Xem mẫu
- www.VNMATH.com
SỞ GD & ĐT THANH HÓA
TRƯỜNG THPT TĨNH GIA 3
=========***=========
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12
MÔN: TOÁN
Thời gian: 180 phút
Câu1: (6 điểm)
Cho hàm số y= x3 + 4x2 + 4x +1.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
b) Cho M(x0;y0) trên đồ thị. Một đường thẳng d thay đổi đi qua M cắt đồ thị
tại M1 và M2 khác M. Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn M 1M2.
c) Tìm a sao cho tồn tại 2 tiếp tuyến cùng hệ số góc a của đồ thị hàm số, gọi
các tiếp điểm là M3 và M4. Viết phương trìng đường thẳng chứa M 3 và
M4.
Câu 2: ( 5 điểm)
Giải các phương trình sau:
a) tgxsin2x - 2sin2x = 3 (Cos2x + sinxcosx) (1)
2 x
4 X = (2x – x +1)2
2
b) (2)
Câu 3: ( 4 điểm)
Tính tích phân sau:
2
sin x
I= sin
0
3
x cos 3 x
dx
Câu 4: ( 5 điểm)
Cho tứ diện ABCD có tâm mặt cầu ngoại tiếp O. Tìm các điểm M trong
không gian sao cho 4 trọng tâm của tứ diện MBCD; MCDA; MDAB; MABC cách
đều điểm O.
- www.VNMATH.com
ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI KHỐI 12
MÔN: TOÁN
Câu 1: ( 6 điểm)
a) ( 2 điểm)
TXĐ: D =R (0,25đ)
Chiều biến thiên:
y’ = 3x2 + 8x + 4
2
y’ = 0 x = -2; x= -
3
2 2
Hàm số đồng biến (- ; -2) ( ;) , nghịch biến (2; ) (0.25).
3 3
Cực đại, cực tiểu:
Cực đại tại :) xCĐ = -2; yCĐ = 1.
2 5
Cực tiểu tại: xCT = - ; yCT = -
3 27
Giới hạn lim y ; lim y (0.25đ)
x x
Tính lồi lõm và điểm uốn:
4
y’’ = 6x + 8 = 0 x= -
3
4 4
Hàm sô lồi từ (- ; ), lõm (- ; + )
3 3
4 11
Điểm uốn: I(- ; ) (0.25đ)
3 27
Bảng biến thiên: (0,5đ)
- www.VNMATH.com
x - -2 -
4
-
2
+
3 3
y’ + 0 - - 0 +
y 1 +
11
27
5
-
27
Đồ thị (0,5 đ)
4
2
-5 A 5
-2
-4
-6
b) ( 2điểm)
Gọi d qua M có hệ sô gọc k :
d: y=k(x-x0) + y0 (0,25đ)
Hoành độ giao điểm của đồ thị với đường thẳng d là nghiệm của
phương trình: x3 + 4x2 + 4x +1 = k(x-x0) + x03 + 4x02 + 4x0 +1
x=x0 (0, 5 đ)
- www.VNMATH.com
x2 + ( 4 + x0)x + x02 + 4x0 + 4 – k = 0 (1)
Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình (1) => x1, x2 lần lượt là hoành độ
của M1, M2 =>
x0 4
xI = - (0,75 đ)
2
3x0 4
yI = y0 + k( )
2
x0 4
I x=
2
Giới hạn: (1) có 2 nghiệm phân biệt 0
f(x0) 0
3x0 8 x0
2
k> (0,5)
4
k x0 2 8 x0 4
c) ( 2đ)
Để thỏa mãn YCBT:
y’ = 3x2 + 8x + 4 = a có 2 nghiệm phân biệt (0,25đ)
4
a> - (0,25đ)
3
x 4 8x 7
Nhận xét: x3 + 4x2 + 4x + 1 = (3x2 + 8x +4)( )- (0,5đ)
8 9 9
Gọi M3(x3; y3), M4(x4; y4)
x3 4 8 x3 7
y3 = a( ) (0,5đ)
8 9 9
x4 4 8x4 7
y4 = a( )-
8 9 9
Vậy phương trình đường thẳng đi qua M3; M4 là:
x 4 8x 7
y= a( ) + (0,5đ)
8 9 9
Câu 2: (4 đ)
- www.VNMATH.com
Đ/K : x k (k z ) (0,25đ)
2
Chia 2 vế của phương trình cho cos2x
(1) tg3x -2tg2x = 3(1-tg2x+tgx) (1đ)
