Xem mẫu
- PHƯƠNG TRÌNH NGHI M NGUYÊN
1. Phương trình b c nh t hai n ax + by = c
Phương trình có nghi m khi và ch khi (a,b) | c
gi i phương trình ta tìm m t nghi m riêng (x0,y0) t ó suy ra t t c các
x = x 0 + bt
nghi m c a phương trình (t ∈ Z)
y = y 0 − at
Ví d . Gi i phương trình 12x + 37y = 2008
Gi i
T phương trình ta suy ra y ≡ 4 mod 12, ta ch n y0 = 4 ⇒ x0 = 155.V y nghi m
x = 155 + 37t
c a phương trình là (t ∈ Z)
y = 4 − 12t
2. Phương trình b c nh t ba n ax + by + cz = d
gi i phương trình ta ưa v d ng ax + by = d – cz v i (a,b) = 1 r i ch n z =
a tùy ý.
Ví d . Gi i phương trình 13x + 25y – 41z = 2009
Gi i.
Cho z = a ⇒ 13x + 25y = 2009 + 41a (*)
phương trình 13x + 25y = 1 có m t nghi m là (2;–1) nên nghi m c a (*) là
x = 2(2009 + 41a) + 25b
(t ∈ Z) ⇒ Nghi m c a phương trình ban u là
y = −(2009 + 41a) − 13b
x = 2(2009 + 41a) + 25b
y = −(2009 + 41a) − 13b (t ∈ Z)
z = a
3. Phương trình ax + by + cxy = d
b ab
Ta ưa v d ng tích x(a + cy) + (a + cy) = d + ⇔ (cx + b)(cy + a) = ab + cd
c c
T ây ta có cx + b, cy + a là các ư c c a ab + cd
Ví d . Gi i phương trình 2x + 5y – 3xy = 1
Gi i
x(2 – 3y) – 5/3. (2 – 3y) = 1 – 10/3 ⇔ (3x – 5)(3y – 2) = 7 t ây ta có các
nghi m là
(4,1) và (2,3).
4. M t vài phương pháp thư ng s d ng khi gi i phương trình nghi m
nguyên
4.1. ưa v t ng các bình phương
Ví d . Gi i phương trình x2 – 6xy + 14y2 – 10y – 16 = 0
Gi i.
phương trình ⇔ (x – 3y)2 + 5(y – 1)2 = 21
1
- ⇒ 5(y – 1)2 ≤ 21 ⇒ (y – 1)2 = 0, 1, 4
(y – 1)2 = 0 ⇒ (x – 3y)2 = 21 (lo i)
(y – 1)2 = 1 ⇒ (x – 3y)2 = 16 ta có các nghi m (4,0),(–4,0), (10,2),(2,2)
(y – 1)2 = 4 ⇒ ( x – 3y)2 = 1 ta có các nghi m (10,3),(8,3),(–2,–1),(–4,–1)
4.2. ưa v tích s b ng 0.
Ví d . Gi i phương trình 6x2 – 10xy + 4y2 + 3x – 2y – 32 = 0
Gi i.
Phương trình ⇔ (2x – 2y + 1)(3x – 2y) = 32
Do 2x – 2y + 1 là s l nên 2x – 2y + 1 b ng ± 1 t ây ta có các nghi m
(32,32), ( – 30, – 29)
4.3. Dùng các tính ch t chia h t, ng dư.
Ví d . Gi i phương trình 3x2 – 2008y2 = 2009
Gi i.
Nh n xét n u x ch n thì x ≡ 0 mod 4 còn n u x l thì x2 ≡ 1 mod 4 , t c là m t
2
s chính phương ng dư v i 0 ho c 1 modulo 4.
Ta th y v trái c a phương trình luôn ng dư v i 0 ho c 3 mod 4 còn v ph i
ng dư v i 1 mod 4 như v y phương trình vô nghi m.
Ví d . Gi i phương trình x3 + 21y2 + 5 = 0
Gi i.
3 3 2
x ≡ 0, 1, – 1 mod 7 ⇒ x + 21y + 5 ≡ 5, 6, 4 mod 7 ⇒ phương trình vô
nghi m.
