Xem mẫu
- Tr−êng THPT NguyÔn HuÖ ®Ò thi thö ®¹i häc lÇn 1 n¨m 2010
M«n: TO¸N ; Khèi: A,B
(Thêi gian l m b i: 180 phót)
PhÇn chung cho tÊt c¶ thÝ sinh (7,0 ®iÓm)
2x +1
C©u I (2 ®iÓm) Cho h m sè y =
x +1
1. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn v vÏ ®å thÞ (C) cña h m sè ® cho.
2. T×m trªn (C) nh÷ng ®iÓm cã tæng kho¶ng c¸ch ®Õn hai tiÖm cËn cña (C) nhá nhÊt.
C©u II (2 ®iÓm)
x+1 + y −1 = 4
1. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh:
x+6 + y + 4 = 6
1 2(cos x − sin x)
2. Gi¶i ph−¬ng tr×nh: =
tan x + cot 2 x cot x − 1
C©u III (1 ®iÓm)
Trong mÆt ph¼ng (P) cho ®−êng trßn (C) t©m O ®−êng kÝnh AB = 2R.Trªn ®−êng th¼ng vu«ng
2R
gãc víi (P) t¹i O lÊy ®iÓm S sao cho OS = R 3 . I l ®iÓm thuéc ®o¹n OS víi SI = . M l mét
3
®iÓm thuéc (C). H l h×nh chiÕu cña I trªn SM. T×m vÞ trÝ cña M trªn (C) ®Ó tø diÖn ABHM cã thÓ tÝch
lín nhÊt.T×m gi¸ trÞ lín nhÊt ®ã.
C©u IV (1 ®iÓm)
1
dx
TÝnh tÝch ph©n: I= ∫ 1+ x +
−1 1 + x2
C©u V (1 ®iÓm) Cho x, y, z l 3 sè thùc d−¬ng tháa m n xyz=1. Chøng minh r»ng
1 1 1
+ + ≤1
x + y +1 y + z +1 z + x +1
PhÇn riªng (3,0 ®iÓm).ThÝ sinh chØ ®−îc l m mét trong hai phÇn (phÇn A hoÆc B)
A.Theo ch−¬ng tr×nh ChuÈn
C©u VI.a (1 ®iÓm) Trong mÆt ph¼ng Oxy cho tam gi¸c ABC biÕt A(2; - 3), B(3; - 2), cã diÖn tÝch
3
b»ng v träng t©m thuéc ®−êng th¼ng ∆ : 3x – y – 8 = 0. T×m täa ®é ®Ønh C.
2
C©u VII.a (1 ®iÓm) Tõ c¸c ch÷ sè 0,1,2,3,6,7,8,9 cã thÓ lËp ®−îc bao nhiªu sè tù nhiªn cã 6 ch÷ sè
®«i mét kh¸c nhau ( ch÷ sè ®Çu tiªn ph¶i kh¸c 0) trong ®ã ph¶i cã ch÷ sè 7.
C©u VIII.a (1 ®iÓm) T×m a ®Ó bÊt ph−¬ng tr×nh sau cã nghiÖm: log 1 x 2 + 1 > log 1 ( ax + a )
3 3
B.Theo ch−¬ng tr×nh N©ng cao
x2 y2
C©u VI.b (1 ®iÓm) Trong mÆt ph¼ng Oxy cho elip (E): + = 1 v ®−êng th¼ng ∆ :3x + 4y =12.
4 3
Tõ ®iÓm M bÊt k× trªn ∆ kÎ tíi (E) c¸c tiÕp tuyÕn MA, MB. Chøng minh r»ng ®−êng th¼ng AB lu«n
®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh.
x2 + 4x + 3
C©u VII.b (1 ®iÓm) Cho h m sè y = cã ®å thÞ (C).Gi¶ sö ®−êng th¼ng y = kx + 1 c¾t (C)
x+2
t¹i 2 ®iÓm ph©n biÖt A, B. T×m tËp hîp trung ®iÓm I cña AB khi k thay ®æi.
( ) ( )
log2 x log2 x
C©u VIII.b (1 ®iÓm) Gi¶i ph−¬ng tr×nh: 3 +1 + x. 3 −1 = 1 + x2
------------ H T -------------
http://ebook.here.vn - Thư vi n sách tr c tuy n
- Trêng THPT NguyÔn HuÖ ®¸p ¸n – thang ®iÓm
®Ò thi thö ®¹i häc lÇn 1 n¨m 2010
M«n: TO¸N - Khèi: A,B
Lu ý:Mäi c¸ch gi¶i ®óng v ng¾n gän ®Òu cho ®iÓm tèi ®a
C©u §¸p ¸n §iÓm
I 1.(1,0 ®iÓm) Kh¶o s¸t . . .
