Xem mẫu

  1. 1. Ch ng minh r ng hàm s y = x3 − 3x2 + 3x không có c c tr . 2. Ch ng minh r ng hàm s y = x2 + |x| có c c ti u t i x = 1, m c dù nó không có đ o hàm ngay t i đi m đó. 3. Xác đ nh các h s a, b, c, d c a hàm s y = ax3 + bx2 + cx + d, bi t r ng đ th c a nó có hai đi m c c tr là (0; 0) và (1; 1). 4. Cho hàm s y = x3 − 3mx2 + 3(2m − 1)x + 1. Tìm m đ hàm s có c c đ i và c c ti u. ĐS. m = 1. 5. (A, 2002) Cho hàm s y = −x3 + 3mx2 + 3(1 − m2 )x + m3 − m2 . Vi t phương trình đư ng th ng đi qua hai di m c c tr c a đ th hàm s . ĐS. y = 2x − m2 + m. 6. (B, 2002) Cho hàm s y = mx4 + (m2 − 9)x2 + 10. Tìm đ m hàm s có ba đi m c c tr . ĐS. m < −3; 0 < m < 3. 7. (D b 2002) Cho hàm s y = (x − m)3 − 3x. Xác đ nh m đ hàm s đ t c c ti u t i đi m có hoành đ x = 0. ĐS. m = −1. x2 + mx 8. (D b 2002) Cho hàm s y = . 1−x Tìm m đ hàm s có c c đ i và c c ti u. V i giá tr nào c a m thì kho ng cách gi a hai đi m c c tr c a đ th hàm s b ng 10? ĐS. m = 4. 1 9. (A, 2005) G i (Cm ) là đ th c a hàm s y = mx + (m là tham s ). x Tìm m đ hàm s có c c tr và kho ng cách t đi m c c ti u c a (Cm ) đ n ti m c n xiên c a 1 (Cm ) b ng √ . 2 ĐS. m = 1. x2 + (m + 1)x + m + 1 10. (ĐH, CĐ, kh i B, 2005) G i (Cm ) là đ th c a hàm s y = (m là tham x+1 s ). Ch ng minh r ng v i m b t kỳ, đ th (Cm ) luôn luôn có đi m c c đ i, đi m c c ti u và kho ng √ cách gi a hai đi m đó b ng 20. x2 + 2mx + 1 − 3m2 11. (D b 2005) G i (Cm ) là đ th c a hàm s y = (m là tham s ). x−m Tìm m đ đ th (Cm ) có hai đi m c c tr n m v hai phía c a tr c tung. ĐS. −1 < m < 1. 1
  2. x2 + mx + 3 12. Cho hàm s y = . x+1 Tìm m đ hàm s có c c đ i và c c ti u đ ng th i hai đi m c c đ i và c c ti u c a đ th hàm s v hai phía c a đư ng th ng (d) : 2x + y − 1 = 0. √ √ ĐS. −3 − 4 3 < m < −3 + 4 3. x2 − 2mx + 2 13. (D b 2004) Cho hàm s y = . x−1 Tìm m đ đ th hàm s có hai đi m c c tr A, B. Ch ng minh r ng khi đó đư ng th ng AB song song v i đư ng th ng 2x − y − 10 = 0. 3 ĐS. m < . 2 14. (D b 2006) Cho hàm s y = x3 + (1 − 2m)x2 + (2 − m)x + m − 2. Tìm các giá tr c a m đ đ th hàm s có đi m c c đ i và c c ti u, đ ng th i hoành đ c a đi m c c ti u nh hơn 1. 5 7 ĐS. m < −1; < m < . 4 5 15. Cho hàm s y = x4 − 2mx2 + m − 1. Tìm m đ đ th c a hàm s có ba đi m c c tr t o thành ba đ nh c a m t tam giác đ u. √ ĐS. m = 3 3. 16. (D b 2004) Cho hàm s y = x4 − 2mx2 + 1. Tìm m đ đ th c a hàm s có ba đi m c c tr t o thành ba đ nh c a m t tam giác vuông cân. 17. (D b 2004) Cho hàm s y = x3 − 3(m + 1)x2 + 3m(m + 2)x + 1. Ch ng minh r ng hàm s luôn có c c đ i và c c ti u. Xác đ nh các giá tr c a m đ hàm s đ t c c đ i và c c ti u t i các đi m có hoành đ dương. ĐS. m > 0. x2 − (m + 3)x + 3m + 1 18. Cho hàm s y = . x−1 Tìm m đ hàm s có c c đ i và c c ti u và các giá tr c c đ i và c c ti u c a hàm s cùng âm. 1 ĐS. < m < 1; m > 5. 2 19. (A, 2007) Cho hàm s x2 + 2(m + 1)x + m2 + 4m y= , m là tham s . (1) x+2 Tìm m đ hàm s (5) có c c đ i và c c ti u, đ ng th i các đi m c c tr c a đ th hàm s cùng v i g c to đ O t o thành m t tam giác vuông t i O. √ ĐS. m = 0, m = −4 ± 24. 20. (B, 2007) Cho hàm s y = −x3 + 3x2 + 3(m2 − 1)x − 3m2 − 1 (m là tham s ). (2) 2
  3. a) Kh o sát s bi n thiên và v đ th c a hàm s (6). b) Tìm m đ hàm s (6) có c c đ i và c c ti u và các đi m c c tr c a hàm s (6) cách đ u g c to đ . 1 ĐS. b) m = ± . 2 m 21. (D b A, 2007) Cho hàm s y = x + m + có đ th là (Cm ). x−2 (a) Kh o sát s bi n thiên và v đ th c a hàm s v i m = 1. (b) Tìm m đ đ th (Cm ) có các đi m c c tr A, B sao cho đư ng th ng AB đi qua g c to đ O. m 22. (D b B, 2007) Cho hàm s y = −x + 1 + có đ th là (Cm ). 2−x (a) Kh o sát s bi n thiên và v đ th c a hàm s v i m = 1. (b) Tìm m đ đ th (Cm ) có đi m c c đ i và đi m c c ti u. G i A là đi m c c đ i c a (Cm ), tìm m đ ti p tuy n c a (Cm ) t i A c t tr c tung Oy t i đi m B sao cho tam giác OAB là tam giác vuông cân. 23. Gi i các phương trình sau √ √ √ a) x2 − 6x + 6 = 2x − 1; f) 2x2 + 5x + 2 − 2 2x2 + 5x − 6 = 1; √ b) (Kh i D, 2006) 2x − 1 + x2 − 3x + 1 = 0; √ g) (Kh i D, 2004) c) (x + 5)(2 − x) = 3 x2 + 3x; √ √ √ √ √ 2 x + 2 + 2 x + 1 − x + 1 = 4; d) (D b 2005) 3x − 3 − 5 − x = 2x − 4; √ √ √ √ x+3 e) 7 − x2 + x x + 5 = 3 − 2x − x2 ; h) x + 2 x − 1 + x − 2 x − 1 = . 2 √ 24. Tìm m đ phương trình 2x2 + mx = 3 − x có nghi m duy nh t. 25. (Kh i B, 2004) Tìm m đ phương trình sau có nghi m √ √ √ √ √ m( 1 + x2 − 1 − x2 + 2) = 2 1 − x4 + 1 + x2 − 1 − x2 . √ √ √ 26. (A, 2007) Tìm m đ phương trình sau có nghi m th c: 3 x − 1 + m x + 1 = 2 4 x2 − 1. √ √ √ 27. Gi i phương trình 3 x + 1 − 3 x − 1 = 6 x2 − 1. √ 28. (Kh i B, 2006) Tìm m đ phương trình x2 + mx + 2 = 2x + 1 có hai nghi m phân bi t. 29. (Kh i B, 2007) Ch ng minh r ng v i m i giá tr dương c a m, phương trình sau có hai nghi m th c phân bi t: x2 + 2x − 8 = m(x − 2). 30. Tìm m đ phương trình sau có nghi m 3
