Xem mẫu
- Nguy n Phú Khánh -ðàsL t
Tính ñơn ñi u c a hàm Các v n ñ liên quan Hàm s l p 12
TÍNH ðƠN ðI U C A HÀM S
TÓM T T LÝ THUY T
1. ð nh nghĩa :
Gi s K là m t kho ng , m t ño n ho c m t n a kho ng . Hàm s f xác ñ nh trên K ñư c g i là
( ) ( )
• ð ng bi n trên K n u v i m i x 1, x 2 ∈ K , x 1 < x 2 ⇒ f x 1 < f x 2
• Ngh ch bi n trên K n u v i m i x 1, x 2 ∈ K , x 1 < x 2 ⇒ f ( x ) > f (x )
1 2
2. ði u ki n c n ñ hàm s ñơn ñi u :
Gi s hàm s f có ñ o hàm trên kho ng I
( )
• N u hàm s f ñ ng bi n trên kho ng I thì f ' x ≥ 0 v i m i x ∈ I
• N u hàm s f ngh ch bi n trên kho ng I thì f ' ( x ) ≤ 0 v i m i x ∈I
3. ði u ki n ñ ñ hàm s ñơn ñi u :
ð nh lý 1 : ð nh lý v giá tr trung bình c a phép vi phân (ð nh lý Lagrange):
( )
N u hàm s f liên t c trên a;b và có ñ o hàm trên kho ng a;b thì t n t i ít nh t m t ñi m c ∈ a;b
( )
() () ( )(
sao cho f b − f a = f ' c b − a )
ð nh lý 2 :
Gi s I là m t kho ng ho c n a kho ng ho c m t ño n , f là hàm s liên t c trên I và có ñ o hàm t i
m i ñi m trong c a I ( t c là ñi m thu c I nhưng không ph i ñ u mút c a I ) .Khi ñó :
( )
• N u f ' x > 0 v i m i x ∈ I thì hàm s f ñ ng bi n trên kho ng I
• N u f ' (x ) < 0 v i m i x ∈ I thì hàm s f ngh ch bi n trên kho ng I
• N u f ' (x ) = 0 v i m i x ∈ I thì hàm s f không ñ i trên kho ng I
Chú ý :
( ) ( )
• N u hàm s f liên t c trên a;b và có ñ o hàm f ' x > 0 trên kho ng a;b thì hàm s f ñ ng bi n
trên a;b
( ) ( )
• N u hàm s f liên t c trên a;b và có ñ o hàm f ' x < 0 trên kho ng a;b thì hàm s f ngh ch
bi n trên a;b
5
- Nguy n Phú Khánh -ðàsL t
Tính ñơn ñi u c a hàm Các v n ñ liên quan Hàm s l p 12
CÁC BÀI TOÁN CƠ B N
Ví d 1:
Xét chi u bi n thiên c a các hàm s :
1
( )
a ) f x = x 3 − 3x 2 + 8x − 2
3
x 2 − 2x
b) f x =( ) x −1
( )
c) f x = x 3 + 3x 2 + 3x + 2
1 3 1 2
d) f x = ( ) 3
x − x − 2x + 2
2
Gi i :
1 3
a) f x =( )
3
x − 3x 2 + 8x − 2
Hàm s ñã cho xác ñ nh trên ℝ .
( )
Ta có f ' x = x 2 − 6x + 8
( )
f ' x = 0 ⇔ x = 2, x = 4
Chi u bi n thiên c a hàm s ñư c nêu trong b ng sau :
x −∞ 2 4 +∞
( )
f' x + 0 − 0 +
f (x ) +∞
−∞
( ) ( )
V y hàm s ñ ng bi n trên m i kho ng −∞;2 và 4; +∞ , ngh ch bi n trên kho ng 2; 4 ( )
x 2 − 2x
( )
b) f x =
x −1
Hàm s ñã cho xác ñ nh trên t p h p ℝ \ 1 . {}
(x − 1) + 1 > 0, x ≠ 1
2
x 2 − 2x + 2
Ta có f ' x = ( ) =
( x − 1) ( x − 1)
2 2
Chi u bi n thiên c a hàm s ñư c nêu trong b ng sau :
x −∞ 1 +∞
( )
f' x + +
+∞ +∞
( )
f x
−∞ −∞
6
- Nguy n Phú Khánh -ðàsL t
Tính ñơn ñi u c a hàm Các v n ñ liên quan Hàm s l p 12
V y hàm s ñ ng bi n trên m i kho ng −∞;1 và 1; +∞ ( ) ( )
( )
c) f x = x 3 + 3x 2 + 3x + 2
Hàm s ñã cho xác ñ nh trên ℝ .
( ) ( )
2
Ta có f ' x = 3x 2 = 6x + 3 = 3 x + 1
( ) ( )
f ' x = 0 ⇔ x = −1 và f ' x > 0 v i m i x ≠ −1
( )
Vì hàm s ñ ng bi n trên m i n a kho ng −∞; −1 và −1; +∞ nên hàm s ñ ng bi n trên ℝ .
Ho c ta có th dùng b ng bi n thiên c a hàm s :
x −∞ −1 +∞
( )
f' x + 0 +
f (x ) +∞
1
−∞
( )
Vì hàm s ñ ng bi n trên m i n a kho ng −∞; −1 và −1; +∞ nên hàm s ñ ng bi n trên ℝ .
