Xem mẫu

  1. Edited by Foxit Reader ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Copyright(C) by Foxit Corporation,2005-2010 toác naêm 2009 15 Boä ñeà toaùn caáp For EvaluationKHOA PH N I. TÓM T T GIÁO Only. A. ð I S I. PHƯƠNG TRÌNH VÀ B T PHƯƠNG TRÌNH 1. Phương trình b c hai Cho phương trình b c hai ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) (3) có ∆ = b2 − 4ac . b 1) ∆ < 0 : (3) vô nghi m. 2) ∆ = 0 : (3) có nghi m kép x = − . 2a −b ± ∆ −b ± b2 − 4ac 3) ∆ > 0 : (3) có hai nghi m phân bi t x1,2 = = . 2a 2a ð nh lý Vi–et (thu n và ñ o)   S = x + x = − b  1) Cho phương trình ax + bx + c = 0 có hai nghi m x1, x2 thì  1 2 2  a.   P = x .x = c   1 2  a  S = x + y 2) N u bi t   thì x, y là nghi m c a phương trình X2 − SX + P = 0 .  P = x.y   2. B ng xét d u c a tam th c b c hai f(x) = ax2 + bx + c 1) a > 0, ∆ > 0 : 2) a < 0, ∆ > 0 : x −∞ x1 x2 +∞ x −∞ x1 x2 +∞ f(x) + 0 – 0 + f(x) – 0 + 0 – 3) a > 0, ∆ = 0 : 4) a < 0, ∆ = 0 : x −∞ xkép +∞ x −∞ xkép +∞ f(x) + 0 + f(x) – 0 – 5) a > 0, ∆ < 0 : 6) a < 0, ∆ < 0 : x −∞ +∞ x −∞ +∞ f(x) + f(x) – 3. B ng bi n thiên c a hàm s b c hai f(x) = ax2 + bx + c 1) a > 0: 2) a < 0: b b x −∞ − +∞ x −∞ − +∞ 2a 2a f(x) +∞ +∞ f(x) Cð CT −∞ −∞ 4. So sánh nghi m c a tam th c b c hai f(x) = ax2 + bx + c v i m t s  x < α < x2 < β 1) af(α) < 0 ⇔ x1 < α < x 2 2) f(α ).f(β) < 0 ⇔  1  α < x1 < β < x2    ∆ > 0     ∆ > 0   3)  af(α) > 0 ⇔ α < x1 < x2    4)  af(α) > 0 ⇔ x1 < x2 < α  S    >α S   2 
  2. Edited by Foxit Reader ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Copyright(C) by Foxit Corporation,2005-2010 toác naêm 2009 15 Boä ñeà toaùn caáp 7.2. Phương trình b c b n ñ c bi t For Evaluation Only. a) Phương trình trùng phương ax4 + bx2 + c = 0 ( a ≠ 0 ) (5) Phương pháp gi i: ð t t = x2, t ≥ 0 . (5) ⇔ at2 + bt + c = 0. b) Phương trình có d ng (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = e v i a + c = b + d (6) Phương pháp gi i: ð t t = (x + a)(x + c), ñưa (6) v phương trình b c 2 theo t. c) Phương trình có d ng (x + a)4 + (x + b)4 = c (7) a+b Phương pháp gi i: ð t t = x + , ñưa (7) v phương trình trùng phương theo t. 2 d) Phương trình trùng phương ax4 + bx3 + cx2 ± bx + a = 0 ( a ≠ 0 ) (8) Phương pháp gi i  1   + bx ± 1  + c = 0 .  Bư c 1. Chia 2 v cho x2, (8) ⇔ a  x2 +          x  2    x 1 Bư c 2. ð t t = x ± , ñưa (8) v phương trình b c hai theo t. x P(x) 8. B t phương trình h u t >0 Q(x) Bư c 1. L p tr c xét d u chung cho P(x) và Q(x). Bư c 2. D a vào tr c xét d u ñ k t lu n nghi m. 9. ði u ki n ñ phương trình có nghi m trong kho ng (a; b) a) ð nh lý 1 Hàm s f(x) liên t c trên [a; b] th a f(a).f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có nghi m trong (a; b) (ngư c l i không ñúng). b) ð nh lý 2 Hàm s f(x) liên t c trên [a; b] và có f / (x) > 0 (ho c f / (x) < 0 ) trong kho ng (a, b) thì phương trình f(x) = 0 có không quá 1 nghi m trong (a, b) . II. PHƯƠNG TRÌNH VÀ B T PHƯƠNG TRÌNH VÔ T . 1. Các h ng ñ ng th c c n nh   A, A ≥ 0  B 2 3B2 1) A2 = A =   ; 2) A2 ± AB + B2 =  A ±  +    ; −A, A < 0   2  4    2 3) (A ± B) = A ± B ± 3AB ( A ± B ) ; 3 3 3 2 x + b  − ∆ . 4) ax + bx + c = a       2a  4a 2. Phương trình và b t phương trình ch a giá tr tuy t ñ i B ≥ 0  1) A = B ⇔ A2 = B2 ⇔ A = ±B ; 2) A = B ⇔   ; 3) A < B ⇔ − B < A < B ;  A = ±B   B > 0  B ≥ 0  4) A < B ⇔   ; 5) A > B ⇔ B < 0 ∨   . −B < A < B   A < −B ∨ A > B    3. Phương trình và b t phương trình vô t A ≥ 0 ∨ B ≥ 0  1) A = B ⇔   ; 2) A = B ⇔ B ≥ 0 ∧ A = B2 ; 3) A + B = 0 ⇔ A = B = 0 ; A = B   A ≥ 0 ∧ B ≥ 0 ∧ C ≥ 0  B ≥ 0   4) A + B = C ⇔   ñưa v d ng A = B ; 5) A > B ⇔   ; ( ) 2  A+ B =C  A > B     A ≥ 0 ∧ B > 0   B < 0 B ≥ 0  6) AB⇔  ∨  ; 8) 3 A< 3 B ⇔ A < B;  A < B2   A ≥ 0  A > B2      A ≥ 0 ∨ B ≥ 0  B ≥ 0  10) 2n A = 2n B ⇔  A =B⇔ 2n +1 9) A = B ⇔ A = B2n +1 ;  ; 11) 2n  . A = B   A = B2n    III. PHƯƠNG TRÌNH – B T PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT 1. Hàm s mũ y = ax (a > 0) 1) Mi n xác ñ nh D = ℝ 2) Mi n giá tr G = (0; +∞) 3) 0< a< 1: Hàm ngh ch bi n trên ℝ 4) a > 1: Hàm s ñ ng bi n trên ℝ lim a x = +∞, lim a x = 0 lim a x = 0, lim a x = +∞ x →−∞ x →+∞ x →−∞ x →+∞ Trang 2
  3. Edited by Foxit Reader ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Copyright(C) by Foxit Corporation,2005-2010 toác naêm 2009 15 Boä ñeà toaùn caáp For Evaluation Only. M t s công th c c n nh (gi s các ñi u ki n ñư c th a) 1 1) a 0 = 1 (a ≠ 0) ; 2) a−n = ; 3) a m .a n = a m + n ; 4) a m : a n = a m−n ; an  a m am m 5) ( a ) = a ; 7)   = n n 6) (ab) = a .b ;   8) a n = a m . m m.n m m m  ; b   b m 2. Hàm s logarit y = logax (0 < a ≠ 1) : y = logax ⇔ x = ay 1) Mi n xác ñ nh D = (0; +∞) 2) Mi n giá tr G = ℝ 3) 0 < a < 1: Hàm ngh ch bi n trên D 4) a > 1: Hàm s ñ ng bi n trên D lim y = +∞, lim y = −∞ lim y = −∞, lim y = +∞ x → 0+ x →+∞ x → 0+ x →+∞ M t s công th c c n nh (gi s các ñi u ki n ñư c th a) 1) a loga x = x ; 2) eln x = x ; 3) a logb c = c logb a ; 4) log a x2n = 2n log a x ; β 1 log c b 5) log aα b β = log a b ; 6) log a b = ; 7) log a b = ; 8) log a b.log b c = log a c ; α log b a log c a   9) log a (bc) = log a b + log a c ; b 10) log a   = log a b − log a c .   c  3. Phương trình và b t phương trình mũ cơ b n  a = 1    a f(x) = b  b > 0    ∀x ∈ ℝ : f(x), g(x) ∈ ℝ  1)    ⇔ ; 2) a f(x) = a g(x) ⇔    ; 0 < a ≠ 1    f(x) = log a b   0 < a ≠ 1     f(x) = g(x)   b > 0   b > 0     a f(x) > b    f(x) < log b   a f(x) > b    f(x) > log b  3)  ⇔    a ; 4)   ⇔   a ; 0 < a < 1 b ≤ 0   a > 1 b ≤ 0          ∀x ∈ ℝ : f(x) ∈ ℝ   ∀x ∈ ℝ : f(x) ∈ ℝ      a f(x) > a g(x)  a f(x) > a g(x)  5)   ⇔ f(x) < g(x) ; 6)   ⇔ f(x) > g(x) . 0 < a < 1  a > 1    4. Phương trình và b t phương trình logarit cơ b n  log f(x) = b   log f(x) = log a g(x)   f(x) > 0  1)  a  ⇔ f(x) = a b ; 2)  a  ⇔ ; 0 < a ≠ 1  0 < a ≠ 1   f(x) = g(x)      log f(x) > b   log f(x) > b  3)  a  ⇔ 0 < f(x) < a b ; 4)  a  ⇔ f(x) > a b ; 0 < a < 1  a > 1     log f(x) > log a g(x)   log f(x) > log a g(x)  5)  a  ⇔ 0 < f(x) < g(x); 6)  a  ⇔ f(x) > g(x) > 0. 0 < a < 1  a > 1    IV. H PHƯƠNG TRÌNH  a x + b1y = c1  Nh c l i: H phương trình b c nh t hai n  1  .  a 2 x + b2 y = c 2   Trang 3
