Xem mẫu

  1. Tác gi : ThS. ðoàn Vương Nguyên CHƯƠNG I HOÁN V – CH NH H P – T H P A. TÓM T T GIÁO KHOA VÀ PHƯƠNG PHÁP GI I TOÁN I. Quy t c ñ m, c ng và nhân 1. Quy t c ñ m Trong nhi u trư ng h p ta c n ph i ñ m s ph n t , s t p h p, s các s h ng c a t ng, … và không ph i lúc nào cũng th c hi n d dàng. Ta xét m t quy t c rút ra t bài toán ñơn gi n sau ñây. Bài toán Ngư i ta c n làm m t hàng rào dài 20m, c cách 2m thì chôn 1 c c. Tính s c c c n dùng. Gi i S kho ng cách gi a các c c là 20: 2 = 10. K t c c th 2 tr ñi thì s c c b ng s kho ng cách. 20 V y s c c là + 1 = 11 . 2 1.1. Quy t c V i ñi u ki n là kho ng cách gi a các s b ng nhau (cách ñ u), ta có: soá lôùn nhaát − soá nhoû nhaát soá caùc soá = + 1. khoaûng caùch giöõa 2 soá lieàn keà Ví d 1. Tính s các s t nhiên có 3 ch s chia h t cho 4. Gi i S có 3 ch s l n nh t chia h t cho 4 là 996. S có 3 ch s nh nh t chia h t cho 4 là 100. Kho ng cách gi a 2 s li n k chia h t cho 4 là 4. 996 − 100 V y có + 1 = 225 s . 4 Ví d 2. Tìm s h ng th 7 trong t ng sau: (a + x) + (a + x)4 + (a + x)7 + ... + (a + x)28 . Gi i Kho ng cách gi a s mũ c a 2 s h ng k nhau là 3. G i s mũ c a s h ng th 7 là k, ta có k −1 + 1 = 7 ⇒ k = 19 . 3 V y s h ng c n tìm là (a + x)19 . 1.2. Các d u hi u chia h t + Chia h t cho 2: s có ch s t n cùng là 0, 2, 4, 6, 8. + Chia h t cho 3: s có t ng các ch s chia h t cho 3 (ví d 2001). + Chia h t cho 4: s có 2 ch s t n cùng l p thành s chia h t cho 4 (ví d 2000, 3796, 12344). + Chia h t cho 5: s có ch s t n cùng là 0, 5. + Chia h t cho 6: s chia h t cho 2 và 3. + Chia h t cho 8: s có 3 ch s t n cùng l p thành s chia h t cho 8 (ví d 2000, 2008, 3257016). + Chia h t cho 9: s có t ng các ch s chia h t cho 9 (ví d 2007). + Chia h t cho 10: s có ch s t n cùng là 0. + Chia h t cho 11: s có hi u c a t ng các ch s hàng l và t ng các ch s hàng ch n chia h t cho 11 (ví d 1345729 vì (1 + 4 + 7 + 9) – (3 + 5 + 2) = 11). + Chia h t cho 25: s có 2 ch s t n cùng là 00, 25, 50, 75.
  2. 2. Quy t c c ng i) N u m t quá trình (bài toán) có th th c hi n ñư c m t trong hai cách (trư ng h p) lo i tr l n nhau: cách th nh t cho m k t qu và cách th hai cho n k t qu . Khi ñó vi c th c hi n quá trình trên cho m + n k t qu . ii) N u m t quá trình (bài toán) có th th c hi n ñư c k cách (trư ng h p) lo i tr l n nhau: cách th nh t cho m1 k t qu , cách th hai cho m2 k t qu , …, cách th k cho mk k t qu . Khi ñó vi c th c hi n quá trình trên cho m1 + m2 + … + mk k t qu . Ví d 3. Có 2 cu n sách toán A và B khác nhau, 2 cu n sách v t lý C và D khác nhau. C n ch n ñúng 2 cu n sách, h i có bao nhiêu cách. Gi i + Trư ng h p 1: ch n 2 cu n sách toán có 1 cách. + Trư ng h p 2: ch n 2 cu n sách v t lý có 1 cách. + Trư ng h p 3: ch n 1 cu n sách toán và 1 cu n v t lý có 4 cách là A và C, A và D, B và C, B và D. V y có 1 + 1 + 4 = 6 cách ch n. Ví d 4. T t p h p X = { a; b; c } ch n ra 1 t p h p con c a A. H i có m y cách. Gi i + Trư ng h p 1: ch n t p h p không ch a ph n t nào c có 1 cách là t p r ng. + Trư ng h p 2: ch n t p h p ch a 1 ph n t c a A có 3 cách, ñó là { a } , { b } và { c } . + Trư ng h p 3: ch n t p h p ch a 2 ph n t c a A có 3 cách, ñó là { a; b } , { a; c } và { b; c } . + Trư ng h p 4: ch n t p h p ch a 3 ph n t c a A có 1 cách, ñó là { a; b; c } . V y có 1 + 3 + 3 + 1 = 8 cách ch n. 2. Quy t c nhân i) N u m t quá trình (bài toán) ñư c th c hi n theo hai giai ño n (bư c) liên ti p nhau sao cho có m cách th c hi n giai ño n th nh t, ñ ng th i ng v i m i cách ñó có n cách ñ th c hi n giai ño n th hai. Khi ñó có mn cách th c hi n quá trình trên. ii) N u m t quá trình (bài toán) ñư c th c hi n theo k giai ño n (bư c) liên ti p nhau sao cho có m1 cách th c hi n giai ño n th nh t, v i m i cách ñó có m2 cách ñ th c hi n giai ño n th hai, …, có mk cách th c hi n giai ño n th k. Khi ñó, toàn b quá trình có m1.m2…mk cách th c hi n. Ví d 5. T các ch s 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 l p ñư c m y s t nhiên có 3 ch s phân bi t. Gi i + Bư c 1: ch n ch s hàng trăm có 7 cách (tr ch s 0). + Bư c 2: ch n ch s hàng ch c có 7 cách (tr ch s ñã ch n hàng trăm). + Bư c 3: ch n ch s ñơn v có 6 cách (tr 2 ch s ñã ch n). V y có 7.7.6 = 294 s . Ví d 6. S 12000 có bao nhiêu ư c s t nhiên. Gi i Ta có 12000 = 22.3.103 = 25.3.53 . Suy ra ư c s c a 12000 có d ng 2m.3n.5k v i m ∈ { 0; 1; 2; 3; 4; 5 } , n ∈ { 0; 1 } và k ∈ { 0; 1; 2; 3 } . + Bư c 1: ch n m có 6 cách. + Bư c 2: v i m i cách ch n m có 2 cách ch n n. + Bư c 3: v i m i cách ch n m và n có 4 cách ch n k. V y có 6.2.4 = 48 ư c s . 1