Ví d . Gi i phương trình 5x2 + 6x + 11 = y2 + 4y
Gi i.
Phương trình ⇔ 4x2 + (x + 3)2 + 6 = (y + 2)2
V trái ng dư 2, 3 mod 4, v ph i ng dư 0, 1 mod 4 ⇒ phương trìnhvô
nghi m
Ví d . Gi i phương trình 6x = y2 + y – 2
Gi i.
6x ≡ 1 mod 5
y2 + y – 2 = (y – 1)(y + 2) ≡ 0,3,4 mod 5 ⇒ phương trình vô nghi m
Ví d . Gi i phương trình x2 = 2y2 – 8y + 3
Gi i.
T phương trình ta th y x ph i l ⇒ x = 2k + 1 ⇒ (2k + 1)2 = 2y2 – 8y + 3
⇒ 4k2 + 4k + 1 = 2y2 – 8y + 3 ⇒ 2k2 + 2k = y2 – 4y + 1
2k2 + 2k = 2k(k + 1) 4 ⇒ y2 + 1 4 (vô lý) ⇒ phương trình vô nghi m.
4.4. Dùng tính ch t A n < Xn < (A + 2)n ⇒ Xn = (A + 1)n
Ví d . Gi i phương trình x3 + x2 + x + 1 = y3
2
- Gi i
V i x < – 1 hay x > 0 ta có x < y < (x + 1)3 ⇒ phương trình vô nghi m
3 3
V i x = 0 ta có nghi m (0,1)
V i x = –1 ta có nghi m ( –1, 0)
Ví d . Gi i phương trình x(x + 1)(x + 7)(x + 8) = y2
Gi i.
phương trình ⇔ (x2 + 8x)(x2 + 8x + 7) = y2
t m = x2 + 8x ta có m2 + 7m = y2
N u m > 9 thì (m + 3)2 < y2 < (m + 4)2 ⇒ vô nghi m
N u m ≤ 9 thì – 9 ≤ x ≤ 1. B ng cách th tr c ti p ta có các nghi m
( −9, ±12),( −8,0),( −7,0),( −4, ±12),( −1,0),(0,0),(1, ±12)
4.5. Dùng tính ch t b ch n
1 1 1
Ví d . Tìm nghi m nguyên dương c a phương trình + + =1
x y z
Gi i.
3
Gi s x ≤ y ≤ z ⇒ 1 ≤ ⇒ x ≤ 3 ⇒ x = 1,2,3
x
* x = 1 (lo i)
1 1 1 1 2
*x=2⇒ + = ⇒ ≤ ⇒ y ≤ 4 ⇒ y = 2,3,4
y z 2 2 y
y = 2( lo i)
1 1
y=3⇒ = ⇒z=6
z 6
1 1
y=4⇒ = ⇒z=4
z 4
1 1 2 2 2
*x=3⇒ + = ⇒ ≤ ⇒y≤3⇒y=3⇒z=3
y z 3 3 y
V y nghi m c a phương trình là (2;3;6), (2,4,4), (3,3,3) và các hoán v c a
chúng.
4.6. Phương pháp xu ng thang
Ví d . Gi i phương trình x2 + y2 + z2 = 2xyz
Gi i
2xyz ch n ⇒ x + y + z ch n ⇒ trong 3 s x2, y2, z2 có 1 ch n, 2 l ho c 3
2 2 2
ch n
Gi s x2 ch n, y2 và z2 l ⇒ x2 + y2 + z2 ≡ 2 mod 4 trong khi ó 2xyz ≡ 0 mod 4
(vô lý)
⇒ x2 , y2 , z2 u ch n ⇒ x = 2x1, y = 2y1, z = 2z1 ⇒ x12 + y12 + z12 = 4x1y1z1
B ng cách lý lu n tương t ta có x = 2kxk , y = 2kyk , z = 2k zk và xk2 + yk2 + zk2 =
2k+1xkykzk
N u x khác 0 thì n m t lúc nào ó xk l (vô lý)
V y x = 0, y = 0, z = 0
3
- 4.7. Phương pháp xây d ng nghi m (ch ra m t h nghi m nào ó
c a phương trình)
Ví d . Ch ng t phương trình x2 + y2 = z2 có vô s nghi m
H nghi m c a phương trình là x = m2 – n2, y = 2mn, z = m2 + n2
Ví d . Ch ng t phương trình x2 + y2 = z2 + 3 có vô s nghi m
Gi i.
