Xem mẫu
- Trao ®æi vÒ : Ph−¬ng ph¸p to¹ ®é trong
gi¶i to¸n h×nh häc
Ng−êi so¹n :
- C¸c b−íc gi¶i bμi to¸n b»ng Ph−¬ng ph¸p to¹ ®é
B−íc I: Chän hÖ trôc to¹ ®é g¾n víi bμi to¸n
“TÝn hiÖu ”®Ó chän hÖ trôc lμ trong bμi to¸n cã chøa c¸c
®−êng th¼ng vu«ng gãc nhau , ta sÏ chän c¸c trôc chøa c¸c ®−êng
th¼ng vu«ng gãc ®ã
Phiªn dÞch bμi to¸n h×nh häc sang ng«n
B−íc II:
ng÷ to¹ ®é
Dïng ng«n ng÷ vecter, to¹ ®é ®Ó gi¶i
B−íc III:
bμi to¸n
Phiªn dÞch bμi to¸n trë l¹i ng«n ng÷
B−íc IV:
h×nh häc ban ®Çu
- Mét sè c¸ch chän hÖ trôc trong kh«ng gian
I, ®èi víi h×nh hép ch÷ nhËt – h×nh lËp ph−¬ng:
•Chän gèc lμ 1 trong 8 ®Ønh
•Ba c¹nh ph¸t xuÊt tõ mét
®Ønh n»m trªn 3 trôc
z
A’ B’
D’ C’
A B x
D C
y
- II, Chãp tam gi¸c cã gãc tam diÖn ®Ønh vu«ng
•Chän gèc cña hÖ
trôc trïng víi ®Ønh z
cña gãc tam diÖn
vu«ng A
•Ba trôc chøa ba y
c¹nh ph¸t xuÊt tõ C
®Ønh gãc tam diÖn
vu«ng ®ã
S
B
x
- Iii, Tø diÖn ®Òu
C¸ch I:
•Dùng h×nh lËp ph−¬ng
ngo¹i tiÕp tø diÖn ®Òu z
•Chän hÖ trôc cã gèc A D2
trïng víi 1 ®Ønh cña h×nh
lËp ph−¬ng D1
D
•Ba c¹nh ph¸t xuÊt tõ
®Ønh ®ã n»m trªn 3 trôc
O C x
B D3
y
- Iii, Tø diÖn ®Òu
C¸ch II:
•Hai trôc lÇn l−ît chøa ®−êng cao vμ mét c¹nh t−¬ng øng cña
mÆt BCD
•Trôc cßn l¹i vu«ng gãc víi mÆt BCD ( cïng ph−¬ng víi ®−êng
cao AG). z
Chó ý : Chãp tam
gi¸c ®Òu còng chän A
nh− c¸ch 2 nμy
D
o
G
C x
B
y
- iV, Chãp tø gi¸c cã ®¸y lμ h×nh thoi , c¸c c¹nh
bªn b»ng nhau
•Trôc Oz chøa ®−êng cao SO cña
h×nh chãp
z
•Hai trôc Ox , Oy lÇn l−ît chøa
hai ®−êng chÐo ®¸y
Chó ý : H×nh chãp tø gi¸c S
®Òu ( ®¸y lμ h×nh vu«ng
vμ c¸c c¹nh bªn b»ng
nhau ) còng chän nh−
vËy. D
C
O
A B
y
x
- V, Chãp tø gi¸c cã ®¸y lμ h×nh ch÷ nhËt , c¸c
c¹nh bªn b»ng nhau
•Chän hai trôc chøa hai
c¹nh h×nh vu«ng ®¸y z
•Trôc thø ba vu«ng gãc
®¸y ( cïng ph−¬ng víi
ZS
®−êng cao SO cña h×nh S
chãp - trôc Az nμy n»m
trong mÆt chÐo SAC)
D
A x
O
C
B
y
- Vi, L¨ng trô ®øng cã ®¸y lμ tam gi¸c c©n
•Chän hai trôc lÇn l−ît
lμ c¹nh ®¸y vμ chiÒu z
cao t−¬ng øng cña tam
gi¸c c©n lμ ®¸y cña B
chãp
C
•Trôc cßn l¹i chøa
®−êng trung b×nh cña A
mÆt bªn
Chó ý : L¨ng B’
trô tam gi¸c
®Òu còng chän O
nh− vËy. C’ x
A’
y
- VII, l¡NG TRô §øng cã ®¸y lμ h×nh thoi :
•Chän trôc cao n»m trªn
®−êng th¼ng nèi t©m hai
®¸y z
•Hai trôc kia chøa hai
®−êng chÐo ®¸y A’ B’