1 1
( )
d ) f x = x 3 − x 2 − 2x + 2 Tương t bài a )
3 2
Ví d 2:
Xét chi u bi n thiên c a các hàm s :
( )
a ) f x = 2x 3 + 3x 2 + 1
b) f (x ) = x 4
− 2x 2 − 5
4 2
( )
c) f x = − x 3 + 6x 2 − 9x −
3 3
d) f (x ) = 2x − x 2
Gi i :
( )
a ) f x = 2x 3 + 3x 2 + 1
Hàm s ñã cho xác ñ nh trên ℝ .
( )
Ta có f ' x = 6x 2 + 6x
( ) ( )( ) ( ) (
f ' x > 0, x ∈ −∞; −1 , 0; +∞ ⇒ f x ñ ng bi n trên m i kho ng −∞; −1 và 0; +∞ . ) ( )
f ' ( x ) < 0, x ∈ ( −1; 0 ) ⇒ f ( x ) ngh ch bi n trên kho ng ( −1; 0 ) .
Ngoài ra : H c sinh có th gi i f ' ( x ) = 0 , tìm ra hai nghi m x = −1, x = 0 , k b ng bi n thiên r i k t
lu n.
7
- Nguy n Phú Khánh -ðàsL t
Tính ñơn ñi u c a hàm Các v n ñ liên quan Hàm s l p 12
( )
b ) f x = x 4 − 2x 2 − 5
Hàm s ñã cho xác ñ nh trên ℝ .
( )
Ta có f ' x = 4x 3 − 4x
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
f ' x > 0, x ∈ −1; 0 , 1; +∞ ⇒ f x ñ ng bi n trên m i kho ng −1; 0 và 1; +∞ .
f ' ( x ) < 0, x ∈ ( −∞; −1) , ( 0;1) ⇒ f ( x ) ngh ch bi n trên m i kho ng ( −∞; −1) và ( 0;1) .
Ngoài ra : H c sinh có th gi i f ' ( x ) = 0 , tìm ra hai nghi m x = −1, x = 0, x = 1 , k b ng bi n thiên r i
k t lu n.
4 2
( )
c) f x = − x 3 + 6x 2 − 9x −
3 3
Hàm s ñã cho xác ñ nh trên ℝ .
( ) ( )
2
Ta có f ' x = −4x 2 + 12x − 9 = − 2x − 3
3 3
( )
f' x =0⇔x =
2
( )
và f ' x < 0 v i m i x ≠
2
3 3
Vì hàm s ngh ch bi n trên m i n a kho ng −∞; và ; +∞ nên hàm s ngh ch bi n trên ℝ .
2 2
( )
d ) f x = 2x − x 2
Hàm s ñã cho xác ñ nh trên 0;2 .
1−x
( )
Ta có f ' x = , x ∈ 0;2 ( )
2x − x 2
( ) ( ) ( )
f ' x > 0, x ∈ 0;1 ⇒ f x ñ ng bi n trên kho ng ( 0;1)
f ' ( x ) < 0, x ∈ (1;2 ) ⇒ f ( x ) ngh ch bi n trên kho ng (1;2 )
Ho c có th trình bày :
( ) ( ) ( )
f ' x > 0, x ∈ 0;1 ⇒ f x ñ ng bi n trên ño n 0;1
f ' ( x ) < 0, x ∈ (1;2 ) ⇒ f ( x ) ngh ch bi n trên ño n 1;2
Ví d 3:
( )
Ch ng minh r ng hàm s f x = 4 − x 2 ngh ch bi n trên ño n 0;2
Gi i :
−x
D th y hàm s ñã cho liên t c trên ño n 0;2 và có ñ o hàm f ' x =
( )
- Nguy n Phú Khánh -ðàsL t
Tính ñơn ñi u c a hàm Các v n ñ liên quan Hàm s l p 12
Ví d 4:
( )
1. Ch ng minh r ng hàm s f x = x 3 + x − cos x − 4 ñ ng bi n trên ℝ .
2 . Ch ng minh r ng hàm s f ( x ) = cos 2x − 2x + 3 ngh ch bi n trên ℝ .
Gi i :
1.
Hàm s ñã cho xác ñ nh trên ℝ .
( )
Ta có f ' x = 3x 2 + 1 + sin x
Vì 3x 2 ≥ 0, x ∈ ℝ ( )
1 + sin x ≥ 0, x ∈ ℝ nên f ' x ≥ 0, x ∈ ℝ . Do ñó hàm s ñ ng bi n trên ℝ .
2 . Hàm s ñã cho xác ñ nh trên ℝ .
π
( ) ( ) ( )
Ta có f ' x = −2 sin 2x + 1 ≤ 0, ∀x ∈ ℝ và f ' x = 0 ⇔ sin 2x = −1 ⇔ x = −
4
+ kπ , k ∈ ℤ
π π
( )
Hàm s ngh ch bi n trên m i ño n − + k π ; − + k + 1 π , k ∈ ℤ . Do ñó hàm s ngh ch bi n trên
4 4
ℝ.
