Xem mẫu

  1. Lêi nãi ®Çu. Khi d¹y h×nh häc kh«ng gian t«i c¶m thÊy rÊt phiÒn khi lóc nµo còng ph¶i mang c¸i th−íc bªn m×nh ®Ó cã thÓ vÏ ®−îc nh÷ng c¸i h×nh kh«ng gian phøc t¹p , lóc cßn lµ häc sinh t«i còng c¶m gi¸c r»ng nh÷ng bµi to¸n h×nh häc kh«ng gian lµ nh÷ng bµi to¸n khã v× ®Ó gi¶i quyÕt nã buéc t«i ph¶i cã nh÷ng t−ëng t−îng kh«ng gian phong phó vµ t«i còng c¶m nhËn ®−îc ®iÒu nµy tr−íc sù “nh¨n nhã” cña häc sinh . T«i vÉn mong muèn r»ng cã thÓ ®äc ®−îc mét tµi liÖu nµo ®ã mµ cã thÓ cho t«i mét ph−¬ng ph¸p ®ì t− duy trªn h×nh vÏ h¬n ; T«i ®· cè g¾ng t×m tßi vµ ®äc ®−îc mét sè tµi liÖu hay nh−: T¹p chÝ TH&TT; Quy tr×nh gi¶i c¸c bµi to¸n h×nh häc b»ng pp vÐc t¬ (NguyÔn V¨n Léc); To¸n n©ng cao h×nh häc (Phan Huy Kh¶i) ; H×nh häc KG(TrÇn V¨n H¹o) ; Gi¶i to¸n h×nh häc (TrÇn Thµnh Minh) ; H×nh häc kh«ng gian (Sa-r−-gin) vµ mét sè tµi liÖu kh¸c …trong ®ã cã rÊt nhiÒu ph−¬ng ph¸p t«i t©m ®¾c nh− ph−¬ng ph¸p vÐc t¬, ph−¬ng ph¸p ®¹i sè ho¸, ph−¬ng ph¸p tr¶i tø diÖn , ph−¬ng ph¸p chiÕu vu«ng gãc,song song, ph−¬ng ph¸p sö dông c¸c phÐp biÕn h×nh… T«i còng ®· thö nghiÖm mét vµi ph−¬ng ph¸p khi d¹y trªn líp , vµ t«i nhËn thÊy pp vÐc t¬ lµ kh¸ phï hîp víi n¨ng lùc hs ®ång thêi cã thÓ gióp häc sinh cã nh÷ng chuÈn bÞ tèt khi häc h×nh gi¶i tÝch (líp 12). V× vËy t«i cè g¾ng viÕt ra mét tµi liÖu cho riªng t«i, phï hîp víi phong c¸ch gi¶ng d¹y cña t«i h¬n ; Nh−ng t«i vÉn c¶m thÊy r»ng nã ch−a thËt võa ý , nh©n tiÖn tæ cã ®−a ra yªu cÇu viÕt mét chuyªn ®Ò nªn t«i cã dÞp ®−a nã ra ®Ó m×nh cã thÓ thu thªm nhiÒu ý kiÕn ®ãng gãp ,phª b×nh quý b¸u cho c«ng t¸c gi¶ng d¹y sau nµy. Trong bµi viÕt t«i thiªn vÒ viÖc gi¶i quyÕt nh÷ng bµi to¸n SGK , cßn nh÷ng bµi to¸n kh¸c chØ mang tÝnh chÊt phô ho¹ cho ph−¬ng ph¸p vÐc t¬ mµ th«i. V× thêi gian viÕt chuyªn ®Ò qu¸ ng¾n nªn mét sè phÇn nh−: gãc, thÓ tÝch,mÆt cÇu, bÊt ®¼ng thøc h×nh häc…ch−a kÞp lµm, hy väng r»ng víi sù gãp ý cña c¸c thÇy c« t«i sÏ viÕt ®−îc mét tµi liÖu cã “chÊt” h¬n. RÊt mong ®−îc sù ®ãng gãp quý b¸u cña c¸c thÇy c«! Thanh Long ngµy 18/03/2007. Ph¹m Kim Chung 1
  2. a, lý thuyÕt Ph−¬ng ph¸p vÐc t¬: I). Quy tr×nh gi¶i to¸n B−íc 1: Lùa chän “ HÖ vÐc t¬ gèc”.-> “Phiªn dÞch” c¸c gi¶ thiÕt , kÕt luËn cña bµi to¸n h×nh häc ®· cho ra ng«n ng÷ “vÐc t¬”. B−íc 2: Thùc hiÖn c¸c yªu cÇu cña bµi to¸n th«ng qua viÖc tiÕn hµnh c¸c phÐp biÕn ®æi c¸c hÖ thøc vÐc t¬ theo hÖ vÐc t¬ gèc . B−íc 3: ChuyÓn c¸c kÕt luËn “vÐc t¬” sang c¸c tÝnh chÊt h×nh häc t−¬ng øng . VD1: (Bµi tËp 7.Tr27-SGK11) Cho h×nh tø diÖn ABCD .Gäi M,N lÇn l−ît lµ trung ®iÓm cña AB,CD vµ G lµ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng MN. a). Chøng minh r»ng ®−êng th¼ng AG ®i qua träng t©m A’ cña tam gi¸c BCD. Ph¸t biÓu kÕt luËn t−¬ng tù ®èi víi c¸c ®−êng th¼ng BG,CG vµ DG. b). Chøng minh GA=3GA’. A BG: { } Chän hÖ A, AB, AC , AD lµm c¬ së. *Phiªn dÞch gi¶ thiÕt , kÕt luËn theo hÖ vÐc t¬ gèc. +Gi¶ thiÕt: (H.1) 1 M lµ trung ®iÓm cña AB ⇔ AM = AB M 2 1 N lµ trung ®iÓm CD ⇔ AN = ( AD + AC ) 2 G . D G lµ trung ®iÓm ®o¹n MN B ( 1 2 ) 1 ( ⇔ AG = AM + AN = AB + AC + AD .(1) 4 ) A’ N 1 ( A’ lµ träng t©m tam gi¸c BCD ⇔ AA ' = AB + AC + AD .(2) 3 ) + DÔ thÊy yªu cÇu cña bµi to¸n t−¬ng ®−¬ng víi yªu cÇu chøng minh C 2 AG = AA ' 3 Tõ (1),(2) ta dÔ dµng gi¶i quyÕt bµi to¸n trªn. II, Mét sè tÝnh chÊt cÇn ghi nhí §Ó gi¶i quyÕt mét bµi to¸n h×nh häc kh«ng gian b»ng ph−¬ng ph¸p vÐc t¬ häc sinh cÇn n¾m v÷ng c¸c kh¸i niÖm vµ tÝnh chÊt sau: 1). Quy t¾c 3 ®iÓm: AB + BC = AC , víi A,B,C lµ 3 ®iÓm bÊt k× trong kh«ng gian. 2). Quy t¾c hiÖu 2 vÐc t¬ chung gèc: AB lµ mét vÐc t¬ cho tr−íc th× víi mäi ®iÓm O bÊt k× , ta cã: AB = OB − OA . 3). Quy t¾c h×nh b×nh hµnh: NÕu tø gi¸c OABC lµ h×nh b×nh ta lu«n cã : OB = OA + OC . 4). TÝnh chÊt trung ®iÓm: NÕu M lµ trung ®iÓm ®o¹n AB th×: + MB + MA = 0 . + OA + OB = 2OM , víi mäi ®iÓm O. 5).TÝnh chÊt träng t©m cña tam gi¸c : NÕu G lµ träng t©m tam gi¸c ABC th×: + GA + GB + GC = 0 . + OA + OB + OC = 3OG víi mäi ®iÓm O. 2
