Xem mẫu
- www.truongthi.com.vn Lớp học qua mạng
ĐẠI SỐ - BÀI 18
SỬ DỤNG CÁC ĐỊNH LÝ VÈ TAM THỨC BẬC HAI ĐỂ
CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
2
Các định lý được sử dụng (với f (x) = ax + bx + c ; a ≠ 0)
2
1. af(x) > 0 với mọi x ⇔ ∆ x = b − 4ac < 0 .
2
2. af(x) ≥ 0 với mọi x ⇔ ∆ x = b − 4ac ≤ 0 .
Nếu af(x) ≥ 0 với mọi x thì f(x) = 0
∆ x = 9
⇔ b
x = − 2a
3. Nếu tồn tại α sao cho af(α) < 0 thì f(x) có 2 nghiệm x1 , x 2 thỏa mãn
x1 < α < x 2 .
4. Nếu tồn tại α, β (α < β) sao cho f (α).f (β) < 0 thì f(x) có một nghiệm thuộc (α
; β) và một nghiệm ngoài [α ; β].
Thí dụ 1 : Chứng minh rằng : Nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thì
2 2 2 2 2 2
với mọi x ta có : b x + (b + c − a )x + c > 0.
2 2
Phân tích : Vế trái là tam thức bậc hai f(x) với hệ số của x là b > 0 nên có
ngay lời giải.
2 2 2 2 2 2
Giải : f(x) > 0 với mọi x ⇔ ∆ x < 0 ⇔ (b + c − a ) − 4b c < 0 ⇔
(b 2 + c 2 − a 2 + 2bc)(b 2 + c 2 − a 2 − 2bc) < 0
2 2 2 2
⇔ [(b + c) − a )][(b − c) − a ] < 0
⇔ (b + c + a)(b + c − a)(b − c + a)(b − c − a) < 0
⇔ (a + b + c)(b + c − a)(b + a − c)(c + a − b) > 0
Vì a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác nên bất đẳng thức cuối cùng hiển
nhiên đúng.
Chú ý : Ngược lại, các bạn có thể chứng minh được nếu các số dương a, b, c
thỏa mãn f(x) > 0 với mọi x thì a, b, c chính là độ dài 3 cạnh của một tam giác.
3
Thí dụ 2 : Cho a > 36 và abc = 1.
Môn Toán Tiến sĩ Lê Thống Nhất
Nhà xuất bản Giáo dục
- www.truongthi.com.vn Lớp học qua mạng
a2
Chứng minh : + b 2 + c2 > ab + bc + ca (*)
3
1
Phân tích : bc = nên bất đẳng thức cần chứng minh vì đối xứng với b và c
a
nên có thể viết về dạng tam thức bậc hai đối với b + c.
2 a2 3
Giải : (*) ⇔ (b + c) − a(b + c) + − >0
3 a
2
2 a2 a2 3 a a 3 − 36
⇔ (b + c) − a(b + c) + + − > 0 ⇔b + c − + >0
4 12
a 2 12a
3
Với a > 36 thì bất đẳng thức trên luôn đúng.
Chú ý : Khi không muốn diễn đạt bởi "ngôn ngữ" biệt thức ∆ thì các bạn có thể
dùng kỹ thuật "tách bình phương" như lời giải trên.
Thí dụ 3 : Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta có :
3
cos A + cos B + cos C ≤ (**)
2
A+B
Phân tích : Vì cosA + cosB = 2 cos
2
A−B C A−B 2C
cos = 2sin cos và cosC = 1 − 2 sin nên có thể làm xuất
2 2 2 2
C
hiện tam thức bậc hai đối với sin .
2
C A−B C 3
Giải : (**) ⇔ 2sin cos + 1 − 2sin 2 ≤
2 2 2 2
2 C C A−B 1
⇔ sin − sin cos + ≥0 ⇔
2 2 2 4
2
C 1 A−B 1 2 A−B
sin − cos + sin ≥0
2 2 2 4 2
Bất đẳng thức cuối cùng hiển nhiên đúng. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
C 1 A−B
sin 2 = 2 cos 2
sin A − B = 0
2
Môn Toán Tiến sĩ Lê Thống Nhất
Nhà xuất bản Giáo dục
- www.truongthi.com.vn Lớp học qua mạng
A−B π π C π
Lưu ý ∈ − ; và ∈ 0; thì hệ trên tương đương với A = B =
2 2 2 2 2
C tức là tam giác ABC đều.
Chú ý : Bài toán tổng quát cho bài trên là : Với x, y, z > 0 thì trong tam giác ABC
bất kỳ ta có :
cos A cos B cos C x 2 + y 2 + z 2
+ + ≤
x y z 2xyz
Các bạn có thể dùng kỹ thuật "tam thức bậc hai" hoặc công cụ véc-tơ để giải
quyết. Khi cho các giá trị cụ thể x, y, z (đặc biệt là x, y, z là độ dài 3 cạnh của
một tam giác) thì ta có vô số các bất đẳng thức cụ thể.