Ví d 5:
( )
Tìm kho ng ñơn ñi u c a hàm s f x = sin x trên kho ng 0;2π ( )
Gi i :
( )
Hàm s ñã cho xác ñ nh trên kho ng 0;2π và có ñ o hàm f ' x = cos x , x ∈ 0;2π . ( ) ( )
3π π
( ) (
f ' x = 0, x ∈ 0;2π ⇔ x = )2 2
,x =
Chi u bi n thiên c a hàm s ñư c nêu trong b ng sau :
π 3π
x 0 2π
2 2
( )
f' x + 0 − 0 +
f (x ) 1 0
0 −1
π 3π π 3π
Hàm s ñ ng bi n trên m i kho ng 0; và ;2π , ngh ch bi n trên kho ng ; .
2 2 2 2
9
- Nguy n Phú Khánh -ðàsL t
Tính ñơn ñi u c a hàm Các v n ñ liên quan Hàm s l p 12
Ví d 6:
π
Ch ng minh r ng : sin x + tan x > 2x , ∀x ∈ 0; .
2
Gi i :
π
( )
Xét hàm s f x = sin x + tan x − 2x liên t c trên n a kho ng 0; .Ta có :
2
1 1 π
( )
f ' x = cos x +
cos2 x
− 2 > cos2 x +
cos2 x
( )
− 2 > 0, ∀x ∈ 0; ⇒ f x là hàm s ñ ng bi n trên
2
π π π
( ) ()
0; và f x > f 0 , ∀x ∈ 0; hay sin x + tan x > 2x , ∀x ∈ 0; .
2 2 2
NG D NG ð O HÀM TRONG CÁC BÀI TOÁN ð I S
Ví d 1:
81
Gi i phương trình : 81sin x + cos x =
10 10
256
()
*
Gi i :
ð t t = sin x ; 0 ≤ t ≤ 1 .
2
81
()
Khi ñó phương trình * ⇔ 81t + (1 − t ) =
5 5
256
, t ∈ 0;1
Xét hàm s f (t ) = 81t + (1 − t ) liên t c trên ño n 0;1 , ta có:
5 5
f '(t ) = 5[81t 4 − (1 − t )4 ],t ∈ 0;1
81t 4 = (1 − t )4
1
f '(t ) = 0 ⇔ ⇔t =
t ∈ 0;1
4
81 1
L p b ng bi n thiên và t b ng bi n thiên ta có: f (t ) ≥ f ( ) =
256 4
1 1 1 π
V y phương trình có nghi m t = ⇔ sin 2 x = ⇔ cos 2x = ⇔ x = + k π (k ∈ Z ) .
4 4 2 6
10
- Nguy n Phú Khánh -ðàsL t
Tính ñơn ñi u c a hàm Các v n ñ liên quan Hàm s l p 12
Ví d 2:
Gi i phương trình :
1. 3x (2 + 9x 2 + 3) + (4x + 2)( 1 + x + x 2 + 1) = 0
2 π π
2. e tan x
+ cosx=2 ,x ∈ - ; .
2 2
3. 2003x + 2005x = 4006x + 2
4. 3x = 1 + x + log 3(1 + 2x )
Gi i :
1. 3x (2 + 9x 2 + 3) + (4x + 2)( 1 + x + x 2 + 1) = 0 (1)
Phương trình (1) ⇔ −3x (2 + ( ) (−3x )2 + 3) = (2x + 1)(2 + (2x + 1)2 + 3) (2)
ð t u = −3x , v = 2x + 1, u, v > 0
Phương trình (1) ⇔ u(2 + u 2 + 3) = v(2 + v 2 + 3) (3)
Xét hàm s f (t ) = 2t + t 4 + 3t 2 , t > 0
2t 3 + 3t
Ta có f '(t ) = 2 + () (
> 0, ∀t > 0 ⇒ f t ñ ng bi n trên kho ng 0; +∞ . )
t + 3t
4 2
1
Khi ñó phương trình (3) ⇔ f (u ) = f (v ) ⇔ u = v ⇔ −3x = 2x + 1 ⇔ x = −
5
1
V yx =− là nghi m duy nh t c a phương trình.
5
Chú ý :
( )
N u hàm s y = f x luôn ñơn ñi u nghiêm ngo c ( ho c luôn ñ ng bi n ho c luôn ngh ch bi n ) thì
( )
s nghi m c a phương trình : f x = k s không nhi u hơn m t và f x = f y ( ) () khi và ch khi
x =y.
2 π π
2. e tan x
+ cosx =2 ,x ∈ - ;
2 2
tan2 x π π
Xét hàm s : f (x ) = e + cosx liên t c trên kho ng x ∈ - ; . Ta có
2 2
11
- Nguy n Phú Khánh -ðàsL t
Tính ñơn ñi u c a hàm Các v n ñ liên quan Hàm s l p 12
tan2x
1 2
2e − cos3x
f '(x ) = 2 tan x . e tan x
− sin x = sin x
2
cos x cos3x
tan2 x
Vì 2e ≥ 2 > cos x > 0 3
Nên d u c a f '(x ) chính là d u c a sin x . T ñây ta có f (x ) ≥ f (0) = 2
V y phương trình ñã cho có nghi m duy nh t x = 0 .