  4. √ √ (a) x+3+ 6−x− (x + 3)(6 − x) = m; √ √ (b) x + 1 + 3 − x − (x + 1)(3 − x) = m; √ (c) x2 − 4 − x2 + m = 0; √ √ 31. (D b D, 2007) Tìm m đ phương trình x−3−2 x−4+ x − 6 x − 4 + 5 = m có đúng hai nghi m. √ 4 √ 32. (D b B, 2007) Tìm m đ phương trình x2 + 1 − x = m có nghi m. √ 4 33. (D b B, 2007) Tìm m đ phương trình x4 − 13x + m + x − 1 = 0 có đúng m t nghi m. √ √ √ 34. (D b 2, kh i D, 2006) Gi i phương trình x + 2 7 − x = 2 x − 1 + −x2 + 8x − 7 + 1. √ √ √ 35. (D b , kh i B, 2006) Gi i phương trình 3x − 2 + x − 1 = 4x − 9 + 2 3x2 − 5x + 2. 36. (D b 1, kh i D, 2006) Gi i phương trình 4x − 2x+1 + 2(2x − 1) sin(2x + y − 1) + 2 = 0. 37. Gi i b t phương trình √ √ a) x2 − 2x − 15 < x − 2; h) x2 + 2x2 + 4x + 3 6 − 2x; √ √ b) −x2 + 6x − 5 8 − 2x; i) 2x2 + x2 − 5x − 6 > 10x + 15; √ √ √ √ c) 8x2 − 6x + 1 − 4x + 1 0; j) (A, 2005) 5x − 1 − x − 1 > 2x − 4; √ √ √ √ d) x2 − 4x + 5 + 2x 3; k) 2x + 7 − 5 − x 3x − 2; 2x−1 + 4x − 16 e) (x + 5)(3x + 4) > 4(x − 1); l) > 4. x−2 √ 2(x2 − 16) √ 7−x m) x2 + 2x2 + 4x + 3 6 − 2x; f) (A, 2004) √ + x−3> √ x−3 x−3 2x−x2 √ 2 1 g) (x + 1)(x + 4) < 5 x 2 + 5x + 28; n) 9x −2x − 2 3; 3 √ 38. (D b A, 2007) Tìm m đ b t phương trình m x2 − 2x + 2 + 1 + x(2 − x) 0 có nghi m √ x ∈ [0; 1 + 3]. 39. Gi i các phương trình sau a) 3.16x + 37.36x = 26.81x . g) 8.41/x + 8.4−1/x − 54.21/x − 54.2−1/x = −101. 2 +6x−9 2 +3x−5 2 +6x−9 b) 32x + 4.15x = 3.52x . h) 53x + 9.5x + 27(5−3x + 5−x ) = 64. c) 27x + 12x = 2.8x . i) 1 + 3x/2 = 2x . d) 5.23x−3 − 3.25−3x + 7 = 0. √ x √ x 2 −x e) 5+2 6 + 5−2 6 = 10. j) 2x−1 − 2x = (x − 1)2 . √ x √ x √ f) 4 − 15 + 4 + 15 = (2 2)x . k) 3log2 x = x2 − 1. 1 40. (D, 2007) log2 (4x + 15.2x + 27) + 2 log2 = 0. 4.2x − 3 4
  5. 41. (D b D, 2007) Gi i phương trình 23x+1 − 7.22x + 7.2x − 2 = 0. 42. (D b B, 2007) Gi i phương trình log3 (x − 1)2 + log√3 (2x − 1) = 2. 4 43. (D b B, 2007) Gi i phương trình (2 − log3 x). log9x 3 − = 1. 1 − log3 x 1 1 √ 44. (D b A, 2007) Gi i phương trình log4 (x − 1) + = + log2 x + 2. log2x+1 4 2 45. (D b D, 2006) log3 (3x − 1) log3 (3x+1 − 3) = 6. √ 46. (D b B, 2006) log√2 x + 1 − log 1 (3 − x) − log8 (x − 1)3 = 0. 2 √ 47. (BKHN, 2000) log4 (x + 1)2 + 2 = log√2 4 − x + log8 (4 + x)3 . 1 1 48. (D b , 2002) log√2 (x + 3) + log4 (x − 1)8 = log2 (4x). 2 4 49. (Phân vi n Báo chí Tuyên truy n, 2002) 1 x−1 log27 (x2 − 5x + 6)3 = log√3 + log9 (x − 3)2 . 2 2 1 50. (D b D, 2006) 2(log2 x + 1) log4 x + log2 = 0. 4 51. (D b A, 2006) logx 2 + 2 log2x 4 = log√2x 8. 52. (A, 2007) 2 log3 (4x − 3) + log 1 (2x + 3) 2. 3 √ 53. (D b A, 2007) Gi i b t phương trình (logx 8 + log4 x2 ) log2 2x 0. √ 1 1 54. (D b D, 2007) Gi i b t phương trình log1/2 2x2 − 3x + 1 + log2 (x − 1)2 . 2 2 55. (CĐSP Qu ng Bình) log1/2 (x − 1) + log1/2 (x + 1) − log1/√2 (7 − x) = 1. 56. (B, 2006) log5 (4x + 144) − 4 log5 2 < 1 + log5 (5x−2 + 1). 57. (CĐTCKT 2006) 3 log1/2 x + log4 x2 − 2 > 0. 58. (D b B, 2003) log 1 x + 2 log 1 (x − 1) + log2 6 0. 2 4 59. (D b , 2006) logx+1 (−2x) > 2. √ √ 60. (CĐ Y t Thanh Hoá, 2006) log2 x + 4 log2 0,5 x 2(4 − log16 x4 ). 2x−x2 x2 −2x 1 61. (D b , 2005) 9 −2 3. 3 62. (D b , 2002) log 1 (4x + 4) log 1 (22x+1 − 3.2x ). 2 2 x2 +x x2 −x 63. (D, 2006) 2 − 4.2 − 22x + 4 = 0. 5
  6. 64. (A, 2006) 3.8x + 4.12x − 18x − 2.27x = 0. √ √ √ 65. (B, 2007) ( 2 − 1)x + ( 2 + 1)x − 2 2 = 0. 2 −x 2 66. (D, 2003) 2x − 22+x−x = 3. 2 +x−1 2 +x−2 67. (D b B, 2006) 9x − 10.3x + 1 = 0. √ √ x2 −5 x2 −5 68. (CĐSPHN, A, 2002) 4x− − 12.2x−1− + 8 = 0. 2 +2x+1 2 +x 69. (Cao đ ng kh i A, D, 2006) 32x − 28.3x + 9 = 0. 2 70. (ĐHSPHCM, 2002) 4log2 2x − xlog2 6 = 2.3log2 4x . √ 71. (D b , 2004) log π log2 (x + 2x2 − x) < 0. 4 √ 72. (CĐKT, 2005) Tìm t p xác đ nh c a hàm s y = log√5 (x2 − 5x + 2). √ 73. 2.[log121 (x − 2)]2 log 1 ( 2x − 3 − 1) . log 1 (x − 2) . 11 11 74. (CĐSPHN, A, D b , 2002) log1/3 (x − 1) + log1/3 (2x + 2) + log√3 (4 − x) < 0. 3x − 1 x 3 75. (CĐSP Vĩnh Phúc, 2002) log4 (3 − 1). log 1 . 16 4 4 2x−1 + 4x − 16 76. (D b , 2004) > 4. x−2 1 3 77. (D b , 2004) 2x 2 log2 x 2 2 log2 x . 2 78. (CĐSP Hà Tĩnh, 2002) 2(log2 x) + xlog2 x 4. 79. (Cao đ ng kh i A, B, 2005) 32x+4 + 45.6x − 9.22x+2 0. 80. (CĐKTĐN, 2007) 5.4x + 2.25x 7.10x . √ √ 1−t2 1−t2 81. (D b 2002) Tìm a đ phương trình sau có nghi m 91+ − (a + 2)31+ + 2a + 1 = 0. √ 82. (D b 1, B, 2003) Tìm m đ phương trình 4(log2 x)2 − log 1 x + m = 0 có nghi m thu c kho ng 2 (0; 1). 2 2 83. (Cao đ ng Giao thông, 2003) Tìm m đ phương trình 34−2x − 2.32−x + 2m − 3 = 0 có nghi m. 84. (A, 2002) Cho phương trình log2 x + 3 log2 x + 1 − 2m − 1 = 0. 3 (3) (a) Gi i phương trình (3) khi m = 2. √ (b) Tìm m đ phương trình (3) có ít nh t m t nghi m thu c đo n [1; 3 3 ]. 85. Tìm a đ phương trình sau có nghi m: √ √ 1−x2 1−x2 91+ − (a + 2).31+ + 2a + 1 = 0. 6
