Xem mẫu
- PhÇn I
Ph−¬ng ph¸p täa ®é trong mÆt ph¼ng
Bµi 1
VÐct¬ vµ täa ®é trong mÆt ph¼ng
I − Nh¾c l¹i lý thuyÕt (nh÷ng ®iÒu c¬ b¶n cÇn n¾m)
1. HÖ trôc täa ®é §Òc¸c vu«ng gãc
HÖ thèng hai trôc täa ®é Ox, Oy chung gèc O, vu«ng gãc víi nhau
®−îc gäi lµ mét hÖ trôc täa ®é §Òc¸c vu«ng gãc trong mÆt ph¼ng. Ta
th−êng kÝ hiÖu lµ Oxy hay {O, e1, e2} , ë ®ã e1, e2 lµ c¸c vÐct¬ ®¬n vÞ
®Þnh h−íng c¸c trôc Ox, Oy t−¬ng øng. Trôc Ox ®−îc gäi lµ trôc hoµnh.
Trôc Oy ®−îc gäi lµ trôc tung (xem h×nh vÏ).
2. Täa ®é cña vÐct¬ vµ cña ®iÓm. Cho hÖ trôc täa ®é Oxy, a lµ mét
vect¬ trong mÆt ph¼ng, khi ®ã cã duy nhÊt ®iÓm M sao cho OM = a.
Ph©n tÝch vÐct¬ OM theo hai vÐct¬ e1, e2 ta cã :
OM = OM1 + OM 2 = a1 e1 + a 2 e2 .
Ta gäi cÆp sè cã thø tù (a1, a2) lµ täa ®é cña vÐct¬ a trong hÖ trôc täa
®é Oxy, vµ viÕt a(a1, a 2 ) hay a = {a1, a 2} .
Víi ®iÓm N thuéc mÆt ph¼ng, täa ®é cña vÐct¬ ON ®−îc gäi lµ täa ®é
cña ®iÓm N.
Nh− vËy N(x, y) nÕu vµ chØ nÕu ON = xe1 + ye2 .
3. BiÓu thøc täa ®é cña c¸c phÐp to¸n trªn vÐct¬.
a) NÕu M(x1, y1), N(x2, y2) th× MN(x2 − x1, y2 − y1 ).
b) a (a1, a 2 ), b(b1, b2 ) , k lµ sè thùc th× :
1
- a ± b(a1 ± b1, a 2 ± b2 )
k.a(ka1, ka 2 ).
c) Ta gäi tÝch v« h−íng cña hai vÐc t¬ a, b lµ mét sè thùc, kÝ hiÖu
a . b , ®−îc x¸c ®Þnh bëi a . b = a . b . cos(a, b) , ë ®ã (a, b) lµ gãc t¹o bëi
hai vÐc t¬ a vµ b.
NÕu a(a1, a 2 ), b(b1, b2 ) th× a . b = a1b1 + a 2 b2 . Khi b = a , ta cã
2 2
a.a = a = a 2 2
= a1 + a 2 . Tõ ®ã a = a1 + a 2
2
2 ; t−¬ng tù
b = b1 + b2 . Nh− vËy, khi a ≠ 0, b ≠ 0 :
2
2
a.b a1b1 + a 2 b2
cos(a, b) = = .
2
a b a1 + a2
2
2
b1 + 2
b2
4. Chia ®o¹n th¼ng theo tû sè cho tr−íc
Cho hai ®iÓm A, B vµ mét sè k ≠ 1. §iÓm M ®−îc gäi lµ chia ®o¹n AB
theo tû sè k nÕu MA = kMB . Gi¶ sö A(x1, y1), B(x2, y2) vµ M(x, y) th×
dÔ dµng tÝnh ®−îc :
x1 − kx 2 y − ky2
x= ,y= 1 .
1− k 1− k
NhËn xÐt :
a) Khi k = −1, ta cã MA = −MB , nghÜa lµ M lµ trung ®iÓm cña AB.
x + x2 y + y2
Khi ®ã x = 1 ,y= 1 . Nh− vËy, täa ®é trung ®iÓm cña mét
2 2
®o¹n th¼ng b»ng trung b×nh céng c¸c täa ®é t−¬ng øng cña hai ®Çu mót
cña ®o¹n th¼ng ®ã.
b) NÕu a = k.b mµ b ≠ 0 , th×
a
a cïng h−íng víi b khi vµ chØ khi k ≥ 0, khi ®ã k = .
b
a
NÕu a, b ng−îc h−íng th× k < 0, khi ®ã k = − .
b
2
- c) Bèn ®iÓm A, B, M, N ®−îc gäi lµ mét hµng ®iÓm ®iÒu hßa nÕu M
vµ N chia ®o¹n AB theo hai tû sè ®èi nhau. NghÜa lµ nÕu MA = kMB th×
NA = − kNB .
II − LuyÖn tËp
1. §Ò thi §¹i häc LuËt Hµ Néi (1998)
Cho h×nh thang c©n ABCD, ®¸y AD vµ BC, gãc BAD = 30o . §Æt
AB = a, AD = b. H·y biÓu diÔn vÐc t¬ BC, CD, AC, BD theo a, b.
