Xem mẫu

  1. PHƯƠNG TRÌNH NGHI M NGUYÊN 1. Phương trình b c nh t hai n ax + by = c Phương trình có nghi m khi và ch khi (a,b) | c gi i phương trình ta tìm m t nghi m riêng (x0,y0) t ó suy ra t t c các  x = x 0 + bt nghi m c a phương trình  (t ∈ Z)  y = y 0 − at Ví d . Gi i phương trình 12x + 37y = 2008 Gi i T phương trình ta suy ra y ≡ 4 mod 12, ta ch n y0 = 4 ⇒ x0 = 155.V y nghi m  x = 155 + 37t c a phương trình là  (t ∈ Z)  y = 4 − 12t 2. Phương trình b c nh t ba n ax + by + cz = d gi i phương trình ta ưa v d ng ax + by = d – cz v i (a,b) = 1 r i ch n z = a tùy ý. Ví d . Gi i phương trình 13x + 25y – 41z = 2009 Gi i. Cho z = a ⇒ 13x + 25y = 2009 + 41a (*) phương trình 13x + 25y = 1 có m t nghi m là (2;–1) nên nghi m c a (*) là  x = 2(2009 + 41a) + 25b  (t ∈ Z) ⇒ Nghi m c a phương trình ban u là  y = −(2009 + 41a) − 13b  x = 2(2009 + 41a) + 25b   y = −(2009 + 41a) − 13b (t ∈ Z) z = a  3. Phương trình ax + by + cxy = d b ab Ta ưa v d ng tích x(a + cy) + (a + cy) = d + ⇔ (cx + b)(cy + a) = ab + cd c c T ây ta có cx + b, cy + a là các ư c c a ab + cd Ví d . Gi i phương trình 2x + 5y – 3xy = 1 Gi i x(2 – 3y) – 5/3. (2 – 3y) = 1 – 10/3 ⇔ (3x – 5)(3y – 2) = 7 t ây ta có các nghi m là (4,1) và (2,3). 4. M t vài phương pháp thư ng s d ng khi gi i phương trình nghi m nguyên 4.1. ưa v t ng các bình phương Ví d . Gi i phương trình x2 – 6xy + 14y2 – 10y – 16 = 0 Gi i. phương trình ⇔ (x – 3y)2 + 5(y – 1)2 = 21 1
  2. ⇒ 5(y – 1)2 ≤ 21 ⇒ (y – 1)2 = 0, 1, 4 (y – 1)2 = 0 ⇒ (x – 3y)2 = 21 (lo i) (y – 1)2 = 1 ⇒ (x – 3y)2 = 16 ta có các nghi m (4,0),(–4,0), (10,2),(2,2) (y – 1)2 = 4 ⇒ ( x – 3y)2 = 1 ta có các nghi m (10,3),(8,3),(–2,–1),(–4,–1) 4.2. ưa v tích s b ng 0. Ví d . Gi i phương trình 6x2 – 10xy + 4y2 + 3x – 2y – 32 = 0 Gi i. Phương trình ⇔ (2x – 2y + 1)(3x – 2y) = 32 Do 2x – 2y + 1 là s l nên 2x – 2y + 1 b ng ± 1 t ây ta có các nghi m (32,32), ( – 30, – 29) 4.3. Dùng các tính ch t chia h t, ng dư. Ví d . Gi i phương trình 3x2 – 2008y2 = 2009 Gi i. Nh n xét n u x ch n thì x ≡ 0 mod 4 còn n u x l thì x2 ≡ 1 mod 4 , t c là m t 2 s chính phương ng dư v i 0 ho c 1 modulo 4. Ta th y v trái c a phương trình luôn ng dư v i 0 ho c 3 mod 4 còn v ph i ng dư v i 1 mod 4 như v y phương trình vô nghi m. Ví d . Gi i phương trình x3 + 21y2 + 5 = 0 Gi i. 3 3 2 x ≡ 0, 1, – 