Xem mẫu

http://toanhocmuonmau.violet.vn
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BẮC GIANG

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2012-2013
MÔN THI: TOÁN - LỚP 11 PHỔ THÔNG

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Ngày thi:31 /03/2013
Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề

Đề thi có 01 trang

Câu 1. (5 điểm)
Giải các phương trình sau:
1) cos 4 x + 2 cos 2 x − 2sin 2 x = 3 ,
2) sin 2 x cos 2 x + 4sin x cos 2 x − 3sin 2 x − cos2 x − 2 cos x + 3 = 0,

(x ∈ ℝ ).
(x ∈ ℝ ).

Câu 2. (4 điểm)
1) Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số sao cho trong mỗi số đó có một chữ số xuất
hiện hai lần, các chữ số còn lại xuất hiện không quá một lần.
2) Cho n là số nguyên dương thoả mãn 1Cn1 + 2Cn2 + 3Cn3 + ... + nCnn = 128n.
Tìm hệ số của x6 trong khai triển thành đa thức của
f ( x) = 2(1 + x) n + x(2 + x) n +1 .
Câu 3. (3 điểm)
1) Cho dãy số (un) được xác định như sau
 x1 = 1

1
2013 

 xn +1 = 2  xn + x  , n ≥ 1.

n 

Chứng minh rằng dãy số trên có giới hạn và tìm lim xn .
n →+∞

2) Tính giới hạn
lim
x →0

4 + x.3 1 + 2 x − 2
.
x

Câu 4. (6 điểm)
1) Trong mặt phẳng, cho ba điểm A, B, C di động sao cho chúng luôn tạo thành một
tam giác có trọng tâm G cố định và trực tâm H luôn chạy trên đường thẳng ∆ cố định. Tìm
tập hợp tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
2) Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a. Đường thẳng SA vuông
góc với mặt phẳng (ABCD). Góc giữa SB và (ABCD) bằng 600. Gọi N là trung điểm BC.
Mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với SC.
a. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng SD và AN.
b. Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng (P) và hình chóp S.ABCD.
Câu 5. (2 điểm)
Cho A, B, C là ba góc của một tam giác. Chứng minh rằng
sin A + sin B −

2
cos C ≤ 2.
2

--------------------------------Hết------------------------------Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh................................................ Số báo danh:........................................
Giám thị 1 (Họ tên và ký)..................................................................................................
Giám thị 2 (Họ tên và ký)..................................................................................................

http://toanhocmuonmau.violet.vn
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BẮC GIANG

HƯỚNG DẪN CHẤM
BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP TỈNH

NGÀY THI 31/3/2013
ĐỀ CHÍNH THỨC

MÔN THI: TOÁN LỚP 11 PHỔ THÔNG

Bản hướng dẫn chấm có 03 trang

Câu
Câu I

Phương pháp – Kết quả
1) Phương trình tương đương với
(1 + cos 2 x) 2
+ 2 cos 2 x − (1 − cos 2 x) = 3
4
⇔ cos 2 2 x + 14 cos 2 x − 15 = 0
 cos2 x = 1
⇔
⇔ cos2 x = 1
 cos2 x = −15
⇔ x = kπ , k ∈ ℤ.

2) Phương trình đã cho tương đương với
sin 2x(2cos2 x -1) + 4sin x cos2 x –3sin2x –(2cos2 x – 1 ) –2cos x + 3 = 0
⇔ (2sin2xcos2x – 2cos2 x) + (4sinxcos2 x – 2cos x) – 4sin 2x + 4 = 0
2
⇔ 2cos x(sin2x – 1) + 2cos x(sin2x – 1) – 4(sin 2x - 1) = 0
2
⇔ (sin 2x - 1)(cos x + cos x - 2) = 0
sin 2 x = 1
π


 x = + kπ
⇔ cos x = 1 ⇔
4

cos x = −2
 x = k 2π ,

k ∈ ℤ.

Câu II 1) Trường hợp 1: Chữ số 0 xuất hiện 2 lần
Có C32 cách chọn 2 vị trí cho chữ số 0.
Có A92 cách xếp 2 chữ số trong 9 chữ số vào 2 vị trí còn lại
Vậy có C32 A92 số có 4 chữ số thoả mãn trường hợp này.
TH2: Chữ số a (khác 0) xuất hiện 2 lần và a ở vị trí đầu tiên (vị trí hàng
nghìn).
Có 9 cách chọn a
Có 3 cách chọn thêm một vị trí nữa cho a.
Có A92 cách xếp 2 chữ số trong 9 chữ số vào 2 vị trí còn lại
Vậy có 9.3 A92 số có 4 chữ số thoả mãn trường hợp này.
TH3: Chữ số a (khác 0) xuất hiện 2 lần và a không xuất hiện ở vị trí hàng
nghìn
Có 9 cách chọn a
Có C32 cách chọn 2 vị trí cho chữ số a.
Có 8 cách chọn một chữ số (khác 0 và khác a) vào vị trí hàng nghìn.
Có 8 cách chọn một chữ số vào vị trí còn lại.
Vậy có 9.8.8. C32 số có 4 chữ số thoả mãn trường hợp này
Theo quy tắc cộng, có C32 A92 + 9.3 A92 + 9.8.8. C32 = 3888 số thoả mãn đầu
bài.