  7. 1 H đ i x ng lo i m t, h ph n x ng 1. Gi i các h phương trình sau: √ √ √ x + y + xy = 11, 3( x + y) = 4 xy, a) e) x2 + y 2 + 3(x + y) = 28; xy = 9; x + y = 4, √ b) x + y − xy = 3, (x2 + y 2 ) (x3 + y 3 ) = 280; f) (A, 2006) √ √ x + 1 + y + 1 = 4; √ √ x2 + y 2 + 2xy = 8 2, c) √ √ x2 + y 2 − x + y = 2, x + y = 4; g)  xy + x − y = −1; x y 5 + = , d) y x 2 x − xy − y = 1,  2 h) 2 x + y + xy = 21; x2 y + xy 2 = 6. 2. Tìm m đ h phương trình sau có nghi m √ √ x + y = 1, x + y + xy = m, a) (D, 2004) √ √ b) x x + y y = 1 − 3m; x2 + y 2 = m. x + y + xy = m + 2, 3. Tìm m đ h phương trình sau có nghi m duy nh t x2 y + xy 2 = m + 1. 2 H đ i x ng lo i hai 1. Gi i các h phương trình sau: √ √ xy + x2 = 1 + y, x + 5 + y − 2 = 7, a) d) √ √ xy + y 2 = 1 + x; y + 5 + x − 2 = 7; 3 x3 = 3x + 8y, 2x + y = x2 , b) e) 3 y 3 = 3y + 8x; 2y + x = y2 ; y 2 +2 x3 + 1 = 2y, 3y = x2 , c) f) (B, 2003) x2 +2 y 3 + 1 = 2x; 3x = y2 . 2. Gi i các phương trình sau: √ a) x3 − 3 3 2 + 3x = 2; √ b) x3 − 6 = 3 x + 6.   x − 1 = y − 1, 3. (A, 2003) x y  2y = x3 + 1. √ √ 3 x − y = x − y, 4. (B, 2002) √ x + y = x + y + 2. 7
  8. 5. (ĐHSP kh i D, E, 2001) Cho h phương trình √ √ √ x + 1 + y − 2 = m, √ √ √ (4) y + 1 + y − 2 = m. a) Gi i h (5) khi m = 9; b) Tìm m đ h phương trình (5) có nghi m.  x + √x2 − 2x + 2 = 3y−1 + 1, 6. (D b A, 2007) Gi i h phương trình y + y 2 − 2y + 2 = 3x−1 + 1.  x + √ 2xy  = x2 + y,  3 2 − 2x + 9 7. (D b B, 2007) Gi i h phương trình x y + 2xy   = y 2 + x. 3 y 2 − 2y + 9  y ex = 2007 −  , 8. (D b B, 2007) Ch ng minh r ng h phương trình y2 − 1 ey = 2007 − √ x  x2 − 1 có đúng hai nghi m (x; y) tho mãn x > 1, y > 1. 3 Phương pháp đ t n ph 1. Gi i các h phương trình sau:  x(x + 2)(2x + y) = 9,  x + y + 1 + 1 = 5,  a) x y x2 + 4x + y = 6; d)  x2 + y 2 + 1 + 1 = 9;  √ √ x2 y 2 2x + y + 1 − x − y = 1, b) 3x + 2y = 4; x + y + x2 + y 2 = 8, e)  x xy(x + 1)(y + 1) = 12;  x + y + = 5, c) y 1 + x3 y 3 = 19x3 , x  (x + y) = 6; f) y y + xy 2 = −6x2 . 4 H đ ng c p 1. Gi i các h phương trình sau: x2 + xy = 6, (x − y)2 y = 2, a) c) x2 + y 2 = 5; x3 − y 3 = 19; 2x2 + 3xy + y 2 = 12, x2 − 5xy + 6y 2 = 0, b) d) x2 − xy + 3y 2 = 11; 4x2 + 2xy + 6x − 27 = 0; 86. Gi i các h phương trình sau: 8
  9. a) (D, 2007) Tìm giá tr c a tham s m đ h phương trình sau có nghi m th c:  x + 1 + y + 1 = 5,  x y . x3 + 1 + y 3 + 1 = 15m − 10.  x3 y3 √ √ 2x + y + 1 − x+y =1 b) (D b kh i D, 2005) 3x + 2y = 4 x2 + y 2 + x + y = 4 c) (D b kh i D, 2005) x(x + y + 1) + y(y + 1) = 2 √ x + y − xy = 3 d) (Kh i A, 2006) √ √ (x, y ∈ R) x+1+ y+1=4 x2 + 1 + y(y + x) = 4y e) (D b Kh i A, 2006) (x, y ∈ R) (x2 + 1)(y + x − 2) = y x3 − 8x = y 3 + 2y f) (D b Kh i A, 2006) (x, y ∈ R) x3 − 3 = 3(y 2 + 1) g) (Kh i D, 2006) Ch ng minh r ng v i m i a > 0, h phương trình sau có nghi m duy nh t ex − ey = ln(1 + x) − ln(1 + y), y − x = a. x2 − xy + y 2 = 3(x − y), h) (D b Kh i D, 2006) (x, y ∈ R) x2 + xy + y 2 = 7(x − y)2 ln(1 + x) − ln(1 + y) = x − y, i) (D b Kh i D, 2006) x2 − 12xy + 20y 2 = 0. (x − y)(x2 + y 2 ) = 13, j) (D b Kh i B, 2006) (x, y ∈ R). (x + y)(x2 − y 2 ) = 25 x2 + y = y 2 + x, k) (D b , 2005) 2x+y − 2x−1 = x − y x − 4|x| + 3 = 0, l) (D b 2002) log4 x − log2 y = 0. 87. Gi i các phương trình sau: 2(cos6 x + sin6 x) − sin x cos x 1) (A, 2006) √ = 0. 2 − 2 sin x 2) (A, 2007) (1 + sin2 x) cos x + (1 + cos2 x) sin x = 1 + sin 2x. 3) (D, 2006) cos 3x + cos 2x − cos x − 1 = 0. x x 2 √ 4) (D, 2007) sin + cos + 3 cos x = 2. 2 2 9
  10. 5) (B, 2007) 2 sin2 x + sin 7x − 1 = sin x. 1 1 6) (D b A, 2007) Gi i phương trình sin 2x + sin x − − = 2 cot 2x. 2 sin x sin 2x √ √ 7) (D b A, 2007) Gi i phương trình 2 cos2 x + 2 3 sin x cos x + 1 = 3(sin x + 3 cos x). 5x π x π √ 3x 8) (D b B, 2007) Gi i phương trình sin − − cos − = 2 cos . 2 4 2 4 2 sin 2x cos 2x 9) (D b B, 2007) Gi i phương trình + = tan x − cot x. cos x sin x √ π 10) (D b D, 2007) Gi i phương trình 2 2 sin x − cos x = 1. 12 11) (D b D, 2007) Gi i phương trình (1 − tan x)(1 + sin 2x) = 1 + tan x 12) (D b B, 2006) (2 sin2 x − 1) tan2 2x + 3(cos2 x − 1) = 0. 13) (D b B, 2006) cos 2x + (1 + 2 cos x)(sin x − cos x) = 0. 14) (D b D, 2006) cos3 x + sin3 x + 2 sin2 x = 1. 15) (D b D, 2006) 4 sin3 x + 4 sin2 x + 3 sin 2x + 6 cos x = 0. 