  3. Ví d 7. T các ph n t c a X = { 0; 1; 2; 3; 4; 5 } có th l p ñư c bao nhiêu s t nhiên ch n g m 3 ch s khác nhau. Gi i G i A = a1a 2a 3 v i a 1 ≠ 0 và a 1, a 2 , a 3 ∈ X là s c n l p. + Trư ng h p 1: A = a1a 2 0 (a 3 = 0) . - Bư c 1: ch n a1 có 5 cách, ñó là a1 = 1 (ho c 2, 3, 4, 5). - Bư c 2: ch n a2 có 4 cách (tr ch s 0 và ch s a1 ñã ch n). Suy ra có 5.4 = 20 s A = a1a 2 0 . + Trư ng h p 2: A = a1a 2a 3 (a 3 ≠ 0) . - Bư c 1: ch n a3 có 2 cách, ñó là a3 = 2 (ho c a3 = 4). - Bư c 2: ch n a1 có 4 cách (tr ch s 0 và ch s a3 ñã ch n). - Bư c 3: ch n a2 có 4 cách t 4 ch s còn l i. Suy ra có 2.4.4 = 32 s A = a1a 2a 3 (a 3 ≠ 0) . V y có 20 + 32 = 52 s . Ví d 8. T các ph n t c a X = { 0; 2; 3; 6; 9 } có th l p ñư c bao nhiêu s t nhiên ch n g m 5 ch s khác nhau. Gi i G i A = a1a 2a 3a 4 a 5 v i a 1 ≠ 0 và a 1, a 2 , a 3 , a 4 , a 5 ∈ X là s c n l p. + Trư ng h p 1: a1 l . - Bư c 1: do a 1 ∈ { 3; 9 } nên a1 có 2 cách ch n. - Bư c 2: do a 5 ∈ { 0; 2; 6 } nên a5 có 3 cách ch n. - Bư c 3: do a 2 ∈ X \ { a 1; a 5 } nên a2 có 3 cách ch n. - Bư c 4: do a 3 ∈ X \ { a1; a 2 ; a 5 } nên a3 có 2 cách ch n. - Bư c 5: do a 4 ∈ X \ { a1 ; a 2 ; a 3 ; a 5 } nên a4 có 1 cách ch n. Suy ra có 2.3.3.2.1 = 36 s ñư c l p. + Trư ng h p 2: a1 ch n. - Bư c 1: do a 1 ∈ { 2; 6 } nên a1 có 2 cách ch n. - Bư c 2: do a 5 ∈ { 0; 2; 6 } \ { a1 } nên a5 có 2 cách ch n. - Bư c 3: do a 2 ∈ X \ { a 1; a 5 } nên a2 có 3 cách ch n. - Bư c 4: do a 3 ∈ X \ { a1; a 2 ; a 5 } nên a3 có 2 cách ch n. - Bư c 5: do a 4 ∈ X \ { a1 ; a 2 ; a 3 ; a 5 } nên a4 có 1 cách ch n. Suy ra có 2.2.3.2.1 = 24 s ñư c l p. V y có 36 + 24 = 60 s . Ví d 9. T các ch s 1, 2, 3 có th l p ñư c bao nhiêu s g m 2 ch s . Gi i G i A = a1a 2 v i a 1, a 2 không phân bi t là s c n l p. + Bư c 1: ch n 1 ch s ñ x p vào a1 có 3 cách. + Bư c 2: ch n 1 ch s ñ x p vào a2 có 3 cách (do các ch s không phân bi t). V y có 3.3 = 9 s . Ví d 10. C n s p x p 3 ngư i A, B, C lên 2 toa tàu (m i toa có th ch a ñư c 3 ngư i). H i có bao nhiêu cách s p x p. Gi i + Bư c 1: ngư i A có 2 s l a ch n toa tàu. 2
  4. + Bư c 2: v i m i cách ch n c a A thì ngư i B có 2 s l a ch n toa tàu. + Bư c 3: v i m i cách ch n c a A và B thì ngư i C có 2 s l a ch n toa tàu. V y có 2.2.2 = 8 cách s p x p. Cách gi i sai: Toa tàu th nh t có 3 cách ch n ngư i, toa th hai có 3 cách ch n ngư i. Do ñó có 3.3 = 9 cách. Sai ch là toa th nh t có nhi u cách ch n (không ch n ai c ho c ch n 1 ngư i, 2 ngư i, c 3 ngư i) ñ ng th i khi ch n ngư i A thì toa th hai không th ch n ngư i A ñư c n a! C th các trư ng h p ñó là Các trư ng h p Toa 1 2 3 4 5 6 7 8 I ABC AB AC BC C B A II ABC C B A AB AC BC Nh n xét: Ch dùng các quy t c ñ m, c ng và nhân thì ưu ñi m là ít sai sót nhưng như c ñi m là l i gi i dài dòng. II. Hoán v – Ch nh h p – T h p 1. Hoán v ð nh nghĩa Cho t p h p X g m n ph n t phân bi t ( n ≥ 0 ) . M i cách s p x p n ph n t c a X theo m t th t nào ñó ñư c g i là m t hoán v c a n ph n t . S các hoán v c a n ph n t ñư c ký hi u là Pn. Pn = n ! = 1.2...n . Quy ư c: 0! = 1. Ví d 11. S p x p 5 ngư i vào m t băng gh có 5 ch . H i có bao nhiêu cách. Gi i M i cách ñ i ch 1 trong 5 ngư i trên băng gh là 1 hoán v . V y có P5 = 5! = 120 cách s p. Ví d 12. T các ch s 0, 1, 2, 3, 4 có th l p ñư c m y s t nhiên có 5 ch s khác nhau. Gi i G i A = a1a 2a 3a 4 a 5 v i a 1 ≠ 0 và a 1, a 2 , a 3 , a 4 , a 5 phân bi t là s c n l p. + Bư c 1: ch s a 1 ≠ 0 nên có 4 cách ch n a1. + Bư c 2: s p 4 ch s còn l i vào 4 v trí có 4! = 24 cách. V y có 4.24 = 96 s . 2. Ch nh h p ð nh nghĩa Cho t p h p X g m n ph n t phân bi t ( n ≥ 0 ) . M i cách ch n ra k ( 0 ≤ k ≤ n ) ph n t c a X và s p x p theo m t th t nào ñó ñư c g i là m t ch nh h p ch p k c a n ph n t . S các ch nh h p ch p k c a n ph n t ñư c ký hi u là Ak . n n! Ak = . n (n − k)! Nh n xét: A n = n ! = Pn . n Ví d 13. S p x p 5 ngư i vào m t băng gh có 7 ch . H i có bao nhiêu cách. 3
  5. Gi i M i cách ch n ra 5 ch ng i t băng gh ñ s p 5 ngư i vào và có hoán v là m t ch nh h p ch p 5 c a 7. 7! V y có A5 = = 2520 cách s p. 7 (7 − 5)! Ví d 14. T t p h p X = { 0; 1; 2; 3; 4; 5 } có th l p ñư c m y s t nhiên có 4 ch s khác nhau. Gi i G i A = a1a 2a 3a 4 v i a 1 ≠ 0 và a 1, a 2 , a 3 , a 4 phân bi t là s c n l p. + Bư c 1: ch s a 1 ≠ 0 nên có 5 cách ch n a1. 3 + Bư c 2: ch n 3 trong 5 ch s còn l i ñ s p vào 3 v trí A5 cách. V y có 5A5 = 300 s . 3 3. T h p ð nh nghĩa Cho t p h p X g m n ph n t phân bi t ( n ≥ 0 ) . M i cách ch n ra k ( 0 ≤ k ≤ n ) ph n t c a X ñư c g i là m t t h p ch p k c a n ph n t . S các t h p ch p k c a n ph n t ñư c ký hi u là Ck . n n! Ck = . n k !(n − k)! Ví d 15. Có 10 cu n sách toán khác nhau. Ch n ra 4 cu n, h i có bao nhiêu cách. Gi i M i cách ch n ra 4 trong 10 cu n sách là m t t h p ch p 4 c a 10. V y có C10 = 210 cách ch n. 4 Ví d 16. M t nhóm có 5 nam và 3 n . Ch n ra 3 ngư i sao cho trong ñó có ít nh t 1 n . H i có bao nhiêu cách. Gi i + Trư ng h p 1: ch n 1 n và 2 nam. - Bư c 1: ch n ra 1 trong 3 n có 3 cách. - Bư c 2: ch n ra 2 trong 5 nam có C2 . 5 Suy ra có 3C2 cách ch n. 5 + Trư ng h p 2: ch n 2 n và 1 nam. - Bư c 1: ch n ra 2 trong 3 n có C2 cách. 3 - Bư c 2: ch n ra 1 trong 5 nam có 5. Suy ra có 5C2 cách ch n. 3 + Trư ng h p 3: ch n 3 n có 1 cách. V y có 3C2 + 5C2 + 1 = 46 cách ch n. 5 3 Ví d 17. H i có th l p ñư c bao nhiêu s t nhiên có 4 ch s sao cho trong m i s ñó, ch s hàng ngàn l n hơn hàng trăm, ch s hàng trăm l n hơn hàng ch c và ch s hàng ch c l n hơn hàng ñơn v . Gi i G i A = a1a 2a 3a 4 v i 9 ≥ a 1 > a 2 > a 3 > a 4 ≥ 0 là s c n l p. X = { 0; 1; 2; ...; 8; 9 } . T 10 ph n t c a X ta ch n ra 4 ph n t b t kỳ thì ch l p ñư c 1 s A. Nghĩa là không có hoán v hay là m t t h p ch p 4 c a 10. V y có C10 = 210 s . 4 4
