−1
L y (1)+(2), ta có: x4 + 2x3 − x + y4 + 2y3 − y =
2
2 + x)2 − (x2 + x) + 1 + (y2 + y)2 − (y2 + y) + 1 = 0
⇔ (x
4 4
2 + x − 1 )2 + (y2 + y − 1 )2 = 0
⇔ (x
2√ 2
−1 − 3
x =
2√
⇔
th
−1 + 3
y =
2
Bài 53. Đ thi th l n 2 chuyên Lê Quý Đôn_ Bình Đinh
log (3x + 1) − log y = 3 (1)
√2 4
Gi i h phương trình: 2 −4y
+ 3log9 4 = 10
2 x (2)
ma
Gi i
1
x > − , y > 0, x 2 − 4y ≥ 0
Đk:
3 √
√
T pt(1) có: log2 (3x + 1) = 3 + log2 y ⇔ 3x + 1 = 4 4y (∗)
√ √
2 2
T pt(2) có: 2 x −4y + 2 = 10 ⇔ 2 x −4y = 8 ⇔ x2 − 4y = 3 ⇔ 4y = x2 − 9 (∗∗)
√ 19
Thay (∗∗) vào (∗) ta đư c: 3 x2 − 9 = 16(x2 − 9) ⇔ 7x2 − 6x − 145 = 0 ⇔ x = 5 ∨ x = − (lo i)
7
.
V i x = 5 ⇒ y = 4. V y h pt có 1 nghi m (x; y) là (5; 4)
Bài 54. √
ww
1
√ + y = 2 x + 2(1)
xx y
Gi i h :
√2
y( x + 1 − 1) = 3(x2 + 1)(2)
Gi i
√
√ √
x = −y(∗)
y + x 2(y + x)
(1) ⇔ ⇔
=
y = 2x(∗∗)
x y
V i (∗), ta d th y y < 0 , t c là VT c a (2) < 0, trong khi VP l i l n hơn 0 nên lo i!
/w
√ √
V i (∗∗), ta có: 2x( x2 + 1 − 1) = (x2 + 1) ⇔ 4x4 − 8x2 x2 + 1 − 3(x2 + 1) = 0 ( ĐK: x > 0 )
3 √
7
2 2 x2 + 1(i)
x − x +1 = 2
√ 72
2 − x2 + 1)2 = (x + 1) ⇔ √
⇔ 4(x
4 −7
2
x − x2 + 1 = x2 + 1(ii)
2
√
11 √ 11 √
−7
+ 1 < 0 Còn (i) ⇔ x4 − ( + 7)x2 − ( + 7) = 0
D th y (ii) vô nghi m b i vì
p:/
2 4 4
11 √
Đ tα= +7
4
−α + (α )2 + 4α
⇔x=
2
Bài 55.
2√2x + 3y + √5 − x − y = 7
Gi i h :
3√5 − x − y − √2x + y − 3 = 1
htt
Gi i
Bài 56. Bài h hay!
17
-
6x2 + y2 − 5xy − 7x + 3y + 2 = 0 (1)
.vn
Gi i h : x − y
= ln(x + 2) − ln(y + 2) (2)
3
Gi i
Đk: x > −2; y > −2
y = 3x − 2
T pt (1) có :y2 + (3 − 5x)y + 6x2 − 7x + 2 = 0 ⇔ (y − 3x + 2)(y − 2x + 1) = 0 ⇔
y = 2x − 1
T pt (2) có x − 3 ln(x + 2) = y − 3 ln(y + 2)
th
t −1
Xét hàm s y = f (t ) = t − 3ln(t + 2), t > −2 Có f (t ) =
t +2
T đó f (t ) = 0 ⇔ t − 1 = 0 ⇔ t = 1
L p BBT ta nh n có nh n xét hàm s y = f (t ) ngh ch bi n trên (−2; 1) và đ ng bi n trên (1; +∞)
T đó ta đi đ n các nh n xét sau:
ma
+ V i x = 1 ⇒ y = 1 ki m tra ta th y x; y th a h
+ V i x, y ∈ (−2; +∞), (x = 1) ⇒ f (y) > f (x)
Th t v y: vì y = 3x − 2 ∨ y = 2x − 1 ⇒ y − x = 2(x − 1) ∨ y − x = x − 1
Nh n th y
+ x > 1 ⇒ y > x ⇒ f (y) > f (x) do hàm s đ ng bi n trên kho ng (1; +∞)
+x < 1 ⇒ y < x ⇒ f (y) > f (x) do hàm s ngh ch bi n trên kho ng (−2; 1)
.