3. 2003x + 2005x = 4006x + 2
x x
Xét hàm s : f (x ) = 2003 + 2005 − 4006x − 2
x x
Ta có: f '(x ) = 2003 ln 2003 + 2005 ln 2005 − 4006
f ''(x ) = 2003x ln2 2003 + 2005x ln2 2005 > 0 ∀x ⇒ f "(x ) = 0 vô nghi m
( ) ( )
f ' x = 0 có nhi u nh t là m t nghi m . Do ñó phương trình f x = 0 có nhi u nh t là hai nghi m
và f ( 0 ) = f (1) = 0 nên phương trình ñã cho có hai nghi m x = 0, x = 1
Chú ý :
( )
• N u hàm s y = f x luôn ñơn ñi u nghiêm ngo c ( ho c luôn ñ ng bi n ho c luôn ngh ch bi n )
( )
và hàm s y = g x luôn ñơn ñi u nghiêm ngo c ( ho c luôn ñ ng bi n ho c luôn ngh ch bi n ) trên
D , thì s nghi m trên D c a phương trình f x = g x ( ) ( ) không nhi u hơn m t.
( )
• N u hàm s y = f x ) có ñ o hàm ñ n c p n và phương trình f
(k )
(x ) = 0 có m nghi m, khi ñó
(k −1)
phương trình f (x ) = 0 có nhi u nh t là m + 1 nghi m
4. 3x = 1 + x + log 3(1 + 2x )
1
x >−
2
Phương trình cho
⇔ 3x + x = 1 + 2x + log3 (1 + 2x ) ⇔ 3x + log3 3x = 1 + 2x + log3 (1 + 2x ) * ()
Xét hàm s : f (t ) = t + log 3 t, t > 0 ta có f ' (t ) = 1 + > 0, t > 0 ⇒ f (t ) là hàm ñ ng bi n
1
t ln 3
kho ng ( 0; +∞ ) nên phương trình
(*) ⇔ f (3x ) = f (1 + 2x ) ⇔ 3x = 2x + 1 ⇔ 3x − 2x − 1 = 0 (* *)
x x x 2
Xét hàm s : f (x ) = 3 − 2x − 1 ⇒ f '(x ) = 3 ln 3 − 2 ⇒ f "(x ) = 3 ln 3 > 0
12
- Nguy n Phú Khánh -ðàsL t
Tính ñơn ñi u c a hàm Các v n ñ liên quan Hàm s l p 12
()
⇒ f (x ) = 0 có nhi u nh t là hai nghi m, và f (0) = f 1 = 0 nên phương trình ñã cho có hai
nghi m x = 0, x = 1 .
Ví d 3:
3 x −x 2 −1
Gi i phương trình : log 3 ( )1
x 2 − 3x + 2 + 2 +
5
()
=2 *
Gi i :
ði u ki n x 2 − 3x + 2 ≥ 0 ⇔ x ≤ 1 ∨ x ≥ 2
ð t u = x 2 − 3x + 2, u ≥ 0
1−u 2
1 1 2
() (
Phương trình * ⇔ log 3 u + 2 + ) ( )
= 2 ⇔ log 3 u + 2 + .5u = 2, u ≥ 0 * * ( )
5 5
1 2
( ) ( )
Xét hàm s : f u = log 3 u + 2 + .5u liên t c trên n a kho ng 0; +∞ , ta có :
)
5
1 1 2
f ' (u ) = ( )
+ 5u .ln 5.2u > 0, ∀u ≥ 0 ⇒ f u ñ ng bi n trên n a kho ng 0; +∞ và
(u + 2)ln 3 5
)
()
f 1 = 2 ⇒ u = 1 là nghi m phương trình * * . ( )
3− 5
x =
Khi ñó x 2 − 3x + 2 = 1 ⇔ x 2 − 3x + 1 = 0 ⇔ 2 tho ñi u ki n.
3+ 5
x =
2
Ví d 4:
Gi i h phương trình :
2x 3 4 y 4 (1)
1.
2y 3 4 x 4 (2)
x 3 + 2x = y ( 1 )
2. 3
y + 2y = x ( 2 )
x 3 − 3x = y 3 − 3y (1)
3.
x + y = 1
6 6
(2)
13
- Nguy n Phú Khánh -ðàsL t
Tính ñơn ñi u c a hàm Các v n ñ liên quan Hàm s l p 12
Gi i :
2x 3 4 y 4 (1)
1.
2y 3 4 x 4 (2)
3
− ≤ x ≤ 4
ði u ki n: 2
.
3
− ≤ x ≤ 4
2
Cách 1:
Tr (1) và (2) ta ñư c:
2x + 3 − 4 − x = 2y + 3 − 4 − y (3)
3
Xét hàm s f (t ) = 2t + 3 − 4 − t , t ∈ − ; 4 , ta có:
2
1 1 3
f / (x ) = + > 0, ∀t ∈ − ; 4 ⇒ (3) ⇔ f (x ) = f (y ) ⇔ x = y .
2t + 3 2 4 − t 2
Thay x = y vào (1) ,ta ñư c:
2x + 3 + 4 − x = 4 ⇔ x + 7 + 2 (2x + 3)(4 − x ) = 16
9 − x ≥ 0 x = 3
2
⇔ 2 −2x + 5x + 12 = 9 − x ⇔ 2 ⇔
9x − 38x + 33 = 0
x = 11
9
11
x = 3 x =
V y h phương trình có 2 nghi m phân bi t
,
9 .
y = 3
11
y =
9
Cách 2:
Tr (1) và (2) ta ñư c:
(2x + 3) − (2y + 3) (4 − y ) − (4 − x )
( 2x + 3 − 2y + 3 + ) ( )
4 −y − 4 −x = 0 ⇔
2x + 3 + 2y + 3
+
4 −y + 4−x
=0
2 1
= 0 ⇔ x = y.
