Xem mẫu

  1. MỤC LỤC 1. Kiến thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1. Định nghĩa phương trình bậc nhất . . . . . . . . . . . . 2 1.2. Hai quy tắc biến đổi phương trình . . . . . . . . . . . . 3 2. Phân dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.1. Giải phương trình bậc nhất một ẩn . . . . . . . . . . . . 4 2.2. Giải và biện luận phương trình pam b qx cm d0 5 2.3. Tìm điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 3. Bài tập luyện tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1
  2. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN (Dành cho lớp 8 ) 1. Kiến thức cơ bản 1.1. Định nghĩa phương trình bậc nhất Định nghĩa 1. Phương trình bậc nhất một ẩn là phương trình có dạng ax b0 trong đó: + a và b là hai số đã cho và a  0. + x là ẩn. + ax b là vế trái của phương trình và 0 là vế phải của phương trình. Chú ý 1. Ẩn của phương trình không nhất thiết lúc nào cũng là x, có thể là y, z, t, ... Ví dụ 1. Các phương trình sau là phương trình bậc nhất một ẩn x. 1. 2x 1  0. 2. x 2  0. 3. x  0. Ví dụ 2. Các phương trình sau là phương trình bậc nhất một ẩn t: 1. 4t 1  0. 2. 2t  0 2
  3. 1.2. Hai quy tắc biến đổi phương trình a) Quy tắc chuyển vế Trong một phương trình ta có thể chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia và đổi dấu hạng tử đó. Ví dụ 3. 4x 1  0 ta có thể chuyển hạng tử số 1 từ vế phải sang vế trái và đổi dấu hạng tử đó thành 1, khi đó phương trình đã cho trở thành 4x  1. Ví dụ 4. 3x  4  0 ta có thể chuyển hạng tử số 4 từ vế phải sang vế trái và đổi dấu hạng tử đó thành 4, khi đó phương trình đã cho trở thành 3x  4. b) Quy tắc nhân với một số Trong một phương trình, ta có thể nhân cả hai vế với cùng một số khác 0. Ví dụ 5. Ta có thể nhân cả hai vế của phương trình 2x 1  0 với số 3 (vì số 3 khác số 0), tức là 3p2x 1q  3.0 (1) Vì apb cq  ab ac và 3.0  0 nên phương trình (1) trở thành 3.2x 3.1  0 (2) Vì 3.1  3 và 3.2  6 nên phương trình (2) trở thành 6x 30. Vậy nhân cả hai vế của phương trinh 2x 1  0 với số 3 ta được phương trình 6x 3  0. 3
  4. Ví dụ 6. Ta có thể nhân cả hai vế của phương trình 2x 4  0 với 1 1 số (vì số khác số 0), tức là 2 2 1 2 p2x 4q   0 1 2 (3) Vì apb cq  ab ac và  0  0 nên phương trình (3) trở thành 1 2 2x 4 2 2 0 (4) Vì  1 và  2 nên phương trình (4) trở thành x 2  0. 2 4 2 2 Vậy nhân cả hai vế của phương trình 2x 4  0 cho số ta được 1 2 phương trình mới x 2  0 2. Phân dạng toán 2.1. Giải phương trình bậc nhất một ẩn Cách giải phương trình bậc nhất một ẩn Bước 1: Chuyển vế ax  b. Bước 2: Nhân hai vế phương trình ax  b với số 1 ta được x  b . a a Bước 3: Vậy x  b là nghiệm của phương trình đã cho. a Tổng quát phương trình ax b  0 (a khác 0) được giải như sau: ax b  0 ô ax  b ô x  b . a Vậy x  b là nghiệm của phương trình đã cho. a Ví dụ 7. Giải phương trình sau a) 2x 40 b) 2x  1  0 4