tgx=-1 x=- k (k z ) (0,5đ)
4
tgx= 3 x= k (k z ) (0,5đ)
3
Vậy nghiệm của phương trình :
x=- k (k z )
4
x= k (k z ) (0,25đ)
3
a) (2) 2 2 x x 2 x 2 x 1 (0.5đ)
2
1
Đặt 2x2 – x = t (t ) (0.25đ)
8
Phương trình trở thành:
2t t 1
2t t 1 0
Khảo sát f(t) = 2t t 1 (0.25đ)
1
f’(t) = 2tln2 – 1 =0 2t = =
ln 2
t
f’(t) - 0 +
f(t)
Quan sát bản bíên thiên nhận thấy phương trình có tối đa 2 nghiệm t. (1đ )
Mặt khác f(0) = f(1) = 0
Phương trình có 2 nghiệm t = 0; t= 1 (0.25đ)
- www.VNMATH.com
1
x= 0 ; x= ; x=1 (0.25đ )
2
Câu 3: (4 đ)
2
cos x
Xét J= sin
0
3
x cos 3 x
dx (0.25đ)
Ta CM được I = J (đặt x= t ) (0.75đ)
2
2 4 2
dx dtgx d cot gx
I+J =
0
sin x sin x cos x cos 2 x
2
= tg 2 x tgx 1 cot g 2 x cot gx 1
0
(0.75đ)
4
Đặt tgx(cotgx) = t
1
1 d (t )
1
dt
I + J = 2 2 =2 2 (0.75đ)
0 t t 1
1 2 3
0 (t )
2 4
1 3
Đặt t - = tgy
2 2
4
=> I + J = (0.75đ)
3 3
2
=> I= (0.75)
3 3
Câu 4: ( 6 điểm)
Đặt x OM 4OG (0.5đ)
Gọi A’, B’, C’, D’ lần lượt là trọng tâm của các tứ diện MBCD;
MCDA; MDAB; MABC
Ta có 4OA' OM OB OC OD OM 4OG OA x OA (1đ)
4 OB' = x OB
4OC ' x OC
4OD' x OD (1đ)
- www.VNMATH.com
Ta có: OA’ =OB’= OC’ = OD’
2 2 2 2
16OA' 16OB' 16OC' 16OD'
( x OA) 2 ( x OB) 2 ( x OC) 2 ( x OD) 2 xOA xOB xOC xOD
=> x 0 (1.5đ)
=> OM 4OM O
=> GM 5GO (0.5đ)
Vậy có 1 điểm M thoả mãn điều kiện đề ra. (0.5đ)
- SỞ GD & ĐT THANH HOÁ
TRƯỜNG THPT NÔNG CỐNG I
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI KHỐI 12 (BẢNG A)
MÔN: TOÁN
THỜI GIAN: 180'
1 1
Bài 1:(4 điểm). Cho hàm số: y x 3 mx 2 2 x 2m (cm)
3 3
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1.
5
2. Tìm m (0; ) sao cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (Cm), và các đường
6
thẳng: x=0; x=2; y=0 có diện tích bằng 4.
Bài 2: (4 điểm).
1. Giải các phương trình: 3 tgx 1 (sin x + 2cos x)=5(sin x +3cos x).
x
2. giải phương trình: log22 x + x.log7(x + 3)= log2x [ + 2.log7(x + 3)]
2
Bài 3: ( 4 điểm).
1. Tìm a để phương trình sau có nghiệm.
a a sin x = sin x
2. Tìm a để phương trình sau có đúng 3 nghiệm phân biệt.
x3 1 x2 1 x 1
2(a 1) 4(1 a). 4a 6 0
x x x x
Bài 4( 4 điểm).
1. Cho ABC nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O bán kính R. Gọi R 1,
R2, R3 lần lượt là các bán kính đường tròn ngoại tiếp các tam giác BOC,
COA, AOB. Cho biết: R1+R2+R3 = 3R. Tính 3 góc của ABC
2. Cho (E): x2 + 4y2 = 4 . M là điểm thay đổi trên đường thẳng y=2. Từ M kẻ
đến (E) hai tiếp tuyến. Gọi các tiếp điểm là T1, T2. Tìm vị trí của M để
đường tròn tâm M tiếp xúc với đường thẳng T1, T2 có bán kính nhỏ nhất.
Bài 5:( 4 điểm).
1. Cho hàm số f(x) xác định và dương trên R thỏa mãn:
f '2 ( x) 4 f ' ( x). f ( x) f 2 ( x) 0
f (0) 1
Tìm hàm số f(x).