Bài tập tương tự
1. Chứng minh với mọi x và mọi α ta có :
(1 + sin 2 α)x 2 − 2(sin α + cos α)x + 1 + cos 2 α > 0
2. Chứng minh rằng trong mọi tam giác ta có :
2 2 2 9
a) sin A + sin B + sin C ≤
4
A B C 1
b) sin .sin .sin ≤
2 2 2 8
2 2 2 2
3. Tìm x, y thỏa mãn : (x + y )(x + 1) = 4x y
Một dạng ứng dụng của tam thức bậc hai khác thú vị mà nhiều bạn không để ý
:
Thí dụ 4 : Cho a, b, c, d, p, q thỏa mãn :
p2 + q 2 − a 2 − b2 − c2 − d 2 > 0
2 2 2 2 2 2 2
Chứng minh rằng : (p − a − b )(q − c − d ) ≤ (pq − ac − bd)
Phân tích : Bất đẳng thức này trông "ngược" với bất đẳng thức Bunhiacôpski và
có dạng như ∆' ≥ 0 (!). Vậy cần thiết lập một tam thức bậc hai f(x) có nghiệm và
2 2 2 2 2 2 2
xuất hiện biểu thức ∆ ' = (pq − ac − bd) − (p − a − b )(q − c − d ) . Như
2 2 2 2 2 2 2
vậy hệ số của x sẽ chọn là p − a − b hoặc q − c − d . Giả thiết sẽ cho
ta điều gì ? Điều đó quyết định sự lựa chọn trên.
Môn Toán Tiến sĩ Lê Thống Nhất
Nhà xuất bản Giáo dục
- www.truongthi.com.vn Lớp học qua mạng
2 2 2 2 2 2
Giải : Vì (p − a − b ) + (q − c − d ) > 0 nên trong hai biểu thức
p 2 − a 2 − b 2 và q 2 − c2 − d 2 có ít nhất một biểu thức dương. Do vai trò bình
2 2 2
đẳng của hai bộ số (p, a, b) và (q, c, d) nên giả sử p − a − b > 0.
2 2 2 2 2 2 2
Xét f (x) = (p − a − b )x − 2(pq − ac − bd)x + q − c − d =
2 2 2
= (px − q) − (ax − c) − (bx − d)
2 2 2 q
Vì p − a − b > 0 nên p ≠ 0. Ta có f ≤ 0 suy ra
p
q
(p 2 − a 2 − b 2 )f ≤ 0 nên f(x) có nghiệm. Do đó ∆ 'x ≥ 0
p
⇒ đpcm.
q q
Chú ý : Dạng thứ hai của f(x) là để chọn ra α = thỏa mãn f ≤ 0
p p
Thí dụ 5 : Cho b < c < d chứng minh :
(a + b + c + d)2 > 8(ac + bd)
Phân tích : Có 2 cách nhìn để có 2 cách giải khác nhau. Cách thứ nhất là nhìn
bất đẳng thức cần chứng minh có dạng ∆ > 0. Cách thứ hai là đưa bất đẳng thức
về dạng f(a) > 0 với mọi a và b < c < d. Xin giải theo cách nhìn thứ nhất.
Giải : Xét tam thức bậc hai :
f (x) = 2x 2 − (a + b + c + d)x + (ac + bd)
2
Có f (c) = c − (b + d)c + bd = (c − b)(c − d)
Vì b < c < d nên f(c) < 0 suy ra f(x) có 2 nghiệm phân biệt
tức là ∆ > 0 ⇒ đpcm.
Các bài tập khác :
1. Xác định các góc của tam giác ABC sao cho biểu thức
F = 3 cos B + 3(cos A + cos C) đạt giá trị lớn nhất.
2. Tính các góc của tam giác ABC, biết rằng :
sinA + sinB + cos(A + b) = 1,5.
2 2
3. Biết rằng : 4x + y + 2x + y + 4xy ≤ 2.
Chứng minh : −2 ≤ y + 2x ≤ 1
4. Định dạng tam giác ABC thỏa mãn
Môn Toán Tiến sĩ Lê Thống Nhất
Nhà xuất bản Giáo dục
- www.truongthi.com.vn Lớp học qua mạng
1 1 1 5
cos A + cos B + cos C =
3 4 5 12
5*. Xác định các góc của tam giác ABC sao cho biểu thức :
2
F = cos A sin Bsin C + sin A + (cos B + cos C) đạt giá trị lớn nhất.
2
Môn Toán Tiến sĩ Lê Thống Nhất
Nhà xuất bản Giáo dục
nguon tai.lieu . vn