  3. 6). TÝch v« h−íng cña 2 vÐc t¬: AB.CD = AB CD cos AB, CD . ( ) 7). §iÒu kiÖn ®Ó 2 vÐc t¬ cïng ph−¬ng : VÐc t¬ a cïng ph−¬ng víi vÐc t¬ b(b ≠ 0) ⇔ ∃k ∈ R : a = kb . 8). §iÒu kiÖn ®Ó 3 ®iÓm th¼ng hµng. §K cÇn vµ ®ñ ®Ó 3 ®iÓm A,B,C ph©n biÖt th¼ng hµng lµ: ∃k ≠ 0 : AB = k AC . 9). §iÒu kiÖn ®Ó 2 vÐc t¬ vu«ng gãc: AB ⊥ CD ⇔ AB.CD = 0 . 10). Ba vÐc t¬ ®ång ph¼ng: Ba vÐc t¬ gäi lµ ®ång ph¼ng nÕu 3 ®−êng th¼ng chøa chóng cïng song song víi mét mÆt ph¼ng. 11).C«ng thøc vÒ mèi liªn hÖ gi÷a ®é dµi vµ tÝch v« h−íng 2 vÐc t¬: ( + a.b = ⎡ a + b − a − b ⎤ 1 ) 2 2 2 2⎢⎣ ⎥ ⎦ ( + a.b = − ⎡ a − b − a − b ⎤ 1 ) 2 2 2 2⎣⎢ ⎥ ⎦ ⎧ x1 = x2 ⎪ 12). NÕu a, b, c lµ 3 vÐc t¬ kh«ng ®ång ph¼ng tho¶ m·n : x1 a + y1 b + z1 c = x2 a + y2 b + z2 c th×: ⎨ y1 = y2 . ⎪z = z ⎩ 1 2 OA − kOB 13). §iÓm M chia ®o¹n th¼ng AB theo tØ sè k ≠ 1 th× víi ®iÓm O bÊt k× ta cã: OM = . 1− k { } 14). Trong kh«ng gian cho hÖ O, OA, OB, OD . §iÓm D ∈ mp ( ABC ) th× OD = α OA + β OB + γ OC ,(α + β + γ = 1; α , β , γ ∈ R ) b, C¸c d¹ng bμi tËp *Bμi tËp h×nh thμnh ph−¬ng ph¸p . D¹ng 1 . Bμi tËp ph©n tÝch mét vÐc t¬ theo 3 vÐc t¬ kh«ng ®ång ph¼ng (Xem kh¸i niÖm 3 vÐc t¬ ®ång ph¼ng môc A-II-10) VD2: Cho tø diÖn ABCD . C¸c trung tuyÕn AA1 vµ BB1 cña tam gi¸c ABC c¾t nhau t¹i M . Cã thÓ biÓu diÔn vÐc t¬ DM theo bé ba vÐc t¬ nµo ,trong c¸c bé ba vÐc t¬ ®· cho sau ®©y? 1). DA, DC , DB 2). DA, AA1 , BB1 . D 3). AB, DA, A1 B1 . 1). DM = 1 3 (DA + DB + DC ) 2 (H.2) 2). DM = DA + AA1 + 0.BB1 3 3). Do A1B1//AB nªn 3 vÐc t¬ trªn lµ ®ång ph¼ng , mÆt kh¸c vÐc t¬ DM kh«ng ®ång A B ph¼ng víi 2 vÐc t¬ nµo trong 3 vÐc t¬ trªn , do vËy DM M kh«ng biÓu diÔn ®−îc theo c¸c vÐc t¬: AB, DA, A1 B1 B1 A1 VD3: Cho tø diÖn ABCD . §iÓm M lµ träng t©m cña tam gi¸c ABC . C H·y biÔu diÔn DM theo c¸c vÐc t¬: DA, AC , CB . 3
  4. HD: (Xem h×nh 2.). M lµ träng t©m cña tam gi¸c ABC nªn: DM = 1 3 ( ) DA + DB + DC . VËy ®Ó gi¶i quyÕt bµi to¸n ta cÇn biÓu diÔn DB, DC theo 3 vÐc t¬ DA, AC , CB .Ta cã: + DB = DA + AC + CB vµ DC = DA + AC Tõ ®ã suy ra: DM = 1 3 (3DA + 2 AC + CB . ) Bμi tËp tù gi¶i: 1).Cho tø diÖn ABCD . M vµ N lµ trung ®iÓm DB vµ DC . H·y ph©n tÝch c¸c vÐc t¬ AM , BN , MN theo DA, DB, DC . 2). Cho h×nh chãp S.ABCD ®¸y lµ h×nh b×nh hµnh t©m O . a). H·y ph©n tÝch SD theo SA, SB, SC . b). H·y ph©n tÝch c¸c vÐc t¬ SA, SB, SC , SD theo c¸c vÐc t¬ AB, AC , SO . 3).Cho h×nh lËp ph−¬ng ABCD.A’B’C’D’ . Gäi O lµ t©m cña h×nh lËp ph−¬ng vµ I lµ t©m cña mÆt CDD’C’ . H·y ph©n tÝch c¸c vÐc t¬ AO, AI theo AB, AD, AA ' . 4). Cho h×nh l¨ng trô tam gi¸c ABCA1B1C1. a). §Æt AC1 = c; BA1 = a; CB1 = b . H·y ph©n tÝch vÐc t¬ AA1 theo a, b, c . b). M lµ trung ®iÓm ®o¹n B1C . H·y ph©n tÝch vÐc t¬ AM theo AA1 , AB, AC . MD NA 5). Cho tø diÖn ABCD . M vµ N lµ c¸c ®iÓm chia c¸c ®o¹n th¼ng DB, AC theo tØ sè = m; = n . H·y ph©n MB NC tÝch vÐc t¬ MN theo AB, DA, BC . 6). Cho mÆt cÇu t©m O b¸n kÝnh R. Tõ ®iÓm S vÏ 3 tiÕp tuyÕn SA, SB, SC víi mÆt cÇu (A,B,C lµ c¸c tiÕp ®iÓm ). H·y ph©n tÝch vÐc t¬ SO theo SA, SB, SC biÕt r»ng ba vÐc t¬ nµy tõng cÆp t¹o víi nhau gãc 600. ---------------------------------------------------------------------------- D¹ng 2: Bμi tËp lùa chän “ hÖ vÐc t¬ gèc ”. * ViÖc lùa chän hÖ vÐc t¬ gèc lµ rÊt quan träng khi gi¶i quyÕt mét bµi to¸n b»ng ph−¬ng ph¸p vÐc t¬ . Nãi chung viÖc lùa chän hÖ vÐc t¬ gèc ph¶i tho¶ m·n 2 yªu cÇu: + HÖ vÐc t¬ gèc ph¶i lµ 3 vÐc t¬ kh«ng ®ång ph¼ng . + HÖ vÐc t¬ gèc nªn lµ hÖ vÐc t¬ mµ cã thÓ chuyÓn nh÷ng yªu cÇu cña bµi to¸n thµnh ng«n ng÷ vÐc t¬ mét c¸ch ®¬n gi¶n nhÊt. VD4: (Bµi tËp 6- Tr27-SGK11) Cho h×nh tø diÖn ABCD víi P,Q lÇn l−ît lµ trung ®iÓm cña AB vµ CD . Gäi R lµ ®iÓm n»m trªn c¹nh BC sao cho BR=2RC vµ S lµ giao ®iÓm cña c¹nh AD víi mp(PRQ) . Chøng minh r»ng AS=2SD. BG: A (H.3) { } Chän hÖ A, AB, AC , AD lµm c¬ së. Ta cã: P 1 S P lµ trung ®iÓm AB ⇒ AP = AB 2 D 1 Q lµ trung ®iÓm CD ⇒ AQ = 2 AC + AD ( ) B 1 2 R n»m trªn BC vµ BR=2RC ⇒ AR = AB + AC Q 3 3 R 2 Yªu cÇu bµi to¸n t−¬ng ®−¬ng víi viÖc chøng minh : AS = 2 SD hay AS = AD . C 3 4
  5. Gi¶ sö AS = k AD . §iÓm S thuéc mp(PQR) do ®ã tån t¹i α , β , γ ∈ R sao cho: AS = α AP + β AQ + γ AR ;(α + β + γ = 1) (Xem môc A-II-14) ⎛1 ⎞ ⎛1 1 ⎞ ⎛1 2 ⎞ 1 Hay k AD = α AB + β 2 1 2 ( ) 2 AC + AD + γ ⎜ AB + AC ⎟ ⇔ k AD = ⎜ α + γ ⎟ AB + ⎜ β + γ ⎟ AC + β AD ⎝3 3 ⎠ ⎝2 3 ⎠ ⎝2 3 ⎠ 1 2 ⎧α + β + γ = 1 ⎪1 ⎪ α + 1γ = 0 ⎪2 ⎪ 3 2 ⇔ ⎨1 2 ⇒ k = (Xem môc A-II-12), suy ra ®pcm. ⎪2 β + 3 γ = 0 3 ⎪ ⎪ k=1β ⎪ ⎩ 2 B×nh luËn : Víi chøng minh trªn ta nhËn thÊy pp vÐc t¬ cã thÓ tr¸nh cho chóng ta ph¶i kÎ thªm nhòng h×nh phô phøc t¹p, ®ã còng chÝnh lµ ®iÓm yÕu cña häc sinh khi häc h×nh häc kh«ng gian. Ta sÏ xÐt sang VD kh¸c , ®Ó nhËn thÊy râ h¬n −u ®iÓm cña ph−¬ng ph¸p vÐc t¬. VD5:(Bµi tËp 5-Tr86-SGK11) Chøng minh r»ng nÕu ®−êng th¼ng nèi trung ®iÓm hai c¹nh AB vµ CD cña tø diÖn ABCD lµ ®−êng vu«ng gãc chung cña AB vµ CD th× AC=BD, AD=BC. BG: A Gi¶ sö M,N lµ trung ®iÓm cña AB, CD. { } Chän hÖ A, AB, AC , AD lµm c¬ së. (H.4) 1 M M lµ trung ®iÓm cña AB ⇔ AM = AB . 