Lêi gi¶i :
KÎ BD1 // CD, D1 ∈ AD.
Ta cã : CD = BD1 = AD1 − AB = AD1 − a = k.b − a, k =
o
AD1 2AH 2. AB . cos 30 a. 3
= = = .
AD b b b
3 a
Nh− vËy CD = .b − a.
b
DÔ thÊy BD = AD − AB = b − a.
b − 3 a
AC = AD + DC = a +
b
b
b − 3 a
BC = .b ;
b
2. §Ò thi häc viÖn kü thuËt mËt m· (n¨m 1999)
Gäi AD lµ ®−êng ph©n gi¸c trong cña gãc A cña tam gi¸c ABC. H·y
biÓu diÔn AD theo AB vµ AC .
Lêi gi¶i.
§Æt AB = a, AC = b. Theo tÝnh chÊt cña ®−êng ph©n gi¸c, ta cã :
3
- DB AB
= . Nh−ng AD lµ ®−êng ph©n gi¸c trong, nªn DB vµ DC
DC AC
ng−îc h−íng. V× vËy :
AB a
DB = − .DC = − .DC.
AC b
a a a
⇒ AB − AD = − .(AC − AD) = .AD − .AC .
b b b
b .a + a .b
⇒ AD =
a.b
3. Cho tam gi¸c ABC cã c¸c gãc A, B, C. Dïng ph−¬ng ph¸p vÐc t¬,
h·y chøng minh :
3
cosA + cosB + cosC ≤ .
2
DÊu b»ng xÈy ra khi vµ chØ khi tam gi¸c ABC ®Òu.
Lêi gi¶i
Chän e1, e2 , e3 lÇn l−ît lµ c¸c vÐc t¬ ®¬n vÞ cïng h−íng víi c¸c vÐc
t¬ AB, BC, CA.
Ta cã (e1, e2 , e3 )2 ≥ 0
2 2 2
hay : e1 + e2 + e3 + 2(e1 e2 + e2 e3 + e3 e1 ) ≥ 0.
2 2 2
Nh−ng e1 = e2 = e3 = 1.
e1.e2 = cos(Π − B) = − cos B
e2 .e3 = cos(Π − C) = − cos C
e3 .e1 = cos(Π − A) = − cos A
Nh− vËy : 3 − 2(cosA + cosB + cosc) ≥ 0
4
- 3
hay cosA + cosB + cosC ≤ .
2
DÊu b»ng xÈy ra khi vµ chØ khi e1 + e2 + e3 = 0 , hay tam gi¸c ABC
®Òu.
4. øng dông vÐc t¬ ®Ó chøng minh bÊt ®¼ng thøc : Cho a1, a2, ..., an ;
b1, b2, ..., bn lµ 2n sè tïy ý. H·y chøng minh
2 2
n n n
∑ a2
k + b2
k ≥ ∑ a k + ∑ bk
k =1 k =1 k =1
n
Lêi gi¶i. §Æt O(0, 0), Mk(ak, bk), k = 1, 2, ..., n. Ta cã : ∑ OM k cã
k =1
täa ®é lµ (a1 + ... + an, b1 + ... + bn). Theo tÝnh chÊt cña vÐc t¬, ta cã :
n n
∑ OM k ≤ ∑ OM k
k =1 k =1
2 2
n n n
hay ∑ a k + ∑ b k ≤ ∑ a 2 + b2
k k
k =1 k =1 k =1
III − Bµi tËp tù gi¶i
1. §Ò thi §¹i häc giao th«ng vËn t¶i (1998)
Cho h×nh thang c©n ABCD, AB // CD. §Æt
o
AB = a, AD = b, BAD = 60 . H·y biÓu diÔn vÐc t¬ BC theo a vµ b .
T×m quan hÖ gi÷a ®é dµi a vµ b ®Ó AC ⊥ BD.
3 +1
§¸p sè : a = b .
2
2. Cho ABCD lµ h×nh b×nh hµnh, m lµ mét sè d−¬ng. LÊy ®iÓm M sao
cho DC = m.DM . LÊy ®iÓm N sao cho DB = (m + 1)DN . Chøng minh
r»ng khi m thay ®æi, ®−êng th¼ng MN lu«n ®i qua ®iÓm cè ®Þnh.
3. Cho tam gi¸c ABC, ®Æt a = BC, b = CA vµ c = AB. Chøng minh
r»ng
5
- a.IA + b.IB + c.IC = 0, ë ®ã I lµ t©m vßng trßn néi tiÕp tam gi¸c ABC.
4. Cho ba ®iÓm A, B, C kh«ng th¼ng hµng. A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3,
y3). Chøng minh r»ng diÖn tÝch tam gi¸c ABC cã thÓ tÝnh theo c«ng thøc
:
x − x1 x3 − x1
dt(∆ABC) = gtt® 2
y2 − y1 y3 − y1
ë ®ã : gtt® lµ viÕt t¾t cña "gi¸ trÞ tuyÖt ®èi".
5. C¸c ®Ò 65, 101, 104 c©u h×nh häc Va, bé ®Ò thi tuyÓn sinh. Nhµ
xuÊt b¶n Gi¸o dôc, 1996.
6