  4. Edited by Foxit Reader ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Copyright(C) by Foxit Corporation,2005-2010 toác naêm 2009 15 Boä ñeà toaùn caáp a1 b1 c b1 a c1 For Evaluation Only. ð t D= , Dx = 1 , Dy = 1 . a2 b2 c2 b2 a2 c2  x = Dx / D  1) D ≠ 0 : H phương trình có nghi m duy nh t   .  y = Dy / D   2) D = 0, Dx ≠ 0 ho c Dy ≠ 0 : H phương trình vô nghi m. 3) D = Dx = Dy = 0: H có vô s nghi m th a a1x + b1y = c1 ho c a2x + b2y = c2. 1. H phương trình ñ ng c p Phương pháp chung 1) Nh n xét y = 0 có th a h phương trình không, n u có tìm x và thu ñư c nghi m. 2) V i y ≠ 0 , ñ t x = ty thay vào h phương trình gi i tìm t, y và x. 3) Th l i nghi m.  x 2 + xy + y 2 = 1  y 3 − x 3 = 7   Ví d :  2  , 2  .  2x − xy + y = 2  2x y + 3xy = 16  2 2      2. H phương trình ñ i x ng lo i I (c 2 phương trình ñ u ñ i x ng) Phương pháp chung 1) Xét ñi u ki n, ñ t S = x + y, P = xy (S2 ≥ 4P) . 2) Gi i h tìm S, P r i dùng Vi–et ñ o tìm x, y.  x 2 y + xy2 = 30  Ví d :  3  .  x + y 3 = 35    3. H phương trình ñ i x ng lo i II a. D ng 1 (ñ i v trí x và y thì phương trình này tr thành phương trình kia) Phương pháp chung Cách 1. Tr hai phương trình cho nhau, ñưa v phương trình tích, gi i x theo y (hay ngư c l i) r i th vào m t trong hai phương trình c a h .  x 3 + 2x = y  2x + 3 + 4 − y = 4   Ví d :  3  ,  .  y + 2y = x  2y + 3 + 4 − x = 4       Cách 2 (n u cách 1 không th c hi n ñư c) C ng và tr l n lư t hai phương trình ñưa v h m i tương ñương g m hai phương trình tích (thông thư ng tương ñương v i 4 h m i).  x 3 − 2x = y  Ví d :  3  .  y − 2y = x    Cách 3. S d ng hàm s ñơn ñi u ñ suy ra x = y.  2x + 3 + 4 − y = 4  x = sin y   Ví d :  , .  2y + 3 + 4 − x = 4  y = sin x      b. D ng 2 (ch có 1 phương trình ñ i x ng) Cách 1 ðưa phương trình ñ i x ng v d ng tích, gi i y theo x th vào phương trình còn l i.   x − 1 = y − 1  Ví d :  x y .  2  2x − xy − 1 = 0    Cách 2 Thư ng ñưa v d ng f(x) = f(y) ⇔ x = y v i hàm f(x) ñơn ñi u.  ex − ey = y − x  Ví d :  2  .  x y − 3y − 18 = 0    4. H phương trình ch a mũ – logarit và d ng khác Tùy t ng trư ng h p c th ch n phương pháp thích h p (thư ng dùng phương pháp th ). V. B T ð NG TH C CAUCHY 1. B t ñ ng th c Cauchy hai s a+b Cho hai s không âm a và b, ta có: ≥ ab. ð ng th c x y ra khi a = b. 2 Trang 4
  5. Edited by Foxit Reader ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Copyright(C) by Foxit Corporation,2005-2010 toác naêm 2009 15 Boä ñeà toaùn caáp 2. B t ñ ng th c Cauchy n s For Evaluation Only. a1 + a 2 + ... + a n Cho n s không âm a1, a2,…, an ta có: ≥ n a1.a 2 ...a n . ð ng th c khi a1 = a2 = … = an. n Chú ý:  a + a2 + ... + a n n  .  B t ñ ng th c Cauchy ngư c a1 .a2 ...a n ≤  1      n  VI. S PH C 1. S ph c và các phép tính cơ b n a) ð nh nghĩa s ph c M i bi u th c d ng a + bi , trong ñó a, b ∈ ℝ , i2 = −1 ñư c g i là m t s ph c. ð i v i s ph c z = a + bi , ta nói a là ph n th c, b là ph n o c a z. T p h p các s ph c ký hi u là ℂ = { a + bi a, b ∈ ℝ, i2 = −1 } . b) S ph c b ng nhau a + bi = c + di ⇔ a = c và b = d . c) Bi u di n hình h c s ph c M i s ph c z = a + bi hoàn toàn ñư c xác b i m t c p s th c (a; b) . ði m M(a; b) trong h t a ñ vuông góc Oxy ñư c g i là ñi m bi u di n s ph c z = a + bi . d) Môñun c a s ph c Gi s s ph c z = a + bi ñư c bi u di n b i ñi m M(a; b) trên m t ph ng t a ñ Oxy. ð dài c a OM ñư c g i là môñun c a s ph c z và ký hi u là z . V y a + bi = a 2 + b2 . e) S ph c liên h p Cho s ph c z = a + bi . Ta g i a − bi là s ph c liên h p c a z và ký hi u là z = a − bi . NH N XÉT 1) Trên m t ph ng t a ñ ñi m bi u di n hai s ph c liên h p ñ i x ng v i nhau qua tr c Ox. 2) z = a + bi ⇒ z = a − bi ⇒ z = a + bi hay z = z . 3) z = a2 + (−b)2 = a 2 + b2 = z . f) Các phép tính cơ b n 1) (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i; 2) (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i. 3) (a + bi)(c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i; 4) z + z = (a + bi) + (a − bi) = 2a ; 2 z1 z .z z .z 5) z.z = (a + bi)(a − bi) = a2 + b2 = z ; 6) = 1 2 = 1 2 , z2 ≠ 0 . z2 2 z2 .z2 z2 Chú ý i) Phép nhân hai s ph c ñư c th c hi n theo quy t c nhân ña th c r i thay i2 = −1 trong k t qu nh n ñư c. ii) Phép c ng và phép nhân các s ph c có t t c các tính ch t c a phép c ng và phép nhân các s th c. c + di iii) Trong th c hành, ñ tính thương , ta nhân c t và m u v i s ph c liên h p c a a + bi . a + bi 4i) S th c a âm có hai căn b c hai là ±i a . g) Phương trình b c hai v i h s th c Cho phương trình b c hai ax2 + bx + c = 0 v i a, b, c ∈ ℝ , a ≠ 0 . Bi t s c a phương trình là ∆ = b2 − 4ac . b a) Khi ∆ = 0 , phương trình có m t nghi m th c x = − . 2a Trang 5