2 1 N lµ trung ®iÓm CD ⇔ AN = ( AD + AC ) . B 2 D ⇒ MN = AN − AM = 1 2 (AC + AD − AB . ) N CD = AD − AC . C + MN vu«ng gãc víi AB nªn: MN . AB = 0 ⇔ 1 4 ( AC + AD − AB . AB = 0 . ) 2 ⇔ 0 = AB. AC + AB. AD − AB (1) + MN vu«ng gãc víi CD nªn: MN .CD = 0 ⇔ 1 4 (AC + AD − AB )( AD − AC ) = 0 2 ⇔ AD 2 = AC − AB. AC + AB. AD (2) ( ) 2 LÊy (2)-(1) theo vÕ ta ®−îc: AD 2 = AB − AC = BC 2 ⇒ AD = BC . Céng vÕ theo vÕ ta ®−îc AC=BD. Suy ra ®iÒu ph¶i chøng minh. B×nh luËn: +MÆc dï lµ bµi tËp SGK ,tuy nhiªn bµi to¸n trªn lµ bµi tËp khã kÓ c¶ víi nh÷ng HSG , v× viÖc vÏ h×nh phô ®Ó gi¶i quyÕt bµi to¸n b»ng ph−¬ng ph¸p h×nh häc KG thuÇn tuý lµ kh«ng ®¬n gi¶n. + Bµi to¸n cßn cã thÓ gi¶i b»ng ph−¬ng ph¸p ®¹i sè ho¸ b»ng c¸ch ®Æt AB=x; AC=y; AD=z sau ®ã ¸p dông c«ng thøc trung tuyÕn còng lµ mét ph−¬ng ph¸p hay. 5
  6. Bμi tËp tù gi¶i: 1)(Bµi tËp 4-Tr41-SGK11).Chøng minh r»ng tæng b×nh ph−¬ng tÊt c¶ c¸c ®−êng chÐo cña h×nh hép b»ng tæng b×nh ph−¬ng tÊt c¶ c¸c c¹nh cña h×nh hép ®ã. 2)(Bµi tËp 1-Tr59-SGK11). Cho h×nh hép ABCD.A’B’C’D’ cã tÊt c¶ c¸c c¹nh ®Òu b»ng nhau . Chøng minh r»ng : AC ⊥ B ' D ', AB' ⊥ CD ', AD' ⊥ CB ' . 3)(Bµi tËp 2-Tr59-SGK11) .Cho tø diÖn ®Òu ABCD c¹nh b»ng a , gäi M lµ trung ®iÓm cña BC . TÝnh cosin cña gãc ( AB, DM ) . 4)( Bµi tËp 3-Tr59-SGK11). Cho tø diÖn ABCD cã AB=CD=a, AC=BD=b, AD=BC=c. a). Chøng minh r»ng c¸c ®o¹n nèi trung ®iÓm c¸c cÆp c¹nh ®èi th× vu«ng gãc víi hai c¹nh ®ã . b). TÝnh cosin cña gãc hîp bëi c¸c ®−êng th¼ng AC vµ BD. 5)( Bµi tËp 3-Tr69-SGK11). Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh thoi t©m O . BiÕt r»ng SA=SC, SB=SD. Chøng minh r»ng : a). SO ⊥ mp ( ABCD ) . b). AC ⊥ SD . 6) ( Bµi tËp 5-Tr69-SGK11). Cho tø diÖn ABCD . Chøng minh r»ng nÕu AB ⊥ CD vµ AC ⊥ BD th× AD ⊥ BC . 7) ( Bµi tËp 7-Tr69-SGK11). Cho tø diÖn OABC cã ba c¹nh OA, OB, OC ®«i mét vu«ng gãc . KÎ OH ⊥ mp ( ABCD ) H n»m trªn mp(ABC) . Chøng minh : a) H lµ trùc t©m tam gi¸c ABC 1 1 1 1 b) 2 = + + . OH OA OB OC 2 2 2 8) ( Bµi tËp 8-Tr86-SGK11) H×nh chãp S.ABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh vu«ng c¹nh a vµ SA=SB=SC=SD = a 2 . Gäi I vµ J lÇn l−ît lµ trung ®iÓm cña AD vµ BC . a). Chøng minh mp(SIJ) vu«ng gãc víi mp(SBC). b).TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®−êng th¼ng AD vµ SB. -------------------------------------------------------------------- *bμi tËp ph©n theo c¸c d¹ng to¸n gi¶i ®−îc b»ng pp vÐc t¬. Mét c©u hái th−êng gÆp ë häc sinh khi d¹y ph−¬ng ph¸p vÐc t¬ lµ : Nh÷ng bµi to¸n cã d¹ng nh− thÕ nµo th× gi¶i ®−îc b»ng ph−¬ng ph¸p vÐc t¬ ?, d¹ng to¸n nµo th× ph−¬ng ph¸p vÐc t¬ lµ −u ®iÓm ? , ®−êng lèi gi¶i quyÕt nã nh− thÕ nµo ? Thùc ra ®Ó tr¶ lêi ®−îc c©u hái ®ã lµ rÊt khã v× c¸c bµi to¸n s¬ cÊp nãi chung vµ h×nh häc kh«ng gian nãi riªng lµ khã t×m mét ph−¬ng ph¸p nµo lµ cã thÓ gi¶i quyÕt hÕt c¸c bµi to¸n nÕu nh− kh«ng muèn nãi lµ kh«ng thÓ. Tuy nhiªn ®èi víi c¸c bµi tËp SGK chóng ta cã thÓ lµm râ ®−îc phÇn nµo, vÝ dô ®èi víi nh÷ng hs trung b×nh cã thÓ dõng l¹i ë c¸c bµi to¸n cã gi¶ thiÕt vµ kÕt luËn ®¬n gi¶n nh− trung ®iÓm, träng t©m , vu«ng gãc; ®èi víi nh÷ng hs kh¸ cã thÓ n©ng cao lªn ë nh÷ng bµi to¸n kho¶ng c¸ch , tÝnh gãc , th¼ng hµng, ®¼ng thøc h×nh häc…; ®èi víi nh÷ng hs giái cã thÓ thªm nh÷ng d¹ng to¸n vÒ sù ®ång ph¼ng , ®ång quy,bÊt ®¼ng thøc h×nh häc, quan hÖ song song ,vu«ng gãc … ë møc ®é khã h¬n. D¹ng 1: Bμi tËp vÒ träng t©m tam gi¸c , tø diÖn. 1 + M lµ trung ®iÓm AB ⇔ OM = OA + OB 2 ( ) 1 +G lµ träng t©m tam gi¸c ABC ⇔ OG = OA + OB + OC 3 ( ) (Víi mäi ®iÓm O bÊt k× trong kh«ng gian ) VD6: Cho h×nh hép ABCD.A’B’C’D’. MÆt ph¼ng (A’BD) c¾t ®−êng chÐo AC’ t¹i M. Chøng minh M lµ träng t©m cña tam gi¸c A’BD. 6