  6. Nh n xét: i/ ði u ki n ñ x y ra hoán v , ch nh h p và t h p là n ph n t ph i phân bi t. ii/ Ch nh h p và t h p khác nhau ch là sau khi ch n ra k trong n ph n t thì ch nh h p có s p th t còn t h p thì không. 4. Phương pháp gi i toán 4.1. Phương pháp 1. Bư c 1. ð c k các yêu c u và s li u c a ñ bài. Phân bài toán ra các trư ng h p, trong m i trư ng h p l i phân thành các giai ño n. Bư c 2. Tùy t ng giai ño n c th và gi thi t bài toán ñ s d ng quy t c c ng, nhân, hoán v , ch nh h p hay t h p. Bư c 3. ðáp án là t ng k t qu c a các trư ng h p trên. Ví d 18. M t nhóm công nhân g m 15 nam và 5 n . Ngư i ta mu n ch n t nhóm ra 5 ngư i ñ l p thành m t t công tác sao cho ph i có 1 t trư ng nam, 1 t phó nam và có ít nh t 1 n . H i có bao nhiêu cách l p t công tác. Gi i + Trư ng h p 1: ch n 1 n và 4 nam. - Bư c 1: ch n 1 trong 5 n có 5 cách. 2 - Bư c 2: ch n 2 trong 15 nam làm t trư ng và t phó có A15 cách. 2 - Bư c 3: ch n 2 trong 13 nam còn l i có C13 cách. 2 2 Suy ra có 5A15 .C13 cách ch n cho trư ng h p 1. + Trư ng h p 2: ch n 2 n và 3 nam. - Bư c 1: ch n 2 trong 5 n có C2 cách. 5 2 - Bư c 2: ch n 2 trong 15 nam làm t trư ng và t phó có A15 cách. - Bư c 3: ch n 1 trong 13 nam còn l i có 13 cách. Suy ra có 13A15 .C2 cách ch n cho trư ng h p 2. 2 5 + Trư ng h p 3: ch n 3 n và 2 nam. 3 - Bư c 1: ch n 3 trong 5 n có C5 cách. 2 - Bư c 2: ch n 2 trong 15 nam làm t trư ng và t phó có A15 cách. 2 3 Suy ra có A15 .C5 cách ch n cho trư ng h p 3. V y có 5A15 .C13 + 13A15 .C2 + A15 .C5 = 111300 cách. 2 2 2 5 2 3 Cách khác: 2 + Bư c 1: ch n 2 trong 15 nam làm t trư ng và t phó có A15 cách. + Bư c 2: ch n 3 t viên, trong ñó có n . 2 - Trư ng h p 1: ch n 1 n và 2 nam có 5.C13 cách. - Trư ng h p 2: ch n 2 n và 1 nam có 13.C2 cách. 5 3 - Trư ng h p 3: ch n 3 n có C5 cách. V y có A15 ( 5.C13 + 13.C2 + C5 ) = 111300 cách. 2 2 5 3 4.2. Phương pháp 2. ð i v i nhi u bài toán, phương pháp 1 r t dài. Do ñó ta s d ng phương pháp lo i tr (ph n bù) theo phép toán A ∪ A = X ⇒ A = X \ A . Bư c 1: chia yêu c u c a ñ thành 2 ph n là yêu c u chung X (t ng quát) g i là lo i 1 và yêu c u riêng A. Xét A là ph ñ nh c a A, nghĩa là không th a yêu c u riêng g i là lo i 2. 5
  7. Bư c 2: tính s cách ch n lo i 1 và lo i 2. Bư c 3: ñáp án là s cách ch n lo i 1 tr s cách ch n lo i 2. Chú ý: Cách phân lo i 1 và lo i 2 có tính tương ñ i, ph thu c vào ch quan c a ngư i gi i. Ví d 19. T các ch s 0, 1, 2, 3, 4 có th l p ñư c m y s t nhiên có 5 ch s khác nhau. Gi i + Lo i 1: ch s a1 tùy ý, ta có 5! = 120 s . + Lo i 2: ch s a1 = 0, ta có 4! = 24 s . V y có 120 – 24 = 96 s . Ví d 20. M t nhóm có 7 nam và 6 n . Ch n ra 3 ngư i sao cho trong ñó có ít nh t 1 n . H i có bao nhiêu cách. Gi i 3 + Lo i 1: ch n 3 ngư i tùy ý trong 13 ngư i có C13 cách. 3 + Lo i 2: ch n 3 nam (không có n ) trong 7 nam có C7 cách. V y có C13 − C7 = 251 cách ch n. 3 3 Ví d 21. T 20 câu h i tr c nghi m g m 9 câu d , 7 câu trung bình và 4 câu khó ngư i ta ch n ra 10 câu ñ làm ñ ki m tra sao cho ph i có ñ c 3 lo i d , trung bình và khó. H i có th l p ñư c bao nhiêu ñ ki m tra. Gi i + Lo i 1: ch n 10 câu tùy ý trong 20 câu có C10 cách. 20 + Lo i 2: ch n 10 câu có không quá 2 trong 3 lo i d , trung bình và khó. - Trư ng h p 1: ch n 10 câu d và trung bình trong 16 câu có C10 cách. 16 - Trư ng h p 2: ch n 10 câu d và khó trong 13 câu có C10 cách. 13 - Trư ng h p 3: ch n 10 câu trung bình và khó trong 11 câu có C10 cách. 11 V y có C20 − ( C16 + C13 + C11 ) = 176451 ñ ki m tra. 10 10 10 10 Chú ý: Gi i b ng phương pháp ph n bù có ưu ñi m là ng n tuy nhiên như c ñi m là thư ng sai sót khi tính s lư ng t ng lo i. Ví d 22. T 20 câu h i tr c nghi m g m 9 câu d , 7 câu trung bình và 4 câu khó ngư i ta ch n ra 7 câu ñ làm ñ ki m tra sao cho ph i có ñ c 3 lo i d , trung bình và khó. H i có th l p ñư c bao nhiêu ñ ki m tra. Cách gi i sai: 7 + Lo i 1: ch n 7 câu tùy ý trong 20 câu có C20 cách. + Lo i 2: ch n 7 câu không th a yêu c u. - Trư ng h p 1: ch n 7 câu d trong 9 câu có C7 cách. 9 - Trư ng h p 2: ch n 7 câu trung bình có 1 cách. 7 - Trư ng h p 3: ch n 7 câu d và trung bình trong 16 câu có C16 cách. 7 - Trư ng h p 4: ch n 7 câu d và khó trong 13 câu có C13 cách. 7 - Trư ng h p 5: ch n 7 câu trung bình và khó trong 11 câu có C11 cách. V y có C20 − ( 1 + C9 + C16 + C13 + C11 ) = 63997 ñ ki m tra! 7 7 7 7 7 Sai sót trong cách tính s ñ lo i 2. Ch ng h n, khi tính s ñ trong trư ng h p 3 ta ñã tính l p l i trư ng h p 1 và trư ng h p 2. 6