2. Cho tứ diện ABCD có trọng tâm là G. Các đường thẳng AG, BG, CG, DG
kéo dài lần lượt cắt mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ở A1, B1, C1, D1
CMR: GA1 GB1 GC1 GD1 GA GB GC GD
- ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM
Đáp án Thang
điểm
x3 7
Bài 1: 1.Khi m=1. y x 2 2x
3 3
TXĐ : D = R
x 1 3
+ y ' x 2 2x 2
y' 0
x 1 3
0,5
Hàm số đồng biến (-∞; -1- 3 ) (-1+ 3 ; +∞)
Hàm số nghịch biến ( -1- 3 ;1+ 3 )
yCĐ = y(-1- 3 ) = yCT = y(-1+ 3 ) =
y '' 2 x 2 ; y '' 0 x 1.
Đồ thị hàm số lồi trên (-∞; -1)
Đồ thị hàm số lõm trên (-1;-∞) 0.5
7
Nhận I(-1, ) làm điểm uốn
3
+ Lim x y ; Lim x y
Bảng biến thiên
x -∞ -1- 3 -1+ 3 +∞
y’ + 0 - 0 + 0,5
y CĐ +∞
-∞ CT
Đồ thị:
0.5
x3 1
2. Xét phương trình : mx 2 2 x 2m 0 trên [0; 2]
3 3
- x3 1
Đặt f ( x) mx 2 2 x 2m 0; f ' ( x) x 2 2mx 2.
3 3 0.5
Phương trình: f ' ( x) 0 luôn có hai nghiệm trái dấu x1
- x 0
x 0
+ Giải (1) ln x ln x
x2 2 x 2
x
(1' )
ln x
Xét hàm số: f ( x) trên (0;+∞) ;
x
1 ln x
f ' ( x) ; f ' ( x) 0 x e
x2
Bảng biến thiên.
x 0 e
f’ - 0 1. +
0.5
f
1
e
Từ bảng biến thiên hệ (1’) có không quá 2 nghiệm: Nhận thấy x=2;
x=4 thỏa mãn (1’).
Vậy phương trình (1) có nghiệm x=2; x=4.
+ Giải (2).
4 3
Đặt: log 2 x 2 log 7 ( x 3) 2t 7 t 4 t 3 1 ( ) t . (2' )
7 7t
Xét hàm số:
4 3
g (t ) ( ) t t . luôn nghịch biến (2’) có nghiệm duy
0.5
7 7
nhất t =1
Vậy (2) có nghiệm x =2
+ KL: Phương trình đã cho có 2 nghiệm: x = 2; x=4
0.5
Bài 3:
0 t 1
1. + Đặt sinx = t có phương trình đã cho
a a t t
2 0.5
+ Đặt: a t y 0 hệ trên
y 0 ;0 t 1 y 0; 0 t 1 y 0 ;0 t 1
a y t 2
a y t 2
t y 0.5
a t y 2 (t y )(t y 1) 0 t 2 t a
+ Xét hàm số: f(t)= t2 – t trên [0;1].
1 1 1
có: f ' (t ) 2t 1 ; f ' (t ) 0 t f (0) f (1) 0 ; f ( )
2 2 4
Hệ trên có nghiệm khi đường thẳng y=a cắt đường cong y=f(t)= t 2-t
- 1
trên [0;1] a 0 0.5
4
1
Kết luận: Phương trình đã cho có nghiệm khi 4 0
4
0.5
2. ĐK : x>0.
1
+ Đặt: x t (đk :t 2) với t =2 cho giá trị x=1
x
(*) 0.5
với t>2 cho giá trị x>0
t 2 x 1
t 2
+ Ta có : (1) f (t ) t 2 2at 1 0
(t 2)(t 2at 1) 0 t 2
2
0.5
+ Do (*) nên để phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt thì PT (1)
phải có đúng 1 nghiệm t>2
Nhận xét: Tính a.c =1 vậy để phương trình (1) có đúng 1 nghiệm t>2
thì (1) phải có nghiệm các trường hợp sau:
0
a 2 VN
t1 2 t 2 VN 0.5
t1 2 t 2 5
f (2) 0 a
4
Kết luận: Để phương trình đã cho có đúng 3 nghiệm phân biệt thì :
5
a<
4
0.5
Bài 4:
1. Theo định lý hàm số sin cho BOC ta có:
a a 2 R sin A R
2 R1 2 R1 R1
sin BOC sin 2 A sin 2 A 2 cos A
R R
Tương tự choCOA, AOB : R2 ; R3 0.5
2 cos B 2 cos C.
1 1 1
+ Vậy có: 6. (1)
cos A cos B cos C
1 1 1 9 9 0.5
+ Dễ có : 6 (Do ABC
cos A cos B cos C cos A cos B cos C 3
2
nhọn).
