Xem mẫu
-
Tài Liệu
Ôn thi đại học - cao đẳng cấp tốc
phần hàm số
- Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu
các em thu n ti n trong vi c ôn luy n thi i h c và Cao ng năm 2009 . Chúng tôi g i t ng các em bài
vi t nh mang tính t ng quát gi i tích hàm s l p 12 , cũng như m t s ng d ng c áo gi i quy t khá
tri t nh ng d ng toán t ng c p các l p h c dư i mà các em còn b ngõ . Tài li u ư c c p nhi u ch
chuyên phù h p vi c ôn luy n thi c p t c chu n b kỳ thi i h c tháng 7/2009 .
Trong quá trình biên so n ch c h n còn nhi u ch thi u sót khách quan, chúng tôi r t mong óng góp quý
báu c a các b n c gi g n xa , thư góp ý g i v email: phukhanh1009@gmail.com . Tài li u này còn ư c
lưu tr t i hai website : http://www.mathsvn.violet.vn và http://www.maths.vn .
- Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu
Bài 1: TÍNH ƠN I U C A HÀM S
1.1 TÓM T T LÝ THUY T
1. nh nghĩa :
Gi s K là m t kho ng , m t o n ho c m t n a kho ng . Hàm s f xác nh trên K ư c g i là
• ( ) ( )
ng bi n trên K n u v i m i x 1, x 2 ∈ K , x 1 < x 2 ⇒ f x 1 < f x 2 ;
• Ngh ch bi n trên K n u v i m i x 1, x 2 ∈ K , x 1 < x 2 ⇒ f (x ) > f (x ) .
1 2
2. i u ki n c n hàm s ơn i u :
Gi s hàm s f có o hàm trên kho ng I
• N u hàm s f ( )
ng bi n trên kho ng I thì f ' x ≥ 0 v i m i x ∈ I .
• N u hàm s f ngh ch bi n trên kho ng I thì f ' ( x ) ≤ 0 v i m i x ∈I .
3. i u ki n hàm s ơn i u :
nh lý 1 : nh lý v giá tr trung bình c a phép vi phân ( nh lý Lagrange):
( )
N u hàm s f liên t c trên a;b và có o hàm trên kho ng a;b thì t n t i ít nh t m t i m c ∈ a;b sao
( )
() () ( )(
cho f b − f a = f ' c b − a . )
nh lý 2 :
Gi s I là m t kho ng ho c n a kho ng ho c m t o n , f là hàm s liên t c trên I và có o hàm t i m i
i m trong c a I ( t c là i m thu c I nhưng không ph i u mút c a I ) .Khi ó :
( )
• N u f ' x > 0 v i m i x ∈ I thì hàm s f ng bi n trên kho ng I ;
• N u f ' (x ) < 0 v i m i x ∈ I thì hàm s f ngh ch bi n trên kho ng I ;
• N u f ' (x ) = 0 v i m i x ∈ I thì hàm s f không i trên kho ng I .
Chú ý :
• N u hàm s f liên t c trên a;b và có
( ) ( )
o hàm f ' x > 0 trên kho ng a;b thì hàm s f ng bi n trên
a;b .
• N u hàm s f liên t c trên a;b và có
( ) ( )
o hàm f ' x < 0 trên kho ng a;b thì hàm s f ngh ch bi n
trên a;b .
• Ta có th m r ng nh lí trên như sau :
Gi s hàm s f có o hàm trên kho ng I . N u f '(x ) ≥ 0 v i ∀x ∈ I
( ho c f '(x ) ≤ 0 v i ∀x ∈ I ) và f '(x ) = 0 t i m t s h u h n i m c a I thì hàm s f ng bi n (ho c
ngh ch bi n) trên I .
- Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu
1.2 D NG TOÁN THƯ NG G P.
D ng 1 : Xét chi u bi n thiên c a hàm s .
( )
Xét chi u bi n thiên c a hàm s y = f x ta th c hi n các bư c sau:
• Tìm t p xác nh D c a hàm s .