Thay z = y + 1 ta có x2 = 2y + 4
Ch n x = 2k ⇒ y = 2k2 – 2
V y h nghi m c a phương trình là (2k, 2k2 – 2,2k2 – 1)
Ví d . Ch ng t phương trình x2 + y3 = z5 có vô s nghi m
Gi i.
m m m +1
x = 2 2 ,y = 2 3 ,z = 2 5
. Ch n m sao cho m 2, m 3 và m + 1 5
⇒ m = 6(5k + 4)
5. Phương trình Pytagore x2 + y2 = z2
G i d = (x,y) ⇒ x = da, y = db và (a,b) = 1 ⇒ a2 + b2 = (z/d)2
t z = dc (c ∈ Q) ⇒ c2 ∈ N ⇒ c ∈ Z
N u a, b cùng l thì a2 + b2 ≡ 2 mod 4 ⇒ c2 ≡ 2 mod 4 (vô lý)
V y a, b khác tính ch n l . Gi s a l , b ch n ⇒ c l .
2
2 2 b
2 c +a c −a c +a c −a
b =c –a ⇒ = . v i , =1
2 2 2 2 2
c+a c −a
⇒ = m2 , = n2 ⇒ c = m2 + n2, a = m2 – n2, b = 2mn
2 2
V y nghi m c a phương trình là
x = (m2 − n2 )d x = 2mnd
y = 2mnd ho c y = (m2 − n2 )d v i (m,n) = 1
z = (m2 + n2 )d z = (m2 + n2 )d
6. Phương trình Pell x2 – dy2 = 1 ( d là s không chính phương) (1)
Trong ph n này ta ch xét nghi m nguyên dương.
nh nghĩa. Gi s (x,y) và (x’,y’) là 2 nghi m c a (1). Ta th y r ng n u x < x’
thì y < y’ ho c ngư c l i. Như v y trên t p các nghi m c a phương trình ta xây d ng
ư c quan h th t (x,y) < (x’,y’) ⇔ x < x’
nh lý 1. Phương trình (1) có vô s nghi m
nh lý 2.
n
N u (a,b) là nghi m nh nh t c A (1) và a + b d ( ) = x n + y n d (*) v i n là s
nguyên dương thì (xn,yn) là nghi m c a (1).
4
- Ch ng minh.
(a + b d) = C a + C a (b d) + Cnan−2 (b d)2 + ... = x n + y n d
n 0
n
n 1 n −1
2 n
n
(**)
(a − b d)n = C0an − C1 an−1(b d) + Cnan−2 (b d)2 − ... = xn − y n d
n n
2 n
T (**) ⇒ (xn + yn d)(xn − y n d) = (a2 − db2 )n = 1 ⇒ x n − dy n = 1 ⇒ (x n , yn ) là
2 2
nghi m c a (1).
Ta ch ng minh i u ngư c l i: n u (u, v) là m t nghi m c a (1) thì u + v d có
d ng (*)
Gi s u + v d ≠ (a + b d)n v i m i n nguyên dương.
Ta có 1 < a + b d < u + v d
2 3
( ) ( )
Do dãy s a + b d, a + b d , a + b d ,... không b ch n trên nên t n t i s
nguyên dương N sao cho (a + b d)N < u + v d < (a + b d)N+1
u+v d
⇒ 1< < a+b d
(a + b d)N
⇒ 1 < (u + v d)(xN − yN d) < a + b d (xN,yN) là nghi m c a (1)
⇒ 1 < uxN − vyNd + (vxN − uyN ) d < a + b d
⇒ 1 < U + V d < a + b d v i U = uxN − vyNd, V = vxN − uyN
⇒ U2 – dV2 = (uxN − vyN )2 − d(vxN − uyN )2 = (xN2 − dyN2 )(u2 − dv 2 ) = 1
⇒ (
(U,V) th a (1) và U + V d U − V d = 1 )( )
T U + V d > 1 ⇒ 0 < U − V d < 1 ⇒ U > 0 và V > 0
⇒ U + V d < a + b d ( mâu thu n v i (a,b) là nghi m nh nh t c a (1))
nh lý ã ư c ch ng minh.