- 3
+ ( Phải chứng minh : cos A cos B cos C ) 0.5
2
+ Vậy (1) CosA CosB CosC A B C 60 o
x2
2. (E): y 2 1 M đường thẳng y 2 M(a;2) 0.5
4
+ Gọi T1(x1,y1); T2(x2,y2) là các tiếp điểm tiếp tuyến tại T1, T2 là: 0.5
xx
1: 1 y. y1 1
4
x2 x
2 : y. y 2 1
4
a.x1
4 2 y1 1
Do 1; 2 đi qua M(a, 2)
a.x 2 2 y 1
4
2
0.5
Nhận xét : T1, T2 có tọa độ thỏa mản phương trình đường thẳng
a.x
: 2y 1
4
Vậy phương trình đường thẳng T1, T2 là; ax + 8y – 4 =0.
+ Đường tròn tâm M tiếp xúc T1, T2 có bán kính là:
a 2 12
R d (M )
T1T2 a 2 64
a 2 12
R
a 2 64
t 12
+ Ta tìm a để R nhỏ nhất : Đặt a 2 t 0 R f (t )
t 64
t 116 3
f ' (t ) 0 t 0 R min f (0) 0.5
2 (t 64) 3 2
đạt được khi : t=0 a=0
+ Kết luận: vậy điểm M(0;2).
Bài 5 :
1. Từ:
0.5
- f ' ( x) (2 3 ) f ( x)
f ( x) 4 f ( x) f ( x) 0
'2 ' 2
f ( x) (2 3 ) f ( x)
'
f ' ( x)
2 3 (1)
f ( x)
' ( do f ( x) 0)
f ( x)
2 3 (2) 0.5
f ( x)
f ' ( x)
+ Xét (1) Có: f ( x)
dx (2 3 )dx ln f ( x) (2 3 ) x C1
f ( x) e ( 2 3 ) x C1
do f (0) 1 e C1 1 C1 0
+ Vậy: f ( x) e ( 2 3 ) x
0.5
+ Xét (2) tương tự : ta được kết quả : f ( x) e ( 2 3 ) x.
Đáp số: f ( x) e( 2 3 ) x.
hoặc f ( x) e ( 2 3 ) x.
0.5
2. Gọi O là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD 0.5
Có: OA OG GA OA2 OG 2 GA2 2OG.GA
Tương tự ta có: OB 2 OG 2 GB 2 2OG.GB
OC 2 OG 2 GC 2 2OG.GC 0.5
OD OG GD 2OG.GD
2 2 2
+ Từ trên : 4( R 2 OG 2 ) GA2 GB 2 GC 2 GD2
+ Lại có : GA.GA1= GB.GB1=GC.GC1=GD.GD1=R2 – OG2
1 1 1 1
Vậy : GA1 GB1 GC1 GD1 ( R 2 OG 2 )( ) 0.5
GA GB GC GD
1 1 1 1 1
(GA2 GB 2 GC 2 GD 2 ).( )
4 GA GB GC GD
+ áp dụng Bunhia và cosi có:
1 1 1 1 1
GA1 GB1 GC1 GD1 (GA GB GC GD) 2 ( )
16 GA GB GC GD
GA GB GC GD
0.5
Dấu bằng xảy ra GA GB GC GD Tứ diện ABCD gần đều
hoặc tứ diện ABCD đều
- 0.5
- SỞ GD ĐT THANH HÓA ĐỀ XUẤT ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
LỚP 12
Môn: Toán - Bảng A
Thời gian làm bài: 180 phút
Bài 1: Cho phương trình:
m.Cosx + Cos3x - Cos2x =1
1) Giải phương trình trên với m=1.
5
2) Tìm m để phương trình đã cho có đúng 8 nghiệm phân biệt x ;
2 2
Bài 2:
1) Giải phương trình (Sin)x + (tg)x = ()x
(với x là tham số, 0 < x < )
2
2) Tìm a để phương trình sau có đúng 3 nghiệm phân biệt.
1
32-x - Sin a +1. log (x2 + 4x + 6) + ( 3) x 4 x .log
2
=0
2( x Sina 1 1)
Bài 3: Với mọi ABC, k 0, . Chứng minh:
3
4
A B B C CA
Cos Cos Cos Cosk ( A ) Cosk ( B ) Cosk (C )
2 2 2 3 3 3
a1 ; b1 0
1
Bài 4: Xét hai dãy số: an ;bn ; voi ai 1 bi a
i
1
bi 1 ai (i=1, 2...)
bi
Chứng minh (a2006 + b2006)2 > 16039
Bài 5: Cho tứ diện ABCD
1) Gọi i (i= 1, 2, …, 6) là độ lớn các góc nhị diện có cạnh lần lượt là các
cạnh của tứ diện
6
Chứng minh: Cos
i 1
i 2.