  8. Cách gi i sai khác: 7 + Lo i 1: ch n 7 câu tùy ý trong 20 câu có C20 cách. + Lo i 2: ch n 7 câu không th a yêu c u. 7 - Trư ng h p 1: ch n 7 câu d ho c trung bình trong 16 câu có C16 cách. 7 - Trư ng h p 2: ch n 7 câu d ho c khó trong 13 câu có C13 cách. 7 - Trư ng h p 3: ch n 7 câu trung bình ho c khó trong 11 câu có C11 cách. V y có C20 − ( C16 + C13 + C11 ) = 64034 ñ ki m tra. 7 7 7 7 Sai sót do ta ñã tính l p l i s cách ch n ñ ch có 7 câu d và ñ ch có 7 câu trung bình trong trư ng h p 1 và trư ng h p 2. Cách gi i ñúng: 7 + Lo i 1: ch n 7 câu tùy ý trong 20 câu có C20 cách. + Lo i 2: ch n 7 câu không th a yêu c u. 7 - Trư ng h p 1: ch n 7 câu d ho c trung bình trong 16 câu có C16 cách. - Trư ng h p 2: ch n 7 câu d và khó trong 13 câu có C13 − C7 cách. 7 9 - Trư ng h p 3: ch n 7 câu trung bình và khó trong 11 câu có C11 − 1 cách. 7 V y có C20 − ( C16 + C13 − C9 + C11 − 1 ) = 64071 ñ ki m tra. 7 7 7 7 7 Ví d 23. H i ñ ng qu n tr c a m t công ty g m 12 ngư i, trong ñó có 5 n . T h i ñ ng qu n tr ñó ngư i ta b u ra 1 ch t ch h i ñ ng qu n tr , 1 phó ch t ch h i ñ ng qu n tr và 2 y viên. H i có m y cách b u sao cho trong 4 ngư i ñư c b u ph i có n . Gi i + Lo i 1: b u 4 ngư i tùy ý (không phân bi t nam, n ). 2 - Bư c 1: b u ch t ch và phó ch t ch có A12 cách. 2 - Bư c 2: b u 2 y viên có C10 cách. 2 2 Suy ra có A12 .C10 cách b u lo i 1. + Lo i 2: b u 4 ngư i toàn nam. - Bư c 1: b u ch t ch và phó ch t ch có A2 cách. 7 2 - Bư c 2: b u 2 y viên có C5 cách. Suy ra có A2 .C2 cách b u lo i 2. 7 5 V y có A12 .C10 − A2 .C2 = 5520 cách. 2 2 7 5 5. Hoán v l p (tham kh o) Cho t p h p X có n ph n t g m n1 ph n t gi ng nhau, n2 ph n t khác l i gi ng nhau, …, nk ph n t khác n a l i gi ng nhau ( n1 + n2 + ... + n k = n ) . M i cách s p n ph n t này vào n v trí là m t hoán v l p, s n! hoán v l p là . n1 ! n2 !...n k ! Ví d 24. T các ch s 1, 2, 3 l p ñư c bao nhiêu s t nhiên có ñúng 5 ch s 1, 2 ch s 2 và 3 ch s 3. Gi i Xem s c n l p có 10 ch s g m 5 ch s 1 gi ng nhau, 2 ch s 2 gi ng nhau và 3 ch s 3 gi ng nhau. 10 ! V y có = 2520 s . 5!2 ! 3! Cách gi i thư ng dùng: 5 + Bư c 1: ch n 5 trong 10 v trí ñ s p 5 ch s 1 có C10 cách. + Bư c 2: ch n 2 trong 5 v trí còn l i ñ s p 2 ch s 2 có C2 cách. 5 7
  9. + Bư c 3: s p 3 ch s 3 vào 3 v trí còn l i có 1 cách. V y có C10 .C2 .1 = 2520 s . 5 5 CHƯƠNG II NH TH C NEWTON PHƯƠNG TRÌNH – H PHƯƠNG TRÌNH A. TÓM T T GIÁO KHOA VÀ PHƯƠNG PHÁP GI I TOÁN I. NH TH C NEWTON ð nh nghĩa Nh th c Newton là khai tri n t ng lũy th a có d ng: ( a + b )n = C0 a n + C1 a n −1b + C2 a n −2 b2 + ... + Cn a n − k bk + ... + Cn bn n n n k n n = ∑C a k=0 k n n−k bk (n = 0, 1, 2, ...) . + S h ng th k+1 là Tk +1 = Cn a n − k bk thư ng ñư c g i là s h ng t ng quát. k + Các h s Ck ñư c tính theo công th c t h p ch p ho c d a vào tam giác Pascal sau ñây: n Ch ng h n: C6 = 1, C1 = 6, C6 = 15, C6 = 20, C6 = 15, C6 = 6, C6 = 1 . 0 6 2 3 4 5 6 Tính ch t i) Ck = Cn − k (0 ≤ k ≤ n) . n n ii) Ck + Ck −1 = Ck +1 (1 ≤ k ≤ n) . n n n PHƯƠNG PHÁP GI I TOÁN 1. Dùng ñ nh nghĩa và tính ch t ch ng minh ho c rút g n ñ ng th c Ví d 1. Ch ng minh ñ ng th c: Ck + 3Ck −1 + 3Ck −2 + Cn− 3 = Cn + 3 v i 3 ≤ k ≤ n . n n n k k Gi i Áp d ng tính ch t ta có: 8
  10. Ck + 3Cn−1 + 3Cn−2 + Cn−3 = ( Ck + Ck−1 ) + 2 ( Ck −1 + Ck−2 ) + ( Ck −2 + Cn− 3 ) n k k k n n n n n k = Ck +1 + 2Ck −1 + Ck−2 = ( Cn +1 + Cn−1 ) + ( Cn−1 + Cn−2 ) n n +1 n +1 k k +1 k +1 k +1 = Cn + 2 + C n + 2 = Cn + 3 . k k −1 k Ví d 2. Tính t ng S = C14 − C15 + C16 − ... − C29 + C30 . 30 30 30 30 30 Gi i Áp d ng tính ch t ta có: S = ( C13 + C14 ) − ( C14 + C15 ) + ( C15 + C16 ) − ... − ( C29 + C29 ) + C30 = C13 − C29 + C30 = C13 . 29 29 29 29 29 29 28 29 30 29 29 30 29 V y S = 67863915 . Cách khác: ( 1 − 1 )30 = ( C0 − ... + C12 − C13 ) + ( C14 − ... − C29 + C30 ) 30 30 30 30 30 30 ⇒ ( C30 − ... + C18 − C17 ) + ( C14 − ... − C29 + C30 ) = 0 30 30 30 30 30 30 ⇒ ( S − C16 + C15 − C14 ) + S = 0 ⇒ 2S = C16 − C15 + C14 = 2C14 − C15 . 30 30 30 30 30 30 30 30 2C30 − C30 14 15 V yS= = 67863915 . 2 Ví d 3. Rút g n t ng sau: S = C2007C2006 + C1 C2005 + C2 C2004 + ... + C2007C2006 -k + ... + C2006C1 . 0 2007 2007 2006 2007 2005 k 2007 -k 2007 0 Gi i Áp d ng công th c ta có: 2007 ! (2007 − k)! 2007 ! 2006! C2007C2006 -k = k . = = 2007. 2007 -k k ! ( 2007 − k ) ! (2006 − k)!1! k ! ( 2006 − k ) ! k ! ( 2006 − k ) ! = 2007C2006 v i ∀k = 0, 1, 2, ..., 2006 . k Suy ra S = 2007 ( C2006 + C1 + ... + C2006 + ... + C2006 ) = 2007 ( 1 + 1 )2006 . 0 2006 k 2006 V y S = 2007.22006 . 2. Khai tri n nh th c Newton 2.1. D ng khai tri n D u hi u nh n bi t: Các h s ñ ng trư c t h p và lũy th a là 1 ho c 1 và – 1 xen k nhau. i) Khai tri n ( a + b )n ho c ( a − b )n . ii) C ng ho c tr hai v c a 2 khai tri n trên. Ví d 4. Tính t ng sau: S = C2007 − 2C1 + 22 C2007 − 23 C2007 + ... + 22006 C2006 − 22007 C2007 . 0 2007 2 3 2007 2007 Gi i Ta có khai tri n: (1 − 2)2007 = C2007 − 2C1 + 22 C2007 − ... + 22006 C2007 − 22007 C2007 . 0 2007 2 2006 2007 V y S = −1 . Ví d 5. Rút g n t ng sau: S = C2007 + 32 C2 + 34 C2007 + ... + 32004 C2007 + 32006 C2007 . 0 2007 4 2004 2006 Gi i Ta có các khai tri n: (1 + 3)2007 = C2007 + 3C1 + 32 C2 + ... + 32006 C2006 + 32007 C2007 (1) 0 2007 2007 2007 2007 9