  5. Giải a) 2x 4  0 ô 2x  4 ô x  4 ô x  2. Vậy x  2 là nghiệm 2 của phương trình đã cho. b) 2x  1  0 ô 2x  1 ô x  21 . Vậy x  12 là nghiệm của phương trình đã cho. 2.2. Giải và biện luận phương trình pam bqx cm d0 Để giải và biện luận phương trình pam bqx cm d  0 ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Nếu am b  0 ô am  b ô m  b pa  0q thì phương a trình đã cho có nghiệm duy nhất là x pcm dq . am b Bước 2: Nếu am b  0 ô am  b ô m  b pa  0q thì phương a trình đã cho trở thành 0x c b d  0. a Và nếu: +) c  b d  0 thì phương trình đã cho có vô số nghiệm. a +) c  b d  0 thì phương trình đã cho vô nghiệm. a Bước 3: Kết luận Ví dụ 8. Giải và biện luận phương trình pm 1qx m 2  0. Giải 5
  6. Nếu m 1  0 ô m  1 thì phương trình có nghiệm duy nhất x pm 2q . m 1 Nếu m 1  0 ô m  1 thì phương trình đã cho trở thành 0x p1q 2  0 ô 0x 1  0. Vì 1  0 nên với m  1 phương trình đã cho vô nghiệm. Vậy với m  1 thì phương trình đã cho vô nghiệm và với m  1 phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x  pm 2q . m 1 Ví dụ 9. Giải và biện luận phương trình pm 1qx 4m 4  0. Giải Nếu m 1  0 ô m  1 thì phương trình có nghiệm duy nhất x p4m 4q  4mpm 1q  4. m 1 1 Nếu m 1  0 ô m  1 thì phương trình đã cho trở thành 0x 4.p1q 4  0 ô 0x 0  0 ô 0x  0. Do đó với m  1 phương trình đã cho có vô số nghiệm. Vậy với m  1 thì phương trình đã cho có vô số nghiệm và với m  1 phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x  4. 2.3. Tìm điều kiện Bài toán 1. Tìm điều kiện để phương trình pam bqx cm d  0 có nghiệm duy nhất. Phương pháp giải 6
  7. Điều kiện để phương trình pam bqx cm d  0 có nghiệm duy nhất là am b  0 ô am  b ô m  b (a  0). a Ví dụ 10. Tìm điều kiện để phương trình pm 1qx  m  0 có nghiệm duy nhất. Giải Điều kiện để phương trình pm 1qx  m  0 có nghiệm duy nhất là m 1  0 ô m  1. Bài toán 2. Tìm điều kiện để phương trình pam bqx cm d  0 có vô số nghiệm Phương pháp giải Bước 1: Điều kiện để phương trình pam bqx cm d  0 có vô số nghiệm là am b  0 và cm d  0. Bước 2: Ta có am  0 ô m  ab (a  0), thay m  ab vào b cm d ta được cm d  c  b d. Và nếu: a +) Nếu c  b d  0 thì kết luận với m  b phương trình đã cho có a a vô số nghiệm. +) Nếu c  b d  0 thì kết luận không có giá trị nào của m để phương a trình đã cho có vô số nghiệm. Ví dụ 11. Tìm điều kiện để phương trình p2m 8qx  m  4  0 có vô số nghiệm. 7
  8. Giải Điều kiện để phương trình p2m 8qx  m  4  0 có vô số nghiệm là 2m 8  0 và m  4  0. Ta có 2m 8  0 ô 2m  8 ô m  8 ô m  4, thay m  4 2 vào m  4 ta được m  4  p4q  4  4  4  0. Vậy điều kiện để phương trình đã cho có vô số nghiệm là m  4. Ví dụ 12. Tìm điều kiện để phương trình pm 3qx  m 1  0 có vô số nghiệm. Giải Điều kiện để phương trình pm 3qx  m 1  0 có vô số nghiệm là m 3  0 và m 1  0. Ta có m 3  0 ô m  3, thay m  3 vào m 1 ta được m 1  p3q 1  3 1  4  0. Vậy không có giá trị nào của m để phương trình đã cho có vô số nghiệm. Bài toán 3. Tìm điều kiện để phương trình pam bqx cm d  0 có nghiệm Phương pháp giải Phương trình có nghiệm, tức là phương trình có thể có nghiệm duy nhất hoặc phương trình có vô số nghiệm. Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình pam bqx cm d  0 có nghiệm duy nhất. Bước 2: Tìm điều kiện để phương trình pam bqx cm d  0 có vô số nghiệm. 8