O’
Chó ý : L¨ng trô tø
D’ C’
gi¸c ®Òu còng chän
nh− vËy ( l¨ng trô
tø gi¸c ®Òu lμ l¨ng
A o B
trô ®øng cã ®¸y lμ
h×nh vu«ng) y D C
x
- Viii, l¡NG TRô §øng cã ®¸y lμ tam gi¸c vu«ng :
Chän ®Ønh tam gi¸c z
vu«ng ®¸y lμm gèc . Ba
A
trôc chøa ba c¹nh ph¸t
xuÊt tõ ®Ønh nμy
B
C
A’
B’
C’
y
x
- C¸c bμi to¸n minh ho¹
Bμi 1:(§¹i häc khèi B – n¨m 2002)
Cho h×nh lËp ph−¬ng ABCD.A1 B1C1 D 1 c¹nh a.
a, TÝnh theo a kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®−êng th¼ng A1 B vμ B1 D
b, Gäi M , N , P lÇn l−ît lμ trung ®iÓm cña c¸c c¹nhBB1 , CD ,A1 D1 .
TÝnh gãc gi÷a hai ®−êng th¼ng MP vμ C1 N
Lêi gi¶i z
Chän hÖ trôc to¹ ®é Oxyz nh− h×nh
vÏ : A1 trïng víi O , Ox chøa c¹nh A B
A1B1 , Oy chøa c¹nh A1D1 , Oz chøa
c¹nh A1A D C
Trong hÖ trôc ®· chän ta cã :
A1(0 ; 0 ; 0) , B1(a ; 0 ; 0) ,
C1(a ; a ; 0) , D1( 0 ; a ; 0 ) , A1 B1 x
A(0 ; 0 ; a) , B(a ; 0 ; a) , C(a ; a ; a) , D1 a C1
D (0 ; a ; a)
y
- z
z
a, TÝnh theo a kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®−êng A B
th¼ng A1B vμ B1D B
§t A1B qua A1(0 ; 0 ; 0) vμ cã
uuur D C
VTCP r 1 D C
u1 = A1 B = (1;0;1)
a
§t B1D qua B1(a ; 0 ; 0) vμ cã
VTCP r 1 uuuur A1 B1 x
u2 = B1 D = (−1;1;1)
a a a
D1 D1 C1
C1
A1B vμ B1D lμ hai c¹nh ®èi cña tø
diÖn A1D1B1B nªn chÐo nhau , do y y
uuuuu r r
r
1 [ 2 ]
®ã: A1(0 ; 0 ; 0) ,
A B . u ,u
1 1 B1(a ; 0 ; 0) ,
d(A1 B ; B1 D) = r r
[ u1 , u2 ] C1(a ; a ; 0) ,
D1( 0 ; a ; 0 ) ,
uuuuu
r r r
Cã A1 B1 = (a ; 0 ; 0) , [u 1 , u 2 ]= (-1 ; -2 ; 1 ) A(0 ; 0 ; a) ,
B(a ; 0 ; a) ,
C(a ; a ; a) ,
a(-1) + 0.(-2) + 0.(-1) a D (0 ; a ; a)
d(A1 B;B1 D) = =
1+ 4+1 6
- b, Gäi M , N , P lÇn l−ît lμ trung ®iÓm cña c¸c c¹nh
BB1 , CD , A1D1 . TÝnh gãc gi÷a hai ®−êng th¼ng MP
vμ C1N
z
Ta cã
a a a
M(a ; 0 ;) , N( ; a ; a ) , P( 0; ; 0 ) , A B
2 2 2
§t MP cã VTCP N
D C
r 2 uuur M
u3 = MP = (−2;1; − 1)
a
§t C1N cã VTCP B1 x
P A1
r 2 uuuu
r
u4 = C1 N = (−1;0; 2) D1 a C1
a
Gäi ϕ lμ gãc gi÷a MP vμ C1N , ta cã y A1(0 ; 0 ; 0) ,
B1(a ; 0 ; 0) ,
r r C1(a ; a ; 0) ,
u3 .u4 (−2).(−1) + 1.0 −1.2 D1( 0 ; a ; 0 ) ,
cosϕ = r r = = 0 ⇒ ϕ = 90o
u3 u4 4 +1+1 1+ 0 + 4 A(0 ; 0 ; a) ,
B(a ; 0 ; a) ,
hayC1 N ⊥ MP C(a ; a ; a) ,
D (0 ; a ; a)
- Bμi 2:(§¹i häc khèi A- n¨m 2002)
Cho h×nh chãp tam gi¸c ®Òu S.ABC ®Ønh S , c¹nh ®¸y b»ng a.