  7. B C { HD: Chän hÖ vÐc t¬ c¬ së A, AA ', AB, AD } Ph©n tÝch bµi to¸n: *Gi¶ thiÕt: A D MÆt ph¼ng (A’BD) c¾t ®−êng chÐo AC’ t¹i M. Suy ra: M + M ∈ AC ' ⇒ ∃k ∈ R : AM = k AC ' (H.5) ( hay AM = k AA ' + AB + AB ) B’ M ∈ mp( A ' BD) C’ ⇒ AM = α AA ' + β AB + γ AD (α , β , γ ∈ R : α + β + γ = 1) A’ D’ *Yªu cÇu bµi to¸n t−¬ng ®−¬ng víi viÖc chøng 1 minh: AM = AA ' + AB + AD 3 ( ) Víi viÖc lËp hÖ ph−¬ng tr×nh vµ gi¶i quyÕt t−¬ng tù VD4 , ta suy ra ®pcm. Bμi tËp tù gi¶i: 1). Cho h×nh hép xiªn ABCD.A’B’C’D’ . Gäi P,Q,R lµ ¶nh ®èi xøng cña ®iÓm D’ qua c¸c ®iÓm A, B’, C . Chøng tá r»ng B lµ träng t©m cña tø diÖn PQRD’. 2). Cho tø diÖn ABCD . Gäi M,N,P,Q lÇn l−ît lµ trung ®iÓm cña AB,BC,CD,DA . Chøng minh 2 tam gi¸c ANP vµ CMQ cã chung träng t©m. 3). Chøng minh r»ng hai tø diÖn ABCD vµ A’B’C’D’ cã cïng träng t©m khi vµ chØ khi: AA ' + BB ' + CC ' + DD ' = 0 . 4). Cho tø diÖn ABCD . Gäi A’, B’, C’ ,D’ lÇn l−ît lµ c¸c ®iÓm trªn c¸c c¹nh AB,BC,CD,DA sao cho: A ' A B ' B CC ' D ' D = = = =k. A ' B B 'C C ' D D ' A Chøng minh hai tø diÖn ABCD vµ A’B’C’D’ cã cïng träng t©m. 5). Cho h×nh hép ABCD.A1B1C1D1 . Gäi P,R theo thø tù lµ trung ®iÓm cña AB, A1D1 ; Gäi P1 ,Q ,Q1 ,R1 theo thø tù lµ giao ®iÓm cña c¸c ®−êng chÐo cña c¸c mÆt (ABCD), (CDD1C1), (A1B1C1D1),(ADD1A1).B a). Chøng minh r»ng : PP + QQ1 + RR1 = 0 . 1 b). Chøng minh hai tam gi¸c PRQ vµ P1R1Q1 cã cïng träng t©m. ---------------------------------------------------------------------------------- D¹ng 2: bμi tËp vÒ c¸c ®iÓm th¼ng hμng. §Ó chøng minh 3 ®iÓm P, M, N th¼ng hµng ta chøng minh: AP = α AM + β AN (α ,β ∈ R:α + β = 1) trong ®ã A lµ ®iÓm bÊt k× (th«ng th−êng A lµ gèc cña hÖ c¬ së). VD7: Cho h×nh lËp ph−¬ng ABCD.A’B’C’D’ c¹nh a . Gäi P,Q lµ c¸c ®iÓm x¸c ®Þnh bëi : AP = − AD ' , C ' Q = −C ' D ; M lµ trung ®iÓm BB’ . Chøng minh r»ng P, M, Q th¼ng hµng . HD: { } Chän hÖ A ', A ' A = a, A ' B ' = b, A ' D ' = c lµm c¬ së. 7
  8. Ph©n tÝch bµi to¸n: * Gi¶i thiÕt : AP = − AD ' ⇒ AP = − AD ' ⇒ A ' P = 2a − d C ' Q = −C ' D ⇒ C ' Q = −C ' D ⇒ A ' Q = 2b + d − a 1 ( M lµ trung ®iÓm BB’ ⇒ A ' M = A ' B + A ' B ' = a + b 2 ) 1 2 * Yªu cÇu cña bµi to¸n t−¬ng ®−¬ng víi viÖc chøng minh: ∃α , β : A ' M = α A ' P + β A ' Q (α + β = 1) . 1 Thay c¸c ®¼ng thøc trªn vµ gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh ta ®−îc α = β = . 2 Bμi tËp tù gi¶i : 1). Cho h×nh hép ABCD.A1B1C1D1 . Gäi P lµ trung ®iÓm cña c¹nh B1C1 . §−êng th¼ng d qua P c¾t ®−êng th¼ng AB t¹i M vµ c¾t ®−êng th¼ng DD1 t¹i N . Chøng minh P lµ trung ®iÓm cña ®o¹n MN. 2).Cho tø diÖn OABC . Gäi M,N ,P lÇn l−ît lµ c¸c ®iÓm ®èi xøng víi O ®èi víi trung ®iÓm c¸c c¹nh tam gi¸c ABC . Chøng minh r»ng , ®iÓm O vµ träng t©m c¸c tam gi¸c ABC , MNP th¼ng hµng. 3). Cho tø diÖn OABC . Gäi P, Q,R lÇn l−ît lµ träng t©m c¸c tam gi¸c AOB, BOC, COA . Chøng minh r»ng ®iÓm O vµ träng t©m c¸c tam gi¸c ABC, PQR th¼ng hµng. 4). Chøng minh r»ng trong tø diÖn trùc t©m : träng t©m , trùc t©m, t©m mÆt cÇu ngo¹i tiÕp cïng n»m trªn mét ®−êng th¼ng (®−êng th¼ng ¥-le trong tø diÖn) 3 5). Cho h×nh hép ABCD.A1B1C1D1 . P lµ ®iÓm trªn ®−êng th¼ng CC1 sao cho : CP = CC1 . M lµ ®iÓm trªn ®−êng 2 MD th¼ng AD, N lµ ®iÓm trªn ®−êng th¼ng BD1 sao cho ba ®iÓm M, N, P th¼ng hµng . TÝnh : . MA ------------------------------------------------------------------------- D¹ng 3: quan hÖ vu«ng gãc gi÷a ®−êng th¼ng vμ mÆt ph¼ng. VD8. (Bµi tËp 3-Tr69-SGK11) Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh thoi t©m O . BiÕt r»ng SA=SC, SB=SD. Chøng minh r»ng: a). SO ⊥ mp ( ABCD ) . b). AC ⊥ SD . Chän hÖ vÐc t¬ c¬ së: S O, OA, OB, OS { } a). Ta cã: SA = OA − OS (H.6) B ( SC = OC − OS = − OA + OS ) Theo bµi ra : SA=SC ( ) = (OA + OS ) A 2 2 O SA2 = SC 2 ⇒ OA − OS C ⇒ OA.OS = 0 ⇒ OA ⊥ OS . D T−¬ng tù ta chøng minh ®−îc : OB ⊥ OS , suy ra: SO ⊥ mp ( ABCD ) . ( b). Ta cã : AC = −2OA ; SD = OD − OS . Do ®ã: AD.SD = −2OA. OD − OS = 0 ⇒ AC ⊥ SD . ) VD9.(Bµi tËp 5-Tr69-SGK11) .Cho tø diÖn ABCD. Chøng minh r»ng nÕu AB ⊥ CD, AC ⊥ BD th×: AD ⊥ BC 8
