Xem mẫu
- Gi¶i bµi kú tr−íc Bµi 1. Chøng minh r»ng nÕu 5a+4b+6c=0 th× ph−¬ng tr×nh f(x)=ax2+bx+c=0 cã nghiÖm. 1 1 Ta cã: f (0) + f ( ) + f (2) = 5a + 4b + 6c = 0 4 2 Do ®ã ph−¬ng tr×nh cã Ýt nhÊt mét nghiÖm thuéc [0;2]. Bµi 2. Chøng minh r»ng nÕu a,b,c lµ c¸c sè ®«i mét kh¸c nhau th× ph−¬ng tr×nh f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)=0 lu«n cã nghiÖm Gi¶ sö a ≤ b ≤ c . XÐt f (b). f (c) = (b − a).(b − c).(c − a).(c − b) ≤ 0 Do ®ã ph−¬ng tr×nh cã Ýt nhÊt mét nghiÖm thuéc [b; c] Bµi 3. Chøng minh r»ng nÕu a,b,c lµ ba sè tho¶ m·n:2c+3b+6a=0 th× ph−¬ng tr×nh f(x)=ax2+bx+c=0 cã Ýt nhÊt mét nghiÖm lín h¬n 1. Gi¶i Râ rµng x=0 kh«ng lµ nghiÖm. Chia c¶ hai vÕ cña ph−¬ng tr×nh cho x2, råi ®Æt 1 = t , ta ®−îc ph−¬ng tr×nh: x g (t ) = ct 2 + bt + a = 0 Ta cã (xem vÝ dô 7) 1 1 g (0) + g (1) + g ( ) = 2c + 3b + 6 a = 0 4 2 Do ®ã ph−¬ng tr×nh g(t) =0 cã Ýt nhÊt mét nghiÖm t ∈ (0;1) tøc lµ ph−¬ng tr×nh f(x)=0 cã Ýt mét nghiÖm x >1. Bµi 4. Chøng minh r»ng nÕu a,b,c lµ c¸c sè ®«i mét kh¸c nhau vµ kh¸c 0 th× ph−¬ng tr×nh f(x)=ab(x-a)(x-b)+bc(x-b)(x-c)+ca(x-c)(x-a)=0 lu«n cã nghiÖm. Gi¶i t−¬ng tù bµi 2. Bµi 5. T×m m ®Ó hÖ bÊt ph−¬ng tr×nh sau v« nghiÖm: x 2 − 5 x + 6 ≤ 0 (1) 2 3x − 2mx − 2m + 7m − 12 ≥ 0 (2) 2 Gi¶i (1) ⇔ 2 ≤ x ≤ 3 §Æt f ( x ) = 3x 2 − 2mx − 2m 2 + 7m − 12 HÖ bÊt ph−¬ng tr×nh v« nghiÖm khi vµ chØ chi
- f ( x ) ≥ 0 v« nghiÖm khi 2 ≤ x ≤ 3 ⇔ f(x) 3 Bµi 6. T×m m ®Ó: f ( x ) = ( m + 2) x 2 − 2( m + 3) x − m + 3 > 0; ∀x ∈ (−∞;1) Gi¶i t−¬ng tù vÝ dô 5. §¸p sè: 1 −2 ≤ m ≤ − 2 Bµi 7.T×m m ®Ó f ( x ) = 2 x 2 + mx + 3 ≥ 0; ∀x ∈ [−1;1] Gi¶i a = 2 > 0 Ta cã: ∆ = m − 24 2 Tr−êng hîp 1. ∆ ≤ 0 ⇔ −2 6 ≤ m ≤ 2 6 ⇒ f ( x ) ≥ 0 ∀x ∈ R ⇒ f ( x ) ≥ 0∀x ∈ [−1;1] ⇒ −2 6 ≤ m ≤ 2 6 tho¶ m·n. Tr−êng hîp 2. ∆ ≥ 0 ⇔ m < −2 6 hoÆc m>2 6 -∞ x1 x2 +∞ + 0 − 0 + Khi ®ã f(x) =0 cã hai nghiÖm x1;x2 (x1 0 a. f ( −1) = 2(5 − m) ≥ 0 S m − ( −1) = − + 1 < 0 2 6 < m ≤ 5 2 ⇔ 4 ⇔ −5 ≤ m < − 2 6 ∆ > 0 a. f (1) = 2(5 + m) ≥ 0 S m − ( −1) = − − 1 > 0 2 4 KÕt hîp c¶ hai tr−êng hîp ta cã ®¸p sè lµ:
- −5 ≤ m ≤ 5 Bµi 8. T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh sau cã bèn nghiÖm ph©n biÖt 2 x 4 − (6 m + 1) x 3 + (15m − 6) x 2 − (6 m + 1) x + 2 = 0 §©y lµ ph−¬ng tr×nh håi quy bËc bèn. x=0 kh«ng lµ nghiÖm, chia c¶ hai vÕ cho x2 råi 1 ®Æt x + = t; víi t ≥ 2 x øng víi mçi nghiÖm t ≥ 2 cã hai nghiÖm x ph©n biÖt. §Ó ph−¬ng tr×nh cã bèn nghiÖm ph©n biÖt th× ph−¬ng tr×nh bËc hai cña t ph¶i cã c¶ hai nghiÖm t2 ≥ t1 ≥ 2 4 3 §¸p sè: m < 0 hoÆc
- g( x ) ≥ 0 g( x ) ≥ 0 5) f ( x ) = g ( x ) ⇔ ⇔ f (x) = g (x) f ( x ) = ± g( x ) 2 6) f ( x ) = g ( x ) ⇔ f ( x ) = g ( x ) ⇔ [ f ( x ) + g( x )].[ f ( x ) − g( x )] = 0 ⇔ f ( x ) = ± g ( x ) 2 2 7) Trong tr−êng hîp cã nhiÒu dÊu trÞ tuyÖt ®èi: a1 A1 + a2 A2 + ... + a2 An = 0 trong ®ã ai;Ai lµ c¸c biÓu thøc chøa x, ta dïng ®Þnh nghÜa A nÕu A ≥ 0 A = -A nÕu A
- 28 Tãm l¹i ph−¬ng tr×nh ®· cho cã hai nghiÖm lµ x = 0; x = 3 2. Quy t¾c thay gi¸ trÞ. Sö dông h»ng ®¼ng thøc (u + v)3 = u3 + v 3 + 3uv(u + v) Tõ biÓu thøc u+v=a dÔ dµng suy ra: u3 + v3 + 3uv.a = a3 Tuy nhiªn, phÐp thÕ gi¸ trÞ u+v=a nµy vµo biÓu thøc lËp ph−¬ng cã thÓ dÉn ®Õn mét phÐp b×nh ph−¬ng vµ phÐp biÕn ®æi nµy kh«ng cßn lµ phÐp biÕn ®æi t−¬ng ®−¬ng, do ®ã cã thÓ cã nghiÖm ngo¹i lai. VÝ dô 2. Gi¶i ph−¬ng tr×nh: 3 x + 34 − 3 x − 3 = 1 Gi¶i LËp ph−¬ng hai vÕ ph−¬ng tr×nh ®· cho ta cã: x + 34 − 3 3 ( x + 34)( x − 3).[ 3 x + 34 − 3 x − 3] = 1 ⇔ 3 x 2 + 31x − 102 = 12 ⇔ x 2 + 31x − 1830 = 0 x = 30 ⇔ x = −61 Thö l¹i hai nghiÖm trªn tho¶ m·n ph−¬ng tr×nh VËy ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm lµ: x=30 vµ x=-61. 