• Tính o hàm y ' = f ' x . ( )
• Tìm các giá tr c a x thu c D ( ) ( )
f ' x = 0 ho c f ' x không xác nh
( ta g i ó là i m t i h n hàm s ).
( )
• Xét d u y ' = f ' x trên t ng kho ng x thu c D .
• D a vào b ng xét d u và i u ki n suy ra kho ng ơn i u c a hàm s .
Ví d 1 :Xét chi u bi n thiên c a các hàm s sau:
1. y = − x 3 − 3x 2 + 24x + 26
2. y = x 3 − 3x 2 + 2
3. y = x 3 + 3x 2 + 3x + 2
Gi i:
1. y = − x − 3x + 24x + 26 .
3 2
Hàm s ã cho xác nh trên » .
Ta có : y ' = −3x 2 − 6x + 24
x = −4
y ' = 0 ⇔ −3x 2 − 6x + 24 = 0 ⇔
x = 2
B ng xét d u c a y '
x −∞ −4 2 +∞
y' − 0 + 0 −
( )
y ' > 0, x ∈ −4;2 ⇒ y ng bi n trên kho ng ( −4;2 ) ,
y ' > 0, x ∈ ( −∞; −4 ) , ( 2; +∞ ) ⇒ y ngh ch bi n trên các kho ng ( −∞; −4 ) , ( 2; +∞ ) .
Ho c ta có th trình bày :
Hàm s ã cho xác nh trên » .
Ta có : y ' = −3x 2 − 6x + 24
x = −4
y ' = 0 ⇔ −3x 2 − 6x + 24 = 0 ⇔
x = 2
B ng bi n thiên
x −∞ −4 2 +∞
y' − 0 + 0 −
+∞
y −∞
V y, hàm s ( ) (
ng bi n trên kho ng −4;2 , ngh ch bi n trên các kho ng −∞; −4 và 2; +∞ . ) ( )
- Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu
2. y = x 3 − 3x 2 + 2
Hàm s ã cho xác nh trên » .
Ta có : y ' = 3x 2 − 6x = 3x (x − 2)
x = 0
y ' = 0 ⇔ 3x (x − 2) = 0 ⇔
x = 2
B ng bi n thiên.
x −∞ 0 2 +∞
y' + 0 − 0 +
y
V y hàm ng bi n trên m i kho ng (−∞; 0) và (2; +∞) , ngh ch bi n (0;2) .
3. y = x + 3x 2 + 3x + 2
3
Hàm s ã cho xác nh trên » .
( ) ( )
2
Ta có: f ' x = 3x 2 = 6x + 3 = 3 x + 1
( ) ( )
f ' x = 0 ⇔ x = −1 và f ' x > 0 v i m i x ≠ −1
Vì hàm s ( )
ng bi n trên m i n a kho ng −∞; −1 và −1; +∞ nên hàm s ng bi n trên » .
Ho c ta có th trình bày :
x −∞ −1 +∞
y' + 0 +
+∞
y 1
−∞
Vì hàm s ( )
ng bi n trên m i n a kho ng −∞; −1 và −1; +∞ nên hàm s ng bi n trên » .
Ví d 2 :Xét chi u bi n thiên c a các hàm s sau:
1
1. y = − x 4 + 2x 2 − 1
4
2. y = x + 2x 2 − 3
4
3. y = x 4 − 6x 2 + 8x + 1
Gi i:
1 4
1. y = − x + 2x 2 − 1 .
4
Hàm s ã cho xác nh trên » .
(
Ta có: y ' = − x 3 + 4x = −x x 2 − 4 )
- Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu
x = 0
( )
y ' = 0 ⇔ −x x 2 − 4 = 0 ⇔
x = ±2
B ng bi n thiên
x −∞ −2 0 2 +∞
y' + 0 − 0 + 0 −
y
+∞ −∞
V y, hàm s ( ) ( )
ng bi n trên các kho ng −∞; −2 , 0;2 và ngh ch bi n
( )(
trên các kho ng −2; 0 , 2; +∞ . )
2. y = x 4 + 2x 2 − 3
Hàm s ã cho xác nh trên » .