  6. Edited by Foxit Reader ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Copyright(C) by Foxit Corporation,2005-2010 toác naêm 2009 15 Boä ñeà toaùn caáp For Evaluation Only. −b ± ∆ b) Khi ∆ > 0 , phương trình có hai nghi m th c phân bi t xác ñ nh b i công th c x1,2 = . 2a −b ± i ∆ c) Khi ∆ < 0 , phương trình có hai nghi m ph c phân bi t xác ñ nh b i công th c x1,2 = . 2a 2. D ng lư ng giác c a s ph c và ng d ng a) D ng lư ng giác c a s ph c i) Cho s ph c z khác 0 có ñi m bi u di n trên m t ph ng t a ñ là M. S ño (radian) c a góc lư ng giác tia ñ u Ox, tia cu i OM ñư c g i là m t acgumen c a z. ii) Cho s ph c z có moñun r và acgumen là φ thì z = r(cosφ + isinφ) ñư c g i là d ng lư ng giác c a z. b) Nhân và chia hai s ph c Cho hai s ph c z = r(cosφ + isinφ) và z’ = r’(cosφ’ + isinφ’), ta có: z' r' zz’ = r.r’[cos(φ + φ’) + isin(φ + φ’)] và = [cos(ϕ '− ϕ) + i sin(ϕ '− ϕ)] (r > 0). z r c) Công th c Moivre: zn = rn (cos nϕ + i sin nϕ) . d) Căn b c hai c a s ph c  ϕ ϕ  ϕ  ϕ  r  cos + i sin  và r  cos  + π  + i sin  + π   .  S ph c z dư i d ng lư ng giác (r > 0) có hai căn b c hai là:           2  2  2    2     ………………………………………………………. B. LƯ NG GIÁC I. CUNG VÀ GÓC – CÔNG TH C LƯ NG GIÁC 1. Quan h gi a ñ và radial (rad) π  180 0  1 = rad, 1 rad =     180  π    2. B ng chuy n ñ i thư ng dùng ð 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800 π π π π 2π 3π 5π Radial π 6 4 3 2 3 4 6 3. Bi u di n cung – góc lư ng giác k2π k.360 N u cung (ho c góc) lư ng giác AM có s ño là α + (ho c a 0 + ) v i k ∈ ℤ , n ∈ ℕ+ thì có n ñi m M trên n n ñư ng tròn lư ng giác cách ñ u nhau. 4. B ng giá tr lư ng giác c a cung (góc) ñ c bi t Cung (góc) π π π π α 0 6 4 3 2 1 2 3 sin α 0 1 2 2 2 3 2 1 cos α 1 0 2 2 2 3 tan α 0 1 3 3 3 cot α 3 1 0 3 5. Cung (góc) liên k t 5.1. Cung (góc) ñ i nhau 1) cos(−x) = cos x ; 2) sin(−x) = − sin x ; 3) tan(−x) = − tan x ; 4) cot(−x) = − cot x . 5.2. Cung (góc) bù nhau 1) cos(π − x) = − cos x ; 2) sin(π − x) = sin x ; 3) tan(π − x) = − tan x ; 4) cot(π − x) = − cot x . 5.3. Cung (góc) ph nhau π  π  π  π  1) cos  − x  = sin x ; 2) sin  − x  = cos x ;       3) tan  − x  = cot x ; 4) cot  − x  = tan x .       2    2    2    2    5.4. Cung (góc) hơn kém nhau π 1) cos(x + π) = − cos x ; 2) sin(x + π) = − sin x ; 3) tan(x + π) = tan x ; 4) cot(x + π) = cot x . Trang 6
  7. Edited by Foxit Reader ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Copyright(C) by Foxit Corporation,2005-2010 toác naêm 2009 15 Boä ñeà toaùn caáp π For Evaluation Only. 5.5. Cung (góc) hơn kém nhau 2  π  π  π  π 1) cos  x +  = − sin x ;   2) sin  x +  = cos x ; 3) tan  x +  = − cot x ;     4) cot  x +  = − tan x .     2      2      2     2 6. Công th c cơ b n 1 1 1) sin2x + cos2x = 1; 2) tgx.cotgx = 1; 3) 1 + tan 2 x = ; 4) 1 + cot2 x = . 2 cos x sin 2 x 7. Công th c c ng tan x ± tan y 1) cos(x ± y) = cos x cos y ∓ sin x sin y ; 2) sin(x ± y) = sin x cos y ± cos x sin y ; 3) tan(x ± y) = . 1 ∓ tan x.tan y 8. Công th c nhân ñôi 2 tan x 1) cos2x = cos2x – sin2x = 2cos2x – 1 = 1 – 2sin2x; 2) sin2x = 2sinxcosx; 3) tan 2x = . 1 − tan 2 x 9. Công th c nhân ba 3 tan x − tan 3 x 1) cos3x = 4cos3x – 3cosx; 2) sin3x = 3sinx – 4sin3x; 3) tan 3x = . 1 − 3 tan 2 x 10. Công th c h b c 1 + cos 2x 1 − cos 2x 3 cos x + cos 3x 3 sin x − sin 3x 1) cos2 x = ; 2) sin2 x = ; 3) cos3 x = ; 4) sin 3 x = . 2 2 4 4 x 11. Công th c bi u di n sinx, cosx, tgx theo t = tg 2 2t 1 − t2 2t 1) sin x = ; 2) cos x = ; 3) tan x = . 1+ t 2 1+ t 2 1 − t2 12. Công th c bi n ñ i tích thành t ng 1 1 1) cos x cos y = [cos(x − y) + cos(x + y)] ; 2) sin x sin y = [cos(x − y) − cos(x + y)] ; 2 2 1 3) sin x cos y = [sin(x − y) + sin(x + y)] . 2 13. Công th c bi n ñ i t ng thành tích x+y x−y x+y x−y 1) cos x + cos y = 2 cos cos ; 2) cos x − cos y = −2 sin sin ; 2 2 2 2 x+y x−y x+y x−y 3) sin x + sin y = 2 sin cos ; 4) sin x − sin y = 2 cos sin ; 2 2 2 2 sin(x ± y) sin(y ± x) 5) tan x ± tan y = ; 6) cot x ± cot y = . cos x cos y sin x sin y 14. Công th c ñ c bi t c n nh 1 3 1) 1 + sin2x = (sinx + cosx)2; 2) 1 – sin2x = (sinx – cosx)2; 3) sin4x + cos4x = 1 – sin22x; 4) sin6x + cos6x = 1 – sin22x. 2 4 5) sin x + cos x = 2 sin ( x + π / 4 ) = 2 cos ( x − π / 4 ) ; 6) sin x − cos x = 2 sin ( x − π / 4 ) = − 2 cos ( x + π / 4 ) . II. PHƯƠNG TRÌNH LƯ NG GIÁC 1. Phương trình lư ng giác cơ b n  x = α + k2π  x = α + k2π 1) cos x = cos α ⇔  ,k ∈ Z 2) sin x = sin α ⇔  ,k ∈ Z  x = −α + k2π  x = π − α+k2π 3) tan x = tan α ⇔ x = α + kπ, k ∈ Z 4) cot x = cotα ⇔ x = α + kπ, k ∈ Z Phương trình cơ b n ñ c bi t c n nh π 4) sin x = 0 ⇔ x = kπ, k ∈ Z 1) cos x = 0 ⇔ x = + kπ, k ∈ Z 2 π 5) sin x = 1 ⇔ x = + k2π, k ∈ Z 2) cos x = 1 ⇔ x = k2π, k ∈ Z 2 π 3) cos x = −1 ⇔ x = π + k2π, k ∈ Z 6) sin x = −1 ⇔ x = − + k2π, k ∈ Z 2 Trang 7
  8. Edited by Foxit Reader ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Copyright(C) by Foxit Corporation,2005-2010 toác naêm 2009 15 Boä ñeà toaùn caáp 2. Các d ng phương trình lư ng giác For Evaluation Only. 2.1. D ng b c hai theo m t hàm s lư ng giác 1) acos2x + bcosx + c = 0 3) a.tan2x + b.tanx + c = 0 2 2) asin x + bsinx + c = 0 4) a.cot2x + b.cotx + c = 0 Phương pháp gi i toán Bư c 1. ð t n ph t = cosx (ho c t = sinx, t = tanx, t = cotx) và ñi u ki n c a t (n u có). Bư c 2. ðưa phương trình v d ng at2 + bt + c = 0. Chú ý N u 1 phương trình lư ng giác ñư c bi n ñ i thành 2 phương trình cơ b n tr lên thì sau khi gi i xong, ta ph i d a vào ñư ng tròn lư ng giác ñ t ng h p nghi m (n u có). 2.2. D ng b c nh t theo sinx và cosx asinx + bcosx + c = 0 (*) (a và b khác 0) Phương pháp gi i toán b Cách 1. Chia hai v (*) cho a và ñ t = tan α . a c c (*) ⇔ sin x + tan α cos x = ⇔ sin(x + α) = cos α . a a a b Cách 2. Chia hai v (*) cho a2 + b2 và ñ t = cos α, = sin α . a +b 2 2 a + b2 2 c c (*) ⇔ sin x cos α + cos x sin α = ⇔ sin(x + α ) = . a +b 2 2 a + b2 2 Chú ý: ði u ki n ñ phương trình có nghi m là: a2 + b 2 ≥ c2 2.3. D ng ñ ng c p (thu n nh t) theo sinx và cosx a) ð ng c p b c hai asin2x + bsinxcosx + ccos2x = 0 (*) Phương pháp gi i toán π Cách 1. Ki m tra x = + kπ có là nghi m c a (*) không (n u có ta thu ñư c nghi m). 2 π V i x ≠ + kπ , chia hai v c a (*) cho cos2x: (*) ⇔ atan2x + btanx + c = 0. 2 Cách 2. Dùng công th c h b c và nhân ñôi, ta ñưa (*) v b c nh t theo sin2x và cos2x. b) ð ng c p b c cao (gi i tương t ) 2.4. D ng ñ i x ng ñ i v i sinx và cosx a(sinx + cosx) + bsinxcosx + c = 0 (*) Phương pháp gi i toán  π t2 − 1 Bư c 1. ð t t = sinx + cosx = 2 sin  x +  ⇒ − 2 ≤ t ≤ 2 và sin x cos x =    .   