Ta cũng có th bi u di n các nghi m c a (1) b i công th c
n n
xn =
(a + b d ) + (a − b d )
2
n n
v i n là s nguyên b t kỳ
yn =
(a + b d ) − (a − b d )
2 d
xn + 2 = 2ax n+1 − x n
Ho c v i (xo,yo) = (1,0) và (x1,y1) = (a.b)
yn + 2 = 2ay n+1 − y n
Ví d . Gi i phương trình x2 – 5y2 = 1
Gi i. Ta có nghi m nh nh t là (9,4). Nghi m c a phương trình ư c tính
b i công th c xn+2 = 18xn+1 – xn, yn+2 = 18yn+1 – yn v i (xo,yo) = (1,0) và (x1,y1) =
(9,4)
5
- 7. Phương trình x2 – dy2 = n ( n là s t nhiên ) (2)
Ta g i phương trình x2 – dy2 = 1 là phương trình liên k t v i (2) có (a,b) là
nhi m nh nh t
nh lý 3.
Phương trình (2) ho c vô nghi m ho c vô s nghi m
nh lý 4.
N u (αi , βi ) , i = 1,2,.., m là các nghi m c a (2) th a mãn
−na2
βi2 ≤ max nb2 , thì các c p (x n,i ,y n,i ) sau ây s vét h t các nghi m c a (2):
d
xn +1,i = ax n,i + dby n,i , x o,i = αi
(i = 1,2,…,m)
yn +1,i = bx n,i + ay n,i , y o,i = βi
Ví d . Gi i phương trình x2 – 5y2 = – 4
Nghi m nh nh t c a phương trình liên k t x2 – 5y2 = 1 là (9,4)
y2 ≤ –(–4)92/5 = 64,8 ⇒ y ≤ 8 ⇒ các c p nghi m ban u là (1,1), (4,2), (11,5)
V y nghi m c a phương trình là
xn+1 = 9xn + 20yn, yn+1 = 4xn + 9yn v i (x0,y0) = (1,1), (4,2) ,( 11,5)
8. Phương trình Ax2 – By2 = n ( A > 1, AB không chính phương ) (3)
Ta g i phương trình x2 – ABy2 = 1 là phương trình liên k t v i (3) có (a,b) là
nghi m nh nh t.
nh lý 5. Phương trình (3) ho c vô nghi m ho c vô s nghi m
nh lý 6.
−na2
N u ( αi , βi ) , i = 1,2,.., m là các nghi m c a (3) th a mãn βi2 ≤ max Anb2 ,
B
thì các c p (xn,i , y n,i ) sau ây s vét h t các nghi m c a (3):
xn +1,i = ax n,i + Bby n,i , x o,i = αi
(i = 1,2,…,m)
yn +1,i = Abxn,i + ayn,i , y o,i = βi
Ta có th bi u di n công th c trên dư i d ng truy h i
xn + 2 = 2ax n+1 − x n x 0 = α,x1 = aα + Bbβ
v i
yn + 2 = 2ay n+1 − y n y 0 = β,y1 = aβ + Abα
Ví d . Gi i phương trình 3x2 – 2y2 = 1
Gi i.
phương trình liên k t x2 – 6y2 = 1 có nghi m nh nh t là (a,b) = (5,2)
y2 < 3.1.22 = 12 ⇒ y ≤ 3 . Ta có nghi m ban u là (1,1)
V y nghi m c a phương trình là xn+2 = 10xn+1 – xn , yn+2 = 10yn+1 – yn v i (x0,y0)
= (1,1) ,(x1,y1) = (9,11)
6
- BÀI T P
1) Tìm nghi m nguyên c a các phương trình
a) 2x + 3y = 156
b) 3xy + x – y = 1
c) 2x2 + 3xy – 2y2 = 7
d) x3 – y3 = 91
e) x2 – xy = 6x – 5y – 8
2) Cho a th c f(x) có các h s nguyên .Bi t r ng f(1).f(2) = 35.Ch ng
minh r ng f(x) không có nghi m nguyên.
