Xem mẫu
- Gi¶i bµi kú tr−íc
Bµi 1. Chøng minh r»ng nÕu 5a+4b+6c=0 th× ph−¬ng tr×nh f(x)=ax2+bx+c=0 cã
nghiÖm.
1 1
Ta cã: f (0) + f ( ) + f (2) = 5a + 4b + 6c = 0
4 2
Do ®ã ph−¬ng tr×nh cã Ýt nhÊt mét nghiÖm thuéc [0;2].
Bµi 2. Chøng minh r»ng nÕu a,b,c lµ c¸c sè ®«i mét kh¸c nhau th× ph−¬ng tr×nh
f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)=0
lu«n cã nghiÖm
Gi¶ sö a ≤ b ≤ c .
XÐt f (b). f (c) = (b − a).(b − c).(c − a).(c − b) ≤ 0
Do ®ã ph−¬ng tr×nh cã Ýt nhÊt mét nghiÖm thuéc [b; c]
Bµi 3. Chøng minh r»ng nÕu a,b,c lµ ba sè tho¶ m·n:2c+3b+6a=0 th× ph−¬ng tr×nh
f(x)=ax2+bx+c=0 cã Ýt nhÊt mét nghiÖm lín h¬n 1.
Gi¶i
Râ rµng x=0 kh«ng lµ nghiÖm. Chia c¶ hai vÕ cña ph−¬ng tr×nh cho x2, råi ®Æt
1
= t , ta ®−îc ph−¬ng tr×nh:
x
g (t ) = ct 2 + bt + a = 0
Ta cã (xem vÝ dô 7)
1 1
g (0) + g (1) + g ( ) = 2c + 3b + 6 a = 0
4 2
Do ®ã ph−¬ng tr×nh g(t) =0 cã Ýt nhÊt mét nghiÖm t ∈ (0;1) tøc lµ ph−¬ng tr×nh f(x)=0
cã Ýt mét nghiÖm x >1.
Bµi 4. Chøng minh r»ng nÕu a,b,c lµ c¸c sè ®«i mét kh¸c nhau vµ kh¸c 0 th× ph−¬ng
tr×nh
f(x)=ab(x-a)(x-b)+bc(x-b)(x-c)+ca(x-c)(x-a)=0
lu«n cã nghiÖm.
Gi¶i t−¬ng tù bµi 2.
Bµi 5. T×m m ®Ó hÖ bÊt ph−¬ng tr×nh sau v« nghiÖm:
x 2 − 5 x + 6 ≤ 0 (1)
2
3x − 2mx − 2m + 7m − 12 ≥ 0 (2)
2
Gi¶i
(1) ⇔ 2 ≤ x ≤ 3
§Æt f ( x ) = 3x 2 − 2mx − 2m 2 + 7m − 12
HÖ bÊt ph−¬ng tr×nh v« nghiÖm khi vµ chØ chi
- f ( x ) ≥ 0 v« nghiÖm khi 2 ≤ x ≤ 3
⇔ f(x) 3
Bµi 6. T×m m ®Ó:
f ( x ) = ( m + 2) x 2 − 2( m + 3) x − m + 3 > 0; ∀x ∈ (−∞;1)
Gi¶i t−¬ng tù vÝ dô 5. §¸p sè:
1
−2 ≤ m ≤ −
2
Bµi 7.T×m m ®Ó f ( x ) = 2 x 2 + mx + 3 ≥ 0; ∀x ∈ [−1;1]
Gi¶i
a = 2 > 0
Ta cã:
∆ = m − 24
2
Tr−êng hîp 1.
∆ ≤ 0 ⇔ −2 6 ≤ m ≤ 2 6
⇒ f ( x ) ≥ 0 ∀x ∈ R
⇒ f ( x ) ≥ 0∀x ∈ [−1;1]
⇒ −2 6 ≤ m ≤ 2 6 tho¶ m·n.