4 2 Bư c 2. Thay vào (*) r i ta gi i phương trình b c hai theo t. Chú ý Phương trình a(sinx – cosx) + bsinxcosx + c = 0 cũng có cách gi i tương t v i t = sinx – cosx. 2.5. D ng phương trình khác Không có cách gi i t ng quát, tùy t ng bài toán c th ta dùng công th c bi n ñ i ñ ñưa v các d ng ñã bi t cách gi i. III. GI I TOÁN TRONG TAM GIÁC 1. Liên h các góc trong tam giác ABC A π B+C  A = π − (B + C)  = − 2 2 2  B 1) A + B + C = π ⇒  B = π − (C + A) A+B+C π  = π−C+A 2) = ⇒  C = π − (A + B) 2 2 2 2 2  C π A+B  = −  2 2 2 2. Các ñ nh lý trong tam giác ABC. Trong ∆ABC , ta ký hi u: 1) a, b, c l n lư t là các c nh ñ i di n các góc A, B, C. 4) ma, mb, mc l n lư t là ñ dài các trung tuy n xu t phát t các ñ nh A, B, C. 2) R, r l n lư t là bán kính ñư ng tròn ngo i ti p và n i ti p. 5) ha, hb, hc l n lư t là ñ dài các ñư ng cao xu t phát t các a+b+c ñ nh A, B, C. 3) p = là n a chu vi ∆ABC . 6) S là di n tích c a ∆ABC . 2 Trang 8
  9. Edited by Foxit Reader ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Copyright(C) by Foxit Corporation,2005-2010 toác naêm 2009 15 Boä ñeà toaùn caáp 2.1. ð nh lý Phythagore (Pitago) For Evaluation Only. Cho ∆ABC vuông t i A và ñư ng cao AH, ta có: a2 = b 2 + c2 H qu 1 1 1 1) BA2 = BH.BC, CA2 = CH.CB 2) AH.BC = AB.AC 3) = + 2 2 AH AB AC2 2.2. ð nh lý hàm s cosin 1) a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA 2) b2 = c2 + a2 – 2ca.cosB 3) c2 = a2 + b2 – 2ab.cosC 2.3. ð nh lý hàm s sin a b c = = = 2R sin A sin B sin C 3. Công th c tính ñ dài ñư ng trung tuy n 2b2 + 2c2 − a2 2a2 + 2c2 − b2 1) m a = ; 2) m b = ; 4 4 2a2 + 2b2 − c2 3 2 3) m c = ; 4) m2 + m2 + m 2 = a b c (a + b2 + c2 ) . 4 4 4. Công th c tính di n tích 1 1 1 1 1 1 1) S = ah a = bh b = ch c ; 2) S = ab sin C = bc sin A = ca sin B ; 2 2 2 2 2 2 abc 3) S = p.r; 4) S = ; 5) S = p(p − a)(p − b)(p − c) . 4R …………………………………………….. C. GI I TÍCH I. TÍNH CH N – L C A HÀM S ð nh nghĩa 1) T p h p D ⊂ ℝ ñư c g i là ñ i x ng ⇔ ∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D . 2) Cho hàm s y = f(x) có MXð D ⊂ ℝ ñ i x ng a) f(x) ñư c g i là hàm s ch n ⇔ f(−x) = f(x), ∀x ∈ D . b) f(x) ñư c g i là hàm s l ⇔ f(−x) = −f(x), ∀x ∈ D . Chú ý ð th c a hàm s l ñ i x ng qua g c t a ñ . ð th c a hàm s ch n ñ i x ng qua tr c tung. II. ð O HÀM – VI PHÂN C A HÀM S 1. Quy t c tính ñ o hàm Cho u(x), v(x), w(x) là các hàm s theo bi n s x và có ñ o hàm. Ta có: 1) (a.u)/ = a.u/ (a ∈ ℝ) 2) (u ± v)/ = u/ ± v/ 3) (u.v)/ = u/ .v + u.v/ , (u.v.w)/ = u/ .v.w + u.v/ .w + u.v.w/  u / u/ .v − u.v/  a / v/ 4)   =   (v ≠ 0) ,   = −a.   (v ≠ 0, a ∈ ℝ) .   v  v2 v    v2 2. B ng ñ o hàm c a các hàm s sơ c p (hàm s ñư c cho b i 1 công th c) ð o hàm c a các hàm s sơ c p cơ b n ð o hàm c a hàm s h p u = u(x) 1) ( xα ) = α.xα−1 1) ( uα ) = α.u/ .u α−1 / /  1 / 1  1 / u/ 2)   = −    2)   = −   x   x2 u    u2 u/ ( x) 1 / ( u) / 3) = 3) = 2 x 2 u 4) ( sin x ) = cos x 4) ( sin u ) = u/ .cos u / / 5) ( cos x ) = − sin x 5) ( cos u ) = −u/ .sin u / / 1 u/ 6) ( tan x ) = / 6) ( tan u ) = / = 1 + tan2 x = u/ (1 + tan 2 u) cos2 x cos2 u Trang 9
  10. Edited by Foxit Reader ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Copyright(C) by Foxit Corporation,2005-2010 toác naêm 2009 15 Boä ñeà toaùn caáp −1 For Evaluation Only. −u / 7) ( cot x ) = / 7) ( cot u ) = / = −(1 + cot2 x) = −u/ (1 + cot2u) sin2 x sin2 u 8) ( e x ) = ex 8) ( eu ) = u/ .eu / / 9) ( a x ) = a x .ln a 9) ( a u ) = u/ .a u .ln a / / 1 u/ 10) ( ln x ) / 10) ( ln u ) / = = x u 1 u/ 11) ( log a x ) / 11) ( log a u ) / = = x.ln a u.ln a 3. Vi phân df(x) = f / (x)dx hay dy = y/dx . III. HÀM S ðƠN ðI U – C C TR C A HÀM S 1. Hàm s ñơn ñi u ax + b Tr y = , các hàm s còn l i (b c 3, b c 4, b c 2/1) ta dùng k t qu sau: cx + d f(x) ñ ng bi n trên kho ng (a; b) ⇔ f / (x) ≥ 0 ∀x ∈ (a; b) . f(x) ngh ch bi n trên kho ng (a; b) ⇔ f / (x) ≤ 0 ∀x ∈ (a; b) . 2. C c tr c a hàm s ð nh lý 1. Cho y = f(x) xác ñ nh trên kho ng (a; b) ch a x0. N u f(x) ñ t c c tr t i x0 và có ñ o hàm t i x0 thì f / (x 0 ) = 0 . Chú ý a) Hàm s có th ñ t c c tr t i x0 nhưng không có ñ o hàm t i x0. b) Hàm s có f / (x 0 ) = 0 nhưng có th không ñ t c c tr t i x0. ð nh lý 2. Cho hàm s f(x) có ñ o hàm trong kho ng ch a x0 a) N u f / (x) ñ i d u t + sang – t i x = x 0 thì f(x) ñ t c c ñ i t i x0 b) N u f / (x) ñ i d u t – sang + t i x = x 0 thì f(x) ñ t c c ti u t i x0 ð nh lý 3. Cho hàm s f(x) có ñ o hàm ñ n c p hai liên t c trong kho ng ch a x0  f / (x ) = 0   f / (x ) = 0  a) N u  // 0  thì f(x) ñ t c c ti u t i x0; b) N u  // 0  thì f(x) ñ t c c ti u t i x0.   f (x 0 ) > 0   f (x 0 ) > 0     3. ðư ng th ng ñi qua hai ñi m c c tr c a ñ th hàm s (tham kh o) a) Hàm s b c ba Cho hàm s y = ax3 + bx2 + cx + d có ñ th (C). Gi s (C) có hai ñi m c c tr là A(x1; y1) và B(x2; y2) trong ñó x1, x2 là nghi m c a phương trình y/ = 0 , ñ vi t phương trình ñư ng th ng ñi qua A và B ta th c hi n các bư c sau: Bư c 1. Chia y cho y/ ta ñư c y = (px + q)y/ + αx + β (*).  y = (px + q).y/ ( x ) + αx + β   y = αx1 + β   Bư c 2. Th t a ñ c a A và B vào (*) ta có:  1 1 1 1  ⇔ 1 .  y2 = (px2 + q).y ( x 2 ) + αx2 + β  /  y 2 = αx 2 + β     Bư c 3. ðư ng th ng (AB) : y = αx + β . Chú ý: Giá tr c c tr là yCT = αxCT + β . ax 2 + bx + c b) Hàm s h u t y = (tham kh o) dx + e ax 2 + bx + c Cho hàm s y = có ñ th (C). Gi s (C) có hai ñi m c c tr là A(x1; y1) và B(x2; y2) trong ñó x1, x2 là nghi m dx + e c a phương trình y/ = 0 , ñ vi t phương trình ñư ng th ng ñi qua A và B ta th c hi n các bư c sau: U/ V − UV/ Bư c 1. ð t U = ax2 + bx + c, V = dx + e ta có y/ = (*). V2 Bư c 2. Th t a ñ c a A và B vào (*) ta có: U/ (x1,2 ).V(x1,2 ) − U(x1,2 ).V/(x1,2 ) y/ (x1,2 ) = ⇒ U/ (x1,2 ).V(x1,2 ) − U(x1,2 ).V/ (x1,2 ) = 0 2 V (x1,2 ) Trang 10