⇔ (x − y )
+
2x + 3 + 2y + 3
4 −y + 4−x
Thay x = y vào (1) ,ta ñư c:
2x + 3 + 4 − x = 4 ⇔ x + 7 + 2 (2x + 3)(4 − x ) = 16
9 − x ≥ 0 x = 3
2
⇔ 2 −2x + 5x + 12 = 9 − x ⇔ 2 ⇔
9x − 38x + 33 = 0
x = 11
9
14
- Nguy n Phú Khánh -ðàsL t
Tính ñơn ñi u c a hàm Các v n ñ liên quan Hàm s l p 12
11
x = 3 x =
V y h phương trình có 2 nghi m phân bi t ,
9 .
y = 3
11
y =
9
3
x + 2x = y ( 1 )
2. 3
y + 2y = x ( 2 )
Cách 1 :
Xét hàm s f (t ) = t 3 + 2t ⇒ f / (t ) = 3t 2 + 2 > 0, ∀t ∈ ℝ .
f (x ) = y (1)
H phương trình tr thành .
f (y ) = x (2)
+ N u x > y ⇒ f (x ) > f (y ) ⇒ y > x (do (1) và (2) d n ñ n mâu thu n).
+ N u x < y ⇒ f (x ) < f (y ) ⇒ y < x (mâu thu n).
Suy ra x = y , th vào h ta ñư c x 3 + x = 0 ⇔ x ( x 2 + 1 ) = 0 ⇔ x = 0 vì x 2 + 1 > 0.
x = 0
V y h có nghi m duy nh t
.
y = 0
Cách 2:
Tr (1) và (2) ta ñư c:
x 3 − y 3 + 3x − 3y = 0 ⇔ (x − y )(x 2 + y 2 + xy + 3) = 0
2
y 3y 2
⇔ (x − y ) x + +
+ 3 = 0 ⇔ x = y
2 4
Th x = y vào (1) và (2) ta ñư c: x 3 + x = 0 ⇔ x ( x 2 + 1 ) = 0 ⇔ x = 0
x = 0
V y h phương trình có nghi m duy nh t
.
y = 0
x 3 − 3x = y 3 − 3y (1)
3.
x + y = 1
6 6
(2)
T (1) và (2) suy ra −1 ≤ x , y ≤ 1
(1) ⇔ f (x ) = f (y ) (*)
Xét hàm s f (t ) = t − 3t liên t c trên ño n [ −1;1] , ta có
3
()
f '(t ) = 3(t 2 − 1) ≤ 0 ∀t ∈ [ −1;1] ⇒ f t ngh ch bi n trên ño n [ −1;1]
1
Do ñó: (*) ⇔ x = y thay vào (2) ta ñư c nghi m c a h là: x = y = ± .
6
2
Ví d 5:
15
- Nguy n Phú Khánh -ðàsL t
Tính ñơn ñi u c a hàm Các v n ñ liên quan Hàm s l p 12
Gi i h phương trình :
x − 1 = y − 1
(1)
1. x y
2
2x − xy − 1 = 0 (2)
x − 1 = y − 1 (1)
2. x y
2y = x 3 + 1 (2)
Gi i :
x − 1 = y − 1
(1)
1. x y
2
2x − xy − 1 = 0 (2)
ði u ki n: x ≠ 0, y ≠ 0 . Ta có:
y = x
1 = 0 ⇔
(1) ⇔ (x − y ) 1 +
xy y = − 1 .
x
• y = x phương trình (2) ⇔ x 2 − 1 = 0 ⇔ x = ±1 .
1
• y = − phương trình (2) vô nghi m.
x
x = 1 x = −1
V y h phương trình có 2 nghi m phân bi t ;
.
y = 1 y = −1
Bình lu n:
x − 1 = y − 1
(1)
Cách gi i sau ñây sai: x y .
2
2x − xy − 1 = 0 (2)
ði u ki n: x ≠ 0, y ≠ 0 .
1 1
Xét hàm s f (t ) = t − , t ∈ ℝ \ {0} ⇒ f / (t ) = 1 + > 0, ∀t ∈ ℝ \ {0} .
t t2
Suy ra (1) ⇔ f (x ) = f (y ) ⇔ x = y !
Sai do hàm s f (t ) ñơn ñi u trên 2 kho ng r i nhau (c th f ( −1 ) = f ( 1 ) = 0 ).
1 1
x y (1)
2. x y
2y x3 1 (2)
Cách 1:
ði u ki n: x ≠ 0, y ≠ 0.
16
- Nguy n Phú Khánh -ðàsL t
Tính ñơn ñi u c a hàm Các v n ñ liên quan Hàm s l p 12
x −y 1 1
(1) ⇔ x − y + = 0 ⇔ (x − y ) 1 + = 0 ⇔ x = y ∨ y = − .
xy
xy x
−1 ± 5
• x = y phương trình (2) ⇔ x = 1 ∨ x = .
2
1
• y =− phương trình (2) ⇔ x 4 + x + 2 = 0.
x
−1
Xét hàm s f (x ) = x 4 + x + 2 ⇒ f / (x ) = 4x 3 + 1 = 0 ⇔ x = .