Gäi M , N lÇn l−ît lμ trung ®iÓm c¸c c¹nh SB , SC . TÝnh diÖn
tÝch tam gi¸c AMN biÕt mp(AMN) vu«ng gãc víi mp(SBC).
Lêi gi¶i z
Do S.ABC lμ chãp tam gi¸c ®Òu
nªn ®¸y ABC lμ tam gi¸c ®Òu c¹nh
a . Gäi O lμ trung ®iÓm c¹nh AC , zs S
ta cã BO vu«ng gãc víi AC.
Chän hÖ trôc Oxyz nh− h×nh vÏ :
Ox chøa OB , Oy chøa AC,Oz ⊥ ( ABC )
( Oz song song SG lμ chiÒu cao C
chãp tam gi¸c ®Òu S.ABC ) o
a
Khi ®ã O( 0 ; 0 ; 0) , A(0 ; ;0), G
a 3 a 3
2
B( ; 0 ; 0) ( V× OB = ) a B x
2 2
−a a 3 A
C ( 0 ; ; 0), S( ; 0 ; zs )
2 6
y
( zs > 0 )
- 2a 3 z a 3 − a zs
M( ;0; s ) , N( ; ; ) z
3 2 12 4 2
r uuur uuur
m p (A M N ) c o ′ V T P T : n 1 = ⎡ A M , A N ⎤
⎣ ⎦
uuur 2 a 3 -a z s zs S
AM = ( ; ; )
3 2 2
uuuur a 3 -3 a z s
AN = ( ; ; ) N
12 4 2 M
2
r a z -a 3 z s -5 3 a C
n1 = ( s ; ; )
8 8
r
24
uur uuu r o
m p ( S B C ) c o ′V T P T : n 2 = ⎡ S B , S C ⎤
⎣ ⎦ G
uur a 3 B x
SB = ( ; 0; − z s ) a
3 A
uuur −a 3 −a
SC = ( ; ; − zs ) y
6 2
a −a a 3
r − azs a 3 zs − a 2 3 O( 0 ; 0 ; 0) , A(0 ; ;0), B( a 3; 0 ; 0) ,C ( 0 ; ; 0), S( ; 0 ; zs )
n2 = ( ; ; ) 2 2 2 6
2 2 6
r r -a2 zs 2 3a2 zs 2 15a4 15a2
(AMN) ⊥ (SBC) ⇔ n1 .n2 = 0 ⇔ - + = 0 ⇔ zs =
2
16 16 6.24 36
1 ⎡uuuu uuur ⎤ 1 r
r 1 a2 zs 2 3a2 zs 2 25.3a4 1 a 2 2 25a2 a 2 25a2
SΔAMN = ⎣ AM, AN ⎦ = n1 = + + 2
= . z s + 3z + = 4z s +
2 2 2 64 64 24 2 8 3 16 3
a 15a2 25a2 a2 10
SΔAMN = 4. + =
16 36 3 16
- Bμi 3: Cho h×nh hép ch÷ nhËt ABCD.A’B’C’D’ cã AB = a ,
AD = 2a , AA’ = a 2 . M lμ ®iÓm thuéc ®o¹n AD , K lμ trung
®iÓm cña B’M
1, §Æt AM = m ( 0 ≤ m < 2a). TÝnh thÓ tÝch khèi tø diÖn A’KID
theo a vμ m ( trong ®ã I lμ t©m h×nh hép ) . T×m vÞ trÝ cña M ®Ó
thÓ tÝch ®ã ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt.