3. Quy t¾c h÷u tØ ho¸ Mét trong nh÷ng ph−¬ng ph¸p c¬ b¶n ®Ó gi¶i ph−¬ng tr×nh vµ bÊt ph−¬ng tr×nh chøa c¨n thøc lµ chuyÓn bµi to¸n ®· cho vÒ d¹ng h÷u tØ b»ng c¸ch ®Æt Èn phô VÝ dô 3. Gi¶i ph−¬ng tr×nh: ( x + 1)( x + 4) − 3 x 2 + 5 x + 2 = 6 Gi¶i §Æt x 2 + 5 x + 2 = t ®iÒu kiÖn t ≥ 0 Khi ®ã ph−¬ng tr×nh t−¬ng ®−¬ng víi: t ≥ 0 2 ⇔t=4 t − 3t − 4 = 0 x = −7 Tõ ®ã x 2 + 5x + 2 = 4 ⇔ x = 2 VÝ dô 4. Gi¶i ph−¬ng tr×nh: 4 5 − x + 4 x −1 = 2 Gi¶i §iÒu kiÖn: 1 ≤ x ≤ 5 2 2 2 §Æt 4 x − 1 = y + ;− ≤y≤ 2 2 2
- 2 4 2 4 khi ®ã x = ( y + ) + 1; 4 5 − x = 4 4 − ( y + ) 2 2 Tõ ®ã ta cã ph−¬ng tr×nh 2 4 2 4 4 − (y + ) +y+ = 2 2 2 2 4 2 4 ⇔ (y + ) + (y − ) =4 2 2 2 2 2 2 1 ⇔ [( y + ) − (y − ) ] + 2( y 2 − )2 = 4 2 2 2 7 2 ⇔ 2y4 + 6y2 − =0⇔y=± 2 2 VËy ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm: 2 2 4 x = ( + ) +1 = 5 2 2 2 2 4 x = (− + ) +1 = 1 2 2 4. Ph−¬ng ph¸p chuyÓn vÒ hÖ ( ph−¬ng ph¸p h÷u tØ ho¸ gi¸n tiÕp) Nh×n chung, c¸c ph−¬ng tr×nh v« tØ ®Òu cã thÓ chuyÓn ®−îc vÒ mét hÖ h÷u tØ. Tuy nhiªn, kh«ng ph¶i lóc hÖ nhËn ®−îc còng cã tÝnh −u viÖt. Th«ng th−êng, phÐp chuyÓn vÒ hÖ sÏ cã hiÖu qu¶ khi c¸c phÐp to¸n cã sö dông c¸c h»ng ®¼ng thøc quen biÕt. VÝ dô 5. Gi¶i ph−¬ng tr×nh 1 4 x + 2−x = 2 Gi¶i §iÒu kiÖn: 0 ≤ x ≤ 2. 2−x =u §Æt ;0 ≤ u ≤ 2;0 ≤ v ≤ 4 2 4 x = v Khi ®ã ta cã hÖ ®èi xøng lo¹i I. 1 u+v = 1 u = ( 2 − 4) 2 ⇔ u 2 + v 4 = 2 ( 1 − 4)2 + v 4 = 2(1) 2 Gi¶i (1): 1 v 4 + v 2 − 2v + =2 2 1 ⇔ (v 4 + 2v 2 + 1)2 − (v 2 + 2v + ) = 0 2 1 2 ⇔ (v 2 + 1)2 − (v + ) =0 2 1 1 ⇔ (v 2 + v + 1 + )(v 2 − v + 1 − )=0 2 2 VÕ tr¸i lu«n d−¬ng, vËy ph−¬ng tr×nh ®· cho v« nghiÖm
