Xem mẫu
- PhÇn I Ph−¬ng ph¸p täa ®é trong mÆt ph¼ng Bµi 1 VÐct¬ vµ täa ®é trong mÆt ph¼ng I − Nh¾c l¹i lý thuyÕt (nh÷ng ®iÒu c¬ b¶n cÇn n¾m) 1. HÖ trôc täa ®é §Òc¸c vu«ng gãc HÖ thèng hai trôc täa ®é Ox, Oy chung gèc O, vu«ng gãc víi nhau ®−îc gäi lµ mét hÖ trôc täa ®é §Òc¸c vu«ng gãc trong mÆt ph¼ng. Ta th−êng kÝ hiÖu lµ Oxy hay {O, e1, e2} , ë ®ã e1, e2 lµ c¸c vÐct¬ ®¬n vÞ ®Þnh h−íng c¸c trôc Ox, Oy t−¬ng øng. Trôc Ox ®−îc gäi lµ trôc hoµnh. Trôc Oy ®−îc gäi lµ trôc tung (xem h×nh vÏ). 2. Täa ®é cña vÐct¬ vµ cña ®iÓm. Cho hÖ trôc täa ®é Oxy, a lµ mét vect¬ trong mÆt ph¼ng, khi ®ã cã duy nhÊt ®iÓm M sao cho OM = a. Ph©n tÝch vÐct¬ OM theo hai vÐct¬ e1, e2 ta cã : OM = OM1 + OM 2 = a1 e1 + a 2 e2 . Ta gäi cÆp sè cã thø tù (a1, a2) lµ täa ®é cña vÐct¬ a trong hÖ trôc täa ®é Oxy, vµ viÕt a(a1, a 2 ) hay a = {a1, a 2} . Víi ®iÓm N thuéc mÆt ph¼ng, täa ®é cña vÐct¬ ON ®−îc gäi lµ täa ®é cña ®iÓm N. Nh− vËy N(x, y) nÕu vµ chØ nÕu ON = xe1 + ye2 . 3. BiÓu thøc täa ®é cña c¸c phÐp to¸n trªn vÐct¬. a) NÕu M(x1, y1), N(x2, y2) th× MN(x2 − x1, y2 − y1 ). b) a (a1, a 2 ), b(b1, b2 ) , k lµ sè thùc th× : 1
- a ± b(a1 ± b1, a 2 ± b2 ) k.a(ka1, ka 2 ). c) Ta gäi tÝch v« h−íng cña hai vÐc t¬ a, b lµ mét sè thùc, kÝ hiÖu a . b , ®−îc x¸c ®Þnh bëi a . b = a . b . cos(a, b) , ë ®ã (a, b) lµ gãc t¹o bëi hai vÐc t¬ a vµ b. NÕu a(a1, a 2 ), b(b1, b2 ) th× a . b = a1b1 + a 2 b2 . Khi b = a , ta cã 2 2 a.a = a = a 2 2 = a1 + a 2 . Tõ ®ã a = a1 + a 2 2 2 ; t−¬ng tù b = b1 + b2 . Nh− vËy, khi a ≠ 0, b ≠ 0 : 2 2 a.b a1b1 + a 2 b2 cos(a, b) = = . 2 a b a1 + a2 2 2 b1 + 2 b2 4. Chia ®o¹n th¼ng theo tû sè cho tr−íc Cho hai ®iÓm A, B vµ mét sè k ≠ 1. §iÓm M ®−îc gäi lµ chia ®o¹n AB theo tû sè k nÕu MA = kMB . Gi¶ sö A(x1, y1), B(x2, y2) vµ M(x, y) th× dÔ dµng tÝnh ®−îc : x1 − kx 2 y − ky2 x= ,y= 1 . 1− k 1− k NhËn xÐt : a) Khi k = −1, ta cã MA = −MB , nghÜa lµ M lµ trung ®iÓm cña AB. x + x2 y + y2 Khi ®ã x = 1 ,y= 1 . Nh− vËy, täa ®é trung ®iÓm cña mét 2 2 ®o¹n th¼ng b»ng trung b×nh céng c¸c täa ®é t−¬ng øng cña hai ®Çu mót cña ®o¹n th¼ng ®ã. b) NÕu a = k.b mµ b ≠ 0 , th× a a cïng h−íng víi b khi vµ chØ khi k ≥ 0, khi ®ã k = . b a NÕu a, b ng−îc h−íng th× k < 0, khi ®ã k = − . b 2