Điểm

0,5
0,5
0,5
0,5

1

1

0,5

0,5

0,5
0,5

http://toanhocmuonmau.violet.vn
2) Chứng minh được 1Cn1 + 2Cn2 + 3Cn3 + ... + nCnn = n.2n −1
Từ đó suy ra 2n – 1 = 128 ⇔ n = 8.
8

9

Vậy f ( x) = 2(1 + x)8 + x(2 + x)9 = ∑ 2C8k x k + ∑ C9i 29−i xi +1
k =0

i =0
4

Từ đó tìm được hệ số cần tìm là 2C + C .2 = 2072
6
8

Câu
III

5
9

0,5
0,5
0,5
0,5

1) Dễ thấy xn > 0 với mọi n
1
2

Ta có xn +1 =  xn +

2013  1
2013
= 2013
 ≥ .2 xn .
xn  2
xn

0,5

Do đó xn ≥

2013 với mọi n ≥ 1.nên (xn) là dãy bị chăn dưới
2013 − xn2
1 2013
Mặt khác xn +1 − xn = (
− xn ) =
≤ 0 do xn ≥ 2013 với n ≥ 2.
2 xn
2 xn

Do đó dãy (xn) giảm kể từ số hạng thứ 3.
Từ đó suy ra dãy (xn) có giới hạn hữu hạn.
1

1

2013 

2013

Đặt a = lim xn suy ra a =  a +
⇔ a = ± 2013
⇔a=
n →+∞
2
a 
a
Suy ra lim xn = 2013 vì xn > 0 với mọi n.
n →+∞

4 + x. 1 + 2x − 2
4 + x .( 1 + 2 x − 1) + 4 + x − 2
= lim
x →0
x
x
3
 4 + x .( 1 + 2 x − 1)
4+ x −2
= lim 
+

x →0
x
x


3

2) Ta có lim
x →0



2 4+ x
1

= lim 
+
2
3
x →0  3

4
+
x
+
2
x
x
(1
+
2
)
+
1
+
2
+
1


4 1 19
= + = .
3 4 12

Câu
IV

0,5

3

0,5
0,5

0,5
0,5

1) Gọi A’, B’, C’ lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB.
Khi đó O là trực tâm tam giác A’B’C’.


1

Phép vị tự VG 2 biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C’


1

1
2

Do đó VG : H → O


1
2

Gọi ∆ ’ là ảnh của ∆ qua VG
Khi đó tập hợp O chính là đường thẳng ∆ ’.
2) Góc giữa SB và (ABCD) là SBA = 600
Từ đó tính được SA = a 3
Gọi K, L lần lượt là trung điểm của AD và SA ⇒ KL//SD và CK // AN
Do đó góc α giữa SD và AN chính là góc giữa KL và CK
a 5
a 11
, KL = a, LC =
2
2
2
2
2
CK + KL − LC
5
Do đó cos CKL =
=−
2CK .KL
10

0,5
0,5

0,5

0,5

Tính được CK =

0,5

http://toanhocmuonmau.violet.vn
Suy ra cos α =

0,5

5
.
10

2) (P) cắt SB, SC, SD lần lượt tại B’C’D’
Dễ chứng minh được AC’ ⊥ B’D’
Từ đó suy ra S AB 'C ' D ' =

0,5

AC ' .B ' D '
2


a 30
 AC ' =

5
∆ SAC vuông tại A, AC’ ⊥ SC nên tính được 
 SC ' = 3a 5

5
SD ' SC ' 3 5
3a
∆ SD’C’ đồng dạng với ∆ SCA nên
=
=
⇒ SD ' =
SC
SD
10
2
B ' D ' SD ' 3
3a 2
=
= ⇒ B'D' =
Ta có
BD
SD 4
4
'
2
AC .B ' D ' 3a 15
Vậy S AB 'C ' D ' =
=
2
20

0,5

0,5

0,5

Câu V Ta có
2
A+ B
A− B
2
cos C ≤ 2 sin
cos

cos C
2
2
2
2
C
2
C
≤ 2 cos . −
(2 cos 2 − 1)
2
2
2
C
Đặt t = cos
2
2 2
Ta sẽ chứng minh 2t −
(2t − 1) ≤ 2
2
sin A + sin B −

1

(*)
Thật vậy
(*) ⇔ 2t 2 − 2t 2 + 1 ≥ 0 ⇔ (t 2 − 1)2 ≥ 0 (luôn đúng)

Từ đó suy ra (*) đúng
Vậy có điều phải chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC vuông cân tại C.
Lưu ý khi chấm bài:
Trên đây chỉ là sơ lược đáp án, bài làm của học sinh phải được trình bày tỉ mỉ.
Mọi cách giải khác, nếu đúng, vẫn cho điểm tương đương như trên.

1