16) 2 cos 2x + sin2 x cos x + sin x cos2 x = 2(sin x + cos x). 17) 3 − 4 sin2 2x = 2 cos 2x(1 + 2 sin x). 1 8 π 1 18) 2 cos x + cos2 (x + π) = + sin 2x + 3 cos x + + sin2 x. 3 3 2 3 π 2π 1 19) cos2 x + + cos2 x + = (sin x + 1). 3 3 2 π π 20) sin 3x + = sin 2x. sin x + . 4 4 √ 3 3 2+3 2 21) (D b A, 2006) cos 3x. cos x − sin 3x sin x = . 8 π 22) (D b A, 2006) 2 cos 2x − + 4 sin x + 1 = 0. 6 x 23) (B, 2006) cot x + sin x 1 + tan x tan = 4. 2 24) (A, 2005) cos2 3x cos 2x − cos2 x = 0. 25) (B, 2005) 1 + sin x + cos x + sin 2x + cos 2x = 0. π π 3 26) (D, 2005) cos4 x + sin4 x + cos x − sin 3x − − = 0. 4 4 2 √ π 27) (D b 2005) 2 2 cos3 x − − 3 cos x − sin x = 0. 4 x √ 3π 28) (D b 2005) 4 sin2 − 3 cos 2x = 1 + 2 cos2 x − . 2 4 29) (D b 2005) sin x cos 2x + cos2 x(tan2 x − 1) + 2 sin3 x = 0. 30) (D b 2004) 4(sin3 x + cos3 x) = cos x + 3 sin x. 31) sin x. sin 2x + sin 3x = 6 cos3 x. 1 1 √ π 32) (D b 2004) − = 2 2 cos x + . cos x sin x 4 10
  11. √ 33) (D b 2004) sin 2x − 2 2(sin x + cos x) − 5 = 0. 3 34) 1 + sin3 x + cos3 x = sin 2x. 1 √ 35) cos 3x − sin 2x = 3(cos 2x − sin 3x). √ 36) sin x + sin 2x = 3(cos x + cos 2x). √ 37) 4(sin4 x + cos4 x) + 3 sin 4x = 2. 88. (A, 2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông c nh a, m t bên SAD là tam giác đ u và n m trong m t ph ng vuông góc v i đáy. G i M, N, P l n lư t là trung đi m c a các c nh SB, BC, CD. Ch ng minh AM vuông góc v i BP và tính th tích c a kh i t di n CM N P . 89. (B, 2007) Cho hình chóp t giác đ u S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông c nh a. G i E là đi m đ i x ng c a D qua trung đi m c a SA, M là trung đi m c a AE, N là trung đi m c a BC. Ch ng minh M N vuông góc v i BD và tính (theo a) kho ng cách gi a hai đư ng th ng M N và AC. √ 90. (D b A, 2007) Cho hình lăng tr đ ng ABC.A1 B1 C1 có AB = a, AC = 2a, AA1 = 2a 5 và BAC = 120◦ . G i M là trung đi m c a c nh CC1 . Ch ng minh r ng M B ⊥ M A1 và tính kho ng cách t đi m A đ n m t ph ng (A1 BM ). 91. (D b A, 2007) Cho hình chóp S.ABC có góc t o b i hai m t ph ng (SBC) và (ABC) b ng 60◦ , các tam giác ABC và SBC là các tam giác đ u c nh b ng a. Tính theo a kho ng cách t đi m B đ n m t ph ng (SAC). 92. (D b B, 2007) Trong m t ph ng (P ) cho n a đư ng tròn đư ng kính AB = 2R và đi m C thu c n a đư ng tròn đó sao cho AC = R. Trên đư ng th ng vuông góc v i m t ph ng (P ) t i A, l y đi m S sao cho góc gi a hai m t ph ng (SAB) và (SBC) b ng 60◦ . G i H, K l n lư t là hình chi u vuông góc c a A trên các c nh SB, SC. Ch ng minh r ng tam giác AHK là tam giác vuông và tính th tích c a kh i chóp S.ABC. 93. (D b B, 2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA vuông góc √ v i đáy hình chóp. Cho AB = a, SA = a 2. G i H, K l n lư t là hình chi u vuông góc c a A trên các c nh SB, SD. Ch ng minh r ng SC ⊥ (AHK) và tính th tích c a kh i chóp O.AHK. 94. (D b D, 2007) Cho lăng tr đ ng ABC.A1 B1 C1 có đáy ABC là tam giác vuông, AB = AC = √ a, AA1 = a 2. G i M, N l n lư t là trung đi m c a các c nh AA1 và BC. Ch ng minh r ng M N là đư ng vuông góc chung c a các đư ng th ng AA1 và BC1 . Tính th tích c a kh i chóp M.A1 BC1 . 95. (D b D, 2007) Cho lăng tr đ ng ABC.A1 B1 C1 có t t c các c nh đ u b ng a. G i M là trung đi m c a đo n AA1 . Ch ng minh BM ⊥ B1 C và tính kho ng cách gi a hai đư ng th ng BM và B1 C. 11
  12. 96. Cho t di n OABC có ba c nh OA, OB, OC đôi m t vuông góc nhau, OA = a, OB = b, OC = c. G i α, β, γ l n lư t là góc gi a OA, OB, OC v i m t ph ng (ABC). Ch ng minh r ng sin2 α + sin2 β + sin2 γ = 1. 97. Cho t di n OABC có ba c nh OA, OB, OC đôi m t vuông góc nhau. G i α, β, γ l n lư t là các góc gi a m t ph ng (ABC) v i các m t ph ng (OBC), (OAC), (OAB). Ch ng minh r ng √ cos α + cos β + cos γ 3. 98. (Kh i B, 2002) Cho hình l p phương ABCD.A1 B1 C1 D1 có c nh b ng a. a) Tính theo a kho ng cách gi a hai đư ng th ng A1 B và B1 D; b) G i M, N, P l n lư t là trung đi m c a các c nh B1 B, CD, A1 D1 . Tính góc gi a hai đư ng th ng M P và C1 N . 99. (ĐH Ngo i thương HCM, 2002) Cho hình l p phương ABCD.A B C D có c nh b ng a. Gi s M, N l n lư t là trung đi m c a các c nh BC và DD . a) Ch ng minh r ng M N//(A BD) b) Tính theo a kho ng cách gi a hai đư ng th ng BD và M N. 100. (H c vi n quan h qu c t , kh i D, 2001) Cho hình h p ch nh t ABCD.A B C D v i AB = a, BC = b, AA = c. a) Tính di n tích tam giác ACD theo a, b, c. b) Gi s M, N l n lư t là trung đi m c a AB và BC. Hãy tính th tích t di n D DM N theo a, b, c. 101. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đ u c nh a và c nh bên SA vuông góc v i √ t m a. 6 ph ng đáy (ABC). Tính kho ng cách t đi m A đ n m t ph ng (SBC) theo a, bi t SA = . 2 102. (D b 2002) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông c nh a, SA vuông góc v i m t ph ng đáy (ABCD) và SA = a. G i E là trung đi m c a c nh CD. Tính theo A kho ng cách t đi m S đ n đư ng th ng BE. 103. (D b 2002) Cho tam giác vuông cân ABC có c nh huy n BC = a. Trên đư ng th ng vuông góc v i m t ph ng (ABC) t i đi m A l y đi m S sao cho góc gi a hai m t ph ng (ABC) và (SBC) b ng 60◦ . Tính đ dài đo n th ng SA theo a. 104. (Kh i B, 2004) Cho hình chóp t giác đ u S.ABCD có c nh đáy b ng a, góc gi a c nh bên và m t đáy b ng ϕ (0◦ < ϕ < 90◦ ). Tính tang c a góc gi a hai m t ph ng (ABCD) và (SAB) theo ϕ. Tính th tích kh i chóp S.ABCD theo a và ϕ. 105. (Kh i A, 2006) Cho hình tr có các đáy là hai hình tròn tâm O và O , bán kính đáy b ng chi u cao và b ng a. Trên đư ng tròn đáy tâm O l y đi m A, trên đư ng tròn đáy tâm O l y đi m B sao cho AB = 2a. Tính th tích c a kh i t di n OO AB. 12
  13. 106. (D b , Kh i A, 2006) Cho hình h p đ ng ABCD.A B C D có các c nh AB = AD = a, AA = √ a 3 và BAD = 60◦ . G i M, N l n lư t là trung đi m c a các c nh A D và A B . Ch ng minh 2 r ng AC vuông góc v i m t ph ng (BDM N ). Tính th tích kh i chóp A.BDM N . 107. (D b , Kh i A, 2006) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình ch nh t v i AB = a, AD = 2a, c nh SA vuông góc v i đáy, c nh SB t o v i m t ph ng đáy m t góc 60◦ . Trên √ a 3 c nh SA l y đi m M sao cho AM = . M t ph ng BCM c t SD t i đi m N . Tính th tích 3 kh i chóp S.BCM N . 108. (Kh i A, 2006) Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đ u c nh a, SA = 2a và SA vuông góc v i m t ph ng (ABC). G i M và N l n lư t là hình chi u vuông góc c a A trên các đư ng th ng SB và SC. Tính th tích c a kh i chóp A.BCN M . 109. (D b , Kh i D, 2006) Cho hình chóp t giác đ u S.ABCD có c nh đáy b ng a. G i SH là đư ng cao c a hình chóp. Kho ng cách t trung đi m I c a SH đ n m t bên (SBC) b ng b. Tính th tích kh i chóp S.ABCD. 110. (D b , Kh i D, 2006) Cho hình l p phương ABCD.A B C D có c nh b ng a và đi m K thu c 2 c nh CC sao cho CK = a. M t ph ng (α) đi qua A, K và song song v i BD chia kh i l p 3 phương thành hai kh i đa di n. Tính th tích c a hai kh i đa di n đó. 111. (Kh i B, 2006) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình ch nh t v i AB = a, AD = √ a 2, SA = a và SA vuông góc v i m t ph ng (ABCD). G i M, N l n lư t là trung đi m c a AD và SC, I là giao đi m c a BM và AC. Ch ng minh r ng m t ph ng (SAC) vuông góc v i m t ph ng (SM B). Tính th tích kh i t di n AN IB. 112. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi c nh a, BAD = 60◦ , SA vuông góc v i m t ph ng (ABCD), SA = a. G i C là trung đi m c a SC. M t ph ng (P ) đi qua AC và song song v i BD, c t các c nh SB, SD c a hình chóp l n lư t t i B và D . Tính th tích kh i chóp S.AB C D . 113. Cho hình lăng tr ABC.A B C có A .ABC là hình chóp tam giác đ u, c nh đáy AB = a, c nh bên A A = b. G i α là góc xen gi a hai m t ph ng (ABC) và (A BC). Tính tan α và th tích c a kh i chóp A .BB C C. 114. Cho hình chóp S.ABC có SA = 3a và SA vuông góc v i m t ph ng (ABC). Tam giác ABC có AB = BC = 2a, ABC = 120◦ . Tính kho ng cách t A đ n m t ph ng (ABC). 115. Cho hình chóp S.ABC. Đáy ABC là tam giác vuông t i B, c nh SA vuông góc v i đáy ACB = √ 60◦ , BC = a, SA = a 3. G i M là trung đi m c a c nh SB. Ch ng minh m t ph ng (SAB) vuông góc v i m t ph ng (SBC). Tính th tích c a kh i t di n M ABC. 116. (Cao đ ng Tài chánh K toán, 2006) Cho hình chóp tam giác đ u S.ABC có c nh đáy b ng a và góc ASB = 60◦ . Tính th tích c a kh i chóp S.ABC theo a. 13
  14. 117. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông c nh a, SA vuông góc v i m t ph ng (ABCD) và SA = a. Tính kho ng cách gi a hai đư ng th ng BD và SC. 118. (Kh i B, 2003) Cho hình lăng tr đ ng ABCD.A B C D có đáy ABCD là m t hình thoi c nh a, góc BAD = 60◦ . G i M là trung đi m c a c nh CC . Ch ng minh r ng b n đi m B , M, D, N cùng n m trên m t m t ph ng. Hãy tính đ dài c nh AA theo a đ t giác B M DN là hình vuông. √ 119. Cho hình chóp tam giác đ u S.ABC có đư ng cao SO = 1 và đáy ABC có c nh b ng 2 6. Các đi m M, N theo th t là trung đi m c a các c nh AC, AB. Tính th tích hình chóp S.AM N và bán kính m t c u n i ti p hình chóp đó. 120. Trong không gian cho hai đư ng th ng x y+1 z 3x − z + 1 = 0, d1 : = = và d2 : 1 2 1 2x + y − 1 = 0. a) Ch ng minh r ng d1 , d2 chéo nhau và vuông góc v i nhau; b) Vi t phương trình t ng quát c a đư ng th ng c t c hai đư ng th ng d1 , d2 và song song v i đư ng th ng x−4 y−7 z−3 ∆: = = . 