- VÝ dô 6. Gi¶i ph−¬ng tr×nh x2 + x + 5 = 5 Gi¶i §Æt x + 5 = t; t ≥ 0 ⇒ t = x + 5 . Khi ®ã ta cã hÖ 2 x2 + t = 5 x 2 + t = 5 2 ⇔ t − x = 5 ( x + t )( x − t + 1) = 0 x ≤ 0 t = − x ≥ 0 2 x = 1 ± 21 1 − 21 x − x −5= 0 x = ⇔ ⇔ 2 ⇔ 2 t = x + 1 ≥ 0 x ≥ −1 −1 + 17 x = 2 x + x − 4 = 0 x = −1 ± 17 2 2 VÝ dô 7. Gi¶i ph−¬ng tr×nh d¹ng: ax 2 + bx + c = Ax + B §Æt Ax + B = α y + β Khi ®ã ta cã hÖ: ax 2 + bx + c = α y + β (α y + β ) = Ax + B 2 Trong mét sè tr−êng hîp ta cã thÓ chän α vµ β sao cho hÖ trªn lµ ®èi xøng lo¹i II VÝ dô:Gi¶i ph−¬ng tr×nh x 2 − 2x = 2 2x − 1 1 §iÒu kiÖn x ≥ 2 §Æt 2 x − 1 = α y + β . Khi ®ã ta cã hÖ: x 2 − 2 x = 2(α y + β ) x 2 − 2 x = 2α y + 2 β ⇔ 2 2 (α y + β ) = 2 x − 1 α y + 2αβ y = 2 x − 1 − β 2 2 Chän α vµ β sao cho hÖ trªn lµ ®èi xøng lo¹i II ; tøc lµ α2 2αβ 2 −1 − β 2 = = = ⇒ α = 1; β = −1 1 −2 2α 2β VËy ta ®Æt 2 x − 1 = y − 1 Khi ®ã ta cã hÖ ®èi xøng lo¹i II:
- x 2 − 2 x = 2( y − 1) 1 2 ( x ≥ ; y ≥ 1) y − 2 y = 2( x − 1) 2 y = x 2 x 2 − 2 x = 2( y − 1) ⇔ 2 x − 4x + 2 = 0 ⇔ x = y = 2 ± 2 ⇔ x − y = 0 2 y = −x 2 x = −2 §èi chiÕu víi c¸c ®iÒu kiÖn cña x vµ y ta ®−îc nghiÖm duy nhÊt cña ph−¬ng tr×nh: x = 2+ 2 5.Ph−¬ng ph¸p ph©n tÝch thµnh nh©n tö. Mét trong nh÷ng néi dung khã nhÊt cña ph−¬ng tr×nh vµ bÊt ph−¬ng tr×nh chøa c¨n chÝnh lµ x¸c ®Þnh tiªu chuÈn ®Ó mét biÓu thøc chøa c¨n cã thÓ ph©n tÝch ®−îc thµnh nh©n tö. Tuy nhiªn, dùa vµo ®Æc thï riªng cña tõng bµi to¸n, cã thÓ xem mét bé phËn thÝch hîp cña biÓu thøc ®· cho nh− mét biÕn sè ®éc lËp vµ ph©n tÝch chóng theo biÕn phô ®ã. VÝ dô 8. Gi¶i ph−¬ng tr×nh: 4 1 + x − 1 = 3x + 2 1 − x + 1 − x 2 (1) Gi¶i Ph©n tÝch: Coi 1 − x = t nh− mét biÕn ®éc lËp. Khi ®ã ph−¬ng tr×nh cã d¹ng: 4 1 + x − 1 = 3(1 − t 2 ) + 2t + t. 1 + x (2) ⇔ 3t 2 − (2 + 1 + x )t + 4( 1 + x − 1) = 0 Còng nh− vËy nÕu coi 1 + x = t lµ Èn phô míi th× còng cã mét ph−¬ng tr×nh t−¬ng tù. Tuy nhiªn, sù may m¾n ®Ó gi¶i ®−îc ph−¬ng tr×nh (2) th−êng lµ Ýt x¶y ra. §ã chÝnh lµ ®iÓm khã nhÊt vµ quan träng nhÊt trong ph−¬ng ph¸p ®Æt Èn phô kh«ng toµn phÇn