  11. (1 − 3)2007 = C2007 − 3C1 + 32 C2 − ... + 32006 C2007 − 32007 C2007 (2). 0 2007 2007 2006 2007 C ng (1) và (2) ta ñư c: 2 ( C2007 + 32 C2 + 34 C2007 + ... + 32006 C2007 ) = 42007 − 22007 . 0 2007 4 2006 V y S = 22006 ( 22007 − 1 ) . Ví d 6. Rút g n t ng sau: S = 32006.2C1 + 32004.23 C2007 + 32002.25 C2007 + ... + 22007 C2007 . 2007 3 5 2007 Gi i Ta có các khai tri n: (3 + 2)2007 = 32007 C2007 + 32006.2C1 + 32005.22 C2007 + ... + 3.22006 C2007 + 22007 C2007 (1) 0 2007 2 2006 2007 (3 − 2)2007 = 32007 C2007 − 32006.2C1 + 32005.22 C2 − ... + 3.22006 C2006 − 22007 C2007 (2). 0 2007 2007 2007 2007 Tr (1) và (2) ta ñư c: 2 ( 32006.2C1 + 32004.23 C2007 + 32002.25 C2007 + ... + 22007 C2007 ) = 52007 − 1 . 2007 3 5 2007 5 2007 −1 V yS= . 2 2.2. D ng ñ o hàm 2.2.1. ð o hàm c p 1 D u hi u nh n bi t: Các h s ñ ng trư c t h p và lũy th a tăng d n t 1 ñ n n (ho c gi m d n t n ñ n 1) (không k d u). Hai khai tri n thư ng dùng: ( 1 + x )n = C0 + C1 x + C2 x 2 + ... + Ck x k + ... + Cn x n (1). n n n n n ( 1 − x ) = Cn − Cn x + Cn x − ... + ( −1 ) Cn x + ... + ( −1 )n Cn x n (2). n 0 1 2 2 k k k n i) ð o hàm 2 v c a (1) ho c (2). ii) C ng ho c tr (1) và (2) sau khi ñã ñ o hàm r i thay s thích h p. Ví d 7. Tính t ng sau: S = C1 − 2.2C2 + 3.22 C3 − ... + 29.228 C29 − 30.229 C30 . 30 30 30 30 30 Gi i Ta có khai tri n: ( 1 + x )30 = C0 + C1 x + C2 x 2 + ... + C29 x 29 + C30 x 30 (1). 30 30 30 30 30 ð o hàm 2 v c a (1) ta ñư c: C1 + 2C2 x + ... + 29C29 x 28 + 30C30 x 29 = 30 ( 1 + x )29 (2). 30 30 30 30 Thay x = – 2 vào (2) ta ñư c: C1 − 2.2C2 + 3.22 C3 − ... + 29.228 C29 − 30.229 C30 = 30 ( 1 − 2 )29 . 30 30 30 30 30 V y S = −30 . Ví d 8. Rút g n t ng sau: S = C1 + 3.22 C3 + 5.24 C5 + ... + 27.226 C27 + 29.228 C29 . 30 30 30 30 30 Gi i Ta có khai tri n: ( 1 + x )30 = C0 + C1 x + C2 x 2 + ... + C29 x 29 + C30 x 30 (1). 30 30 30 30 30 ð o hàm 2 v c a (1) ta ñư c: C1 + 2C2 x + ... + 29C29 x 28 + 30C30 x 29 = 30 ( 1 + x )29 (2). 30 30 30 30 Thay x = 2 và x = – 2 l n lư t vào (2) ta ñư c: C1 + 2.2C2 + 3.22 C3 + ... + 29.228 C29 + 30.229 C30 = 30 ( 1 + 2 )29 (3) 30 30 30 30 30 C30 − 2.2C30 + 3.2 C30 − ... + 29.2 C30 − 30.2 C30 = 30 ( 1 − 2 )29 (4). 1 2 2 3 28 29 29 30 10
  12. C ng hai ñ ng th c (3) và (4) ta ñư c: 2 ( C1 + 3.22 C30 + 5.24 C5 + ... + 27.226 C27 + 29.228 C29 ) = 30 ( 329 − 1 ) 30 3 30 30 30 V y S = 15 ( 329 − 1 ) . Ví d 9. Rút g n t ng sau: S = 2008C2007 + 2007C1 + 2006C2 + ... + 2C2006 + C2007 . 0 2007 2007 2007 2007 Gi i Ta có khai tri n: ( x + 1 )2007 = C2007 x 2007 + C1 x 2006 + C2007 x 2005 + ... + C2007 x + C2007 (1). 0 2007 2 2006 2007 Nhân 2 v (1) v i x ta ñư c: x ( x + 1 )2007 = C2007 x 2008 + C1 x 2007 + C2007 x 2006 + ... + C2007 x 2 + C2007 x (2). 0 2007 2 2006 2007 ð o hàm 2 v c a (2) ta ñư c: 2008C2007 x 2007 + 2007C1 x 2006 + 2006C2007 x 2005 + ... + 2C2007 x + C2007 = (1 + 2008x) ( x + 1 )2006 (3). 0 2007 2 2006 2007 Thay x = 1 vào (3) ta ñư c: 2008C2007 + 2007C1 + 2006C2 + ... + 2C2006 + C2007 = 2009.22006 . 0 2007 2007 2007 2007 V y S = 2009.2 . 2006 Cách khác: Ta có khai tri n: ( x + 1 )2007 = C2007 x 2007 + C1 x 2006 + C2007 x 2005 + ... + C2007 x + C2007 (1). 0 2007 2 2006 2007 ð o hàm 2 v c a (1) ta ñư c: 2007C2007 x2006 + 2006C1 x 2005 + 2005C2007 x 2004 + ... + 2C2007 x + C2007 = 2007 ( x + 1 )2006 (2). 0 2007 2 2005 2006 Thay x = 1 vào (1) và (2) ta ñư c: C2007 + C1 + C2 + ... + C2006 + C2007 = 22007 (3). 0 2007 2007 2007 2007 2007C2007 + 2006C2007 + 2005C2007 + ... + C2006 = 2007.22006 (4). 0 1 2 2007 C ng (3) và (4) ta ñư c: 2008C2007 + 2007C1 + 2006C2 + ... + 2C2006 + C2007 = 2009.22006 . 0 2007 2007 2007 2007 V y S = 2009.2 . 2006 Ví d 10. Cho t ng sau: S = 2C0 + 3C1 + 4C2 + ... + (n + 1)Cn −1 + (n + 2)Cn , v i n ∈ Z+ . n n n n n Tính n, bi t S = 320 . Gi i Ta có khai tri n: ( 1 + x )n = C0 + C1 x + C2 x 2 + ... + Cn −1 x n −1 + Cn x n (1). n n n n n 2 Nhân 2 v (1) v i x ta ñư c: C0 x 2 + C1 x 3 + C2 x 4 + ... + Cn −1x n +1 + Cn x n + 2 = x 2 ( 1 + x )n (2). n n n n n ð o hàm 2 v c a (2) ta ñư c: 2C0 x + 3C1 x 2 + 4C2 x 3 + ... + (n + 1)Cn −1x n + (n + 2)Cn x n +1 = 2x ( 1 + x )n + nx 2 (1 + x)n −1 (3). n n n n n Thay x = 1 vào (3) ta ñư c: 2C0 + 3C1 + 4C2 + ... + (n + 1)Cn −1 + (n + 2)Cn = (4 + n).2n −1 . n n n n n S = 320 ⇔ (4 + n).2 n −1 = 320 . V y n = 6. Cách khác: Ta có khai tri n: ( 1 + x )n = C0 + C1 x + C2 x 2 + ... + Cn −1 x n −1 + Cn x n (1). n n n n n ð o hàm 2 v c a (1) ta ñư c: C1 + 2C2 x + 3Cn x 2 + ... + nCn x n −1 = n ( 1 + x )n −1 (2). n n 3 n Thay x = 1 vào (1) và (2) ta ñư c: 11