1 4 −2 121. Cho hai đi m A(1; −1; 2), B(3; 1; 0) và m t ph ng (P ) có phương trình x − 2y − 4z + 8 = 0. a) L p phương trình đư ng th ng (d) tho mãn đ ng th i các đi u ki n sau: (d) n m trong m t ph ng (P ), (d) vuông góc v i đư ng th ng AB và (d) đi qua giao đi m c a đư ng th ng AB v i m t ph ng (P ). b) Tìm to đ đi m C trong m t ph ng (P ) sao cho CA = CB và m t ph ng ABC vuông góc v i m t ph ng (P ). x−1 y−2 122. Cho tam giác ABC có đi m B(2; 3; −4), đư ng cao CH có phương trình ∆1 : = = 5 5 z x−5 y−3 z+1 và đư ng phân giác trong góc A là AI có phương trình ∆2 : = = .L p −5 7 1 2 phương trình chính t c c nh AC. 123. Cho tam giác ABC có đi m A(−1; −1; 2), đư ng cao BK và đư ng trung tuy n CM l n lư t có phương trình x+1 y−1 z−4 x−1 y+2 z−5 d1 : = = , d2 : = = . 2 3 4 2 −3 1 L p phương trình đư ng th ng ch a các c nh AB, AC c a tam giác ABC. 124. (A, 2007) Trong không gian v i to đ Oxyz, cho hai đư ng th ng   x = −1 + 2t,  x y−1 z+2 d1 : = = và d2 : y = 1 + t, 2 −1 1   z = 3. 14
  15. (a) Ch ng minh r ng d1 và d2 chéo nhau. (b) Vi t phương trình đư ng th ng d vuông góc v i m t ph ng (P ) : 7x + y − 4z = 0 và c t c hai đư ng th ng d1 , d2 . 125. (D, 2007) Trong không gian v i to đ Oxyz, cho hai đi m A(1; 4; 2), B(−1; 2; 4) và đư ng th ng x−1 y+2 z ∆: = = . −1 1 2 (a) Vi t phương trình đư ng th ng d đi qua tr ng tâm G c a tam giác OAB và vuông góc v i m t ph ng (OAB). (b) Tìm to đ M thu c đư ng th ng ∆ sao cho M A2 + M B 2 nh nh t. 126. (B, 2007) Trong không gian v i to đ Oxyz, cho m t c u (S ) : x2 + y 2 + z 2 − 2x + 4y + 2z − 3 = 0 và m t ph ng (P) : 2x − y + 2z − 14 = 0. (a) Vi t phương trình m t ph ng (Q) ch a tr c Ox và c t (S ) theo m t đư ng tròn có bán kính b ng 3. (b) Tìm to đ đi m M thu c m t c u (S ) sao cho kho ng cách t M đ n m t ph ng (P) l n nh t. 127. (D b A, 2007) Trong không gian v i to đ Oxyz, cho hai đi m A(−1; 3; −2), B(−3; 7; −18) và m t ph ng (P ) : 2x − y + z + 1 = 0. (a) Vi t phương trình m t ph ng ch a đư ng th ng AB và vuông góc v i (P ). (b) Tìm to đ đi m M thu c m t ph ng (P ) sao cho M A + M B nh nh t. 128. (D b A, 2007) Trong không gian v to đ Oxyz, cho các đi m A(2; 0; 0), B(0; 4; 0), C(2; 4; 6) i 6x − 3y + 2z = 0, và đư ng th ng (d) có phương trình 6x + 3y + 2z − 24 = 0 (a) Ch ng minh r ng các đư ng th ng AB và OC chéo nhau. (b) Vi t phương trình đư ng th ng ∆ song song v i (d) và c t các đư ng th ng AB và OC. 129. (D b B, 2007) Trong không gian v i to đ Oxyz, cho hai đi m A(−3; 5; −5), B(5; −3; 7) và m t ph ng (P ) : x + y + z = 0. (a) Tìm to đ giao đi m I c a đư ng th ng AB và m t ph ng (P ). (b) Tìm to đ đi m M thu c m t ph ng (P ) sao cho M A2 + M B 2 nh nh t. 130. (D b B, 2007) Trong không gian v i to đ Oxyz, cho các đi m A(2; 0; 0), M (0; −3; 6) và m t ph ng (P ) có phương trình x + 2y − 9 = 0. 15
  16. (a) G i (S ) là m t c u có tâm là đi m M và có bán kính OM . Ch ng minh r ng (P ) ti p xúc v i (S ). Tìm to đ ti p đi m c a (P ) và (S ). (b) Vi t phương trình m t ph ng (Q) ch a các đi m A và M , đ ng th i, (Q) c t các tr c Oy, Oz t i các đi m tương ng B, C sao cho th tích c a kh i t di n OABC b ng 3 (đ.v.t.t.) x−3 y+2 z+1 131. (D b D, 2007) Trong không gian v i to đ Oxyz, cho đư ng th ng (d) : = = 2 1 −1 và m t ph ng (P ) có phương trình x + y + z + 2 = 0. (a) Tìm to đ giao đi m M c a (P ) và (d). (b) Vi t phương trình đư ng th ng ∆ thu c (P ) sao cho ∆ vuông góc v i (d) và kho ng cách √ t M đ n ∆ b ng 42. 132. (D b D, 2007) Trong không gian v i to đ Oxyz, cho m t ph ng (P ) : x − 2y + 2z − 1 = 0 và hai đư ng th ng x−1 y−3 z x−5 y z+5 (d1 ) : = = , (d2 ) : = = . 2 −3 1 6 4 −5 (a) Vi t phương trình m t ph ng (Q) ch a (d1 ) và vuông góc v i (P ). (b) Tìm các đi m M thu c (d1 ) và N thu c (d2 ) sao cho đư ng th ng M N song song v i (P ) và đư ng th ng M N cách (P ) m t kho ng b ng 2. 133. (A, 2006) Trong không gian v i h to đ Oxyz, cho hình l p phương ABCD.A B C D v i A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), D(0; 1; 0), A (0; 0; 1). G i M và N l n lư t là trung đi m c a AB và CD. (a) Tính kho ng cách gi a hai đư ng th ng A C và M N . (b) Vi t phương trình m t ph ng ch a A C và t o v i m t ph ng 0xy m t góc α bi t cos α = 1 √ . 6 134. (B, 2006) Trong không gian v i h to đ Oxyz, cho đi m A(0; 1; 2) và hai đư ng th ng:  x = 1 + t,    x y−1 z+1 d1 : = = , d2 : y = −1 − 2t, 2 1 −1    z = 2 + t. (a) Vi t phương trình m t ph ng (P ) qua A đ ng th i song song v i d1 và d2 . (b) Tìm to đ các đi m M thu c d1 và N thu c d2 sao cho ba đi m A, M, N th ng hàng. 135. (D, 2006) Trong không gian v i to đ Oxyz, cho đi m A(1; 2; 3) và hai đư ng th ng x−2 y+2 z−3 x−1 y−1 z+1 d1 : = = ; d2 : = = . 2 −1 1 −1 2 1 (a) Tìm to đ đi m A đ i x ng v i đi m A qua đư ng th ng d1 . 16