1 mod 7 ⇒ x + 21y + 5 ≡ 5, 6, 4 mod 7 ⇒ phương trình vô nghi m. Ví d . Gi i phương trình 5x2 + 6x + 11 = y2 + 4y Gi i. Phương trình ⇔ 4x2 + (x + 3)2 + 6 = (y + 2)2 V trái ng dư 2, 3 mod 4, v ph i ng dư 0, 1 mod 4 ⇒ phương trìnhvô nghi m Ví d . Gi i phương trình 6x = y2 + y – 2 Gi i. 6x ≡ 1 mod 5 y2 + y – 2 = (y – 1)(y + 2) ≡ 0,3,4 mod 5 ⇒ phương trình vô nghi m Ví d . Gi i phương trình x2 = 2y2 – 8y + 3 Gi i. T phương trình ta th y x ph i l ⇒ x = 2k + 1 ⇒ (2k + 1)2 = 2y2 – 8y + 3 ⇒ 4k2 + 4k + 1 = 2y2 – 8y + 3 ⇒ 2k2 + 2k = y2 – 4y + 1 2k2 + 2k = 2k(k + 1) 4 ⇒ y2 + 1 4 (vô lý) ⇒ phương trình vô nghi m. 4.4. Dùng tính ch t A n < Xn < (A + 2)n ⇒ Xn = (A + 1)n Ví d . Gi i phương trình x3 + x2 + x + 1 = y3 2
  3. Gi i V i x < – 1 hay x > 0 ta có x < y < (x + 1)3 ⇒ phương trình vô nghi m 3 3 V i x = 0 ta có nghi m (0,1) V i x = –1 ta có nghi m ( –1, 0) Ví d . Gi i phương trình x(x + 1)(x + 7)(x + 8) = y2 Gi i. phương trình ⇔ (x2 + 8x)(x2 + 8x + 7) = y2 t m = x2 + 8x ta có m2 + 7m = y2 N u m > 9 thì (m + 3)2 < y2 < (m + 4)2 ⇒ vô nghi m N u m ≤ 9 thì – 9 ≤ x ≤ 1. B ng cách th tr c ti p ta có các nghi m ( −9, ±12),( −8,0),( −7,0),( −4, ±12),( −1,0),(0,0),(1, ±12) 4.5. Dùng tính ch t b ch n 1 1 1 Ví d . Tìm nghi m nguyên dương c a phương trình + + =1 x y z Gi i. 3 Gi s x ≤ y ≤ z ⇒ 1 ≤ ⇒ x ≤ 3 ⇒ x = 1,2,3 x * x = 1 (lo i) 1 1 1 1 2 *x=2⇒ + = ⇒ ≤ ⇒ y ≤ 4 ⇒ y = 2,3,4 y z 2 2 y y = 2( lo i) 1 1 y=3⇒ = ⇒z=6 z 6 1 1 y=4⇒ = ⇒z=4 z 4 1 1 2 2 2 *x=3⇒ + = ⇒ ≤ ⇒y≤3⇒y=3⇒z=3 y z 3 3 y V y nghi m c a phương trình là (2;3;6), (2,4,4), (3,3,3) và các hoán v c a chúng. 4.6. Phương pháp xu ng thang Ví d . Gi i phương trình x2 + y2 + z2 = 2xyz Gi i 2xyz ch n ⇒ x + y + z ch n ⇒ trong 3 s x2, y2, z2 có 1 ch n, 2 l ho c 3 2 2 2 ch n Gi s x2 ch n, y2 và z2 l ⇒ x2 + y2 + z2 ≡ 2 mod 4 trong khi ó 2xyz ≡ 0 mod 4 (vô lý) ⇒ x2 , y2 , z2 u ch n ⇒ x = 2x1, y = 2y1, z = 2z1 ⇒ x12 + y12 + z12 = 4x1y1z1 B ng cách lý lu n tương t ta có x = 2kxk , y = 2kyk , z = 2k zk và xk2 + yk2 + zk2 = 2k+1xkykzk N u x khác 0 thì n m t lúc nào ó xk l (vô lý) V y x = 0, y = 0, z = 0 3