  13. C0 + C1 + C2 + C3 + ... + Cn −1 + Cn = 2n (3). n n n n n n C1 + 2C2 + 3Cn + ... + (n − 1)Cn −1 + nCn = n.2n −1 (4). n n 3 n n Nhân (3) v i 2 r i c ng v i (4) ta ñư c: 2C0 + 3C1 + 4C2 + ... + (n + 1)Cn −1 + (n + 2)Cn = (4 + n).2n −1 . n n n n n S = 320 ⇔ (4 + n).2 n −1 = 320 . V y n = 6. 2.2.2. ð o hàm c p 2 D u hi u nh n bi t: Các h s ñ ng trư c t h p và lũy th a tăng (gi m) d n t 1.2 ñ n (n–1).n ho c tăng (gi m) d n t 12 ñ n n2 (không k d u). Xét khai tri n: ( 1 + x )n = C0 + C1 x + C2 x 2 + Cn x 3 + ... + Cn −1x n −1 + Cn x n (1). n n n 3 n n ð o hàm 2 v c a (1) ta ñư c: C1 + 2C2 x + 3Cn x 2 + 4Cn x 3 + ... + nCn x n −1 = n ( 1 + x )n −1 (2). n n 3 4 n i) Ti p t c ñ o hàm 2 v c a (2) ta ñư c: 1.2C2 + 2.3Cn x + 3.4Cn x 2 + ... + (n − 1)nCn x n −2 = n(n − 1)(1 + x)n −2 (3). n 3 4 n ii) Nhân x vào 2 v c a (2) ta ñư c: C1 x + 2C2 x 2 + 3Cn x 3 + 4Cn x 4 + ... + nCn x n = nx ( 1 + x )n −1 (4). n n 3 4 n ð o hàm 2 v c a (4) ta ñư c: 12 C1 + 22 C2 x + 32 C3 x 2 + ... + n2Cn x n −1 = n(1 + nx)(1 + x)n −2 (5). n n n n Ví d 11. Tính t ng sau: S = 1.2C16 − 2.3C16 + 3.4C16 − ... − 14.15C16 + 15.16C16 . 2 3 4 15 16 Gi i Ta có khai tri n: ( 1 + x )16 = C16 + C1 x + C16 x 2 + C16 x 3 + ... + C16 x15 + C16 x16 (1). 0 16 2 3 15 16 ð o hàm 2 v c a (1) ta ñư c C1 + 2C16 x + 3C16 x 2 + ... + 15C15 x14 + 16C16 x15 = 16 ( 1 + x )15 (2). 16 2 3 16 16 ð o hàm 2 v c a (2) ta ñư c: 1.2C16 + 2.3C16 x + 3.4C16 x 2 + ... + 15.16C16 x14 = 240(1 + x)14 (3). 2 3 4 16 Thay x = – 1 vào ñ ng th c (3) ta ñư c: 1.2C16 − 2.3C16 + 3.4C16 − ... − 14.15C15 + 15.16C16 = 0 . 2 3 4 16 16 V y S = 0. Ví d 12. Rút g n t ng sau: S = 12 C1 + 22 C2007 + 32 C2007 + ... + 20062 C2007 + 20072 C2007 . 2007 2 3 2006 2007 Gi i Ta có khai tri n: ( 1 + x )2007 = C2007 + C1 x + C2 x 2 + ... + C2006 x 2006 + C2007 x 2007 (1). 0 2007 2007 2007 2007 ð o hàm 2 v c a (1) ta ñư c: C1 + 2C2007 x + 3C2007 x 2 + ... + 2007C2007 x 2006 = 2007 ( 1 + x )2006 (2). 2007 2 3 2007 Nhân x vào 2 v c a (2) ta ñư c: C1 x + 2C2 x 2 + 3C2007 x 3 + ... + 2006C2007 x 2006 + 2007C2007 x 2007 = 2007x ( 1 + x )2006 (3). 2007 2007 3 2006 2007 ð o hàm 2 v c a (3) ta ñư c: 12 C1 + 22 C2007 x + 32 C2007 x 2 + ... + 20062 C2006 x 2005 + 20072 C2007 x 2006 2007 2 3 2007 2007 = 2007(1 + 2007x)(1 + x)2005 (4). Thay x = 1 vào ñ ng th c (4) ta ñư c 12
  14. 12 C1 + 22 C2007 + 32 C2007 + ... + 20072 C2007 = 2007.2008.22005 . 2007 2 3 2007 V y S = 2007.2008.2 . 2005 2.3. D ng tích phân D u hi u nh n bi t: 1 1 Các h s ñ ng trư c t h p (và lũy th a) gi m d n t 1 ñ n ho c tăng d n t ñ n 1. n +1 n +1 Xét khai tri n: ( 1 + x )n = C0 + C1 x + C2 x 2 + ... + Cn −1 x n −1 + Cn x n (1). n n n n n L y tích phân 2 v c a (1) t a ñ n b ta ñư c: b b b b b ∫ (1 + x ) dx = C ∫ dx + C ∫ xdx + ... + C ∫ x n −1 n −1 dx + C ∫ x dx n 0 1 n n n n n n a a a a a n +1 b 2 b b (1 + x ) x b x x n b n x n +1 ⇒ = C0 + C1 + ... + Cn −1 n + Cn n +1 a a n a 1 n 2 n a n +1 a b−a 0 b −a 1 2 2 bn − a n n −1 b −a n +1 n +1 (1 + b)n +1 − (1 + a)n +1 ⇒ Cn + Cn + ... + Cn + Cn = n . 1 2 n n +1 n +1 Trong th c hành, ta d dàng nh n bi t giá tr c a n. ð nh n bi t 2 c n a và b ta nhìn vào s h ng b n +1 − a n + 1 n Cn . n +1 Ví d 13. Rút g n t ng sau: 32 − 22 1 3 3 − 2 3 2 39 − 29 8 310 − 210 9 S = C9 + 0 C9 + C9 + ... + C9 + C9 . 2 3 9 10 Gi i Ta có khai tri n: ( 1 + x )9 = C9 + C1 x + C2 x 2 + ... + C9 x 8 + C9 x 9 0 9 9 8 9 3 3 3 3 3 ⇒ ∫ ( 1 + x )9 dx = C9 0 ∫ dx + C ∫ xdx + ... + C ∫ x dx + C ∫ x dx 1 9 8 9 8 9 9 9 2 2 2 2 2 10 3 2 3 3 3 9 3 3 (1 + x ) x x 3 x 8 x x10 ⇒ =C + C1 0 9 9 + C2 9 + ... + C9 + C9 9 10 2 12 2 2 3 2 9 2 10 2 4 −3 10 10 3 −2 1 2 2 3 −2 8 3 −2 9 9 10 10 ⇒ = C9 + 0 C9 + ... + C9 + 9 C9 . 10 2 9 10 410 − 310 V yS= . 10 Ví d 14. Rút g n t ng sau: 22 23 24 3 2n n 2 n +1 n S = 2C0 + C1 + C2 + Cn + ... + Cn −1 + C . n 2 n 3 n 4 n n +1 n Gi i Ta có khai tri n: ( 1 + x )n = C0 + C1 x + C2 x 2 + C3 x 3 + ... + Cn −1x n −1 + Cn x n n n n n n n 2 2 2 2 2 ⇒ ∫ (1 + x ) dx = C ∫ dx + C ∫ xdx + C ∫ x dx + ... + C ∫ x dx n 0 1 2 2 n n n n n n 0 0 0 0 0 n +1 2 2 2 2 (1 + x ) x 2 x n 2 x x n +1 ⇒ = C0 + C1 + ... + Cn −1 + Cn n +1 0 n 1 0 n 2 0 n n 0 n n +1 0 13