2, Gi¶ sö M lμ trung ®iÓm cña AD.
a, Hái thiÕt diÖn cña h×nh hép c¾t bëi mp(B’CK) lμ h×nh g× ?
TÝnh diÖn tÝch thiÕt diÖn ®ã theo a.
b, CMR ®−êng th¼ng B’M tiÕp xóc víi mÆt cÇu ®−êng kÝnh AA’
- Lêi gi¶i
Chän hÖ trôc to¹ ®é Oxyz nh− h×nh
vÏ : A trïng víi O , Ox chøa c¹nh z
AD , Oy chøa c¹nh AB , Oz chøa c¹nh
AA’ A’ D’
Trong hÖ trôc ®· chän ta cã :
B’ C’
A(0 ; 0 ; 0) , B(0; a ; 0) ,
I
a 2
C(2a ; a ; 0) , D( 2a ; 0 ; 0 ) , K
A’(0 ; 0 ; a 2) , B’(0 ; a ; a 2) ,
a A M 2a D x
m
C’(2a ; a ; a 2) , D’(2a ; 0 ; a 2)
1, Do I lμ t©m h×nh hép nªn I lμ trung ®iÓm B C
B’D, y
a a 2
suy ra I(a ; ; )
2 2
M n»m trªn ®o¹n AD vμ AM = m nªn M(m ; 0 ; 0)
m a a 2
K lμ trung ®iÓm B’M nªn K ( ; ; )
2 2 2
- uuur a a 2
A ' I = (a; ; − )
2 2
uuuur m a a 2
A' K = ( ; ;− )
2 2 2
uuuur
A ' D = (2a;0; −a 2)
a −a 2 −a 2 m m a
1 uuur uuuur uuuur 1 a a 2
VA ' KID = A ' I . ⎡ A ' K , A ' D ⎤ = a. 2
⎣ ⎦ 6 2 + . 2 2 − . 2 2
6 2 2
0 −a 2 −a 2 2a 2a 0
1 −a3 2 a ⎛ am 2 ⎞ a 3 2 1 − a 3 2 a 2 m 2 a 2 2
= + ⎜ −a 2 +
⎜ ⎟+
⎟ = + = m − 2a
6 2 2⎝ 2 ⎠ 2 6 2 4 24
a2 2
Hay VA ' KID = (2a − m) (do 0 ≤ m < 2a )
24
a3 2
Còng v× 0 ≤ m < 2a ⇒ 0 < 2a − m ≤ 2a ⇒ VA ' KID ≤
12
DÊu b»ng x¶y ra khi vμ chØ khi 2a - m = 2a hay m = 0 , ®iÒu nμy
còng ®ång nghÜa M trïng A
a3 2
VËy maxVA ' KID = ⇔M ≡A
12
- 2a, mp(B’CK) còng chÝnh lμ
mp(B’CM) , mp nμy cã ®iÓm chung z
víi mÆt AA’D’D ë ®iÓm M nªn nã
c¾t mÆt AA’D’D theo giao tuyÕn A’ D’
qua M vμ song song víi B’C ( v×
B’C song song víi mÆt AA’D’D ) , B’ C’
giao tuyÕn nμy c¾t AA’ t¹i N . Nèi N
NB’ ta thu ®−îc thiÕt diÖn lμ h×nh a 2
thang B’CMN ( do MN song song K
M
víi B’C)
[a] A 2a D x
d (M ; B ' C ) =
V× M lμ trung ®iÓm AD
nªn M( a ; 0 ; 0) B C
§−êng th¼ng B’C cã vÐct¬ y
chØ ph−¬ng lμ
r −1 uuuur
u= B ' C = (− 2;0;1)
a 2 uuuu r
r
⎡ MC , u ⎤
⎣ ⎦
ChiÒu cao cña thiÕt diÖn B’CMN lμ h = d ( M ; B ' C ) = r
u
nguon tai.lieu . vn