  9. { } HD: Chän hÖ A, AB, AC , AD lµm c¬ së. ( ) ⎧ AB ⊥ CD ⇒ AB. AD − AC = 0 ⇒ AB. AD − AB. AC = 0 ⎪ Ta cã: ⎨ ⇒ AC. AD − AB. AD = 0 (1) ⎪ ⎩ ( ) AC ⊥ BD ⇒ AC AD − AB = 0 ⇒ AC. AD − AC. AB = 0 . ( ) Nªn: AD.BC = AD AC − AB = 0 ⇒ AD ⊥ BC ®pcm. + §Ó chøng minh AB ⊥ CD , ta chøng minh: AB.CD = 0 + §Ó chøng minh AB ⊥ (α ) , ta chøng minh AB vu«ng gãc víi 2 ®−êng th¼ng c¾t nhau thuéc mp (α ) . + §Ó chøng minh (α ) ⊥ ( β ) , ta chøng minh 1 ®−êng th¼ng thuéc mÆt ph¼ng nµy vu«ng gãc víi 2 ®−êng th¼ng thuéc mÆt ph¼ng kia. Bμi tËp tù gi¶i : 1). Cho h×nh chãp S.ABCD , ®¸y ABC lµ tam gi¸c c©n ®Ønh A, D lµ trung ®iÓm BC , vÏ DE ⊥ AB ( E ∈ AB ) , biÕt SE ⊥ mp ( ABC ) . Gäi M lµ trung ®iÓm DE. Chøng minh : AM ⊥ mp ( SEC ) . 2).Cho h×nh lËp ph−¬ng ABCD.A1B1C1D1. Gäi M, N lÇn l−ît lµ trung ®iÓm c¸c c¹nh AD vµ BB1. Chøng minh: MN ⊥ A1C . 3). Cho h×nh chãp S.ABC cã SA=SB=SC , ®¸y ABC lµ tam gi¸c c©n (AB=AC) . VÏ SO ⊥ mp ( ABC ) , D lµ trung ®iÓm c¹nh AB, E lµ träng t©m tam gi¸c ADC. Chøng minh : CD ⊥ mp ( SOE ) . 4). Cho h×nh l¨ng trô tam gi¸c ®Òu ABC.A’B’C’ cã tÊt c¶ c¸c c¹nh ®Òu b»ng a. M vµ N lµ c¸c ®iÓm lÇn l−ît thuéc c¸c ®−êng chÐo A’B vµ B’C. BiÕt r»ng : 3 2 A ' M = A ' B ; B ' N = B 'C . 5 5 Chøng minh r»ng : MN ⊥ A ' B vµ MN ⊥ B ' C . 5). Tæng hai gãc ph¼ng cña gãc tam diÖn b»ng 1800. Chøng minh r»ng ®−êng vu«ng gãc chung cña chóng vu«ng gãc víi ph©n gi¸c cña gãc ph¼ng thø ba. ------------------------------------------------------------------------------- D¹ng 4: TÝnh gãc gi÷a hai ®−êng th¼ng. ⎡ a 2 + b2 − a − b ( ) ⎤ 2 ( ) cos a, b = a.b 1 ⎢ = a b 2⎢ a b ⎥ ⎥ ⎢ ⎣ ⎥ ⎦ VD10(Bµi tËp2-Tr59-SGK11). Cho tø diÖn ®Òu ABCD c¹nh b»ng a, gäi M lµ trung ®iÓm cña BC . 9
  10. ( TÝnh cosin cña gãc AB, DM . ) A { Chän hÖ vÐc t¬ c¬ së B, BA, BC , BD . Ta cã: } (H.7) 1 DM = BM − BD = BC − BD . 2 D ( Do ®ã: cos AB, DM = ) AB.DM DM AB B a 3 M DÔ thÊy : AB=a ; DM= 2 C ⎛1 ⎞ 1 π 1 π 1 AB.DM = − BA ⎜ BC − BD ⎟ = BD.BA − BA.BC = a 2 .cos − a 2 .cos = a 2 . Do ®ã ⎝2 ⎠ 2 3 2 3 4 ( cos AB, DM = 6 ) 3 >0 ( ⇒ cos AB, DM = 6 ) 3 . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Chó ý : cos a, b > 0 ⇒ a, b = a, b ; cos a, b < 0 ⇒ a, b = π − a, b ( ) Bμi tËp tù gi¶i : 1)( Bµi tËp3-Tr59-SGK11). Cho tø diÖn ABCD cã AB=CD=a , AC=BD=b, AD=BC=c. a). Chøng minh c¸c ®o¹n nèi trung ®iÓm c¸c cÆp c¹nh ®èi th× vu«ng gãc víi hai c¹nh ®ã. b). TÝnh cosin cña gãc hîp bëi c¸c ®−êng th¼ng AC vµ BD. 2)(VÝ dô 1-Tr56-SGK). Cho tø diÖn ABCD . Gäi M,N lÇn l−ît lµ trung ®iÓm cña c¸c c¹nh BC vµ AD. Cho biÕt AB=CD=2a vµ MN= a 3 . TÝnh gãc AB, CD . ( ) 3). Trong h×nh chãp tam gi¸c ABCD tÊt c¶ c¸c c¹nh cã ®é dµi b»ng nhau . §iÓm M lµ trung ®iÓm c¹nh AD, ®iÓm O lµ träng t©m tam gi¸c ABC , ®iÓm N lµ trung ®iÓm c¹nh AB vµ ®iÓm K lµ trung ®iÓm c¹nh CD. T×m gãc gi÷a c¸c ®−êng th¼ng MO vµ KN. 4). Cho l¨ng trô ®øng tam gi¸c ABC.A1B1C1 : BC=a; AC=b ; AB=c; AA1=h. TÝnh cosin cña gãc: a). Gi÷a c¸c ®−êng chÐo AB1 vµ BC1. b). Gi÷a c¸c c¹nh AB vµ c¸c ®−êng chÐo B1C. 5)*. BiÕt c¸c gãc ph¼ng cña gãc tam diÖn SABC: BSC = α ; CSA = β ; ASB = γ . TÝnh cosin cña c¸c gãc : a). Gi÷a c¹nh SC vµ ph©n gi¸c gãc ASB . b). Gi÷a c¸c ph©n gi¸c gãc ASB vµ ASC . c). Gi÷a c¹nh SC vµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña nã trªn mÆt ph¼ng chøa mÆt ®èi diÖn. { } ----------------------------------------------------------------------------------- 10
  11. D¹ng 5: quan hÖ song song gi÷a ®−êng th¼ng vμ mÆt ph¼ng. 1).Hai ®−êng th¼ng song song. §Ó chøng minh ®−êng th¼ng AB//CD ta chøng minh : AB = kCD (k ∈ R) VD11. Cho l¨ng trô tam gi¸c ABC.A1B1C1 . Gi¶ sö M, N, E, F lÇn l−ît lµ träng t©m B cña c¸c tam gi¸c AA1B ,A1B1C1 ,ABC , BCC1. Chøng minh MN//EF. B B1 { Chän hÖ vÐc t¬ c¬ së: A, AA1 = a, AB = b, AC = c } N A1 C1 Theo bµi ra ta cã: M M lµ träng t©m tam gi¸c AA1B1 ⇒ AM = B 1 3 ( AA1 + AB1 . ) (H.8) F N lµ träng t©m tam gi¸c A1B1C1 ⇒ AN = 1 3 ( AA1 + AB1 + AC1 ) B 1 E lµ träng t©m tam gi¸c ABC ⇒ AE = AB + AC 3 ( ) A E C 1 F lµ träng t©m tam gi¸c BCC1 ⇒ AF = AB + AC + AC1 3 ( ) Ta cÇn chøng minh : ∃k : MN = k EF . 1 ( 1 ) ( ) ThËt vËy: MN = AN − AM = a + c ; EF = a + c tõ ®ã suy ra: MN = EF ⇒ MN//EF 3 3 2).§−êng th¼ng song song víi mÆt ph¼ng. §Ó chøng minh ®−êng th¼ng d//mp( α ) ta lÊy trªn d mét vÐc t¬ a , vµ trªn ( α ) hai vÐc t¬ b, c sau ®ã chøng minh 3 vÐc t¬ trªn ®ång ph¼ng, nghÜa lµ chøng minh ∃k , l ∈ R : a = kb + lc VD12. Cho h×nh hép ABCD.A1B1C1D1. Gi¶ sö M vµ N lÇn l−ît lµ trung ®iÓm c¸c c¹nh AA1 vµ B1C1. Chøng B minh r»ng MN song song víi mÆt ph¼ng (DA1C1). B1 N C1 Chän hÖ vÐc t¬ c¬ së: A1 D1 {D, DA = a, DC = b, DD = c} 1 (H.9) M Ta cã: MN = DN − DN = 1 2 ( 2b − a + c (1) ) B C Ta cÇn chøng minh : A D ( ) ( ∃x, y ∈ R : MN = xDC1 + yDA1 = x b + c + y a + c (2) ) 11