  4. 4.7. Phương pháp xây d ng nghi m (ch ra m t h nghi m nào ó c a phương trình) Ví d . Ch ng t phương trình x2 + y2 = z2 có vô s nghi m H nghi m c a phương trình là x = m2 – n2, y = 2mn, z = m2 + n2 Ví d . Ch ng t phương trình x2 + y2 = z2 + 3 có vô s nghi m Gi i. Thay z = y + 1 ta có x2 = 2y + 4 Ch n x = 2k ⇒ y = 2k2 – 2 V y h nghi m c a phương trình là (2k, 2k2 – 2,2k2 – 1) Ví d . Ch ng t phương trình x2 + y3 = z5 có vô s nghi m Gi i. m m m +1 x = 2 2 ,y = 2 3 ,z = 2 5 . Ch n m sao cho m 2, m 3 và m + 1 5 ⇒ m = 6(5k + 4) 5. Phương trình Pytagore x2 + y2 = z2 G i d = (x,y) ⇒ x = da, y = db và (a,b) = 1 ⇒ a2 + b2 = (z/d)2 t z = dc (c ∈ Q) ⇒ c2 ∈ N ⇒ c ∈ Z N u a, b cùng l thì a2 + b2 ≡ 2 mod 4 ⇒ c2 ≡ 2 mod 4 (vô lý) V y a, b khác tính ch n l . Gi s a l , b ch n ⇒ c l . 2 2 2 b 2 c +a c −a c +a c −a b =c –a ⇒   = . v i ,  =1 2 2 2  2 2  c+a c −a ⇒ = m2 , = n2 ⇒ c = m2 + n2, a = m2 – n2, b = 2mn 2 2 V y nghi m c a phương trình là  x = (m2 − n2 )d  x = 2mnd    y = 2mnd ho c  y = (m2 − n2 )d v i (m,n) = 1 z = (m2 + n2 )d z = (m2 + n2 )d   6. Phương trình Pell x2 – dy2 = 1 ( d là s không chính phương) (1) Trong ph n này ta ch xét nghi m nguyên dương. nh nghĩa. Gi s (x,y) và (x’,y’) là 2 nghi m c a (1). Ta th y r ng n u x < x’ thì y < y’ ho c ngư c l i. Như v y trên t p các nghi m c a phương trình ta xây d ng ư c quan h th t (x,y) < (x’,y’) ⇔ x < x’ nh lý 1. Phương trình (1) có vô s nghi m nh lý 2. n N u (a,b) là nghi m nh nh t c A (1) và a + b d ( ) = x n + y n d (*) v i n là s nguyên dương thì (xn,yn) là nghi m c a (1). 4
  5. Ch ng minh. (a + b d) = C a + C a (b d) + Cnan−2 (b d)2 + ... = x n + y n d n 0 n n 1 n −1 2 n n (**) (a − b d)n = C0an − C1 an−1(b d) + Cnan−2 (b d)2 − ... = xn − y n d n n 2 n T (**) ⇒ (xn + yn d)(xn − y n d) = (a2 − db2 )n = 1 ⇒ x n − dy n = 1 ⇒ (x n , yn ) là 2 2 nghi m c a (1). Ta ch ng minh i u ngư c l i: n u (u, v) là m t nghi m c a (1) thì u + v d có d ng (*) Gi s u + v d ≠ (a + b d)n v i m i n nguyên dương. Ta có 1 < a + b d < u + v d 2 3 ( ) ( ) Do dãy s a + b d, a + b d , a + b d ,... không b ch n trên nên t n t i s nguyên dương N sao cho (a + b d)N < u + v d < (a + b d)N+1 u+v d ⇒ 1< < a+b d (a + b d)N ⇒ 1 < (u + v d)(xN − yN d) < a + b d (xN,yN) là nghi m c a (1) ⇒ 1 < uxN − vyNd + (vxN − uyN ) d < a + b d ⇒ 1 < U + V d < a + b d v i U = uxN − vyNd, V = vxN − uyN ⇒ U2 – dV2 = (uxN − vyN )2 − d(vxN − uyN )2 = (xN2 − dyN2 )(u2 − dv 2 ) = 1 ⇒ ( (U,V) th a (1) và U + V d U − V d = 1 )( ) T U + V d > 1 ⇒ 0 < U − V d < 1 ⇒ U > 0 và V > 0 ⇒ U + V d < a + b d ( mâu thu n v i (a,b) là nghi m nh nh t c a (1)) nh lý ã ư c ch ng minh. Ta cũng có th bi u di n các nghi m c a (1) b i công th c n n xn = (a + b d ) + (a − b d ) 2 n n v i n là s nguyên b t kỳ yn = (a + b d ) − (a − b d ) 2 d xn + 2 = 2ax n+1 − x n Ho c v i (xo,yo) = (1,0) và (x1,y1) = (a.b) yn + 2 = 2ay n+1 − y n Ví d . Gi i phương trình x2 – 5y2 = 1 Gi i. Ta có nghi m nh nh t là (9,4). Nghi m c a phương trình ư c tính b i công th c xn+2 = 18xn+1 – xn, yn+2 = 18yn+1 – yn v i (xo,yo) = (1,0) và (x1,y1) = (9,4) 5
  6. 7. Phương trình x2 – dy2 = n ( n là s t nhiên ) (2) Ta g i phương trình x2 – dy2 = 1 là phương trình liên k t v i (2) có (a,b) là nhi m nh nh t nh lý 3. Phương trình (2) ho c vô nghi m ho c vô s nghi m nh lý 4. N u (αi , βi ) , i = 1,2,.., m là các nghi m c a (2) th a mãn  −na2  βi2 ≤ max nb2 ,  thì các c p (x n,i ,y n,i ) sau ây s vét h t các nghi m c a (2):  d  xn +1,i = ax n,i + dby n,i , x o,i = αi (i = 1,2,…,m) yn +1,i = bx n,i + ay n,i , y o,i = βi Ví d . Gi i phương trình x2 – 5y2 = – 4 Nghi m nh nh t c a phương trình liên k t x2 – 5y2 = 1 là (9,4) y2 ≤ –(–4)92/5 = 64,8 ⇒ y ≤ 8 ⇒ các c p nghi m ban u là (1,1), (4,2), (11,5) V y nghi m c a phương trình là xn+1 = 9xn + 20yn, yn+1 = 4xn + 9yn v i (x0,y0) = (1,1), (4,2) ,( 11,5) 8. Phương trình Ax2 – By2 = n ( A > 1, AB không chính phương ) (3) Ta g i phương trình x2 – ABy2 = 1 là phương trình liên k t v i (3) có (a,b) là nghi m nh nh t. nh lý 5. Phương trình (3) ho c vô nghi m ho c vô s nghi m nh lý 6.  −na2  N u ( αi , βi ) , i = 1,2,.., m là các nghi m c a (3) th a mãn βi2 ≤ max  Anb2 ,   B  thì các c p (xn,i , y n,i ) sau ây s vét h t các nghi m c a (3): xn +1,i = ax n,i + Bby n,i , x o,i = αi (i = 1,2,…,m) yn +1,i = Abxn,i + ayn,i , y o,i = βi Ta có th bi u di n công th c trên dư i d ng truy h i xn + 2 = 2ax n+1 − x n x 0 = α,x1 = aα + Bbβ v i yn + 2 = 2ay n+1 − y n y 0 = β,y1 = aβ + Abα Ví d . Gi i phương trình 3x2 – 2y2 = 1 Gi i. phương trình liên k t x2 – 6y2 = 1 có nghi m nh nh t là (a,b) = (5,2) y2 < 3.1.22 = 12 ⇒ y ≤ 3 . Ta có nghi m ban u là (1,1) V y nghi m c a phương trình là xn+2 = 10xn+1 – xn , yn+2 = 10yn+1 – yn v i (x0,y0) = (1,1) ,(x1,y1) = (9,11) 6