Tr−êng hîp 2. ∆ ≥ 0 ⇔ m < −2 6 hoÆc m>2 6
-∞ x1 x2 +∞
+ 0 − 0 +
Khi ®ã f(x) =0 cã hai nghiÖm x1;x2 (x1 0
a. f ( −1) = 2(5 − m) ≥ 0
S m
− ( −1) = − + 1 < 0 2 6 < m ≤ 5
2
⇔
4
⇔
−5 ≤ m < − 2 6
∆ > 0
a. f (1) = 2(5 + m) ≥ 0
S m
− ( −1) = − − 1 > 0
2
4
KÕt hîp c¶ hai tr−êng hîp ta cã ®¸p sè lµ:
- −5 ≤ m ≤ 5
Bµi 8. T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh sau cã bèn nghiÖm ph©n biÖt
2 x 4 − (6 m + 1) x 3 + (15m − 6) x 2 − (6 m + 1) x + 2 = 0
§©y lµ ph−¬ng tr×nh håi quy bËc bèn. x=0 kh«ng lµ nghiÖm, chia c¶ hai vÕ cho x2 råi
1
®Æt x + = t; víi t ≥ 2
x
øng víi mçi nghiÖm t ≥ 2 cã hai nghiÖm x ph©n biÖt. §Ó ph−¬ng tr×nh cã bèn nghiÖm
ph©n biÖt th× ph−¬ng tr×nh bËc hai cña t ph¶i cã c¶ hai nghiÖm t2 ≥ t1 ≥ 2
4 3
§¸p sè: m < 0 hoÆc
- g( x ) ≥ 0 g( x ) ≥ 0
5) f ( x ) = g ( x ) ⇔ ⇔
f (x) = g (x) f ( x ) = ± g( x )
2
6) f ( x ) = g ( x ) ⇔ f ( x ) = g ( x ) ⇔ [ f ( x ) + g( x )].[ f ( x ) − g( x )] = 0 ⇔ f ( x ) = ± g ( x )
2 2
7) Trong tr−êng hîp cã nhiÒu dÊu trÞ tuyÖt ®èi:
a1 A1 + a2 A2 + ... + a2 An = 0
trong ®ã ai;Ai lµ c¸c biÓu thøc chøa x, ta dïng ®Þnh nghÜa
A nÕu A ≥ 0
A =
-A nÕu A
- 28
Tãm l¹i ph−¬ng tr×nh ®· cho cã hai nghiÖm lµ x = 0; x =
3
2. Quy t¾c thay gi¸ trÞ.
Sö dông h»ng ®¼ng thøc
(u + v)3 = u3 + v 3 + 3uv(u + v)
Tõ biÓu thøc u+v=a dÔ dµng suy ra:
u3 + v3 + 3uv.a = a3
Tuy nhiªn, phÐp thÕ gi¸ trÞ u+v=a nµy vµo biÓu thøc lËp ph−¬ng cã thÓ dÉn ®Õn mét
phÐp b×nh ph−¬ng vµ phÐp biÕn ®æi nµy kh«ng cßn lµ phÐp biÕn ®æi t−¬ng ®−¬ng, do
®ã cã thÓ cã nghiÖm ngo¹i lai.
VÝ dô 2. Gi¶i ph−¬ng tr×nh:
3
x + 34 − 3 x − 3 = 1
Gi¶i
LËp ph−¬ng hai vÕ ph−¬ng tr×nh ®· cho ta cã:
x + 34 − 3 3 ( x + 34)( x − 3).[ 3 x + 34 − 3 x − 3] = 1
⇔ 3 x 2 + 31x − 102 = 12
⇔ x 2 + 31x − 1830 = 0
x = 30
⇔
x = −61
Thö l¹i hai nghiÖm trªn tho¶ m·n ph−¬ng tr×nh
VËy ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm lµ: x=30 vµ x=-61.