  12. 1 Tõ (1) vµ (2) suy ra : x=1;y= − . Do ®ã MN//mp(DA1C1) 2 ⎧ x1 = x2 ⎪ Chó ý: NÕu a, b, c lµ 3 vÐc t¬ kh«ng ®ång ph¼ng tho¶ m·n : x1 a + y1 b + z1 c = x2 a + y2 b + z2 c th×: ⎨ y1 = y2 . ⎪z = z ⎩ 1 2 3).Hai mÆt ph¼ng song song. §Ó chøng minh 2 mÆt ph¼ng (P)//(Q), ta lÊy trªn (P) 2 vÐc t¬ a, b , vµ trªn (Q) 2 vÐc ( ) ( ) t¬ x, y . Sau ®ã chøng minh c¸c bé 3 vÐc t¬ a, x, y ; b, x, y lµ ®ång ph¼ng. VD13. Cho l¨ng trô tam gi¸c ABC.A1B1C1. Gäi M, N lÇn l−ît lµ trung ®iÓm AA1 vµ CC1; G lµ träng t©m B cña tam gi¸c A1B1C1. Chøng minh r»ng mp(MGC1)//mp(AB1N). B B1 G1 A1 C1 Chän hÖ vÐc t¬ c¬ së: {A, AA1 = a, AB = b, AC = c } (H.10) N Ta cÇn chøng minh tån t¹i x,y,x1,y1 sao cho: M ⎧ MG = x AB1 + y AN ⎪ B ⎨ ⎪ MC1 = x1 AB1 + y1 AN ⎩ A C TÝnh to¸n ta cã: 1 1 1 ⎛ 1 ⎞ 1 MG = a + b + c = ⎜ x + y ⎟ a + xb + yc ⇒ x = y = . T−¬ng tù ⇒ x1 = 0; y1 = 1 , suy ra ®pcm. 2 3 3 ⎝ 2 ⎠ 3 Bμi tËp tù gi¶i : 1).Cho h×nh hép ABCD.A1B1C1D1. Gi¶ sö E lµ t©m cña mÆt ABB1A1; N, I lÇn l−ît lµ trung ®iÓm cña CC1 vµ CD . Chøng minh EN//AI. 2). Cho l¨ng trô tam gi¸c ABC.A1B1C1 . Gi¶ sö M,N lÇn l−ît lµ träng t©m cña c¸c tam gi¸c ABA1 vµ ABC . Chøng minh r»ng MN//mp(AA1C1). 3). Cho l¨ng trô tam gi¸c ABC.A1B1C1 . Gi¶ sö M,N,E lÇn l−ît lµ trung ®iÓm c¸c c¹nh BB1, CC1 , AA1 ; G lµ träng t©m tam gi¸c A1B1C1 . Chøng minh: a). mp(MGC1)//mp(BA1N) b). mp(A1GN)//mp(B1CE). 4). Cho h×nh chãp S.ABCD ®¸y lµ h×nh b×nh hµnh t©m O. Gäi M,N lÇn l−ît lµ trung ®iÓm cña SA ,SD. a). Chøng minh: mp(OMN)//(SBC). b). Gäi P vµ Q lµ trung ®iÓm cña AB vµ ON . Chøng minh : PQ//mp(SBC). ------------------------------------------------------------------------------------ 12
  13. D¹ng 6: bèn ®iÓm hay ba vÐc t¬ ®ång ph¼ng. + Cho ba vÐc t¬ a, b, c trong ®ã a vµ b kh«ng cïng ph−¬ng. Khi ®ã ba vÐc t¬ a, b, c ®ång ph¼ng nÕu vµ chØ nÕu cã c¸c sè k vµ l sao cho: c = ka + lb . + Bèn ®iÓm A,B,C,D cïng thuéc mét mÆt ph¼ng khi vµ chØ khi tån t¹i c¸c sè thùc α , β sao cho: OA = α OB + β OC + (1 − α − β ) OD ,∀ ®iÓm O. VD14. Chøng minh r»ng ba vÐc t¬ x, y, z x¸c ®Þnh bëi c¸c biÓu thøc sau ®ång ph¼ng : x = a − b; y = c − a; z = −2a + b + c . Víi a, b, c lµ ba vÐc t¬ cho tr−íc kh«ng ®ång ph¼ng. ( ) HD: Ta cã : y − x = c − a − a − b = −2a + b + c = z . Suy ra c¸c vÐc t¬ x, y, z ®ång ph¼ng. VD15. Cho tø diÖn ABCD vµ c¸c ®iÓm I, K, E, F lµ c¸c ®iÓm tho¶ m·n : 2 IB + IA = 0 ; 2 KC + KD = 0 ; 2 EB + 3EC = 0 ;2 FA + 3FD = 0 . Chøng minh r»ng: a). C¸c vÐc t¬ BC , IK , AD ®ång ph¼ng. b). C¸c vÐc t¬ BA, EF , CD ®ång ph¼ng. c). Bèn ®iÓm I, E, K, F cïng thuéc mét mÆt ph¼ng. { } HD: Chän hÖ A, AB = x, AC = y, AD = z lµm c¬ së. 2 2 2 1 2 1 Theo gi¶ thiÕt ta cã : 2 IB + IA = 0 ⇒ AI = AB = x ; 2 KC + KD = 0 ⇒ AK = AC + AD = y + z ; 3 3 3 3 3 3 2 3 2 3 3 3 2 EB + 3EC = 0 ⇒ AE = AB + AC = x + y ; 2 FA + 3FD = 0 ⇒ AF = AD = z 5 5 5 5 5 5 Ta cÇn chøng minh tån t¹i α , β sao cho: AI = α AE + β AK + (1 − α − β ) AF (1) Thay c¸c biÓu thøc vÐct¬ trªn vµo (1), ta cã : 2 ⎛2 3 ⎞ ⎛2 1 ⎞ 3 x = α ⎜ x + y ⎟ + β ⎜ y + z ⎟ + (1 − α − β ) z . ¸p dông (A-II-12) ta t×m ®−îc α , β . 3 ⎝5 5 ⎠ ⎝3 3 ⎠ 5 VD16. Cho tø diÖn ABCD . Gäi M,N lµ trung ®iÓm AB vµ CD ; P, Q lµ hai ®iÓm theo thø tù thuéc hai c¹nh PA QB AC, BD sao cho: = . Chøng minh r»ng 4 ®iÓm M, N ,P,Q cïng thuéc mét mÆt ph¼ng. PC QD PA QB AP BQ A §Æt = ⇒ = := k . Do P, Q thuéc c¹nh AC, BD nªn: PC QD AC BD AP = k AC (1) P ⇒ BQ = k BD (2) (H.11) M Bèn ®iÓm M,N,P,Q cïng thuéc mét mÆt ph¼ng khi vµ chØ khi tån t¹i c¸c sè thùc α , β sao cho: B AQ = α AM + β AN + (1 − α − β ) AP .(3) Q BiÓu diÔn c¸c vÐc t¬ AQ, AP, AM , AN theo c¬ së D råi thay vµo (3) suy ra : α = 2 (1 − k ) ; β = 2k ⇒ ®pcm N C 13
  14. Bμi tËp tù gi¶i : 1). Cho h×nh lËp ph−¬ng ABCD.A1B1C1D1 . C¸c ®iÓm M,N lÇn l−ît thuéc c¸c c¹nh AD, BB1 sao cho AM=BN. Chøng minh r»ng ba vÐc t¬ MN , AB, B1D ®ång ph¼ng. 2). Cho hai h×nh b×nh hµnh ABCD vµ A1B1C1D1 kh«ng cïng thuéc mét mÆt ph¼ng . Chøng minh r»ng c¸c vÐc t¬ BB1 , CC1 , DD1 ®ång ph¼ng. 3). Cho tø diÖn ABCD . Gäi A’,B’,C’,D’ lÇn l−ît lµ c¸c ®iÓm chia ®o¹n th¼ng AB, BC, CD, DA theo cïng tØ sè k, tøc lµ : A ' A B ' B C 'C D ' D = = = =k. A ' B B 'C C ' D D ' A Víi gi¸ trÞ nµo cña k th× 4 ®iÓm A’ , B’, C’, D’ ®ång ph¼ng. 4).(Bµi tËp 7-Tr60-SGK12) Cho tø diÖn ABCD ; P,Q lÇn l−ît lµ trung ®iÓm cña AB vµ CD . Hai ®iÓm M,N lÇn l−ît chia hai ®o¹n th¼ng BC vµ AD theo cïng tØ sè k. Chøng minh r»ng bèn ®iÓm P, Q, M, N n»m trªn cïng mét mÆt ph¼ng. -------------------------------------------------------------------------------------- D¹ng 7: chøng minh ®¼ng thøc ®é dμi, tÝnh ®é dμi ®o¹n th¼ng. 