kiÓu nµy: Th«ng th−êng, tr−íc khi gi¶i cÇn xÐt biÓu diÔn cña sè h¹ng 3x d−íi d¹ng tæ hîp cña hai sè : ( 1 − x )2 ;( 1 + x )2 : 3x = α (1 − x ) + β (1 + x ) + γ vµ chän α ;β ; γ thÝch hîp ®Ó tam thøc bËc hai theo biÕn t cã biÖt thøc ∆ b»ng 0. Gi¶i:§iÒu kiÖn -1≤ x ≤ 1 (1) §Æt 1 − x = t ; Ta cã: 3x = −(1 − x ) + 2(1 + x ) − 1 = −t 2 + 2( x + 1) − 1 Khi ®ã ph−¬ng tr×nh ®· cho cã d¹ng: 4 1 + x − 1 = −t 2 + 2( x + 1) − 1 + 2t + 1 + x .t ⇔ t 2 − (2 + 1 + x )t + 4 1 + x − 2(1 + x ) = 0 (3) ∆ = (2 − 3 1 + x )2 t = 2 1 + x 1− x = 2 1+ x 3 ⇒ ⇔ ⇔ x = − 5 t = 2 − 1 + x 1− x = 2 − 1+ x x = 0 3 VËy ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm lµ x = 0 hoÆc x=- 5 B.Bµi tËp tù gi¶i Bµi 1. Gi¶i ph−¬ng tr×nh x 2 − 5 x + 4 = x + 4
- Bµi 2. Gi¶i ph−¬ng tr×nh: x −1 − 2 x − 2 + 3 x − 3 = 4 Bµi 3. Gi¶i ph−¬ng tr×nh: 3 x − 1 + 3 x − 2 = 3 2x − 3 Bµi 4.Gi¶i ph−¬ng tr×nh: 3 2x-1 = x . 3 16 − 3 2x+1 Bµi 5.Gi¶i ph−¬ng tr×nh: 3 x 2 + x + 2 + 3 -x 2 − x + 2 = 3 4 Bµi 6.Gi¶i ph−¬ng tr×nh 2x 2 − 6x − 1 = 4x + 5 Bµi 7.Gi¶i ph−¬ng tr×nh x 2 + 2 = 8x − 8 Bµi 8.Gi¶i ph−¬ng tr×nh 4 4x + 1 = x Bµi 9.Gi¶i ph−¬ng tr×nh x 2 + x + 12 x + 1 = 36 Bµi 10.Gi¶i ph−¬ng tr×nh x3 + 1 = 2 3 2x − 1 Bµi 11.Gi¶i ph−¬ng tr×nh (4 x − 1). x 2 + 1 = 2 x 2 + 2 x + 1 Bµi 12. (§H B¸ch khoa 2001)Gi¶i ph−¬ng tr×nh 2 x 2 + 8x + 6 + x 2 − 1 = 2 x + 2 Bµi 13. (§H S− ph¹m hµ néi II 2000)Gi¶i ph−¬ng tr×nh x ( x − 1) + x ( x + 2) = 2 x 2 Bµi 14. (§H Má 2001)Gi¶i ph−¬ng tr×nh x + 4 − x2 = 2 + 3 4 − x2 Bµi 15. (Häc viÖn BCVT 2001)Gi¶i ph−¬ng tr×nh x +3 4 x + 1 − 3x − 2 = 5 Bµi 16. (§H Ngo¹i ng÷ HN 2001)Gi¶i ph−¬ng tr×nh x + 1 + 4 − x + ( x + 1)(4 − x ) = 5 Bµi 17. (§H Quèc gia Hµ néi 2001)Gi¶i ph−¬ng tr×nh x 2 + 3x + 1 = ( x + 3) x 2 + 1 Bµi 18. (§H S− ph¹m Vinh 2000)Gi¶i ph−¬ng tr×nh x −1+ 2 x − 2 − x −1− 2 x − 2 = 1