  11. Edited by Foxit Reader ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Copyright(C) by Foxit Corporation,2005-2010 toác naêm 2009 15 Boä ñeà toaùn caáp U(x1,2 ) U/ (x1,2 ) For Evaluation Only. 2a b ⇒ y1,2 = = = x + . V(x1,2 ) V/ (x1,2 ) d 1,2 d 2a b Bư c 3. ðư ng th ng (AB) : y = x+ . d d Chú ý: Giá tr c c tr là yCT = ( 2a / d ) xCT + ( b / d ) . IV. GIÁ TR NH NH T – GIÁ TR L N NH T C A HÀM S Phương pháp gi i toán 1. Hàm s liên t c trên ño n [a; b] Cho hàm s y = f(x) liên t c trên ño n [a; b]. ð tìm giá tr l n nh t (max) và giá tr nh nh t (min) c a f(x) trên ño n [a; b] ta th c hi n các bư c sau: Bư c 1. Gi i phương trình f / (x) = 0 (tìm ñi m t i h n). Gi s có n nghi m x1; x2; …; xn thu c ño n [a; b] (ta lo i các nghi m n m ngoài ño n [a; b]). Bư c 2. Tính f(a), f(x1), f(x2), …, f(xn), f(b). Bư c 3. Giá tr l n nh t, nh nh t trong các giá tr bư c 2 là các giá tr tương ng c n tìm. Chú ý: a) ð cho g n ta dùng ký hi u fmin , fmax thay cho min f(x), max f(x) . x∈ X x∈ X b) N u ñ bài chưa cho ño n [a; b] thì ta ph i tìm MXð c a hàm s trư c khi làm bư c 1. c) Có th ñ i bi n s t = t(x) và vi t y = f(x) = g(t(x)) . G i T là mi n giá tr c a hàm t(x) (thư ng g i là ñi u ki n c a t ñ i v i x) thì: min f(x) = min g(t) , max f(x) = max g(t) . x∈ X t∈T x∈ X t∈T 2. Hàm s liên t c trên kho ng (a; b) ho c trên ℝ Cho hàm s y = f(x) liên t c trên D = (a; b) ho c D = ℝ ta th c hi n các bư c sau: Bư c 1. Gi i f / (x) = 0 (tìm ñi m t i h n). Gi s có n nghi m x1; x2; …; xn thu c D (ta lo i các nghi m không thu c D). Bư c 2. Tính lim f(x) = L1 , f(x1), f(x2), …, f(xn), lim f(x) = L2 . x → a+ x → b− Bư c 3. 1) min { f(x1 ), f(x 2 ),..., f(x n )} < min { L1, L2 } ⇒ fmin = min { f(x1 ), f(x 2 ),..., f(x n )} (1). 2) max { f(x1 ), f(x2 ),..., f(x n )} > max { L1, L2 } ⇒ fmax = max { f(x1 ), f(x2 ),..., f(x n )} (2). 3) N u không th a (1) (ho c (2)) thì hàm s không ñ t min (ho c max). Chú ý: Có th l p b ng bi n thiên c a hàm s f(x) thay cho bư c 3. V. TI P TUY N V I ð TH HÀM S 1. Ti p tuy n t i ñi m M(x0; y0) thu c ñư ng cong (C): y = f(x) Bư c 1. Ki m tra ñi m M thu c ñư ng cong (C). Bư c 2. Áp d ng công th c y − y 0 = f / (x 0 )( x − x 0 ) . 2. Ti p tuy n v i ñư ng cong (C): y = f(x) bi t h s góc là k Bư c 1. Gi i phương trình f / (x) = k ⇒ x 0 ⇒ y 0 ⇒ M(x 0 ; y 0 ) là ti p ñi m. Bư c 2. Áp d ng công th c y − y 0 = k ( x − x 0 ) . 3. Ti p tuy n ñi qua ñi m M(x0; y0) v i ñư ng cong (C): y = f(x) (M có th thu c (C)) Bư c 1. Ti p tuy n qua ñi m M có d ng (d): y = k(x – x0) + y0.  f(x) = k(x − x 0 ) + y 0 (1)  Bư c 2. (d) ti p xúc (C) khi và ch khi h phương trình sau có nghi m:  /  .  f (x) = k  (2)  Bư c 3. Gi i h phương trình trên b ng cách th k t (2) vào (1), gi i x và th tr l i (2) ñ tìm k. Cu i cùng th k vào phương trình c a (d). VI. ð TH C A HÀM S CH A GIÁ TR TUY T ð I 1. ð th hàm s y = f ( x ) (hàm s ch n) G i (C) : y = f(x) và (C1 ) : y = f ( x ) ta th c hi n các bư c sau: Bư c 1. V ñ th (C) và ch gi l i ph n ñ th n m phía bên ph i tr c tung. Bư c 2. L y ñ i x ng ph n ñ th bư c 1 qua tr c tung ta ñư c ñ th (C1). 2. ð th hàm s y = f(x) G i (C) : y = f(x) và (C2 ) : y = f(x) ta th c hi n các bư c sau: Trang 11
  12. Edited by Foxit Reader ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Copyright(C) by Foxit Corporation,2005-2010 toác naêm 2009 15 Boä ñeà toaùn caáp Bư c 1. V ñ th (C). For Evaluation Only. Bư c 2. Gi l i ph n ñ th c a (C) n m phía trên tr c hoành. L y ñ i x ng ph n ñ th n m phía dư i tr c hoành c a (C) qua tr c hoành ta ñư c ñ th (C2). 3. ð th hàm s y = f ( x ) G i (C1 ) : y = f ( x ) , (C2 ) : y = f(x) và (C3 ) : y = f ( x ) . D th y ñ v (C3) ta th c hi n các bư c v (C1) r i (C2) (ho c (C2) r i (C1)). …………………………………………… D. HÌNH H C Chương I. HÌNH H C PH NG I. PHƯƠNG PHÁP T A ð TRONG M T PH NG Cho a = (a1 ; a 2 ), b = (b1 ; b2 ) , ta có: 1) a ± b = (a1 ± b1 ; a 2 ± b2 ) . 2) ka = (ka1 ; ka2 ), k ∈ ℝ . a1 a2 a a 3) a b ⇔ a = k.b ⇔ = 0 ⇔ a1b2 − a2 b1 = 0 ⇔ 1 = 2 (b1 ≠ 0 ≠ b2 ) . b1 b2 b1 b2 2 4) a.b = a1b1 + a2 b2 . 5) a = a1 + a 2 ⇒ a = 2 2 a1 + a 2 . 2 2 a.b a1b1 + a2 b2 6) a.b = a b cos(a, b) ⇒ cos(a, b) = = a b 2 a1 + a2 b1 + b2 2 2 2 ⇒ a ⊥ b ⇔ a1b1 + a2 b2 = 0 . ( xB − x A ) + ( yB − yA ) . 2 2 7) AB = (x B − x A ; y B − y A ) ⇒ AB =  x − k.x B y A − k.y B  .  8) ði m M chia ño n AB theo t s k ⇔ MA = k.MB ⇒ M  A ;   1−k 1−k      x + xB yA + yB  . 9) ði m I là trung ñi m c a ño n AB thì I  A  ;     2 2    x + x B + xC y A + y B + yC  . 10) T a ñ tr ng tâm G c a ∆ABC là G  A  ;     3 3   II. ðƯ NG TH NG 1. Phương trình ñư ng th ng 1.1. Phương trình t ng quát Phương trình t ng quát c a ñư ng th ng (d) có d ng Ax + By + C = 0 ( A2 + B2 > 0 ) . 1) u = (−B; A) ho c u = (B; −A) là vectơ ch phương (VTCP) c a (d). 2) n = (A; B) là vectơ pháp tuy n (VTPT) c a (d). 3) (d) ñi qua M0 (x 0 ; y 0 ) và n = (A; B) thì (d): pt(d) : A(x − x 0 ) + B(y − y 0 ) = 0 . 1.2. Phương trình tham s (ptts)  x = x 0 + u1t  (d) ñi qua M0 (x 0 ; y 0 ) và có VTCP u = (u1 ; u2 ) thì ptts(d) :   (t ∈ ℝ) .  y = y 0 + u 2t   1.3. Phương trình chính t c (ptct) x − x0 y − y0 (d) ñi qua M0 (x 0 ; y 0 ) và có VTCP u = (u1 ; u2 ) v i u1u 2 ≠ 0 thì ptct(d) : = . u1 u2 1.4. Phương trình ñư ng th ng ñi qua hai ñi m x − xA y − yA x − xB y − yB pt(AB) : = ho c pt(AB) : = . x B − xA yB − yA x B − xA yB − yA 1.5. Phương trình ño n ch n x y Cho (d) ñi qua A(a; 0), B(0; b) (a ≠ 0 ≠ b) thì pt(d) : + = 1. a b 1.6. ð c bi t pt(Ox) : y = 0 , pt(Oy) : x = 0 . Trang 12