3. Quy t¾c h÷u tØ ho¸
Mét trong nh÷ng ph−¬ng ph¸p c¬ b¶n ®Ó gi¶i ph−¬ng tr×nh vµ bÊt ph−¬ng tr×nh
chøa c¨n thøc lµ chuyÓn bµi to¸n ®· cho vÒ d¹ng h÷u tØ b»ng c¸ch ®Æt Èn phô
VÝ dô 3. Gi¶i ph−¬ng tr×nh:
( x + 1)( x + 4) − 3 x 2 + 5 x + 2 = 6
Gi¶i
§Æt x 2 + 5 x + 2 = t ®iÒu kiÖn t ≥ 0
Khi ®ã ph−¬ng tr×nh t−¬ng ®−¬ng víi:
t ≥ 0
2 ⇔t=4
t − 3t − 4 = 0
x = −7
Tõ ®ã x 2 + 5x + 2 = 4 ⇔
x = 2
VÝ dô 4. Gi¶i ph−¬ng tr×nh:
4
5 − x + 4 x −1 = 2
Gi¶i
§iÒu kiÖn: 1 ≤ x ≤ 5
2 2 2
§Æt 4 x − 1 = y + ;− ≤y≤
2 2 2
- 2 4 2 4
khi ®ã x = ( y + ) + 1; 4 5 − x = 4 4 − ( y + )
2 2
Tõ ®ã ta cã ph−¬ng tr×nh
2 4 2
4 4 − (y + ) +y+ = 2
2 2
2 4 2 4
⇔ (y + ) + (y − ) =4
2 2
2 2 2 2 1
⇔ [( y + ) − (y − ) ] + 2( y 2 − )2 = 4
2 2 2
7 2
⇔ 2y4 + 6y2 − =0⇔y=±
2 2
VËy ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm:
2 2 4
x = ( + ) +1 = 5
2 2
2 2 4
x = (− + ) +1 = 1
2 2
4. Ph−¬ng ph¸p chuyÓn vÒ hÖ ( ph−¬ng ph¸p h÷u tØ ho¸ gi¸n tiÕp)
Nh×n chung, c¸c ph−¬ng tr×nh v« tØ ®Òu cã thÓ chuyÓn ®−îc vÒ mét hÖ h÷u tØ.
Tuy nhiªn, kh«ng ph¶i lóc hÖ nhËn ®−îc còng cã tÝnh −u viÖt. Th«ng th−êng, phÐp
chuyÓn vÒ hÖ sÏ cã hiÖu qu¶ khi c¸c phÐp to¸n cã sö dông c¸c h»ng ®¼ng thøc quen
biÕt.
VÝ dô 5. Gi¶i ph−¬ng tr×nh
1
4
x + 2−x =
2
Gi¶i
§iÒu kiÖn: 0 ≤ x ≤ 2.
2−x =u
§Æt
;0 ≤ u ≤ 2;0 ≤ v ≤ 4 2
4 x = v
Khi ®ã ta cã hÖ ®èi xøng lo¹i I.