  17. (b) Vi t phương trình đư ng th ng ∆ đi qua A, vuông góc v i d1 và c t d2 . 136. (D b , A, 2006, d b 1) Trong không gian Oxyz cho hình lăng tr đ ng ABC.A B C có A(0; 0; 0), B(2; 0; 0), C(0; 2; 0), A (0; 0; 2).. (a) Ch ng minh A C vuông góc v i BC . Vi t phương trình m t ph ng (ABC ). (b) Vi t phương trình hình chi u vuông góc c a đư ng th ng B C trên m t ph ng (ABC ). 137. (D b , A,√2006, d b 2) Cho hình h p đ ng ABCD.A B C D có các c nh AB = AD = a 3 a, AA = và góc BAD = 60◦ . G i M, N l n lư t là trung đi m c a các c nh A D và A B . 2 Ch ng minh AC vuông góc v i m t ph ng (BDM N ). Tính th tích c a kh i chóp A.BDM N. 138. (D b , A, 2006, d b 2) Trong không gian v i h to đ Oxyz, cho m t ph ng (α) : 3x + 2y − z + 4 = 0 và hai đi m A(4; 0; 0), B(0; 4; 0). G i I là trung đi m c a đo n th ng AB (a) Tìm to đ giao đi m c a đư ng th ng AB và m t ph ng (α). (b) Xác đ nh to đ đi m K sao cho KI vuông góc v i m t ph ng (α), đ ng th i K cách đ u g c to đ O và mph (α). 139. (D b , D, 2006, d b 2) Trong không gian v i h to đ Oxyz, cho m t ph ng (P ) : 4x − 3y + 11z − 26 = 0 và hai đư ng th ng x y−3 z+1 x−4 y z−3 d1 : = = , = = . −1 2 3 1 1 2 (a) Ch ng minh r ng d1 và d2 chéo nhau. (b) Vi t phương trình đư ng th ng ∆ n m trên m t ph ng (P ) đ ng th i ∆ c t c d1 và d2 . 140. (D b B, 2006) Cho hai đi m A(0; 0; 4), B(2; 2; 0) và m t ph ng (P ) có phương trình 2x + y − z + 5 = 0. (a) Vi t phương trình hình chi u vuông góc c a đư ng th ng AB trên m t ph ng (P ). (b) Vi t phương trình m t c u đi qua O, A, B và ti p xúc v i m t ph ng (P ). 141. Cho hai đi m A(1; −1; 2), B(3; 1; 0) và m t ph ng (P ) có phương trình x − 2y − 4z + 8 = 0. a) L p phương trình đư ng th ng (d) tho mãn đ ng th i các đi u ki n sau: (d) n m trong m t ph ng (P ), (d) vuông góc v i đư ng th ng AB và (d) đi qua giao đi m c a đư ng th ng AB v i m t ph ng (P ). b) Tìm to đ đi m C trong m t ph ng (P ) sao cho CA = CB và m t ph ng ABC vuông góc v i m t ph ng (P ). 17
  18. 142. Cho đi m A(1; −1; 1) và hai đư ng th ng (d1 ), (d2 ) có phương trình   x = −t,  3x + y − z + 3 = 0, d1 : y = −1 + 2t, và d2 :   2x − y + 1 = 0. z = 3t Ch ng minh r ng (d1 ), (d2 ) và A cùng n m trong m t m t ph ng. 143. Cho tam giác ABC có đi m A(−1; −1; 2), đư ng cao BK và đư ng trung tuy n CM l n lư t có phương trình x+1 y−1 z−4 x−1 y+2 z−5 d1 : = = , d2 : = = . 2 3 4 2 −3 1 L p phương trình đư ng th ng ch a các c nh AB, AC c a tam giác ABC. 144. (D b kh i A, 2006) Trong m t ph ng v i h to đ Oxy, cho tam giác ABC có đ nh A thu c đư ng th ng d : x − 4y − 2 = 0, c nh BC song song v i d, phương trình đư ng cao BH : x + y + 3 = 0 và trung đi m c a c nh AC là M (1; 1). Tìm to đ c a các đ nh A, B, C. 145. (Kh i D, 2006) Trong m t ph ng v i h to đ Oxy, cho đư ng tròn (C ) có phương trình x2 + y 2 − 2x − 2y + 1 = 0 và đư ng th ng d : x − y + 3 = 0. Tìm to đ đi m M n m trên d sao cho đư ng tròn tâm M , có bán kính g p đôi bán kính đư ng tròn (C ) , ti p xúc ngoài v i đư ng tròn (C ). √ 146. (D b kh i D, 2006) Trong m t ph ng v i h to đ Oxy, cho đư ng th ng d : x−y +1− 2 = 0 và đi m A(−1; 1). Vi t phương trình đư ng tròn (C ) đi qua A, g c to đ O và ti p xúc v i đư ng th ng d. 147. (Kh i B, 2006) Trong m t ph ng v i h to đ Oxy, cho đư ng tròn (C ) có phương trình x2 + y 2 − 2x − 6y + 6 = 0 và đi m M (−3; 1). G i T1 , T2 là các ti p đi m c a các ti p tuy n k t M đ n (C ). Vi t phương trình đư ng th ng T1 T2 . 148. (D b kh i B, 2006) Trong m t ph ng v i h to đ Oxy, cho tam giác ABC cân t i B v i A(1; −1), C(3; 5). Đ nh B n m trên đư ng th ng d : 2x − y = 0. Vi t phương trình các đư ng th ng AB, BC. 149. (D b kh i B, 2006) Trong m t ph ng v i h to đ Oxy, cho tam giác ABC có đ nh A(2; 1), đư ng cao qua đ nh B có phương trình là x − 3y − 7 = 0 và đư ng trung tuy n qua đ nh C có phương trình là x + y + 1 = 0. Xác đ nh to đ B và C c a tam giác. 150. (D b A, 2007) Trong m t ph ng v i h to đ Oxy, cho đư ng tròn (C ) có phương trình x2 + y 2 = 1. G i (C ) là đư ng tròn có tâm I(2; 2) và c t (C ) t i hai đi m A, B sao cho đ dài √ đo n th ng AB b ng 2. Vi t phương trình c a đư ng th ng AB. 151. (D b A, 2007) Trong m t ph ng v i h to đ Oxy, cho tam giác ABC có tr ng tâm G(−2; 0). Bi t phương trình các c nh AB, AC l n lư t là 4x + y + 14 = 0, 2x + 5y − 2 = 0. Tìm to đ các đ nh A, B, C. 18