- c) Bèn ®iÓm A, B, M, N ®−îc gäi lµ mét hµng ®iÓm ®iÒu hßa nÕu M vµ N chia ®o¹n AB theo hai tû sè ®èi nhau. NghÜa lµ nÕu MA = kMB th× NA = − kNB . II − LuyÖn tËp 1. §Ò thi §¹i häc LuËt Hµ Néi (1998) Cho h×nh thang c©n ABCD, ®¸y AD vµ BC, gãc BAD = 30o . §Æt AB = a, AD = b. H·y biÓu diÔn vÐc t¬ BC, CD, AC, BD theo a, b. Lêi gi¶i : KÎ BD1 // CD, D1 ∈ AD. Ta cã : CD = BD1 = AD1 − AB = AD1 − a = k.b − a, k = o AD1 2AH 2. AB . cos 30 a. 3 = = = . AD b b b 3 a Nh− vËy CD = .b − a. b DÔ thÊy BD = AD − AB = b − a. b − 3 a AC = AD + DC = a + b b b − 3 a BC = .b ; b 2. §Ò thi häc viÖn kü thuËt mËt m· (n¨m 1999) Gäi AD lµ ®−êng ph©n gi¸c trong cña gãc A cña tam gi¸c ABC. H·y biÓu diÔn AD theo AB vµ AC . Lêi gi¶i. §Æt AB = a, AC = b. Theo tÝnh chÊt cña ®−êng ph©n gi¸c, ta cã : 3
- DB AB = . Nh−ng AD lµ ®−êng ph©n gi¸c trong, nªn DB vµ DC DC AC ng−îc h−íng. V× vËy : AB a DB = − .DC = − .DC. AC b a a a ⇒ AB − AD = − .(AC − AD) = .AD − .AC . b b b b .a + a .b ⇒ AD = a.b 3. Cho tam gi¸c ABC cã c¸c gãc A, B, C. Dïng ph−¬ng ph¸p vÐc t¬, h·y chøng minh : 3 cosA + cosB + cosC ≤ . 2 DÊu b»ng xÈy ra khi vµ chØ khi tam gi¸c ABC ®Òu. Lêi gi¶i Chän e1, e2 , e3 lÇn l−ît lµ c¸c vÐc t¬ ®¬n vÞ cïng h−íng víi c¸c vÐc t¬ AB, BC, CA. Ta cã (e1, e2 , e3 )2 ≥ 0 2 2 2 hay : e1 + e2 + e3 + 2(e1 e2 + e2 e3 + e3 e1 ) ≥ 0. 2 2 2 Nh−ng e1 = e2 = e3 = 1. e1.e2 = cos(Π − B) = − cos B e2 .e3 = cos(Π − C) = − cos C e3 .e1 = cos(Π − A) = − cos A Nh− vËy : 3 − 2(cosA + cosB + cosc) ≥ 0 4
- 3 hay cosA + cosB + cosC ≤ . 2 DÊu b»ng xÈy ra khi vµ chØ khi e1 + e2 + e3 = 0 , hay tam gi¸c ABC ®Òu. 4. øng dông vÐc t¬ ®Ó chøng minh bÊt ®¼ng thøc : Cho a1, a2, ..., an ; b1, b2, ..., bn lµ 2n sè tïy ý. H·y chøng minh 2 2 n n n ∑ a2 k + b2 k ≥ ∑ a k + ∑ bk k =1 k =1 k =1 n Lêi gi¶i. §Æt O(0, 0), Mk(ak, bk), k = 1, 2, ..., n. Ta cã : ∑ OM k cã k =1 täa ®é lµ (a1 + ... + an, b1 + ... + bn). Theo tÝnh chÊt cña vÐc t¬, ta cã : n n ∑ OM k ≤ ∑ OM k k =1 k =1 2 2 n n n hay ∑ a k + ∑ b k ≤ ∑ a 2 + b2 k k k =1 k =1 k =1 III − Bµi tËp tù gi¶i 1. §Ò thi §¹i häc giao th«ng vËn t¶i (1998) Cho h×nh thang c©n ABCD, AB // CD. §Æt o AB = a, AD = b, BAD = 60 . H·y biÓu diÔn vÐc t¬ BC theo a vµ b . T×m quan hÖ gi÷a ®é dµi a vµ b ®Ó AC ⊥ BD. 3 +1 §¸p sè : a = b . 2 2. Cho ABCD lµ h×nh b×nh hµnh, m lµ mét sè d−¬ng. LÊy ®iÓm M sao cho DC = m.DM . LÊy ®iÓm N sao cho DB = (m + 1)DN . Chøng minh r»ng khi m thay ®æi, ®−êng th¼ng MN lu«n ®i qua ®iÓm cè ®Þnh. 3. Cho tam gi¸c ABC, ®Æt a = BC, b = CA vµ c = AB. Chøng minh r»ng 5
- a.IA + b.IB + c.IC = 0, ë ®ã I lµ t©m vßng trßn néi tiÕp tam gi¸c ABC. 4. Cho ba ®iÓm A, B, C kh«ng th¼ng hµng. A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3). Chøng minh r»ng diÖn tÝch tam gi¸c ABC cã thÓ tÝnh theo c«ng thøc : x − x1 x3 − x1 dt(∆ABC) = gtt® 2 y2 − y1 y3 − y1 ë ®ã : gtt® lµ viÕt t¾t cña "gi¸ trÞ tuyÖt ®èi". 5. C¸c ®Ò 65, 101, 104 c©u h×nh häc Va, bé ®Ò thi tuyÓn sinh. Nhµ xuÊt b¶n Gi¸o dôc, 1996. 6