  13. Edited by Foxit Reader ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Copyright(C) by Foxit Corporation,2005-2010 toác naêm 2009 15 Boä ñeà toaùn caáp 2. M t s tính ch t For Evaluation Only. Cho hai ñư ng th ng (d1): A1x + B1y + C1 = 0 và (d2): A2x + B2y + C2 = 0. 2.1. V trí tương ñ i c a hai ñư ng th ng A B1 A B 1) (d1) c t (d2) ⇔ 1 ≠ 0 ⇔ A1B2 ≠ A2B1 . Ho c 1 ≠ 1 ( A2 ≠ 0 ≠ B2 ) . A2 B2 A2 B2 A1 B1 B1 C1 C1 A1 2) (d1) song song (d2) ⇔ = 0, ≠ 0 ho c ≠ 0. A2 B2 B2 C2 C2 A2 A1 B1 B1 C1 C1 A1 3) (d1) trùng (d2) ⇔ = = = 0. A2 B2 B2 C2 C2 A2 2.2. Góc gi a hai ñư ng th ng n1 .n2 G i ϕ, n1, n2 là góc và VTPT c a (d1) và (d2), ta có: cos ϕ = . n1 . n 2 Ax 0 + By 0 + C 2.3. Kho ng cách t M0 (x 0 ; y 0 ) ñ n (d): d(M0 ; (d)) = . A2 + B2 III. ðƯ NG TRÒN 1. Phương trình ñư ng tròn Cho ñư ng tròn (C) có tâm I(a; b), bán kính R. 1.1. Phương trình chính t c (C): (x – a)2 + (y – b)2 = R2. 1.2. Phương trình t ng quát (C): x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0, R = a 2 + b2 − c . 2. V trí tương ñ i c a ñư ng th ng và ñư ng tròn Cho (d): Ax + By + C = 0 và (C) tâm I bán kính R, ta có 3 v trí tương ñ i sau ñây: 1) (d) ti p xúc (C) ⇔ d(I; (d)) = R. 2) (d) c t (C) t i hai ñi m phân bi t ⇔ d(I; (d)) < R. 3) (d) không c t (C) ⇔ d(I; (d)) > R. 3. V trí tương ñ i c a hai ñư ng tròn Cho (C1) tâm I1 bán kính R1 và (C2) tâm I2 bán kính R2, ta có 5 v trí tương ñ i sau ñây: 1) (C1) và (C2) ngoài nhau ⇔ I1I2 > R1 + R2. 2) (C1) ti p xúc ngoài v i (C2) ⇔ I1I2 = R1 + R2. 3) (C1) c t (C2) t i hai ñi m phân bi t ⇔ R1 − R 2 < I1I2 < R1 + R 2 . 4) (C1) ti p xúc trong v i (C2) ⇔ I1I2 = R1 − R 2 . 5) (C1) và (C2) ch a nhau ⇔ I1I2 < R1 − R 2 . IV. CÁC ðƯ NG CONIC 1. ELIP 1.1. ð nh nghĩa Cho hai ñi m c ñ nh F1, F2 v i F1F2 = 2c và h ng s 2a (a > c > 0). T p (E) là m t elip n u M ∈ (E) ⇔ MF1 + MF2 = 2a . 1) F1, F2 là 2 tiêu ñi m. 2) F1F2 = 2c là tiêu c . 3) A1(– a; 0), A2(a; 0), B1(0;–b), B2(0; b) là 4 ñ nh c a elip. x2 y2 1.2. Phương trình chính t c: (E) : + = 1 . Trong ñó, b2 = a2 – c2 và a > b > 0. a2 b2 1.3. Bán kính qua tiêu ñi m x2 y2 c c Cho ñi m M thu c (E) : + = 1 ta có MF1 = a + x , MF2 = a − x M . a 2 b 2 a M a 1.4. Tâm sai c a 2 − b2 e= = ( e < 1) . a a 1.5. ðư ng chu n c a elip a a2 a a2 (∆1 ) : x = − ⇔ x = − , (∆2 ) : x = ⇔ x = . e c e c 1.6. Ti p tuy n v i elip ði u ki n ti p xúc x2 y2 Cho ñư ng th ng (d): Ax + By + C = 0 và elip (E): + = 1 ta có: (d) ti p xúc (E) ⇔ a2A2 + b2B2 = C2 (C ≠ 0) . 2 2 a b Trang 13
  14. Edited by Foxit Reader ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Copyright(C) by Foxit Corporation,2005-2010 toác naêm 2009 15 Boä ñeà toaùn caáp 2. HYPERPOL For Evaluation Only. 2.1. ð nh nghĩa Cho hai ñi m c ñ nh F1, F2 v i F1F2 = 2c và h ng s 2a (c > a > 0). T p (H) là m t hyperpol n u M ∈ (H) ⇔ MF1 − MF2 = 2a . 1) F1(– c; 0), F2(c; 0) là 2 tiêu ñi m. 2) F1F2 = 2c là tiêu c . 3) A1(– a; 0), A2(a; 0) là 2 ñ nh thu c tr c th c. B1(0;–b), B2(0; b) là 2 ñ nh thu c tr c o. 2.2. Phương trình chính t c (H) x2 y2 − = 1 , c2 = a2 + b2. 2 2 a b 2.3. Bán kính qua tiêu ñi m 1) M thu c nhánh ph i (xM > 0): MF1 = exM + a, MF2 = exM – a. 2) M thu c nhánh trái (xM < 0): MF1 = – exM – a, MF2 = – exM + a. c 2.4. Tâm sai: e = > 1 a a a2 2.5. ðư ng chu n: x = ± = ± e c b 2.6. Ti m c n: y = ± x a 2.7. ði u ki n ti p xúc v i ñư ng th ng: a2A2 – b2B2 = C2 (C ≠ 0) x2 y2 x2 y2 Chú ý: − = −1 là hyperpol liên h p c a − = 1. a2 b2 a2 b2 3. PARAPOL 3.1. ð nh nghĩa Cho ñư ng th ng c ñ nh ( ∆ ) và ñi m F ∉ ( ∆ ) c ñ nh. T p (P) là m t parapol n u M ∈ (P) ⇔ MF = d ( M, ∆ ) . p  1) F  ; 0  là tiêu ñi m, ( ∆ ) là ñư ng chu n.    2    2) p = d ( F, ∆ ) là tham s tiêu. 3) O(0; 0) là ñ nh và MF là bán kính qua tiêu ñi m c a M (M thu c parapol). 3.2. Phương trình chính t c (P): y2 = 2px (p > 0). 3.3. Tâm sai: e = 1. p 3.4. ðư ng chu n: x = − . 2 3.4. ði u ki n ti p xúc: 2AC = B2p. 3.5. Các d ng parapol khác: y2 = – 2px, x2 = 2py, x2 = – 2py (p > 0). Chương II. CÁC TÍNH CH T VÀ CÔNG TH C CƠ B N TRONG HÌNH H C KHÔNG GIAN 1. Quan h song song Trong không gian cho các ñư ng th ng a, b, c và m t ph ng (P), (Q), (R). Ta có: 1) a // b ⇔ a, b ñ ng ph ng và a ∩ b = Ø; 2) a // (P) ⇔ a ∩ (P) = Ø; 3) a // (P) ⇔ a ⊄ (P) và ∃b ⊂ (P) : a // b; 4) (P) // (Q) ⇔ (P) ∩ (Q) = Ø; 5) (P) // (Q) ⇔ ∃a, b ⊂ (P) , a c t b: a, b // (Q); 6) a // (P) và (P) ∩ (Q) = b ⇒ a // b; 7) (P) // (Q), (R) ∩ (P) = a và (R) ∩ (Q) = b ⇒ a // b; 8) a ⊂ (P) , b ⊂ (Q) , a // b và (P) ∩ (Q) = c ⇒ a // b // c. 2. Quan h vuông góc Trong không gian cho các ñư ng th ng a, b, c và m t ph ng (P), (Q), (R). Ta có: 1) a ⊥ b ⇔ (a, b) = 900 ; 2) a ⊥ (P) ⇔ ∃b, c ⊂ (P) , b c t c: a ⊥ b , a ⊥ c ; 3) (P) ⊥ (Q) ⇔ ∃a ⊂ (P) : a ⊥ (Q) ; 4) (P) // (Q), a ⊥ (P) ⇒ a ⊥ (Q) ; 5) (P) ⊥ (R), (Q) ⊥ (R) và (P) ∩ (Q) = a ⇒ a ⊥ (R) ; 6) Ch(P)a = b, c ⊂ (P) và c ⊥ b ⇒ c ⊥ a (ð nh lý 3 ñư ng vuông góc). Trang 14
  15. Edited by Foxit Reader ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Copyright(C) by Foxit Corporation,2005-2010 toác naêm 2009 15 Boä ñeà toaùn caáp 3. Th tích For Evaluation Only. 1) Th tích kh i lăng tr : V = Sh (S: di n tích ñáy, h: ñ dài ñư ng cao). 1 2) Th tích kh i chóp: V = Sh (S: di n tích ñáy, h: ñ dài ñư ng cao). 3 1 1 3) Th tích kh i nón: V = Sh = πR 2h (R: bán kính ñáy, h: ñ dài ñư ng cao). 3 3 4) Th tích kh i tr : V = Sh = πR 2h (R: bán kính ñáy, h: ñ dài ñư ng cao). 4 5) Th tích kh i c u: V = πR 3 (R: bán kính ñáy). 3 6) Cho kh i t di n S.ABC. Trên các tia SA, SB, SC l y l n lư t các ñi m A’, B’, C’ khác S. V SA ' SB' SC ' Khi ñó S.A ' B' C ' = . . . VS.ABC SA SB SC 4. Di n tích 1) Di n tích xung quanh hình nón: Sxq = πRl (R: bán kính ñáy, l: ñ dài ñư ng sinh). 2) Di n tích toàn ph n hình nón: Stp = πR(R + l) (R: bán kính ñáy, l: ñ dài ñư ng sinh). 3) Di n tích xung quanh hình tr : Sxq = 2πRh (R: bán kính ñáy, h: ñ dài ñư ng cao). 4) Di n tích toàn ph n hình tr : Stp = 2πR(R + h) (R: bán kính ñáy, h: ñ dài ñư ng cao). 5) Di n tích m t c u: S = 4πR 2 (R: bán kính ñáy). Chương III. PHƯƠNG PHÁP T A ð TRONG KHÔNG GIAN I. CÔNG TH C CƠ B N Cho a = (a1 ; a2 ; a 3 ), b = (b1 ; b2 ; b3 ) ta có: 1) a ± b = (a1 ± b1 ; a2 ± b2 ; a 3 ± b3 ) . 