  15. 22 1 23 2 2n 2n +1 n 3 n +1 − 1 ⇒ 2C0 + Cn + Cn + ... + Cn −1 + Cn = . n 2 3 n n n +1 n +1 3 n +1 − 1 V yS= . n +1 Ví d 15. Rút g n t ng sau: 22 − 1 1 23 + 1 2 2100 − 1 99 2101 + 1 100 S = 3C100 + 0 C100 + C100 + ... + C100 + C100 . 2 3 100 101 Gi i Ta có khai tri n: ( 1 + x )100 = C100 + C1 x + C100 x 2 + ... + C100 x 99 + C100 x100 0 100 2 99 100 2 2 2 2 2 ⇒ ∫ (1 + x ) dx = C ∫ dx + C ∫ xdx + ... + C ∫ x dx + C ∫x 100 0 1 99 99 100 100 100 100 100 100 dx . −1 −1 −1 −1 −1 2 2 2 2 ( 1 + x )101 x2 x2 99 x 100 x101 ⇒ = C100 + C1 0 100 + ... + C100 + C100 100 101 −1 1 −1 2 −1 100 −1 101 −1 3101 2 −1 1 2 2 − 1 99 100 2 + 1 100 101 ⇒ = 3C100 + 0 C100 + ... + C100 + C100 . 101 2 100 101 3101 V yS= . 101 3. Tìm s h ng trong khai tri n nh th c Newton 3.1. D ng tìm s h ng th k S h ng th k trong khai tri n (a + b)n là Ck −1a n −(k −1)bk −1 . n Ví d 16. Tìm s h ng th 21 trong khai tri n (2 − 3x)25 . Gi i S h ng th 21 là C25 2 (−3x)20 = 25.320 C25 x 20 . 20 5 20 3.2. D ng tìm s h ng ch a xm + S h ng t ng quát trong khai tri n (a + b)n là Ck a n −k bk = M(k).x f(k) (a, b ch a x). n + Gi i phương trình f(k) = m ⇒ k 0 , s h ng c n tìm là: Ck0 a n −k0 bk0 và h s c a s h ng ch a xm là M(k0). n Ví d 17. Tìm s h ng không ch a x trong khai tri n + 2 x ( x 4 18 . ) Gi i S h ng t ng quát trong khai tri n x 4 18 + 2 x ( ) = ( 2−1 x + 4x−1 ) là: 18 18 − k C18 ( 2−1 x ) ( 4x−1 ) = C18 23k −18 x18−2k . k k k S h ng không ch a x ng v i 18 − 2k = 0 ⇔ k = 9 . V y s h ng c n tìm là C18 29 . 9 Ví d 18. Tìm s h ng ch a x37 trong khai tri n ( x 2 − xy ) . 20 Gi i S h ng t ng quát trong khai tri n ( x − xy ) là C20 (x 2 )20−k (−xy)k = (−1)k C20 x 40− k y k . 2 20 k k 14
  16. S h ng ch a x37 ng v i 40 − k = 37 ⇔ k = 3 . V y s h ng c n tìm là −C20 x 37 y 3 = −1140x 37 y 3 . 3 Cách khác: S h ng t ng quát trong khai tri n ( x 2 − xy ) = x 20 ( x − y )20 là: 20 x 20C20 x 20− k (−y)k = (−1)k x20C20 x 20−k y k . k k S h ng ch a x37 ng v i 20 − k = 17 ⇔ k = 3 . V y s h ng c n tìm là −x 20C20 x17 y 3 = −1140x 37 y 3 . 3 Ví d 19. Tìm s h ng ch a x3 trong khai tri n ( 1 + x + x 2 ) . 10 Gi i S h ng t ng quát trong khai tri n ( 1 + x + x ) = [ 1 + x ( 1 + x ) ]10 là C10 x k (1 + x)k . 2 10 k Suy ra s h ng ch a x3 ng v i 2 ≤ k ≤ 3 . + V i k = 2: C10 x 2 (1 + x)2 = C10 (x 2 + 2x 3 + x 4 ) nên s h ng ch a x3 là 2C10 x 3 . 2 2 2 + V i k = 3: C10 x 3 (1 + x)3 có s h ng ch a x3 là C10 x 3 . 3 3 V y s h ng c n tìm là ( C10 + 2C10 ) x 3 = 210x 3 . 3 2 Cách khác: Ta có khai tri n c a ( 1 + x + x 2 ) = [ 1 + x ( 1 + x ) ]10 là: 10 C10 + C10 x(1 + x) + C10 x 2 (1 + x)2 + C10 x 3 (1 + x)3 + ... + C10 x10 (1 + x)10 . 0 1 2 3 10 S h ng ch a x ch có trong C10 x (1 + x) và C10 x (1 + x) . 3 2 2 2 3 3 3 + C10 x 2 (1 + x)2 = C10 (x 2 + 2x 3 + x 4 ) ⇒ 2C10 x 3 . 2 2 2 + C10 x 3 (1 + x)3 = C10 (x 3 + 3x 4 + 3x 5 + x 6 ) ⇒ C10 x 3 . 3 3 3 V y s h ng c n tìm là 2C10 x 3 + C10 x 3 = 210x 3 . 2 3 3.3. D ng tìm s h ng h u t + S h ng t ng quát trong khai tri n (a + b)n là: m r C a b = C .a b (a, b là vô t ). k n n −k k k n p q   m p ∈ℕ  + Gi i h phương trình  r  (k ∈ ℕ, 0 ≤ k ≤ n) ⇒ k 0 .  ∈ℕ  q   k0 n −k0 k0 S h ng c n tìm là Cn a b . ( ) 10 1 Ví d 20. Tìm s h ng h u t trong khai tri n +35 . 2 Gi i  1 1 10   1 + 2 2.5 3  ( ) 10 k k S h ng t ng quát trong khai tri n 1 + 5 = 3   là 1 Ck 2 2.5 3 .  2   2    32 10   S h ng h u t trong khai tri n th a ñi u ki n: 15
  17. k  ∈ℕ  2 k = 0   ( k ∈ ℕ, 0 ≤ k ≤ 10 ) ⇒  k k = 6.  ∈ℕ   3  1 0 1 + V i k = 0: s h ng h u t là C10 = . 32 32 1 6 3 2 2625 + V i k = 6: s h ng h u t là C10 2 .5 = . 32 2 1 2625 V y s h ng c n tìm là và . 32 2 3.4. D ng tìm h s ch a xk trong t ng n s h ng ñ u tiên c a c p s nhân T ng n s h ng ñ u tiên c a c p s nhân v i công b i q khác 1 là: 1 − qn Sn = u1 + u2 + ... + u n = u1 . 1−q Xét t ng S(x) = (1 + bx)m +1 + (1 + bx)m +2 + ... + (1 + bx)m + n như là t ng c a n s h ng ñ u tiên c a c p s nhân v i u1 = (1 + bx)m +1 và công b i q = (1 + bx) . Áp d ng công th c ta ñư c: m +1 1 − (1 + bx) n (1 + bx)m + n +1 − (1 + bx)m +1 S(x) = (1 + bx) = . 1 − (1 + bx) bx 1 Suy ra h s c a s h ng ch a xk trong S(x) là nhân v i h s c a s h ng ch a x k +1 trong khai tri n: b (1 + bx)m + n +1 − (1 + bx)m +1 . Ví d 21. Tìm h s c a s h ng ch a x4 trong khai tri n và rút g n t ng sau: S(x) = ( 1 + x )4 + ( 1 + x )5 + ( 1 + x )6 + ... + ( 1 + x )15 . Gi i T ng S(x) có 15 – 4 + 1 = 12 s h ng nên ta có: 1 − (1 + x)12 (1 + x)16 − (1 + x)4 S(x) = (1 + x)4 = . 1 − (1 + x) x Suy ra h s c a s h ng ch a x4 là h s c a s h ng ch a x5 trong (1 + x)16 . V y h s c n tìm là C16 = 4368 . 5 Nh n xét: B ng cách tính tr c ti p h s c a t ng s h ng trong t ng ta suy ra ñ ng th c: C4 + C5 + C6 + ... + C15 = C16 . 4 4 4 4 5 Ví d 22*. Tìm h s c a s h ng ch a x2 trong khai tri n và rút g n t ng sau: S(x) = ( 1 + x ) + 2 ( 1 + x )2 + ... + 99 ( 1 + x )99 + 100 ( 1 + x )100 . Gi i Ta có: S(x) = ( 1 + x )[ 1 + 2 ( 1 + x ) + ... + 99 ( 1 + x )98 + 100 ( 1 + x )99 ] . ð t: f(x) = 1 + 2 ( 1 + x ) + 3 ( 1 + x )2 + ... + 99 ( 1 + x )98 + 100 ( 1 + x )99 F(x) = (1 + x) + ( 1 + x )2 + ( 1 + x )3 + ... + ( 1 + x )99 + ( 1 + x )100 ⇒ S(x) = f(x) + xf(x) và F/ (x) = f(x) . 16