  19. 152. (D b B, 2007) Trong m t ph ng v i h to đ Oxy, cho đư ng tròn (C ) có phương trình x2 + y 2 − 8x + 6y + 21 = 0 và đư ng th ng d có phương trình x + y − 1 = 0. Xác đ nh to đ các đ nh c a hình vuông ABCD ngo i ti p (C ), bi t r ng đ nh A thu c d. 153. (D b B, 2007) Trong m t ph ng v i h to đ Oxy, cho đư ng tròn (C ) có phương trình x2 + y 2 − 2x + 4y + 2 = 0. G i (C ) là đư ng tròn có tâm M (5; 1), (C ) c t (C ) t i hai đi m √ A, B sao cho đ dài đo n th ng AB b ng 3. Vi t phương trình c a đư ng tròn (C ). 154. (D b D, 2007) Trong m t ph ng v i h to đ Oxy, cho đi m A(2; 1). L y đi m B thu c tr c Ox có hoành đ không âm và đi m C thu c tr c Oy có tung đ không âm sao cho tam giác ABC vuông t i A. Tìm to đ các đi m B, C sao cho di n tích tam giác ABC l n nh t. 155. (D b D, 2007) Trong m t ph ng v i h to đ Oxy, cho các đi m A(2; 1), B(2; −1) và các đư ng th ng d1 : (m − 1)x + (m − 2)y + 2 − m = 0, d2 : (2 − m)x + (m − 1)y + 3m − 5 = 0. Ch ng minh r ng d1 luôn c t d2 . G i P là giao đi m c a d1 và d2 , tìm m sao cho t ng kho ng cách P A + P B l n nh t. 156. (D b , 2004) Trong m t ph ng v i h to đ Oxy, cho đi m A(0; 2) và đư ng th ng d : x − 2y + 2 = 0. Tìm trên d hai đi m B, C sao cho tam giác ABC vuông B và AB = 2BC. 157. (D b , 2005) Trong m t ph ng v i h to đ Oxy, cho tam giác cân ABC có tr ng tâm 4 1 G ; , phương trình đư ng th ng BC là x − 2y − 4 = 0 và phương trình đư ng th ng BG 3 3 là 7x − 4y − 8 = 0. Tìm to đ các đ nh A, B, C. 158. (D b , 2005) Trong m t ph ng v i h to đ Oxy, cho hai đi m A(0; 5), B(2; 3). Vi t phương √ trình đư ng tròn đi qua hai đi m A, B và có bán kính R b ng 10. 159. (D b , 2005) Trong m t ph ng v i h to đ Oxy cho đư ng tròn (C ) : x2 +y 2 −4x−6y −12 = 0. Tìm to đ đi m M thu c đư ng th ng d : 2x − y + 3 = 0 sao cho M I = 2R, trong đó I là tâm và R là bán kính c a đư ng tròn (C ). 160. (D b , 2005) Trong m t ph ng v i h to đ Oxy cho tam giác ABC vuông A. Bi t 1 A(−1; 4), B(1; −4) và đư ng th ng BC đi qua đi m M 2; . Tìm to đ đ nh C. 2 161. (D b , 2004) Trong m t ph ng v i h to đ Oxy cho hai đư ng th ng d1 : x + y + 5 = 0, d2 : x + 2y − 7 = 0 và đi m A(2; 3). Tìm đi m B thu c d1 và đi m C thu c d2 sao cho tam giác ABC có tr ng tâm là đi m G(2; 0). 162. (D b , 2004) Trong m t ph ng v i h to đ Oxy cho đi m I(−2; 0) và hai đư ng th ng d1 : 2x − y + 5 = 0, d2 : x + y − 3 = 0. Vi te phương trình đư ng th ng d đi qua đi m I và c t #» #» hai đư ng th ng d1 , d2 l n lư t t i A, B sao cho IA = 2IB. 163. (Cao đ ng Y t 2006) Cho hai đư ng th ng d1 : 2x + y − 1 = 0, d2 : 2x − y + 2 = 0. Vi t phương trình đư ng tròn có tâm n m trên tr c Ox đ ng th i ti p xúc v i d1 và d2 . 19
  20. 164. ((Cao đ ng MGTW 3 2006) Cho hai đư ng th ng (d1 ) : x − y + 2 = 0, (d2 ) : 2x + y − 5 = 0 = 0 và đi m M (−1; 4). (a) Vi t phương trình đư ng th ng ∆ c t (d1 ), (d2 ) l n lư t t i A và B sao cho M là trung đi m c a đo n AB. (b) Vi t phương trình c a đư ng tròn (C ) qua M và ti p xúc v i đư ng th ng (d1 ) t i giao đi m c a (d1 ) và tr c tung. 165. (CĐSP Hà N i, 2006) Cho tam giác ABC có đi m A(1; 2), đư ng trung tuy n BM và đư ng phân giác trong CD tương ng có phương trình 2x + y + 1 = 0, x + y − 1 = 0. Hãy vi t phương trình đư ng th ng BC. 166. Cho đư ng tròn (C ) : x2 + y 2 − 4x + 6y − 21 = 0. a) Vi t phương trình ti p tuy n c a (C ) t i đi m M (5; 2). b) Vi t phương trình ti p tuy n v i (C ) song song v i đư ng th ng 5x + 12y − 1 = 0. c) Vi t phương trình ti p tuy n v i (C ) vuông góc v i đư ng th ng 2x + 5y = 0. 167. Cho h đư ng cong (Cm ) có phương trình x2 + y 2 − 2(m + 1)x − 4(m − 1)y + 5 − m = 0. a) Tìm m đ (Cm ) là đư ng tròn. b) Khi (Cm ) là đư ng tròn, xác đ nh m đ đư ng th ng x − y + 2 = 0 là ti p tuy n c a (Cm ). 168. Gi i các phương trình, b t phương trình sau: n−1 a) A3 + Cx = 14x; x 2 e) A3 + Cn+1 = 14(n + 1); n+1 4 5 6 b) (TN, 2006) Cn + Cn = 3Cn+1 ; 1 2 6 3 f) A − A2 C + 10; c) Px A2 x + 72 = 6(A2 x + 2Px ); 2 2x x x x 2 n−2 2 3 3 n−3 d) Cn Cn + 2Cn Cn + Cn Cn = 100; g) A3 + 2Cn n n−2 9; 169. (D b 2005) Tìm s nguyên n l n hơn 1 tho mãn đ ng th c 2Pn + 6A2 − Pn A2 = 12. n n 170. (D b 2004) Cho t p A g m n ph n t (n 7). Tìm n, bi t r ng s t p con g m 7 ph n t c a t p A b ng hai l n s t p con g m 3 ph n t c a t p A. A4 + 3A3 n+1 n 171. (D, 2005)Tìm giá tr c a bi u th c M = , (n + 1)! 2 2 2 2 bi t r ng Cn+1 + 2Cn+2 + 2Cn+3 + Cn+4 = 149. 172. Tìm t t c các s t nhiên x, y sao cho Ay−1 : Ay : Cx−1 = 21 : 60 : 10. x x−1 y 173. (A, 2005) Tìm s nguyên dương n sao cho C2n+1 − 2.C2n+1 + 3.22 .C2n+1 − 4.23 .C2n+1 + · · · + (2n + 1).22n .C2n+1 = 2005 1 2 3 4 2n+1 k (Cn là s t h p ch p k c a n ph n t ). 20