(2,0 ®iÓm) * TËp x¸c ®Þnh: D = R\{ - 1}
* Sù biÕn thiªn 0,25
- Giíi h¹n v tiÖm cËn: xlim y = xlim y = 2 ; tiÖm cËn ngang: y = 2
→+∞ →−∞
lim y = +∞; lim + y = −∞ ; tiÖm cËn ®øng: x = - 1
x → ( −1)− x → ( −1)
- B¶ng biÕn thiªn
1
Ta cã y ' = < 0 víi mäi x ≠ - 1
( x + 1)2 0,5
x -∞ -1 +∞
y’ + +
y +∞ 2
2 -∞
H m sè ®ång biÕn trªn mçi kho¶ng (- ∞ ; -1) v ( -1; + ∞ )
* §å thÞ
0,25
2. (1,0 ®iÓm) T×m trªn (C) nh÷ng ®iÓm. . .
2 x0 + 1 0,25
Gäi M(x0;y0) l mét ®iÓm thuéc (C), (x0 ≠ - 1) th× y0 =
x0 + 1
Gäi A, B lÇn lît l h×nh chiÕu cña M trªn TC§ v TCN th×
http://ebook.here.vn - Thư vi n sách tr c tuy n
- 0,25
2x +1 1
MA = |x0+1| , MB = | y0- 2| = | 0 - 2| = | |
x0 + 1 x0 + 1
1 0,25
Theo Cauchy th× MA + MB ≥ 2 x 0 + 1 . =2
x0 + 1
⇒ MA + MB nhá nhÊt b»ng 2 khi x0 = 0 hoÆc x0 = -2.Nh vËy ta cã hai
®iÓm cÇn t×m l (0;1) v (-2;3) 0,25
II 1.(1,0 ®iÓm) Gi¶i hÖ . . .
§iÒu kiÖn: x ≥ -1, y ≥ 1 0,25
Céng vÕ theo vÕ råi trõ vÕ theo vÕ ta cã hÖ
(2,0 ®iÓm) x+1 + x+6 + y −1 + y +4 =10 0,25
x+6 − x+1 + y +4 − y −1 = 2
§Æt u= x + 1 + x + 6 , v = y − 1 + y + 4 . Ta cã hÖ
u + v= 10
5 5
+ =2
{
u= 5
⇒ v =5 0,25
u v
{ x= 3
⇒ y =5 l nghiÖm cña hÖ 0,25
2. (1,0 ®iÓm) Gi¶i ph¬ng tr×nh . . .
§iÒu kiÖn:sinx.cosx ≠ 0 v cotx ≠ 1 0,25
Ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng
1 2(cos x − sin x ) 0,25
=
sin x cos 2 x cos x
+ −1
cos x sin 2 x sin x
2 π
⇒ cosx = ⇒ x = ± + k 2π 0,25
2 4
π
§èi chiÕu ®iÒu kiÖn pt cã 1 hä nghiÖm x = − + k 2π 0,25
4
III T×m vÞ trÝ . . .
http://ebook.here.vn - Thư vi n sách tr c tuy n
- (1,0 ®iÓm) S
H
I
O
B
A
M
2R
Tø gi¸c IHMO néi tiÕp nªn SH.SM = SI.SO m OS = R 3 , SI = ,
3
SM = SO 2 + OM 2 = 2 R ⇒ SH = R hay H l trung ®iÓm cña SM 0,25
1 3
Gäi K l h×nh chiÕu vu«ng gãc cña H lªn mp(MAB) th× HK = SO= R,
2 2
(kh«ng ®æi)
⇒ VBAHM lín nhÊt khi dt( ∆ MAB) lín nhÊt ⇒ M l ®iÓm gi÷a cña cung AB
0,25
3 3
Khi ®ã VBAHM= R (®vtt)
6
0,5
IV TÝnh tÝch ph©n . . .
(1,0 ®iÓm) §Æt u = x+ 1 + x 2 th× u - x= 1 + x 2 ⇒ x 2 − 2ux + u 2 = 1 + x 2
u2 −1 1 1
⇒x= ⇒ dx = 1 + 2 du
2u 2 u
§æi cËn x= - 1 th× u = 2 -1 0,25
x = 1 th× u = 2 +1
1 1
1 + 2 du 1
2 +1 2 +1 2 +1
⇒I= ∫
2 u du 1 du 0,25
1+ u
=
2 ∫ 1+ u + 2 ∫ (1 + u )u 2
2 −1 2 −1 2 −1
2 +1 2 +1
1 du 1 1 1 1
= ∫ 1+ u + 2 ∫ 2− + du
u u +1
0,25
2 −1
2 2 −1
u
=1 0,25
C©u V §Æt x=a3 y=b3 z=c3 th× x, y, z >0 v abc=1.Ta cã 0,25
(1,0 ®iÓm)
a3 + b3=(a+b)(a2+b2-ab) ≥ (a+b)ab, do a+b>0 v a2+b2-ab ≥ ab
⇒ a3 + b3+1 ≥ (a+b)ab+abc=ab(a+b+c)>0
http://ebook.here.vn - Thư vi n sách tr c tuy n
- 1 1
⇒ ≤
a + b + 1 ab ( a + b + c )
3 3
0,5
T¬ng tù ta cã
1 1 1 1
≤ , ≤
b + c + 1 bc ( a + b + c )
33
c + a + 1 ca ( a + b + c )
3 3
Céng theo vÕ ta cã
1 1 1 1 1 1
+ + = 3 + 3 3 + 3 3
x + y +1 y + z +1 z + x +1 a + b +1 b + c +1 c + a +1
3
1 1 1 1 1
≤ + + = (c + a + b) = 1
( a + b + c ) ab bc ca ( a + b + c )