1
u+v =
1 u = ( 2 − 4)
2 ⇔
u 2 + v 4 = 2 ( 1 − 4)2 + v 4 = 2(1)
2
Gi¶i (1):
1
v 4 + v 2 − 2v + =2
2
1
⇔ (v 4 + 2v 2 + 1)2 − (v 2 + 2v + ) = 0
2
1 2
⇔ (v 2 + 1)2 − (v + ) =0
2
1 1
⇔ (v 2 + v + 1 + )(v 2 − v + 1 − )=0
2 2
VÕ tr¸i lu«n d−¬ng, vËy ph−¬ng tr×nh ®· cho v« nghiÖm
- VÝ dô 6. Gi¶i ph−¬ng tr×nh
x2 + x + 5 = 5
Gi¶i
§Æt x + 5 = t; t ≥ 0 ⇒ t = x + 5 . Khi ®ã ta cã hÖ
2
x2 + t = 5
x 2 + t = 5
2 ⇔
t − x = 5
( x + t )( x − t + 1) = 0
x ≤ 0
t = − x ≥ 0
2 x = 1 ± 21 1 − 21
x − x −5= 0 x =
⇔ ⇔
2
⇔
2
t = x + 1 ≥ 0 x ≥ −1 −1 + 17
x =
2
x + x − 4 = 0 x = −1 ± 17
2
2
VÝ dô 7. Gi¶i ph−¬ng tr×nh d¹ng:
ax 2 + bx + c = Ax + B
§Æt Ax + B = α y + β
Khi ®ã ta cã hÖ:
ax 2 + bx + c = α y + β
(α y + β ) = Ax + B
2
Trong mét sè tr−êng hîp ta cã thÓ chän α vµ β sao cho hÖ trªn lµ ®èi xøng lo¹i II
VÝ dô:Gi¶i ph−¬ng tr×nh
x 2 − 2x = 2 2x − 1
1
§iÒu kiÖn x ≥
2
§Æt 2 x − 1 = α y + β . Khi ®ã ta cã hÖ:
x 2 − 2 x = 2(α y + β )
x 2 − 2 x = 2α y + 2 β
⇔ 2 2
(α y + β ) = 2 x − 1 α y + 2αβ y = 2 x − 1 − β
2 2
Chän α vµ β sao cho hÖ trªn lµ ®èi xøng lo¹i II ; tøc lµ
α2 2αβ 2 −1 − β 2
= = = ⇒ α = 1; β = −1
1 −2 2α 2β
VËy ta ®Æt 2 x − 1 = y − 1
Khi ®ã ta cã hÖ ®èi xøng lo¹i II:
- x 2 − 2 x = 2( y − 1)
1
2 ( x ≥ ; y ≥ 1)
y − 2 y = 2( x − 1)
2
y = x
2
x 2 − 2 x = 2( y − 1)
⇔ 2 x − 4x + 2 = 0 ⇔ x = y = 2 ± 2
⇔
x − y = 0
2
y = −x
2
x = −2
§èi chiÕu víi c¸c ®iÒu kiÖn cña x vµ y ta ®−îc nghiÖm duy nhÊt cña ph−¬ng tr×nh:
x = 2+ 2
5.Ph−¬ng ph¸p ph©n tÝch thµnh nh©n tö.
Mét trong nh÷ng néi dung khã nhÊt cña ph−¬ng tr×nh vµ bÊt ph−¬ng tr×nh chøa
c¨n chÝnh lµ x¸c ®Þnh tiªu chuÈn ®Ó mét biÓu thøc chøa c¨n cã thÓ ph©n tÝch ®−îc
thµnh nh©n tö. Tuy nhiªn, dùa vµo ®Æc thï riªng cña tõng bµi to¸n, cã thÓ xem mét bé
phËn thÝch hîp cña biÓu thøc ®· cho nh− mét biÕn sè ®éc lËp vµ ph©n tÝch chóng theo
biÕn phô ®ã.
VÝ dô 8. Gi¶i ph−¬ng tr×nh:
4 1 + x − 1 = 3x + 2 1 − x + 1 − x 2 (1)
Gi¶i
Ph©n tÝch: Coi 1 − x = t nh− mét biÕn ®éc lËp. Khi ®ã ph−¬ng tr×nh cã d¹ng:
4 1 + x − 1 = 3(1 − t 2 ) + 2t + t. 1 + x
(2)
⇔ 3t 2 − (2 + 1 + x )t + 4( 1 + x − 1) = 0
Còng nh− vËy nÕu coi 1 + x = t lµ Èn phô míi th× còng cã mét ph−¬ng tr×nh
t−¬ng tù. Tuy nhiªn, sù may m¾n ®Ó gi¶i ®−îc ph−¬ng tr×nh (2) th−êng lµ Ýt x¶y ra. §ã
chÝnh lµ ®iÓm khã nhÊt vµ quan träng nhÊt trong ph−¬ng ph¸p ®Æt Èn phô kh«ng toµn
phÇn kiÓu nµy: Th«ng th−êng, tr−íc khi gi¶i cÇn xÐt biÓu diÔn cña sè h¹ng 3x d−íi
d¹ng tæ hîp cña hai sè :
( 1 − x )2 ;( 1 + x )2 : 3x = α (1 − x ) + β (1 + x ) + γ
vµ chän α ;β ; γ thÝch hîp ®Ó tam thøc bËc hai theo biÕn t cã biÖt thøc ∆ b»ng 0.