2) k.a = (ka1 ; ka 2 ; ka 3 ), k ∈ R . 2 3) Tích vô hư ng a.b = a1b1 + a2 b2 + a 3b 3 . 4) a = a1 + a2 + a 2 ⇒ a = 2 2 3 a1 + a2 + a 2 . 2 2 3 ( xB − xA ) + ( y B − y A ) + ( zB − zA ) . 2 2 2 5) AB = (xB – xA; yB – yA; zB – zA) ⇒ AB = a.b a1b1 + a2 b2 + a 3b 3 6) cos(a, b) = = a.b 2 a1 + a2 + a2 b1 + b2 + b2 2 3 2 2 3 ⇒ a ⊥ b ⇔ a1b1 + a2 b2 + a 3 b3 = 0 . a a3 a a1 a a2   7) Tích có hư ng  a, b  =  2   ; 3 ; 1 .     b2  b3 b3 b1 b1 b2   a a a 8) a cùng phương b ⇔ a = k.b ⇔  a, b  = 0 ⇔ 1 = 2 = 3 ( b1, b2 , b 3 ≠ 0 ) .   b1 b2 b3 9)  a, b  ⊥ a,  a, b  ⊥ b .      a, b    10)  a, b  = a . b .sin(a, b) ⇒ sin(a, b) =  .   a.b 11) a, b, c ñ ng ph ng ⇔  a, b  c = 0.    x − k.x B y A − k.y B zA − k.zB  .  12) ði m M chia ño n AB theo t s k ⇔ MA = k.MB ⇒ M  A ; ;   1−k 1−k 1−k      x + x B y A + y B zA + zB  . 13) ði m I là trung ñi m c a ño n AB thì I  A  ; ;     2 2 2    x + x B + xC y A + y B + yC zA + zB + zC  . 14) T a ñ tr ng tâm G c a ∆ABC : G  A  ; ;     3 3 3   15) Tr ng tâm G c a t di n ABCD th a GA + GB + GC + GD = 0 và có t a ñ :  x + x B + xC + x D y A + y B + yC + y D zA + zB + zC + zD  . G A  ; ;     4 4 4   Trang 15
  16. Edited by Foxit Reader ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Copyright(C) by Foxit Corporation,2005-2010 toác naêm 2009 15 Boä ñeà toaùn caáp 1 For Evaluation Only. 16) Di n tích ∆ABC là S∆ABC =  AB, AC  .   2 17) Th tích hình h p ABCD.A’B’C’D’: VABCD.A ' B' C' D ' =  AB, AD  .AA ' .   1 18) Th tích t di n ABCD: VABCD =  AB, AC  .AD . 6    DE.AB = 0   19) DE ⊥ (ABC) ⇔   ho c DE  AB, AC  .  DE.AC = 0       DE.  AB, AC  = 0     20) DE (ABC) ⇔    D ∉ (ABC) ∨ E ∉ (ABC).    AB.CD 21) Góc α gi a ñư ng th ng AB và CD th a cos α = cos AB, CD ( )= AB.CD .  MA, AB    22) Kho ng cách gi a ñi m M và ñư ng th ng AB là d ( M, AB ) =  . AB  AB, CD  .AC   23) Kho ng cách gi a AB và CD chéo nhau: d ( AB, CD ) =  .  AB, CD    II. M T PH NG 1. Vector pháp tuy n và c p vector ch phương c a m t ph ng ð nh nghĩa 1 Vector n ≠ 0 vuông góc v i m t ph ng (α ) là pháp vector c a (α ) . ð nh nghĩa 2 Hai vector a, b không cùng phương, khác 0 và n m trên (α ) (ho c các m t ph ng ch a a, b song song v i (α ) ) là c p vector ch phương (VTCP) c a (α ) . Chú ý 1) N u a, b là c p VTCP c a (α ) thì n =  a, b  là pháp vector c a (α ) .   2) N u ba ñi m A, B, C ∈ (α) và không th ng hàng thì n =  AB, AC  là PVT c a (α ) .   2. Phương trình t ng quát c a m t ph ng Cho m t ph ng (α ) ñi qua ñi m M0(x0; y0; z0) và nh n n = (A; B; C) làm pháp vectơ thì phương trình t ng quát c a (α ) : A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0. Chú ý N u m t ph ng (α ) : Ax + By + Cz + D = 0 thì n = (A; B; C) là pháp vector. 3. Các trư ng h p riêng a) M t ph ng t a ñ (Oxy): z = 0, (Oxz): y = 0, (Oyz): x = 0. b) M t ph ng ch n 3 tr c t a ñ Cho (α ) c t các tr c Ox, Oy, Oz l n lư t t i A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) ( a, b, c ≠ 0 ) thì phương trình m t x y z ph ng (α) : + + = 1 (g i là phương trình theo ño n ch n). a b c 4. V trí tương ñ i c a hai m t ph ng Cho hai m t ph ng (α ) : A1x + B1y + C1z + D1 = 0 và (β) : A2 x + B2 y + C2z + D2 = 0 có các pháp vector tương ng là nα = ( A1 ; B1 ; C1 ), n β = ( A2 ; B2 ; C2 ) . 1) (α ) c t (β) ⇔ n α , n β không cùng phương ⇔ A1 : B1 : C1 ≠ A2 : B2 : C2 . A1 B C D 2) (α ) trùng v i (β) ⇔ = 1 = 1 = 1. A2 B2 C2 D2 A1 B C D 3) (α ) song song v i (β) ⇔ = 1 = 1 ≠ 1. A2 B2 C2 D2 Trang 16
  17. Edited by Foxit Reader ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Copyright(C) by Foxit Corporation,2005-2010 toác naêm 2009 15 Boä ñeà toaùn caáp III. ðƯ NG TH NG For Evaluation Only. 1. ð nh nghĩa Vector u ≠ 0 ñư c g i là vector ch phương (VTCP) c a ñư ng th ng d n u u n m trên d ho c ñư ng th ng ch a u song song v i d. Chú ý ðư ng th ng trong không gian không có pháp vector. 2. Phương trình tham s c a ñư ng th ng x = x + u t    0 1 d qua M(x0; y0; z0) và có VTCP u = (u1 ; u 2 ; u 3 ) thì: ptts d :  y = y 0 + u2 t (t ∈ ℝ) .   z = z + u t    0 3 3. Phương trình chính t c c a ñư ng th ng d qua M(x0; y0; z0) và có VTCP u = (u1 ; u 2 ; u 3 ) v i u1u2u 3 ≠ 0 thì x − x0 y − y0 z − z0 ptct d : = = . u1 u2 u3 5. V trí tương ñ i c a hai ñư ng th ng Cho hai ñư ng th ng d1, d2 có VTCP là u1, u 2 . G i ñi m M1 ∈ d1 và M2 ∈ d2 , ta có: a) Trư ng h p 1: d1 và d2 ñ ng ph ng ⇔  u1, u2  M1M2 = 0 .    u , u  M M = 0 và  u , u  ≠ 0 (không cùng phương). 1) d1 c t d2 ⇔  1 2  1 2    1 2  2) d1 song song v i d2 ⇔  u1, u2  = 0 và M1 ∉ d2 (ho c M2 ∉ d1 ).    u , u  = 0 và M ∈ d (ho c M ∈ d ). 3) d1 trùng v i d2 ⇔  1 2    1 2 2 1 b) Trư ng h p 2: d1 chéo d2 ⇔  u1, u2  M1M2 ≠ 0 (không ñ ng ph ng).   Chú ý: Ta có th xét h phương trình c a d1 và d2 ñ suy ra v trí tương ñ i như sau: 1) H phương trình có nghi m duy nh t ⇔ d1 c t d2. 2) H phương trình có vô s nghi m ⇔ d1 trùng d2. 3) H phương trình vô nghi m và a1, a 2 cùng phương ⇔ d1 song song v i d2. 4) H phương trình vô nghi m và a1, a 2 không cùng phương ⇔ d1 và d2 chéo nhau. 6. V trí tương ñ i c a ñư ng th ng và m t ph ng Cho ñư ng th ng d ñi qua ñi m M và có VTCP u , m t ph ng (α ) có VTPT n . 1) d c t (α ) ⇔ u.n ≠ 0 (ho c h phương trình có nghi m duy nh t). 2) d (α ) ⇔ u.n = 0 và M ∉ (α ) (ho c h phương trình vô nghi m). 3) d ⊂ (α ) ⇔ u.n = 0 và M ∈ (α ) (ho c h phương trình có vô s nghi m). 4) d ⊥ (α) ⇔ u n ⇔  u, n  = 0 .   IV. KHO NG CÁCH VÀ GÓC 1. Kho ng cách a) Kho ng cách t M(x0; y0; z0) ñ n m t ph ng (P): Ax + By + Cz + D = 0 Ax 0 + By 0 + Cz0 + D d  M, (P)  = . A2 + B2 + C2  MA, a    b) Kho ng cách t M ñ n ñư ng th ng d: d(M, d) =  , (A ∈ d) . a Chú ý: Ta có th tìm hình chi u H c a M trên d và d(M, d) = MH. c) Kho ng cách gi a d1 song song d2 (M1 ∈ d1, M2 ∈ d2 ) : d(d1, d2) = d(M1, d2) = d(M2, d1) d) Kho ng cách gi a ñư ng th ng d và m t ph ng (P) song song (M ∈ d) : d[d, (P)] = d[M, (P)] e) Kho ng cách gi a hai m t ph ng (P), (Q) song song ( M1 ∈ ( P ) , M2 ∈ ( Q ) ) : d[(P), (Q)] = d[M1, (Q)] = d[M2, (P)] Trang 17