1⎡ ( a +b −a −b ⎤ ) 2 2 2 + a.b = 2⎣⎢ ⎥ ⎦ ( + a.b = − ⎡ a − b − a − b ⎤ 1 ) 2 2 2 2⎣⎢ ⎥ ⎦ ( + a.b = ⎡ a + b − a − b ⎤ 1 ) ( ) 2 2 4⎢⎣ ⎥ ⎦ VD17. C¸c c¹nh AB vµ CD cña tø tø diÖn ABCD vu«ng gãc víi nhau. Chøng minh r»ng : AC 2 − AD 2 = BC 2 − BD 2 { Chän hÖ vÐc t¬ c¬ së: A, AB, AC , AD . Ta cã: } ( ) 2 2 2 BC = AC − AB ⇒ BC 2 = AC − AB = AC − 2 AC. AB + AB (1) = ( AD − AB ) 2 2 2 BD = AD − AB ⇒ BD 2 = AD − 2 AD. AB + AB (2) ( ) Tõ (1),(2) ⇒ BC 2 − BD 2 = AC 2 − AD 2 + 2 AB AD − AC = AC 2 − AD 2 + 2 AB.CD = AC 2 − AD 2 ,®pcm. VD18.(§Ò thi HSG TØnh11).Cho h×nh chãp SABCD . §¸y ABCD lµ h×nh b×nh hµnh . Mét mÆt ph¼ng (P) SA SC SB SD c¾t SA, SB,SC,SD theo thø tù t¹i K,L,M,N . Chøng minh r»ng : + = + . SK SM SL SN S Chän hÖ vÐc t¬ c¬ së: (H.12) K N {S , SA = a, SB = b, SC = c} . M L D A C 14 B
  15. SK SL SM SN §Æt : = x, = y, = z, = t. SA SB SC SD ( ) Tõ ®ã ta cã : SK = xa, SL = yb, SM = z b + c − a , SN = tc . V× K,L,M,N ®ång ph¼ng nªn: ∃α , β , γ ∈ R : SM = α SK + β SL + γ SN (α + β + γ = 1) . ⎧ z ⎪α = − x ⎧α x = − z ⎪ ( ) ⎪ ⎪ Tõ ®ã suy ra: z b + c − a = α xa + β yb + γ tc ⇔ ⎨ β y = z ⇔ ⎨ β = z y mµ: α + β + γ = 1 , nªn ta cã: ⎪ γt = z ⎪ ⎩ ⎪ z ⎪γ= ⎩ t z z z 1 1 1 1 SA SC SB SD − + + =1⇒ + = + ⇒ + = + . ®pcm. x y t z x y t SK SM SL SN 2 §Ó tÝnh ®é dµi ®o¹n th¼ng AB, ta biÓu diÔn vÐc t¬ AB theo c¬ së sau ®ã tÝnh: AB VD19. Cho tø diÖn ®Òu ABCD c¹nh a. E lµ trung ®iÓm c¹nh CD, F lµ trung ®iÓm ®−êng cao BL cña mÆt ABD. C¸c ®iÓm M,N lÇn l−ît thuéc c¸c ®−êng th¼ng AD vµ BC. BiÕt r»ng ®−êng th¼ng MN c¾t ®−êng th¼ng EF vµ MN vu«ng gãc víi EF . TÝnh ®é dµi ®o¹n th¼ng MN. A { Chän hÖ vÐc t¬ c¬ së: B, BA = a, BC = c, BD = d } Theo gi¶ thiÕt: (H.13) ⎧ MN ⊥ EF ⇒ MN.EF = 0 ⎪ ⎨ ⎪ M, N, E, F ®ång ph¼ng ⇒ BE = α BF + β BN + (1 − α − β ) BM (1) ⎩ L F M B V× M,N thuéc BC,AD ta cã thÓ gi¶ sö C N + BM = k BC = kc ;BN = lBA + (1 − l ) BD ( ) ( ) E 1 1 + BE = BC + BD = c + d 2 2 D 1 2 ( ) 1 2 1 + BL = BA + BD ⇒ BF = BL = a + d 4 ( ) + MN = BN − BM = la + (1 − l ) d − kc 1 1 1 ⎛ π 1 2⎞ + EF = BF − BE = a− c− d. ⎜ ac = ad = cd = a cos 3 = 2 a ⎟ 2 4 2 4 ⎝ ⎠ 1 2 * MN.EF = 0 ⇒ a ( 4 k − 2l − 3 ) = 0 ⇒ 2l = 3 − 4 k (2) 8 * Tõ (1) suy ra : 1 2 ( ) 1 ( ) c + d = α a + d + β ⎡la + (1 − l ) d ⎤ + (1 − α − β ) kc 4 ⎣ ⎦ 1 1 1 1 ⇒ α + l β = 0 vµ = α + (1 − l ) vµ β = (1 − α − β ) k 4 2 4 2 15
  16. 1 2 ⇒ 1 − 2l = k (3). Tõ (2) vµ (3) suy ra: l = ; k = ⇒ 6 MN = a + 5d − 4c 6 3 ( ) 65 2 130 2 ⇒ 36 MN 2 = a + 5d − 4c = a ⇒ MN = a. 2 12 Bμi tËp tù gi¶i : 1).Cho tø diÖn ABCD cã AB=CD=c , BC=DA=a, CA=BD=b. Chøng minh r»ng ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó c¸c trung tuyÕn cña tø diÖn (®t kÎ tõ ®Ønh xuèng träng t©m mÆt ®èi diÖn) AA1 vµ CC1 vu«ng gãc víi nhau lµ: a2+c2=3b2. 2).(Bµi tËp 5-Tr78-SGK11). Cho h×nh hép ch÷ nhËt ABCD.A’B’C’D’ cã AB=a, BC=b, CC’=c. Chøng minh r»ng c¸c ®−êng chÐo cña h×nh hép ®ã b»ng nhau vµ b»ng a2 + b2 + c 2 . 3). Cho h×nh lËp ph−¬ng ABCD.A’B’C’D’ c¹nh a. Gäi P vµ Q lµ c¸c ®iÓm x¸c ®Þnh bëi: AP = D ' A, C ' Q = DC ' . TÝnh ®é dµi PQ . 4). Cho tø diÖn ABCD. C¸c ®iÓm M,N lÇn l−ît lµ trung ®iÓm c¸c c¹nh AB,CD. C¸c ®iÓm P,Q thuéc c¸c c¹nh PA QB AC,BD sao cho: = k . BiÕt r»ng MN c¾t PQ . TÝnh tØ sè . PC QD 5).(§Ò thi HSG TØnh 12 n¨m 1999-2000) . Cho tø diÖn SABC, trªn c¸c c¹nh SA,SB,SC lÇn l−ît lÊy c¸c ®iÓm D,E,F. BiÕt r»ng c¸c mÆt ph¼ng (ABF),(BCD),(ACE) c¾t nhau t¹i M vµ ®−êng th¼ng SM c¾t mÆt ph¼ng (DEF) t¹i NP MP N, c¾t mÆt ph¼ng (ABC) t¹i P. Chøng minh : =3 . NS MS ------------------------------------------------------------------------------------- D¹ng 7: kho¶ng c¸ch. 1). Kho¶ng c¸ch tõ mét ®iÓm tíi mét ®−êng th¼ng. §Ó tÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a ®iÓm M vµ ®−êng th¼ng d, ta lÊy trªn d hai ®iÓm A,B vµ thùc hiÖn c¸c b−íc sau: ⎧ MN ⊥ AB ⎧ ⎪ MN. AB = 0 +B1: Gi¶ sö N lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña M trªn d ⇒ ⎨ ⇒⎨ . ⎩N, A, B th¼ng hµng ⎪ON = α OA + (1 − α ) OB ⎩ +B2: Thùc hiÖn c¸c phÐp biÕn ®æi vÒ hÖ vÐc t¬ c¬ së (gèc O lµ gèc cña hÖ c¬ së) ⇒ MN = ? 2 +B3: TÝnh MN = MN VD20.(Bµi tËp 1-Tr85-SGK11). Cho h×nh lËp ph−¬ng ABCD.A’B’C’D’ c¹nh a. Chøng minh r»ng kho¶ng c¸ch tõ c¸c ®iÓm B, C, D, A’, B’, D’ tíi ®−êng chÐo AC’ b»ng nhau. TÝnh kho¶ng c¸ch ®ã. A B D C (H.14) Chän hÖ vÐc t¬ c¬ së: A’ {B, BA = a, BB ' = b, BC = c} B’ Gi¶ sö H lµ h×nh chiÕu cña B lªn AC’. D’ C’ 16
