10 Bài toán tư duy thử trí thông minh THCS - Nguyễn Đức Tấn

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

10 BÀI TOÁN TƯ DUY THỬ TRÍ THÔNG MINH THCS
Bài 1: Trong một kỳ thi trắc nghiệm có 5 câu hỏi, thí sinh dự thi chỉ cần trả lời “Có” hoặc “Không” cho mỗi
câu. Hãy chứng minh rằng nếu biết được các thông tin sau về câu trả lời cho mỗi câu hỏi:
a) Câu 1 và câu 5 cần trả lời trái ngược nhau.
b) Câu 2 và câu 4 cần trả lời giống nhau.
c) Câu 4 trả lời “Có” thì câu 5 trả lời “Không”
d) Số câu trả lời “Không” ít hơn số câu trả lời “Có”.
Thì một thí sinh dự thi có thể trả lời đúng ít nhất bốn câu hỏi.
Bài giải:
Giả sử câu 2 trả lời “Không” từ b) câu 4 trả lời “Không” kết hợp d) suy ra các câu 1; 3; 5 trả lời “Có”. Mâu
thuẫn a). Vậy câu a phải trả lời “Có” kết hợp b) câu 4 trả lời “Có” và từ e) câu 5 trả lời “Không” kết hợp a) câu
1 trả lời “Có”
Như vậy một thí sinh dự thi có thể trả lời đúng ít nhất 4 câu hỏi.
Bài 2: Ông Tư mỗi ngày chơi ít nhất 1 ván cờ tướng, nhưng vì muốn chơi đúng mức để tập luyện nên mỗi
tuần chơi không quá 12 ván. Hãy chứng tỏ rằng có một thời gian và ngày liên tiếp mà trong vòng những ngày
này ông Tư chơi đúng 20 ván cờ.
Bài giải:
3

Giả sử vào ngày thứ hai ông Tư chơi a1 ván, chơi a2 ván trong suốt ngày thứ hai và thứ ba, a ván trong suốt
ngày thứ ba ngày đầu,…chơi a77 ván trong suốt 77 ngày.
Nhận ra rằng trong 154 số a1 ,a2 ,a3 ,..., a77 ;a1  20,a2  20,a3  20;..., a77  20 mà mỗi số không lớn hơn
12.11 + 20 = 152. Do vậy ít nhất hai số trong 154 số này bằng nhau. Mỗi ngày chơi ít nhất 1 ván nên trong các
số a1 , a2 , a3 ,...,a77 không có hai số nào bằng nhau và như vậy trong các số

a1  20, a2 , 20a3  20,...,a77  20 cũng không có hai số nào bằng nhau.
Vậy với số m và n nào đó ta phải có:

am  an  20  am  an  20 (m  n).
Từ đó ta có đều cần chứng minh.
Bài 3: Hai học sinh thoả thuận với nhau một quy ước về chơi bài như sau:
- Chơi 10 ván không kể những ván hoà.
- Sau mỗi ván, người thắng được 1 điểm, nhưng nếu số quân ăn được nhiều hơn thì được 2 điểm.
- Người thắng cuộc là người được nhiều điểm hơn.
Sau cuộc chơi kết quả B thắng. Hai người được cả thảy 13 điểm, nhưng số ván thắng của B ít hơn của A.
W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Hỏi mỗi người thắng mấy ván?
Bài giải:
Hai người chơi 10 ván, số ván thắng của B ít hơn của A. Vậy số ván thắng của B nhiều nhất là 4. Mà số ván
thắng của B không thể ít hơn 4 vì nếu số bán thắng tối đa là 3 thì số điểm tối đa của B chỉ là 6, ít hơn nữa tổng
số điểm của hai người (13 điểm). Trái giả thiết là B thắng. Vây B thắng 4 ván, A thắng 6 ván.
Bài 4: Có một số dây dài

2
7
m. Hãy tìm cách cắt để được
m mà không cần thước đo.
3
12

Bài giải:
Lấy ra

7
(m) thì sợi dây còn lại:
12

2 7
8 7
1
2
1
    (m) mà : 8 
3 12 12 12 12
3
12
Từ dây ta có cách cắt như sau: gập đôi sợi dây rồi gập một lần nữa rồi lại gập đôi một lần nữa để tìm được
của sợi dây

Cắt rời

1
8

2
(m).
3

1
2
7
của sợi dây (m), phần còn lại chính là đoạn dây dài là
(m) cần có.
8
3
12

Bài 5: Bốn con ếch nằm ở đáy của một cái giếng sâu 40m. Trong một ngày chúng bò lên được 16m mỗi con.
Sau đó con thứ nhất bị tụt xuống 14m, con thứ hai bị tụt xuống 13m, con thứ ba bị tụt xuống 12m, con thứ tư
tụt xuống 10m. Ngày hôm sau chúng lại tiếp tục bò.
Hỏi cần mấy ngày thì mỗi con ếch này ra khỏi được miệng giếng?
Bài giải:
Ngày cuối cùng mỗi con ếch bò lên được 16m và ra khỏi miệng giếng.
Trong những ngày trước đó mỗi ngày:
Con ếch thứ nhất bò lên được 16 - 14 = 2(m).
Con ếch thứ hai bò lên được 16 - 13 = 3(m).
Con ếch thứ ba bò lên được 16 - 12 = 4(m).
Con ếch thứ tư bò lên được 16 - 10 = 6(m).
Không tính ngày cuối cùng::
Con ếch thứ nhất đã leo trong (40-16) : 2 = 12 (ngày).
Con ếch thứ hai đã leo trong (40-16) : 3 = 8 (ngày)