DÊu b»ng x¶y ra khi x=y=z=1
0,25
VI. a T×m täa ®é . . .
(1,0 ®iÓm) Ta cã: AB = 2 , M = ( 5 ; − 5 ), pt AB: x – y – 5 = 0
2 2
1 3 3
S ∆ABC = d(C, AB).AB = ⇒ d(C, AB)=
2 2 2 0,25
1
Gäi G(t;3t-8) l träng t©m tam gi¸c ABC th× d(G, AB)=
2
t − (3t − 8) − 5 1
⇒ d(G, AB)= = ⇒ t = 1 hoÆc t = 2
2 2
0,5
⇒ G(1; - 5) hoÆc G(2; - 2)
uuuu
r uuuu r 0,25
M CM = 3GM ⇒ C = (-2; 10) hoÆc C = (1; -4)
VII. a Tõ c¸c ch÷ sè . . .
(1,0 ®iÓm) Gäi sè cã 6 ch÷ sè l abcdef
NÕu a = 7 th× cã 7 c¸ch chän b, 6 c¸ch chän c, 5 c¸ch chän d, 4 c¸ch
chän e, 3 c¸ch chän f. ë ®©y cã 7.6.5.4.3 = 2520sè 0,25
NÕu b = 7 th× cã 6 c¸ch chän a, 6 c¸ch chän c, 5 c¸ch chän d, 4 c¸ch
chän e, 3 c¸ch chän f. ë ®©y cã 6.6.5.4.3 = 2160sè
0,5
T¬ng tù víi c, d, e, f
VËy tÊt c¶ cã 2520+5.2160 = 13320 sè
0,25
VIII. a T×m a ®Ó . . .
(1,0 ®iÓm) §iÒu kiÖn: ax + a > 0
Bpt t¬ng ®¬ng x 2 + 1 < a( x + 1)
x2 + 1
NÕu a>0 th× x +1 >0.Ta cã
- x2 + 1
NÕu a hoÆc a < - 1 0,25
2
VI. b Chøng minh . . .
(1,0 ®iÓm) Gäi M(x0 ;y0 ), A(x1;y1), B(x2;y2)
TiÕp tuyÕn t¹i A cã d¹ng
xx1 yy1
+ =1
0,25
4 3
TiÕp tuyÕn ®i qua M nªn
x0 x1 y0 y1
+ =1 (1)
4 3
Ta thÊy täa ®é cña A v B ®Òu tháa m n (1) nªn ®êng th¼ng AB cã pt
xx0 yy0
+ = 1 do M thuéc ∆ nªn 3x0 + 4y0 =12 ⇒ 4y0 =12-3x0
4 3
4 xx0 4 yy0 4 xx0 y (12 − 3 x0 )
⇒ + =4⇒ + =4
4 3 4 3
Gäi F(x;y) l ®iÓm cè ®Þnh m AB ®i qua víi mäi M th× 0,5
(x- y)x0 + 4y – 4 = 0
⇒ { 4x−y−4=0 ⇒ { xy=11
y =0 =
VËy AB lu«n ®i qua ®iÓm cè ®Þnh F(1;1)
0,25
VII. b T×m tËp hîp . . .
(1,0 ®iÓm) x2 + 4x + 3
y = kx + 1 c¾t (C): y = . Ta cã pt
x+2
x2 + 4x + 3
= kx + 1 cã 2 nghiÖm ph©n biÖt ⇒ k ≠ 1 0,25
x+2
Trung ®iÓm I cña AB cã täa ®é tháa m n
0,5
http://ebook.here.vn - Thư vi n sách tr c tuy n
- x= 2k +3
2k −2 2x2 + 5x − 2
y =kx+1 ⇒ y = 0,25
2x − 2
2 x2 + 5x − 2
VËy quÜ tÝch cÇn t×m l ®êng cong y =
2x − 2
VIII. b Gi¶i ph¬ng tr×nh . . .
(1,0 ®iÓm) §iÒu kiÖn : x>0
( ) ( ) 0,25
log 2 x log 2 x
§Æt 3 +1 =u, 3 −1 = v ta cã pt
u +uv2 = 1 + u2 v2 ⇔ (uv2-1)(u – 1) = 0 0,5
⇔ u =2 . . . x =1
1
uv =1 0,25
http://ebook.here.vn - Thư vi n sách tr c tuy n
nguon tai.lieu . vn