  9. Bước 3: Kết luận. Ví dụ 13. Tìm điều kiện để phương trình pm 1qx  4m  4  0 có nghiệm Giải Điều kiện để phương trình pm 1qx  4m  4  0 có nghiệm duy nhất là m 1  0 ô m  1. Điều kiện để phương trình pm 1qx  4m  4  0 có vô số nghiệm là m 1  0 và 4m  4  0. Ta có m 1  0 ô m  1, thay m  1 vào 4m  4 ta được 4m  4  4.p1q  4  4  4  0. Suy ra, với m  1 phương trình đã cho có vô số nghiệm. Vì với m  1 phương trình đã cho có nghiệm duy nhất và với m  1 phương trình đã cho có vô số nghiệm nên phương trình đã cho có nghiệm với mọi giá trị m. Ví dụ 14. Tìm điều kiện để phương trình pm 2qx  4m  4  0 có nghiệm Giải Điều kiện để phương trình pm 2qx  4m  4  0 có nghiệm duy nhất là m 2  0 ô m  2. Điều kiện để phương trình pm 2qx  4m  4  0 có vô số nghiệm là m 2  0 và 4m  4  0. Ta có m 2  0 ô m  2, thay m  2 vào 4m  4 ta được 4m  4  4.p2q  4  8  4  4  0. Do đó không có giá trị nào của m để phương trình đã cho có vô số nghiệm. Vậy với m  2 thì phương trình đã cho có nghiệm. 9
  10. Bài toán 4. Tìm điều kiện để phương trình pam bqx cm d  0 vô nghiệm Phương pháp giải Bước 1: Điều kiện để phương trình pam bqx cm d  0 vô nghiệm là am b  0 và cm d  0. Bước 2: Ta có am  0 ô m  ab b (a  0), thay m  ab vào cm d ta được cm dc b . Và nếu a +) cm d  c b  0 thì kết luận không có giá trị nào của m để phương a trình vô nghiệm. +) cm d  c b  0 thì kết luận điều kiện để phương trình vô nghiệm là m   b . a a Ví dụ 15. Tìm điều kiện để phương trình pm 1qx 2m 2  0 vô nghiệm Giải Điều kiện để phương trình pm 1qx 2m 2  0 vô nghiệm là m 1  0 và 2m 2  0. Ta có m  0 ô m  1, thay m  1 vào 2m 1 2 ta được 2m 2  2.p1q 2  2 2  0. Vậy không có giá trị nào của m để phương trình đã cho vô nghiệm. Ví dụ 16. Tìm điều kiện để phương trình pm 1qx m 2  0 vô nghiệm Giải Điều kiện để phương trình pm 1qx m 2  0 vô nghiệm là m 10 và m 2  0. 10
  11. Ta có m 1 0ô m  1, thay m  1 vào m 2 ta được m 2  1 2  1  0. Vậy điều kiện để phương trình đã cho vô nghiệm là m  1. 3. Bài tập luyện tập Bài tập 1. Giải các phương trình sau a) 2x 10 b) 3x  8  0 30 0 1 1 2 c) x d) x 3 3 5 Đáp số: a) x  1 , b) x  8 , c) x  9, d) x  6 2 3 5 Bài tập 2. Giải và biện luận các phương trình sau: a) p2m 1qx 3m  1  0 b) 9mx m10 c) mpx  mq  x m2 d) 2x  2m  x  3 Hướng dẫn giải: c) và d) Sử dụng quy tắc chuyển vế biến đổi phương trình đã cho về dạng pam bqx cm d  0. Đáp số: a) m  1 : phương trình có nghiệm duy nhất và m  1 : phương trình 2 2 vô nghiệm. b) m  0: phương trình có nghiệm duy nhất và m  0: phương trình vô nghiệm. c) m  1: phương trình có vô số nghiệm và m  1: phương trình có nghiệm duy nhất. d) Phương trình luôn có nghiệm duy nhất. Bài tập 3. Tìm điều kiện để các phương trình sau có nghiệm 11
  12. a) p3m 2qx  m  1  0 b) pm  1qx m2  1  0 c) mpx  2q xpm  3q  0 d) pm  3qx m2  2  11 Hướng dẫn: Biến đổi phương trình về dạng pam bqx cm d  0. Bài tập 4. Tìm điều kiện để phương trình p2m  4qx m2  4  0 vô nghiệm 12