  18. Edited by Foxit Reader ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Copyright(C) by Foxit Corporation,2005-2010 toác naêm 2009 15 Boä ñeà toaùn caáp  a For Evaluation Only. , a  .M M   f) Kho ng cách gi a d1 chéo d2: d(d1, d2 ) =  1 2 1 2 , (M1 ∈ d1, M2 ∈ d2 ) . a , a   1 2  2. Góc   Công th c cơ b n: a.b = a b cos  a, b          u1 .u2 (   )  a) Góc gi a d1 và d2: cos d1, d2 = cos  u1, u2  =    u1 u2 . Chú ý: 1) d1 ( d2 ⇒ d1, d2 = 00 . ) 2) d1 ⊥ d2 ⇔ u1 .u2 = 0 .   n P .nQ b) Góc gi a hai m t ph ng: cos ( ( P ), ( Q ) ) =    cos  n P, nQ  =   n P nQ . Chú ý: 1) ( P ) ( Q ) ⇒ ( ( P ), ( Q ) ) = 00 . 2) ( P ) ⊥ ( Q ) ⇔ n P .n Q = 0 .   u d .n P c) Góc gi a ñư ng th ng và m t ph ng: sin d, ( ( P )) =    cos  u d , n P  =    ud nP . Chú ý: 1) d ⊂ ( α ) ho c d ( P ) ⇒ ud .n P = 0. 2) d ⊥ ( P ) ⇔  u d , n P  = 0 .   V. M T C U 1. Phương trình chính t c c a m t c u M t c u (S) tâm I(a; b; c), bán kính R có phương trình chính t c là: (S): (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2 2. Phương trình t ng quát c a m t c u (S): x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 M t c u (S) có tâm I(a; b; c), bán kính R = a 2 + b2 + c2 − d > 0 . 3. V trí tương ñ i c a m t ph ng và m t c u Cho m t ph ng (P) và m t c u (S) tâm I, bán kính R ta có: a) M t ph ng không c t m t c u ⇔ d  I,(P)  > R . b) M t ph ng ti p xúc m t c u ⇔ d  I,(P)  = R . c) M t ph ng c t m t c u theo giao tuy n là ñư ng tròn ⇔ d  I,(P)  < R . Chú ý: Khi I ∈ ( P ) thì giao tuy n là ñư ng tròn l n có bán kính b ng bán kính m t c u. …………………………………………………. E. TÍCH PHÂN I. NGUYÊN HÀM 1. Tính ch t ( ∫ f(x)dx ) / 1) = f(x) ; 2) ∫ a.f(x)dx = a.∫ f(x)dx (a ≠ 0) ; 3) ∫  f(x) ± g(x)  dx = ∫ f(x)dx ± ∫ g(x)dx . 2. B ng nguyên hàm Nguyên hàm c a hàm s cơ b n Nguyên hàm m r ng, u = u(x) 1) ∫ a.dx = ax + C, a∈ℝ 1) ∫ adu = au + C, a∈ℝ x α+1 uα+1 2) ∫ xα dx = α +1 + C, α ≠ −1 2) ∫ uα du = α +1 + C, α ≠ −1 dx du 3) ∫ x = ln x + C, x ≠ 0 3) ∫ u = ln u + C, u ≠ 0 dx 1 du 1 4) ∫ x2 =− +C x 4) ∫ u2 =− +C u Trang 18
  19. Edited by Foxit Reader ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Copyright(C) by Foxit Corporation,2005-2010 toác naêm 2009 15 Boä ñeà toaùn caáp dx For Evaluation Only. du 5) ∫ x = 2 x +C 5) ∫ u =2 u +C 6) ∫ exdx = ex + C 6) ∫ eudu = eu + C ax au 7) ∫ a x dx = ln a + C 7) ∫ audu = ln a + C 8) ∫ cos xdx = sin x + C 8) ∫ cos udu = sin u + C 9) ∫ sin xdx = − cos x + C 9) ∫ sin udu = − cos u + C 1 du 10) ∫ cos2 x dx = tan x + C 10) ∫ cos2 u = tan u + C 1 du 11) ∫ sin2 x dx = − cot x + C 11) ∫ sin2 u = − cot u + C ð c bi t 1 N u ∫ f(x)dx = F(x) + C thì ∫ f(ax + b)dx = a F(ax + b) + C . Các công th c thư ng g p: 1 (ax + b)α+1 dx 1 1) ∫ (ax + b)α dx = a . α +1 +C; 2) ∫ ax + b = a .ln ax + b + C; 1 ax + b 1 3) ∫ eax+b = a .e +C; 4) ∫ cos(ax + b)dx = a .sin(ax + b) + C ; 1 dx 1 5) ∫ sin(ax + b)dx = − .cos(ax + b) + C ; a 6) ∫ cos (ax + b) 2 = .tg(ax + b) + C . a II. PHƯƠNG PHÁP ð I BI N S 1. ð nh nghĩa Cho hàm s f(x) liên t c trên kho ng ( α; β ) và F(x) là m t nguyên hàm c a f(x) trên kho ng ñó, v i a, b ∈ ( α; β ) ta g i hi u F(b) − F(a) là tích phân t a ñ n b c a f(x). b b Ký hi u: ∫ f(x)dx = F(b) − F(a) = F(x) a (công th c Newton - Leibniz). a b b b Nh n xét: ∫ f(x)dx = ∫ f(t)dt = ∫ f(u)du = ... = F(b) − F(a) . a a a 2. Tính ch t Cho hai hàm s f(x), g(x) liên t c trên kho ng ( α; β ) và a, b, c ∈ ( α; β ) ta có: a b a 1) ∫ f(x)dx = 0 ; 2) ∫ f(x)dx = −∫ f(x)dx ; a a b b b b c b 3) ∫ k.f(x)dx = k ∫ f(x)dx ∀k ∈ ℝ ; 4) ∫ f(x)dx = ∫ f(x)dx + ∫ f(x)dx . a a a a c b b b 5) ∫ [f(x) ± g(x)]dx = ∫ f(x)dx ± ∫ g(x)dx ; a a a b b 6) f(x) ≥ 0 ∀x ∈  a; b  ⇒ ∫ f(x)dx ≥ 0 , f(x) ≤ 0 ∀x ∈  a; b  ⇒ ∫ f(x)dx ≤ 0 ; a a b b 7) f(x) ≥ g(x) ∀x ∈  a; b  ⇒ ∫ f(x)dx ≥ ∫ g(x)dx ; a a b 8) m ≤ f(x) ≤ M ∀x ∈  a; b  ⇒ m(b − a) ≤ ∫ f(x)dx ≤ M(b − a) ; a t 9) N u t bi n thiên trên [a; b] thì G(t)=∫ f(x)dx là m t nguyên hàm c a f(t) th a G(a) = 0. a Trang 19
  20. Edited by Foxit Reader ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Copyright(C) by Foxit Corporation,2005-2010 toác naêm 2009 15 Boä ñeà toaùn caáp 3. Các k t qu c n nh For Evaluation Only. a 1) V i a > 0 , hàm s f(x) l và liên t c trên ño n [–a; a] thì ∫ f(x)dx = 0 . −a a a 2) V i a > 0 , hàm s f(x) ch n và liên t c trên ño n [–a; a] thì ∫ f(x)dx = 2∫ f(x)dx . −a 0 III. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN T NG PH N 1. Công th c b b b ∫ udv = uv a − ∫ vdu (1) a a 2. Phương pháp gi i toán b Gi s c n tính tích phân ∫ f(x)g(x)dx ta th c hi n như sau: a Bư c 1. ð t u = f(x), dv = g(x)dx (ho c ngư c l i) sao cho d tìm nguyên hàm v(x) và vi phân du = u/ (x)dx không b quá ph c t p. Hơn n a, tích phân ∫ vdu ph i tính ñư c. a Bư c 2. Thay vào công th c (1) ñ tính k t qu . ð c bi t: b b b 1) ∫ P(x)sin axdx, ∫ P(x)cos axdx, ∫ eax .P(x)dx , (P(x): ña th c) ta ñ t u = P(x) . a a a b 2) ∫ P(x)lnα xdx ta ñ t u = ln α x . a ln x Chú ý: log a x = . ln a IV. TÍCH PHÂN CH A GIÁ TR TUY T ð I Phương pháp gi i toán b Gi s c n tính tích phân I = ∫ f(x) dx , ta th c hi n các bư c sau: a Bư c 1 L p b ng xét d u (BXD) c a hàm s f(x) trên ño n [a; b], gi s f(x) có BXD: x a x1 x2 b f(x) + 0 – 0 + Bư c 2 b x1 x2 b Tính I = ∫ f(x) dx = ∫ f(x)dx − ∫ f(x)dx + ∫ f(x)dx . a a x1 x2 Chú ý: N u trong kho ng (a; b) phương trình f(x) = 0 không có nghi m thì: b b ∫ f(x) dx = ∫ f(x)dx a a V. NG D NG C A TÍCH PHÂN 1. Tính di n tích hình ph ng 1.1. Trư ng h p 1 Di n tích hình ph ng S gi i h n b i các ñư ng y = f(x), y = g(x), x = a, x = b là: b S= ∫ f(x) − g(x) dx a Trang 20