3
4
−1
3
f 3 = 2 − 3 > 0, lim = lim = +∞ ⇒ f (x ) > 0, ∀x ∈ ℝ ⇒ x 4 + x + 2 = 0
4
4 4 x →−∞ x →+∞
vô nghi m.
Cách 2:
ði u ki n: x ≠ 0, y ≠ 0.
x −y 1 1
(1) ⇔ x − y +
= 0 ⇔ (x − y ) 1 + = 0 ⇔ x = y ∨ y = − .
xy
xy x
−1 ± 5
• x = y phương trình (2) ⇔ x = 1 ∨ x = .
2
1
• y =− phương trình (2) ⇔ x 4 + x + 2 = 0.
x
• V i x < 1 ⇒ x + 2 > 0 ⇒ x4 + x + 2 > 0 .
• V i x ≥ 1 ⇒ x 4 ≥ x ≥ −x ⇒ x 4 + x + 2 > 0 .
Suy ra phương trình (2) vô nghi m.
−1 + 5 −1 − 5
x = 1 x =
x =
V y h phương trình có 3 nghi m phân bi t
∨ 2 ∨ 2 .
y = 1
y = −1 + 5 y = − 1 − 5
2
2
Ví d 6:
Gi i h phương trình:
x + x 2 − 2x + 2 = 3y −1 + 1
1. (x , y ∈ R)
x −1
y + y − 2y + 2 = 3 + 1
2
(1 + 42x −y )51−2x +y = 1 + 22x −y +1 (1)
2.
3 2
y + 4x + 1 + ln(y + 2x ) = 0 (2)
17
- Nguy n Phú Khánh -ðàsL t
Tính ñơn ñi u c a hàm Các v n ñ liên quan Hàm s l p 12
Gi i :
x + x 2 − 2x + 2 = 3y −1 + 1
1. (x , y ∈ R)
x −1
y + y − 2y + 2 = 3 + 1
2
ð t u = x − 1, v = y − 1
2 v
u + u + 1 = 3
(I ) vi t l i (II )
v + v 2 + 1 = 3u
( )
Xét hàm s : f x = x + x 2 + 1 liên t c ∀x ∈ ℝ , ta có
x2 + 1 + x x +x
()
f x =1+
2
x
=
2
>
2
( )
≥ 0, ∀x ∈ ℝ ⇒ f x ñ ng bi n ∀x ∈ ℝ .
x +1 x +1 x +1
( ) ()
N u u > u ⇒ f u > f v ⇒ 3v > 3u ⇒ v > u vô lý
Tương t n u v > u cũng d n ñ n vô lý
u + u 2 + 1 = 3u 1 = 3u ( u 2 + 1 − u ) (1)
Do ñó h ( )
II ⇔ ⇔
u = v
u = v
( )
ð t: g u = 3u ( u 2 + 1 − u ) liên t c ∀u ∈ R , ta có
u 1
g '(u ) = 3u ln 3( u 2 + 1 − u ) + 3u − 1 = 3u u 2 + 1 − u ln 3 − > 0, ∀u ∈ R
2 2
u +1 u +1
( ) ()
Do ñó g u ñ ng bi n ∀u ∈ R và g 0 = 1 ⇒ u = 0 là nghi m duy nh t c a 1 . ()
Nên ( II ) ⇔ u = v = 0 . V y (I ) ⇔ x = y = 1
(1 + 42x −y )51−2x +y = 1 + 22x −y +1 (1)
2.
3 2
y + 4x + 1 + ln(y + 2x ) = 0 (2)
1 4
ð t t = 2x − y . Khi ñó phương trình (1) tr thành: 5[( ) + ( ) ] = 1 + 2.2
5
t
5
t t
(* )
1 4
() t
Xét f t = 5[( ) + ( ) ] , g t = 1 + 2.2
5 5
t
() t
() 1t 4t ()
D th y : f t = 5[( ) + ( ) ] là hàm ngh ch bi n và g t = 1 + 2.2
5 5
t
là hàm ñ ng bi n
và f (1) = g (1) = 5 ⇒ t = 1 là m t nghi m c a ( * ) . Do ñó ( * ) có nghi m duy nh t t = 1 .
t = 1 ⇔ 2x − y = 1 ⇔ 2x = y + 1 khi ñó: (2) ⇔ y 3 + 2y + 3 + ln(y 2 + y + 1) = 0 ( * * )
18
- Nguy n Phú Khánh -ðàsL t
Tính ñơn ñi u c a hàm Các v n ñ liên quan Hàm s l p 12
3 2
Xét hàm s f (y ) = y + 2y + 3 + ln(y + y + 1) , ta có:
2 2y + 1 2 2y 2 + 4y + 3
f '(y ) = 3y + 2 + = 3y + > 0 ⇒ f (y ) là hàm ñ ng bi n
2 2
y +y +1 y +y +1
( )
và f (−1) = 0 nên * * có nghi m duy nh t y = −1
x = 0
V y nghi m c a h là: .