3) Ch ng minh r ng các phương trình sau không có nghi m nguyên:
a) 3x2 – 4y2 = 13
b) 19x2 + 28y2 = 2001
c) x2 = 2y2 – 8y + 3
d) x5 – 5x3 + 4x = 24(5y + 1)
e) 3x5 – x3 + 6x2 – 18x = 2001
4) Tìm 3 s nguyên dương sao cho tích c a chúng g p ôi t ng c a
chúng
5) Tìm 4 s nguyên dương sao cho t ng c a chúng b ng tích c a chúng
6) Tìm các nghi m nguyên c a các phương trình :
a) x2 + xy + y2 = 2x + y
b) x2 + xy + y2 = x + y
c) x2 – 3xy + 3y2 = 3y
d) x2 – 2xy + 5y2 = y + 1
7) Tìm các s t nhiên sao cho 2x + 3x = 35
8) Tìm các s nguyên x,y sao cho x3 + x2 + x + 1 = y3
9) Tìm các nghi m nguyên dương : x! + y! = (x + y)!
10) Tìm các nghi m nguyên c a phương trình 3x2 + 4y2 = 6x + 13
11) Có t n t i hay không hai s nguyên dương x , y sao cho x2 + y và y2 + x
u là s chính phương
12) Tìm các nghi m nguyên c a các phương trình :
a) x(x2 + x + 1) = 4y(y + 1)
b) x4 + x3 + x2 + x = y2 + y
c) x4 – 2y2 = 1
d) x3 – 3y3 = 9z3
e) x2 + y2 = 3z2
f) x2 + y2 = 6(z2 + t2)
g) x2 + y2 + z2 = 2xyz
13) a) Gi i phương trình x2 + y2 = 7z2
b) Ch ng minh r ng s 7 không vi t ư c dư i d ng t ng các bình phương
c a2s h ut
14) Tìm các nghi m nguyên :
a) xy – 2y – 3 = 3x – x2
b) 2x2 + 3xy – 2y2 = 7
c) x2 + y2 – x – y = 8
d) 7(x2 + xy + y2) = 39(x + y)
e) 3(x2 –xy + y2) = 7(x + y)
f) 5(x2 + xy + y2)= 7(x + 2y)
g) 8y2 – 25 = 3xy + 5z
h) 7x2 – 5y2 = 3
7
- 15) Ch ng minh r ng phương trình sau có vô s nghi m nguyên (x + y +
z)2 = x2 + y2 + z2
16) Tìm nghi m nguyên dương :
1 1 1 1
a) + + =
x y 6xy 6
1 1 1 1
b) + + =
x y 2xy 2
xy xz yz
17) Tìm nghi m nguyên + + =3
z y x
18) Tìm 3 s nguyên dương x,y,z sao cho xy + 1 z, xz + 1 y , yz + 1 x
19) Tìm i u ki n c a a các nghi m c a phương trình u là s nguyên :
2
a) x – ax + a + 2 = 0
b) x2 + ax + 6a = 0
c) x 2 + a 2x + a – 1 = 0
20) Tìm các s nguyên a và b sao cho a + b = 25 và các nghi m c a
phương trình x2 + ax + b = 0 là s nguyên.Tìm các nghi m ó.
21) Gi i phương trình
a) x2 – 7y2 = 1
b) x2 –15y2 = 1
c) 3x2 – 5y2 = 7
22) Hãy ch ng minh các tính ch t c a b ba s Pitagore :
a) T n t i 1 s là b i c a 3
b) T n t i 1 s là b i c a 4
c) T n t i 1 s là b i c a 5
8
nguon tai.lieu . vn