Gi¶i:§iÒu kiÖn -1≤ x ≤ 1 (1)
§Æt 1 − x = t ;
Ta cã: 3x = −(1 − x ) + 2(1 + x ) − 1 = −t 2 + 2( x + 1) − 1
Khi ®ã ph−¬ng tr×nh ®· cho cã d¹ng:
4 1 + x − 1 = −t 2 + 2( x + 1) − 1 + 2t + 1 + x .t
⇔ t 2 − (2 + 1 + x )t + 4 1 + x − 2(1 + x ) = 0 (3)
∆ = (2 − 3 1 + x )2
t = 2 1 + x 1− x = 2 1+ x 3
⇒ ⇔ ⇔ x = − 5
t = 2 − 1 + x 1− x = 2 − 1+ x
x = 0
3
VËy ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm lµ x = 0 hoÆc x=-
5
B.Bµi tËp tù gi¶i
Bµi 1. Gi¶i ph−¬ng tr×nh x 2 − 5 x + 4 = x + 4
- Bµi 2. Gi¶i ph−¬ng tr×nh:
x −1 − 2 x − 2 + 3 x − 3 = 4
Bµi 3. Gi¶i ph−¬ng tr×nh:
3
x − 1 + 3 x − 2 = 3 2x − 3
Bµi 4.Gi¶i ph−¬ng tr×nh:
3
2x-1 = x . 3 16 − 3 2x+1
Bµi 5.Gi¶i ph−¬ng tr×nh:
3
x 2 + x + 2 + 3 -x 2 − x + 2 = 3 4
Bµi 6.Gi¶i ph−¬ng tr×nh
2x 2 − 6x − 1 = 4x + 5
Bµi 7.Gi¶i ph−¬ng tr×nh
x 2 + 2 = 8x − 8
Bµi 8.Gi¶i ph−¬ng tr×nh
4
4x + 1 = x
Bµi 9.Gi¶i ph−¬ng tr×nh
x 2 + x + 12 x + 1 = 36
Bµi 10.Gi¶i ph−¬ng tr×nh
x3 + 1 = 2 3 2x − 1
Bµi 11.Gi¶i ph−¬ng tr×nh
(4 x − 1). x 2 + 1 = 2 x 2 + 2 x + 1
Bµi 12. (§H B¸ch khoa 2001)Gi¶i ph−¬ng tr×nh
2 x 2 + 8x + 6 + x 2 − 1 = 2 x + 2
Bµi 13. (§H S− ph¹m hµ néi II 2000)Gi¶i ph−¬ng tr×nh
x ( x − 1) + x ( x + 2) = 2 x 2
Bµi 14. (§H Má 2001)Gi¶i ph−¬ng tr×nh
x + 4 − x2 = 2 + 3 4 − x2
Bµi 15. (Häc viÖn BCVT 2001)Gi¶i ph−¬ng tr×nh
x +3
4 x + 1 − 3x − 2 =
5
Bµi 16. (§H Ngo¹i ng÷ HN 2001)Gi¶i ph−¬ng tr×nh
x + 1 + 4 − x + ( x + 1)(4 − x ) = 5
Bµi 17. (§H Quèc gia Hµ néi 2001)Gi¶i ph−¬ng tr×nh
x 2 + 3x + 1 = ( x + 3) x 2 + 1
Bµi 18. (§H S− ph¹m Vinh 2000)Gi¶i ph−¬ng tr×nh
x −1+ 2 x − 2 − x −1− 2 x − 2 = 1
nguon tai.lieu . vn