y = −1
Ví d 7:
x y
e = 2007 −
y 2 − 1 1 có ñúng 2 nghi m th a mãn ñi u ki n
Ch ng minh r ng h phương trình
x
()
e y = 2007 −
x2 − 1
x > 1, y > 1
Gi i :
()
ð t: f t = e t , g t = () t
(
liên t c trên kho ng 1, +∞ , ta có )
t2 − 1
() ()
f ' t = e t > 0, ∀t > 1 ⇒ f t ñ ng bi n trên kho ng 1, +∞ ( )
−1
g / (t ) = 3 ()
< 0, ∀t > 1 ⇒ g t ngh ch bi n trên kho ng 1, +∞ . ( )
(t − 1)
2 2
x y
e = 2007 −
H phương trình
2 ( )
y − 1 1 ⇔ f x + g y = 2007 ⇒ f x + g y = f y + g x
() () ( ) () () ( )
e y = 2007 − x f y + g x = 2007
() ( )
x2 − 1
( ) ()
N u x > y ⇒ f x > f y ⇒ g y < g x ⇒ y > x vô lý. () ( )
Tương t y > x cũng vô lý .
x y
e = 2007 −
x
x
Khi ñó y − 1 1 ⇔ e +
2 − 2007 = 0
() 2 ()
x x −1
2
e = 2007 −
y
x = y
x2 − 1
Xét hàm s : h x = e x +( ) x
− 2007 liên t c trên kho ng 1; +∞ , ta có ( )
x2 − 1
19
- Nguy n Phú Khánh -ðàsL t
Tính ñơn ñi u c a hàm Các v n ñ liên quan Hàm s l p 12
3 5
( ) 1
( ) ( ) (
3 2
) 3x
− −
h ' x = ex − 3
= ex − x 2 − 1 2
, h '' x = e x + x −1 2
.2x = e x + 5
>0
2
(x 2
−1 ) 2
(x 2
−1 ) 2
+
x →1
( )
và lim h x = +∞, lim h x = +∞
x →+∞
( )
V y h ( x ) liên t c và có ñ th là ñư ng cong lõm trên 1; +∞ . ( )
()
Do ñó ñ ch ng minh 2 có 2 nghi m l n hơn 1 ta ch c n ch ng minh t n t i x 0 > 1 mà h x 0 < 0 . ( )
2
()
Ch n x 0 = 2 : h 2 = e 2 + ( )
− 2007 < 0 ⇒ h x = 0 có ñúng hai nghi m x > 1
3
()
V y h phương trình 1 có ñúng 2 nghi m th a mãn ñi u ki n x > 1, y > 1 .
Ví d 8:
Gi i h phương trình sau:
2x
y =
1 − x2
2y
1. z =
1 − y2
2z
x = 1 − z 2
y 3 − 9x 2 + 27x − 27 = 0
2. z 3 − 9y 2 + 27y − 27 = 0
x 3 − 9z 2 + 27z − 27 = 0
Gi i :
2x
y =
1 − x2
2y
1. z =
1 − y2
2z
x =
1 − z2
Gi s x > y > z
Xét hàm s : f t = () 2t
1 − t2
,xác ñ nh trên D = ℝ \ ±1 .Ta có { }
2(t 2 + 1)
()
f t =
(1 − t 2 )2
()
> 0, ∀x ∈ D ⇒ f t luôn ñ ng bi n trên D .
20
- Nguy n Phú Khánh -ðàsL t
Tính ñơn ñi u c a hàm Các v n ñ liên quan Hàm s l p 12
( ) () ()
Do ñó : x > y > z ⇒ f x > f y > f z ⇒ y > z > x . Mâu thu n, do ñó ñi u gi s sai .
Tương t x < y < z không tho .
V yx =y =z
( ) (
H cho có nghi m : x ; y; z = 0; 0; 0 )
y 3 − 9x 2 + 27x − 27 = 0
2. z 3 − 9y 2 + 27y − 27 = 0
x 3 − 9z 2 + 27z − 27 = 0
y 3 − 9x 2 + 27x − 27 = 0 y 3 = 9x 2 + 27x − 27
3 3
z − 9y + 27y − 27 = 0 ⇔ z = 9y + 27y − 27
2 2
x 3 − 9z 2 + 27z − 27 = 0 x 3 = 9z 2 + 27z − 27
Xét hàm s ñ c trưng : f (t ) = 9t 2 − 27t + 27 ⇒ f '(t ) = 18t − 27
3
3 f '(t ) > 0, ∀t >
f '(t ) = 0 ⇔ 18t − 27 = 0 ⇔ t = ⇒ 2
2
()
f ' t < 0, ∀t < 3
2
3 3
Hàm s ñ ng bi n trên kho ng ; +∞ và ngh ch bi n trên kho ng −∞;
2 2
3 3 27
Hàm s ñ t giá tr nh nh t t i t = ⇒f =
2 2 4
3 3
x ≥ 3 >
27 27 27 3 3 4 2
Và f (t ) ≥ ⇔ 9x 2 − 27x + 27 ≥ ⇒ y3 ≥ ⇒y ≥ > ⇒
4 4 4 4 2 z ≥ 3 > 3
3
3
4 2
f (x ) = y
V y x , y, z thu c mi n ñ ng bi n, suy ra h phương trình f (y ) = z là h hoán v vòng quanh.
f (z ) = x
Không m t tính t ng quát gi s
x ≥ y ⇒ f (x ) ≥ f (y ) ⇒ y 3 ≥ z 3 ⇒ y ≥ z
⇒ f (y ) ≥ f (z ) ⇒ z 3 ≥ x 3 ⇒ z ≥ x
⇒x ≥y ≥z ≥x ⇒x =y =z
Thay vào h ta có: x 3 − 9x 2 + 27x − 27 = 0 ⇒ x = 3 .