  18. Suy ra h s c a s h ng ch a x2 c a S(x) b ng t ng h s s h ng ch a x và x2 c a f(x), b ng t ng 2 l n h s s h ng ch a x2 và 3 l n h s s h ng ch a x3 c a F(x). T ng F(x) có 100 s h ng nên ta có: 1 − (1 + x)100 (1 + x)101 − (1 + x) F(x) = (1 + x) = . 1 − (1 + x) x + H s s h ng ch a x2 c a F(x) là C101 . 3 + H s s h ng ch a x3 c a F(x) là C101 . 4 V y h s c n tìm là 2C101 + 3C101 = 12582075 . 3 4 Nh n xét: B ng cách tính tr c ti p h s c a t ng s h ng trong t ng ta suy ra ñ ng th c: 2C2 + 3C2 + 4C2 + ... + 99C2 + 100C100 = 2C101 + 3C101 . 2 3 4 99 2 3 4 Ví d 23*. Tìm h s c a s h ng ch a x trong khai tri n và rút g n t ng sau: S(x) = ( 1 + x ) + 2 ( 1 + x )2 + ... + (n − 1) ( 1 + x )n−1 + n ( 1 + x )n . Gi i Ta có: S(x) = ( 1 + x )[ 1 + 2 ( 1 + x ) + ... + (n − 1) ( 1 + x )n −2 + n ( 1 + x )n −1 ] . ð t: f(x) = 1 + 2 ( 1 + x ) + 3 ( 1 + x )2 + ... + (n − 1) ( 1 + x )n−2 + n ( 1 + x )n−1 F(x) = (1 + x) + ( 1 + x )2 + ( 1 + x )3 + ... + ( 1 + x )n −1 + ( 1 + x )n ⇒ S(x) = f(x) + xf(x) và F/ (x) = f(x) . Suy ra h s c a s h ng ch a x c a S(x) b ng t ng h s s h ng không ch a x và ch a x c a f(x), b ng t ng h s s h ng ch a x và 2 l n h s s h ng ch a x2 c a F(x). T ng F(x) có n s h ng nên ta có: 1 − (1 + x)n (1 + x)n +1 − (1 + x) F(x) = (1 + x) = . 1 − (1 + x) x + H s s h ng ch a x c a F(x) là C2 +1 . n 2 + H s s h ng ch a x c a F(x) là C3 +1 . n n(n + 1)(2n + 1) V y h s c n tìm là C2 +1 + 2C3 +1 = n n . 6 Nh n xét: B ng cách tính tr c ti p h s c a t ng s h ng trong t ng ta suy ra ñ ng th c: n(n + 1)(2n + 1) 12 + 22 + 32 + ... + (n − 1)2 + n2 = . 6 3.5. D ng tìm h s l n nh t trong khai tri n Newton Xét khai tri n (a + bx)n có s h ng t ng quát là Ck a n −k bk x k . n ð t u k = Cna n− k bk , 0 ≤ k ≤ n ta có dãy h s là { u k } . ð tìm s h ng l n nh t c a dãy ta th c hi n các k bư c sau: u Bư c 1: gi i b t phương trình k ≥ 1 ta tìm ñư c k0 và suy ra u k0 ≥ u k0 +1 ≥ ... ≥ u n . u k +1 u Bư c 2: gi i b t phương trình k ≤ 1 ta tìm ñư c k1 và suy ra u k1 ≥ u k1 −1 ≥ ... ≥ u 0 . u k +1 Bư c 3: s h ng l n nh t c a dãy là max { u k0 , u k1 } . 17
  19. Chú ý: ð ñơn gi n trong tính toán ta có th làm g n như sau:  u k ≥ u k +1  Gi i h b t phương trình   ⇒ k 0 . Suy ra h s l n nh t là Ck0 a n−k0 bk0 .  u k ≥ u k −1   n Ví d 24. Tìm h s l n nh t trong khai tri n ( 1 + 0,2x )17 . Gi i Khai tri n ( 1 + 0,2x ) có s h ng t ng quát là C17 (0,2)k x k . 17 k Ta có:   17 ! 17 !  k  C17 (0,2) ≥ C17 (0, 2) k k +1 k +1  5 k ! ( 17 − k ) ! ≥ (k + 1)! ( 16 − k ) !    ⇔  k   C17 (0,2) ≥ C17 (0, 2)  k k −1 k −1   17 ! 17 !   ( ≥5  k ! 17 − k ) !   (k − 1)! ( 18 − k ) !  5(k + 1) ≥ 17 − k  ⇔  ⇔ 2 ≤ k ≤ 3.  18 − k ≥ 5k   + V i k = 2: h s là C17 (0,2)2 = 5, 44 . 2 + V i k = 3: h s là C17 (0,2)3 = 5, 44 . 3 V y h s l n nh t là 5,44. Ví d 25. Tìm h s l n nh t trong khai tri n 1 + ( 2x 10 3 ) . Gi i ( ) 10 2x 1 1 k Khai tri n 1 + = 10 ( 3 + 2x )10 có s h ng t ng quát là 10 C10 310−k2k x k . 3 3 3 Ta có:   10! 10!  C10 310− k2k ≥ C10+1 39− k2k +1 k k 3  k ! ( 10 − k ) ! ≥2    (k + 1)! ( 9 − k ) !  k 10− k k ⇔   C10 3 2 ≥ C10−1 311− k2k −1 k   10! 10!   2 ( ≥3  k ! 10 − k ) !   (k − 1)! ( 11 − k ) !  3(k + 1) ≥ 2(10 − k)  17 22 ⇔  ⇔ ≤k≤ ⇒ k = 4.  2(11 − k) ≥ 3k  5 5  1 4 1120 V y h s l n nh t là 10 C10 3624 = . 3 27 II. PHƯƠNG TRÌNH – H PHƯƠNG TRÌNH Phương pháp gi i toán Bư c 1: ñ t ñi u ki n cho bài toán. + Px có ñi u ki n là x ∈ ℕ . + A y , Cy có ñi u ki n là x ∈ ℕ, y ∈ ℕ và 0 ≤ y ≤ x . x x Bư c 2: áp d ng công th c tính ñ ñưa bài toán v phương trình, h phương trình quen thu c. Bư c 3: gi i phương trình, h phương trình r i d a vào ñi u ki n ñ ch n nghi m. 18
  20. Chú ý: Do tính ch t ñ c bi t nghi m là s t nhiên nên ñôi khi ta ph i th và ñoán nghi m. Ch ng h n: x! = 1 ⇔ x = 0 ∨ x = 1. (x − 5)(x − 4)(x − 3)(x − 2)x = 120 ( = 6 ! ) ⇔ x = 6 . 30 Ví d 26. Gi i phương trình A x −1 + 2Px −1 = x +1 P. 7 x Gi i x ∈ ℕ  x ∈ ℕ  ði u ki n   ⇔  . x − 1 ≥ 0  x ≥ 1    Ta có: 30 (x + 1)! 30 A x −1 + 2Px −1 = x +1 Px ⇔ + 2(x − 1)! = x! 7 2! 7  4 x = ⇔ 7(x − 1)! x(x + 1) + 28(x − 1)!− 60(x − 1)! x = 0 ⇔ 7x − 53x + 28 = 0 ⇔  2 7. x = 7  So v i ñi u ki n ta ñư c nghi m là x = 7. Ví d 27. Gi i phương trình: Cx −10 + Cx −9 + Cx −8 + ... + Cx −2 + Cx −1 = 1023 . x x x x x Gi i x ∈ ℕ  x ∈ ℕ  ði u ki n   ⇔  .  x − 10 ≥ 0   x ≥ 10    Ta có: Cx −10 + Cx −9 + Cx −8 + ... + Cx −2 + Cx −1 = 1023 x x x x x ⇔ Cx −10 + Cx −9 + Cx −8 + ... + Cx −2 + Cx −1 + Cx = (1 + 1)10 + Cx − 1 . x x x x x x x V y x = 10.  A y : Py−1 + Cx − y = 126  x Ví d 28. Gi i h phương trình  x  .   Py +1 = 720  Gi i    x, y ∈ ℕ   x, y ∈ ℕ  ði u ki n  0 ≤ y ≤ x ⇔    .   1 ≤ y ≤ x  y − 1 ≥ 0     Ta có:   x! x!  A x : Py −1 + Cx = 126 x−y  y   ( x − y ) !(y − 1)! + (x − y)! y ! = 126   ⇔   Py +1 = 720     (y + 1)! = 6 !     x! x!  6.x !   ( x − 5 ) ! 4 ! + (x − 5)! 5! = 126 ⇔  (x − 5)! 5! = 126 ⇔    x = 7  ⇔   .     y = 5   y=5  y=5    19