  7. BÀI T P 1) Tìm nghi m nguyên c a các phương trình a) 2x + 3y = 156 b) 3xy + x – y = 1 c) 2x2 + 3xy – 2y2 = 7 d) x3 – y3 = 91 e) x2 – xy = 6x – 5y – 8 2) Cho a th c f(x) có các h s nguyên .Bi t r ng f(1).f(2) = 35.Ch ng minh r ng f(x) không có nghi m nguyên. 3) Ch ng minh r ng các phương trình sau không có nghi m nguyên: a) 3x2 – 4y2 = 13 b) 19x2 + 28y2 = 2001 c) x2 = 2y2 – 8y + 3 d) x5 – 5x3 + 4x = 24(5y + 1) e) 3x5 – x3 + 6x2 – 18x = 2001 4) Tìm 3 s nguyên dương sao cho tích c a chúng g p ôi t ng c a chúng 5) Tìm 4 s nguyên dương sao cho t ng c a chúng b ng tích c a chúng 6) Tìm các nghi m nguyên c a các phương trình : a) x2 + xy + y2 = 2x + y b) x2 + xy + y2 = x + y c) x2 – 3xy + 3y2 = 3y d) x2 – 2xy + 5y2 = y + 1 7) Tìm các s t nhiên sao cho 2x + 3x = 35 8) Tìm các s nguyên x,y sao cho x3 + x2 + x + 1 = y3 9) Tìm các nghi m nguyên dương : x! + y! = (x + y)! 10) Tìm các nghi m nguyên c a phương trình 3x2 + 4y2 = 6x + 13 11) Có t n t i hay không hai s nguyên dương x , y sao cho x2 + y và y2 + x u là s chính phương 12) Tìm các nghi m nguyên c a các phương trình : a) x(x2 + x + 1) = 4y(y + 1) b) x4 + x3 + x2 + x = y2 + y c) x4 – 2y2 = 1 d) x3 – 3y3 = 9z3 e) x2 + y2 = 3z2 f) x2 + y2 = 6(z2 + t2) g) x2 + y2 + z2 = 2xyz 13) a) Gi i phương trình x2 + y2 = 7z2 b) Ch ng minh r ng s 7 không vi t ư c dư i d ng t ng các bình phương c a2s h ut 14) Tìm các nghi m nguyên : a) xy – 2y – 3 = 3x – x2 b) 2x2 + 3xy – 2y2 = 7 c) x2 + y2 – x – y = 8 d) 7(x2 + xy + y2) = 39(x + y) e) 3(x2 –xy + y2) = 7(x + y) f) 5(x2 + xy + y2)= 7(x + 2y) g) 8y2 – 25 = 3xy + 5z h) 7x2 – 5y2 = 3 7
  8. 15) Ch ng minh r ng phương trình sau có vô s nghi m nguyên (x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 16) Tìm nghi m nguyên dương : 1 1 1 1 a) + + = x y 6xy 6 1 1 1 1 b) + + = x y 2xy 2 xy xz yz 17) Tìm nghi m nguyên + + =3 z y x 18) Tìm 3 s nguyên dương x,y,z sao cho xy + 1 z, xz + 1 y , yz + 1 x 19) Tìm i u ki n c a a các nghi m c a phương trình u là s nguyên : 2 a) x – ax + a + 2 = 0 b) x2 + ax + 6a = 0 c) x 2 + a 2x + a – 1 = 0 20) Tìm các s nguyên a và b sao cho a + b = 25 và các nghi m c a phương trình x2 + ax + b = 0 là s nguyên.Tìm các nghi m ó. 21) Gi i phương trình a) x2 – 7y2 = 1 b) x2 –15y2 = 1 c) 3x2 – 5y2 = 7 22) Hãy ch ng minh các tính ch t c a b ba s Pitagore : a) T n t i 1 s là b i c a 3 b) T n t i 1 s là b i c a 4 c) T n t i 1 s là b i c a 5 8