Suy ra: x = y = z = 3
Ví d 9:
Gi i h phương trình :
x 3 + 3x − 3 + ln(x 2 − x + 1) = y
21
3 2
1. y + 3y − 3 + ln(y − y + 1) = z
- Nguy n Phú Khánh -ðàsL t
Tính ñơn ñi u c a hàm Các v n ñ liên quan Hàm s l p 12
Gi i :
x 3 + 3x − 3 + ln(x 2 − x + 1) = y
1. y 3 + 3y − 3 + ln(y 2 − y + 1) = z
3 2
z + 3z − 3 + ln(z − z + 1) = x
f (x ) = y
H phương trình có d ng : f (y ) = z .
f (z ) = x
Ta gi s (x ; y; z ) là nghi m c a h . Xét hàm s f (t ) = t 3 + 3t − 3 + ln(t 2 − t + 1), t ∈ R .
2t − 1
2
Ta có: f '(t ) = 3t + 3 +
2
()
> 0, ∀t ∈ ℝ ⇒ f t là hàm ñ ng bi n ∀t ∈ R .
2 t −t +1
{ }
Gi s : x = max x ; y; z thì y = f (x ) ≥ f (y ) = z ⇒ z = f (y ) ≥ f (z ) = x
3 2
V y x = y = z . Vì phương trình x + 2x − 3 + ln(x − x + 1) = 0
( ) 3 2
( )
Xét hàm s g x = x + 2x − 3 + ln(x − x + 1), x ∈ R , hàm s g x ñ ng bi n trên R và
() ( )
g 1 = 0 , do ñó phương trình g x = 0 có nghi m duy nh t x = 1 .
Do ñó h ñã cho có nghi m là x = y = z = 1 .
x 2 − 2x + 6 log (6 − y ) = x
3
2
2. y − 2y + 6 log3 (6 − z ) = y
2
z − 2z + 6 log3 (6 − x ) = z
22
- Nguy n Phú Khánh -ðàsL t
Tính ñơn ñi u c a hàm Các v n ñ liên quan Hàm s l p 12
x
log3 (6 − y ) =
x 2 − 2x + 6 f (y ) = g(x )
y
H cho ⇔ log3 (6 − z ) = ⇔ f (z ) = g(y )
y 2 − 2y + 6 f (x ) = g(z )
z
log3 (6 − x ) =
z 2 − 2z + 6
t
Xét hàm s f (t ) = log3 (6 − t ) ; g (t ) = , t ∈ (−∞;6)
2
t − 2t + 6
1
Ta có f '(t ) = − ()
< 0, t ∈ (−∞;6) ⇒ f t ngh ch bi n trên kho ng (−∞;6) và
(
6 − t ln 3 )
6 −t
g '(t ) = > 0, ()
∀t ∈ (−∞;6) ⇒ g t ñ ng bi n trên kho ng (−∞;6) .
(t )
3
2
− 2t + 6
Ta gi s (x ; y; z ) là nghi m c a h thì x = y = z thay vào h ta có:
x
log3 (6 − x ) = ⇔x =3
2
x − 2x + 6
V y nghi m c a h ñã cho là x = y = z = 3 .
Chú ý :H HOÁN V VÒNG QUANH:
f (x1) = g(x 2 )
f (x 2 ) = g(x 3 )
ð nh nghĩa: Là h có d ng: (I)
.................
f (x n ) = g(x1)
ð nh lí 1: N u f , g là các hàm cùng tăng ho c cùng gi m trên A và (x1, x 2,..., x n ) là nghi m c a h
trên A thì x1 = x 2 = ... = x n
ð nh lí 2:N u f , g khác tính ñơn ñi u trên A và (x1, x 2,..., x n ) là nghi m c a h trên A thì
x1 = x 3 = ... = x n −1
x1 = x 2 = ... = x n n u n l và n u n ch n
x 2 = x 4 = ... = x n
Ví d 10:
Gi i h phương trình :
sin x − sin y = 3x − 3y (1)
23
π
1. x + y = (2)
- Nguy n Phú Khánh -ðàsL t
Tính ñơn ñi u c a hàm Các v n ñ liên quan Hàm s l p 12
Gi i :
sin x − sin y = 3x − 3y (1)
π
1. x + y = (2)
5
x , y > 0
(3)
T (2 ) , ( 3 ) ⇒ x, y ∈ (0; π )
5
(1) ⇔ sin x − 3x = sin y − 3y (*) .
π π
Xét hàm s f (t ) = sin t − 3t, t ∈ (0; ) ta có f ' (t ) = cos t − 3 < 0, t ∈ (0; ) ⇒ f (t ) là hàm
5 5
π
ngh ch bi n trên kho ng t ∈ (0;
5
) nên ( * ) ⇔ f ( x ) = f (y ) ⇔ x = y
π
()
V i x = y thay vào 2 ta tìm ñư c x = y =
10
π π
( )
V y x;y = ; là nghi m c a h .
10 10
log 2 (1 + 3 cos x ) = log 3 (sin y ) + 2
2.
log 2 (1 + 3 sin y ) = log 3 (cos x ) + 2
cos x > 0
ði u ki n :
sin y > 0
24
nguon tai.lieu . vn