2) Gọi G là trọng tâm của tứ diện; mặt phẳng () quay quanh AG, cắt DB tại
M và cắt DC tại N. Gọi V, V1 lần lượt là thể tích của tứ diện ABCD và
DAMN. Chứng minh:
- 4 V1 1
9 V 2
3) Gọi diện tích các mặt đối diện với các đỉnh A, B, C, D của tứ diện lần lượt
là: Sa, Sb, Sc, Sd. I là tâm hình cầu nội tiếp tứ diện ABCD. Chứng minh:
Sa .IA Sb .IB Sc .IC Sd .ID 0
- HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12
Môn: Toán. Bảng A
Câu Nội dung Điểm
Bài 1 5
1 3
Cosx 0 1
Với m =1; Phương trình
4Cos x 2Cosx 2 0
2
Cosx 0 x= 2 k
Cosx 1 x k 2
1 2
Cosx x k 2
2 3 2
2 2
Cosx 0
Phương trình
4Cos x 2Cosx m 3 0
2
3
* Cosx =0 Có 2 nghiệm: x ; x= 0,5
2 2
* Ycbt 4Cosx - 2 Cosx +m - 3 =0
2
Cosx t (-1 t 1)
f (t ) 4 t 2 t m 3
2
0,5
1 t1 0 t2 1: (a)
Có 2 nghiệm t1, t2 thỏa mãn:
0
- Sin tg
nên: 1 : 0,
2 0,5
x =0: VT =2 > VP
Khi đó x >0: VT > VP Vậy phương trình vô nghiệm
x VP
2 2
Đặt Sina -1 =m (-2 m 0)
x 2 4 x 6 2
ta luôn có: xR thì: nên TXĐ của phương trình là R 0,5
2 x-m 2 2
3
2 x m 2
4 x 6
Ta có phương trình ( 3) x .log ( x 2 4 x 6) log (2 x m 2)
2
0,25
2; +
t
Xét hàm số: f(t) = 3 log (t ) :
là hàm số đồng biến với x[2; +) 0,5
nên phương trình x2 + 4x +6 = 2 x-m +2 (*)
x 2 2 x 2m 4 0 : (1)
2
x 6 x 4 2m 0 : (2)
Theo yêu cầu bài toán (*) có 3 nghiệm phân biệt 0,25
(1) cã nghiÖm kÐp x 0 ;(2) cã 2 nghiÖm x 0
(2) cã nghiÖm kÐp x 0 ;(1) cã 2 nghiÖm x1
(1), (2) cã 1 nghiÖm chung; 2 nghiÖm cßn l¹i kh¸c nhau 0,25
3
m
2
m
5
2 (loại) 0,25
m 2
Vậy theo yêu cầu bài toán:
a=- 6 k 2
3
Sina 1 2 a -
5
k ' 2
6
Sina 1 2
a - k "2
2
Có 3 họ giá trị của a cần tìm 0,25
- Bài 3 2
AC AC 0,5
Mọi ABC có 0 Cos 1 (1)
4 4 4 4
3 1
mà: 0 k. B B 3B
3 4 3 4 2
3 0,5
nên: Cosk. B Cos B 0 (2)
3 4 3
Ta có:
1 AC B C AC A C 2B
C os 2 C os 2 C os 4 .Cos
2 4
AC 3B AC 3
C os Cos C os Cos B Cosk . B Cosk B : (a) 0,5
4 4 4 4 3 3 3
Chứng minh tương tự có:
1 B C C A
2C os 2 C os 2 Cosk C 3 : (b)
CA A B
và C os
1
C os Cosk A 3 : (c)
2 2 2
Từ (a), (b), (c) suy ra (đpcm)
Dấu "=" khi A=B = C= ABC đều
3 0,5
Bài 4 2
Ta có Si = (ai + bi) (i=1,2,3….)
Thì
2
1 1
Si+1 = (a i+1 + bi+1 ) = ai bi : (i=1,2,....)
2
ai bi
2
1 1 1 1
= ai bi +2 ai bi
2
ai bi ai bi 0,5
2
1 1
ai bi 8 ai bi 8
2 2
0,5
ai bi
nên ta có: (a1 + b1)2 > 0
(a2 +b2)2 > 0
(a2 +b2)2 > (a1 + b1)2 + 8
……………………….
nguon tai.lieu . vn