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Con ếch thứ ba đã leo trong (40-16) : 4 = 6 (ngày).
Con ếch thứ tư đã leo trong (40-16) : 6 = 4 (ngày).
Như vậy để bò ra khỏi được miệng giếng:
Con ếch thứ nhất cần 12 + 1 = 13 (ngày).
Con ếch thứ hai cần 8 + 1 = 9 (ngày).
Con ếch thứ ba cần 6 + 1 = 7 (ngày).
Con ếch thứ tư cần 4 + 1 = 5 (ngày).
Bài 6: Trong kỳ thi tuyển sinh chọn học sinh giỏi Toán, Trinh nhìn đồng hồ và bắt đầu làm bài. Khoảng hơn 2
giờ sau thì làm bài xong. Trinh nhìn lại đồng hồ thì thấy kim giờ và kim phút đã đổi chỗ cho nhau. Trinh đã
giải bài thi trong thời gian bao nhiêu?
Bài giải:
Trinh đã làm bài thi khoảng hơn 2 giờ nên trong khoảng thời gian này kim phút đã quay hơn 2 vòng nhưng
chưa đến 3 vòng.
Khi xong bài thi kim giờ và kim phút đổi vị trí cho nhau, như vậy tổng số vòng quay của kim giờ và kim phút
là đúng 3 vòng.
Vận tốc quay của kim phút bằng 12 lần vận tốc quay của kim giờ nên trong thời gian Tring làm bài thi thì kim
phút đã quay được: (3.12):(12  1) 

Thời gian để kim phút quay

36
(vòng)
13

36
vòng là:
13

36
 2 giờ 46 phút 9 giây.
13
Vậy Trinh đã giải bài thi trong vòng thời gian 2 giờ 46 phút 9 giây.
Bài 7: Trong 15 giây bạn có thể viết phân số sau dưới dạng phân số tối giải không?

122436123636
316293319393
Sau 15 giây mà vẫn không giải được bạn có còn “ráng thêm” nữa không?
Nếu bạn vẫn chưa tìm được lời giải đáp thì mời bạn hãy xem lời giải bài toán này và tin chắc rằng bạn sẽ
thích thú.
Bài giải:
Bạn có thấy?

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

12

12x 2

12x3

12

12x3

12x3

12
31

24
62

36
93

12
31

36
93

36
93

31

31x3

31x3

31
Do vậy

31x12 31x3

122436123636 12x10203010303 12

 .
316293319393 31x10203010303 31

Bài 8: Phượng đang tính tổng sau:

672953
107297
528468
 325874
327046
892702
471531
Ngồi kề bên Phượng là Hoà. Hoà đã xem đầu bài xong và nói kết quả là 3325871. Rất chính xác! Bạn biết bạn
Hoà tính thế nào không?
Bài giải:
Do Hoà đã phát hiện được rằng:

672953

+999999

107297
528468
 325874

+999999

327046
892702

+999999

471531
Kết quả của tổng tìm được dựa vào số còn thừa 325874 mà đến với kết quả là 3325871 (thêm số 3 vào đằng
trước số 32874 rồi bớt số này đi 3 đơn vị.
Bài 9: Chứng tỏ rằng bàn cờ 100 x 4 không thể phủ kín bởi các quân đôminô.
Bài giải:
Bàn cờ 100 x 4 khi được chia đôi bởi bất kỳ đường giới hạn nào thì mỗi phần cũng một số chẵn ô.
Giả sử bàn cờ này được phủ kín bởi các quân đôminô và không chồng lên nhau thì ở mỗi phần ở hai loại o:
-

Loại I: bị phủ bởi quân đôminô không bị cắt.
Loại II: bị phủ bởi quân đôminô bị cắt.

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Dễ thấy số ô của loại I là số chẵn vì mỗi quân đôminô không bị cắt sẽ phủ kín 2 ô của bàn cờ. Mà tổng số của
hai loại ở mỗi phần là số chẵn, do đó số ô loại II ở mỗi phần cũng chẵn. Suy ra số các quân ddoominoo bị cắt
là số chẵn. Như vậy nếu tất cả 102 đường giới hạn nào cũng cắt quân đôminô thì ít nhất trên bàn cờ được
phải có 102 x 2 = 204 quân đôminô. Mâu thuẫn vì bàn cò được phủ kín bởi 200 quân đôminô.
Vậy ít nhất phải có đường giới hạn không cắt quân đôminô nào. Do vậy bàn cờ này không thể phủ kín bởi các
quân đôminô.
Bài 10: Trên bàn cờ kỳ lạ 1999 x 1999 ô vuông có một con mã ở một ô nào đó. Hỏi con mã có thể qua tất cả
các ô, mỗi ô đúng một lần rồi trở lại về ô ban đầu hay không?
Bài giải:
Câu trả lời là KHÔNG! Thật vậy:
Ta tô màu bàn cờ bằng hai màu trắng, đen xen kẽ nhau (hai ô có cạnh chung có màu khác nhau).
Nhận xét rằng: Nếu lúc đầu con mã ở ô đen, sau một bước nhảy nó ở ô trắng và nếu lúc đầu nó ở ô trắng, sau
một bước nhảy nó ở trên ô đen.
Không mất tính tổng quát, giả sử lúc đầu con mã ở ô trắng. Theo nhận xét trên khi con mã nhảy được số lẻ
bước nó sẽ ở ô đen (*).
2

Muốn con mã nhảy qua tất cả các ô mỗi ô đúng một lần, rồi trở về lại ô ban đầu nó phải nhảy đúng 1999
bước nhảy, tức, tức một số lẻ bước.
Theo(*) lúc này nó ở ô đen không phải là ô ban đầu!
Vậy ta có đều phải chứng minh.

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807