  17. Suy ra: AC ' = BC ' − BA = b + c − a .Do BH ⊥ AC ' ⇒ BH .AC ' = 0 ( )( (Chó ý: a.b = a.c = b.c = 0 ). Do ®ã ta cã: ⎡α a + (1 − α ) b + c ⎤ b + c − a = 0 ⇒ a 2 ( 2 − 3α ) = 0 ⇒ α = ⎣ ⎦ 2 3 ) 2 a 6 Hay 3 BH = 2 a − b − c ⇒ 9 BH = 6 a 2 ⇒ BH = . 3 B×nh luËn: MÆc dï bµi tËp lµ kh«ng khã , tuy nhiªn chóng ta thÊy ®−îc râ lîi thÕ cña ph−¬ng ph¸p vÐc t¬ lµ ta kh«ng cÇn x¸c ®Þnh râ rµng vÞ trÝ cña ®iÓm H trªn h×nh vÏ. 2). Kho¶ng c¸ch tõ mét ®iÓm tíi mét mÆt ph¼ng. §Ó tÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a ®iÓm M vµ mÆt ph¼ng (ABC) nµo ®ã, ta gäi H lµ h×nh chiÕu cña M trªn (ABC). +B1: Suy ra ®¼ng thøc vÐc t¬ dùa vµo sù ®ång ph¼ng cña: A,B,C,H.(NÕu chän gèc trïng víi A,B,C viÖc tÝnh to¸n sÏ dÔ dµng h¬n). +B2: Dùa vµo sù vu«ng gãc cña MH víi mp(ABC) ®Ó t×m c¸c yÕu tè biÓu diÔn HM qua c¬ së. 2 +B3: TÝnh HM ⇒ HM . VD21. Cho h×nh hép ch÷ nhËt ABCD.A’B’C’D’ cã AB=a; BC=b; CC’=c. TÝnh kho¶ng c¸ch tõ B tíi mp(DA’C’). A B D C (H.15) A’ B’ D’ C’ { } Chän hÖ vÐc t¬: B, BA = a, BB ' = b, BC = c . Gäi H lµ h×nh chiÕu cña B trªn mp(DC’A’). Do H, D, C’, A’ ®ång ph¼ng nªn: BH = α BD + β BC ' + (1 − α − β ) BA ' = α a + c + β c + b + (1 − α − β ) a . L¹i ( ) ( ) cã: ( ) ( ) + DC ' = BC ' − BD = b + c − c + a = b − a . + DA ' = BA ' − BD = ( a + b ) − ( a + c ) = b − c . (Chó ý: a.b = a.c = b.c = 0 ). Do BH .DC ' = 0, BH.DA ' = 0 nªn ta cã hÖ: ⎧ a2 β= 2 2 ⎧ ⎡(1 − β ) a + β b + (α + β ) c ⎤ b − a = 0 ⎪⎣ ⎦ ⎪ ⎪ ⇒⎨ ( a +b ) ⇒ BH = 2 b2 a+ 2 a2 b+ 2 2 a 2b 2 ⎨ a 2 ( b2 − c 2 ) c ⎪⎣⎡(1 − β ) a + β b + (α + β ) c ⎤ b − c = 0 ( ⎪α = ) a + b2 a + b2 c ( a + b2 ) ⎩ ⎦ ⎪ ⎩ c 2 ( a 2 + b2 ) BH = 2 a 2b 4 + a 4b 2 + a 4b 4 ⇒ BH = ab ( c 2b 2 + c 2 a 2 + a 2 b 2 ). (a + b2 ) (a + b2 ) c2 ( a 2 + b2 ) c ( a 2 + b2 ) 2 2 2 2 2 17
  18. 3). Kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®−êng th¼ng chÐo nhau. * Chó ý: §iÓm M ∈ AB ⇒ ∃α ∈ R : OM = α OA + (1 − α ) OB . §Ó tÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®−êng th¼ng chÐo nhau ta thùc hiÖn c¸c b−íc sau: +B1: Gäi HK lµ ®−êng vu«ng gãc chung , biÕn ®æi HK theo c¬ së.(cã chøa tham biÕn) +B2: Dùa vµo tÝnh chÊt vu«ng gãc cña HK víi 2 ®−êng th¼ng thiÕt lËp hÖ pt. 2 +B3: Gi¶i hÖ pt, t×m biÓu thøc vÐc t¬ theo c¬ së cña HK , ¸p dông: HK = HK VD22(VÝ dô 2-Tr84-SGK11). Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh vu«ng c¹nh b»ng a, SA vu«ng gãc víi ®¸y vµ SA=a. TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®−êng th¼ng : a). SC vµ BD. b). AC vµ SD. { Chän hÖ vÐc t¬ c¬ së: A, AS = s, AD = d , AB = b } Gi¶ sö HK lµ ®−êng vu«ng gãc chung cña SC vµ BD ( H ∈ SC , K ∈ BD ) S ( Do H ∈ SC ⇒ AH = α AC + (1 − α ) AS = α b + d + (1 − α ) s ) K ∈ BD ⇒ AK = β AB + (1 − β ) AD = β b + (1 − β ) d (H.16) H ⇒ HK = AK − AH = ( −α + β ) b − (1 − α ) s − (α + β − 1) d . L¹i cã: A B SC = b + d − s ; BD = d − b K Chó ý: c.s = c.d = s.d = 0 . D C ⎧ 2 ⎧ HK .SC = 0 ⎪α = 3 ⎪ Do HK lµ ®−êng vu«ng gãc chung nªn: ⎨ ⎪ ⇒⎨ ⇒ 6 HK = − b + 2s + d ( ) ⎪ HK .BD = 0 ⎩ ⎪β = 1 ⎪ ⎩ 2 2 a 6 ⇒ 36 HK = 6a 2 ⇒ HK = . 6 T−¬ng tù hs gi¶i c©u b). Bμi tËp tù gi¶i : 1). Gi¶i c¸c bµi tËp (2->8)-Tr86-SGK11. 2).Cho h×nh chãp S.ABC ®¸y ABC lµ tam gi¸c vu«ng ë C, c¹nh SA vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng ®¸y , AC=a; BC=b, SA=h. Gäi M vµ N lÇn l−ît lµ trung ®iÓm cña c¸c c¹nh AC vµ SB. a). TÝnh ®é dµi MN. b). T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a a,b,h ®Ó MN lµ ®−êng vu«ng gãc chung cña AC vµ SB. 3). Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y ABCD lµ nöa lôc gi¸c ®Òu néi tiÕp trong ®−êng trßn ®−êng kÝnh AD=2a vµ cã c¹nh SA vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng ®¸y (ABCD) víi SA= a 6 . a). TÝnh c¸c kho¶ng c¸ch tõ A vµ B ®Õn mp(SCD). b). TÝnh kho¶ng c¸ch tõ ®−êng th¼ng AD ®Õn mÆt ph¼ng (SBC). ---------------------------------------------------------------------------- 18
  19. D¹ng 7: Gãc gi÷a ®−êng th¼ng ,mÆt ph¼ng vμ mÆt ph¼ng. 1).Gãc gi÷a ®−êng th¼ng vµ mÆt ph¼ng. M +B1: Gäi N lµ h×nh chiÕu cña M trªn (P) +B2: BiÓu diÔn c¸c vÐc t¬ : AM , AN, a, b theo c¬ së +B3: MN ⊥ a; MN ⊥ b , suy ra c¸c ®¼ng thøc vÐc t¬ P) ( ) +B4: T×m gãc AM , AN . KÕt luËn b A M N a VD23.Cho l¨ng trô ®øng tam gi¸c ABC.A1B1C1 : BC=a, AC=b, AB=c, AA1=h . TÝnh cosin gãc gi÷a A C B A1 C1 B1 19