Do đó h pt đã cho có 1 nghi m (x; y) duy nh t là (1; 1).
ww
Bài 57. Trích đ h c sinh gi i Th a Thiên Hu 2008 - 2009 kh i chuyên.
2x + 4y = 32
Gi i h :
xy = 8
Gi i
Ta có x; y ph i là s dương. Vì n u x;√âm thì 2x + 4y < 2 < 32
y
√ √
x + 4y ≥ 2 2x+2y ≥ 2 22 2xy = 32
Khi đó ta có: 2
D u = x y ra khi x = 2y. Khi đó x = 4 và y = 2
/w
Bài 58. Trích đ h c sinh gi i Hà Tĩnh 2008 - 2009
x4 − 16 y4 − 1
=
8x y
Gi i h :
2
x − 2xy + y2 = 8
Gi i
p:/
Đi u ki n x = 0, y = 0
x
= f (y) (1)
Phương trình th nh t c a h có d ng f
2
4 −1 1
t
, t = 0. Ta có f (t ) = 3t 2 + 2 > 0
V i f (t ) =
t t
Suy ra hàm s f đ ng bi n trên các kho ng (−∞; 0) , (0; +∞)
Trên (−∞; 0)
√ √
x
(1) ⇔ = y, thay vào phương trình th hai c a h thu đư c: y2 = 8 ⇔ y = −2 2 ⇒ x = −4 2
2
htt
Trên (0; +∞)
√ √
x
(1) ⇔ = y, thay vào phương trình th hai c a h thu đư c: y2 = 8 ⇔ y = 2 2 ⇒ x = 4 2
2 √√ √ √
V y h có các nghi m (x; y) là 2 2; 4 2 , −2 2; −4 2
Bài 59. Trích đ h c sinh gi i C n Thơ 2008 - 2009 vòng 1
18
-
y2 − xy + 1 = 0
.vn
Gi i h :
x2 + y2 + 2x + 2y + 1 = 0
Gi i
Thay y2 + 1 = xy vào phương trình dư i ta đư c: x2 + xy + 2(x + y) = 0 ⇔ (x + 2)(x + y) = 0
N u x = −2 thì y = −1
±1
N u x = −y thì y = √
2
th
Bài 60. Trích đ h c sinh gi i Qu ng Bình 2008 - 2009 vòng 2
√
x2 + 2x + 22 − √y = y2 + 2y + 1
Gi i h :
y2 + 2y + 22 − √x = x2 + 2x + 1
Gi i
ma
Đi u ki n x ≥ 0, y ≥ 0, x = 0 ho c y = 0 đ u không th a h nênx > 0, y > 0.
Tr hai phương trình c a h theo v ta đư c
√ √ √
x2 + 2x + 22 + x + x2 + 2x + 1 = y2 + 2y + 22 + y + y2 + 2y + 1
√ √
Phương trình này có d ng f (x) = f (y) v i f (t ) = t 2 + 2t + 22 + t + t 2 + 2t + 1
t +1 1
Ta có f (t ) = √ + √ + 2t + 2 > 0
t 2 + 2t + 22 2 t
Suy ra f là hàm đ ng bi n ⇒ f (x) = f (y) ⇔ x = y
√
. √
Thay vào PT th nh t ta có x2 + 2x + 1 − x2 + 2x + 22 + x = 0
√ √
ww
Phương trình này có d ng g (x) = g (1) v i g (x) = x2 + 2x + 1 − x2 + 2x + 22 + x = 0,
x+1 x+1
1
g (x) = 2x + 2 + √ − √ > 2− √ >0
2x x2 + 2x + 22 √ x2 + 2x + 22
x2 + 2x + 1
|x + 1|
x+1
(Vì √ ≤√ =√ < 1) ⇒ g là hàm đ ng bi n nên g (x) = g (1) ⇔ x = 1
x2 + 2x + 22 x2 + 2x + 22 x2 + 2x + 22
V y phương trình có nghi m là (x; y) = (1; 1)
/w
p:/
htt
19
nguon tai.lieu . vn