(
Ta có: y ' = 4x 3 + 4x = 4x x 2 + 1 )
Vì x 2 + 1 > 0, ∀x ∈ » nên y ' = 0 ⇔ x = 0 .
B ng bi n thiên
x −∞ 0 +∞
y' − +
+∞ +∞
y
V y, hàm s ( )
ng bi n trên kho ng 0; +∞ và ngh ch bi n trên kho ng −∞; 0 . ( )
3. y = x 4 − 6x 2 + 8x + 1
Hàm s ã cho xác nh trên » .
Ta có: y ' = 4x 3 − 12x + 8 = 4(x − 1)2 (x + 2)
x = −2
y ' = 0 ⇔ 4(x − 1)2 (x + 2) = 0 ⇔
x = 1
B ng bi n thiên:
x −∞ −2 1 +∞
y' − 0 + 0 +
y
V y,hàm ng bi n trên kho ng (−2; +∞) và ngh ch bi n trên kho ng (−∞; −2) .
Nh n xét:
* Ta th y t i x = 1 thì y = 0 , nhưng qua ó y ' không i d u.
* i v i hàm b c b n y = ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e luôn có ít nh t m t kho ng ng bi n và m t kho ng
ngh ch bi n. Do v y v i hàm b c b n
- Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu
không th ơn i u trên » .
Ví d 3 :Xét chi u bi n thiên c a các hàm s sau:
2x − 1
1. y =
x +1
x +2
2. y =
x −1
−x 2 + 2x − 1
3. y =
x +2
x + 4x + 3
2
4. y =
x +2
Gi i:
2x − 1
1. y = .
x +1
Hàm s ã cho xác (
nh trên kho ng −∞; −1 ∪ −1; +∞ .) ( )
3
Ta có: y ' = > 0, ∀x ≠ −1
( x + 1)
2
V y hàm s (
ng bi n trên m i kho ng −∞; −1 và −1; +∞ . ) ( )
x +2
2. y =
x −1
Hàm s ã cho xác (
nh trên kho ng −∞;1 ∪ 1; +∞ . ) ( )
3
Ta có: y ' = - < 0, ∀x ≠ 1
( x − 1)
2
V y hàm s ng bi n trên m i kho ng −∞;1 và 1; +∞ . ( ) ( )
−x 2 + 2x − 1
3. y =
x +2
Hàm s ã cho xác nh trên kho ng −∞; −2 ∪ −2; +∞ . ( ) ( )
−x 2 − 4x + 5
Ta có: y ' = , ∀x ≠ −2
(x + 2)
2
x = −5
y' = 0 ⇔
x = 1
B ng bi n thiên :
x −∞ −5 −2 1 +∞
y' − 0 + + 0 −
+∞ +∞
y −∞ −∞
- Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu
V y, hàm s ( )
ng bi n trên các kho ng −5; −2 và −2;1 , ngh ch bi n( )
(
trên các kho ng −∞; −5 và 1; +∞ .) ( )
x 2 + 4x + 3
4. y =
x +2
Hàm s ã cho xác nh trên kho ng −∞; −2 ∪ −2; +∞ .( ) ( )
x 2 + 4x + 5
Ta có: y ' = > 0, ∀x ≠ −2
(x + 2 )
2
B ng bi n thiên :
x −∞ −2 +∞
y' + +
+∞ +∞
y −∞ −∞
V y , hàm s (
ng bi n trên m i kho ng −∞; −2 và −2; +∞ . ) ( )
Nh n xét:
ax + b
* i v i hàm s y = (a.c ≠ 0) luôn ng bi n ho c luôn ngh ch
cx + d
bi n trên t ng kho ng xác nh c a nó.
ax 2 + bx + c
* i v i hàm s y = luôn có ít nh t hai kho ng ơn i u.
a 'x + b '
* C hai d ng hàm s trên không th luôn ơn i u trên » .
Ví d 4 :Xét chi u bi n thiên c a các hàm s sau:
1. y =| x 2 − 2x − 3 |
2. y = 3x 2 − x 3
Gi i:
1. y =| x 2 − 2x − 3 |
Hàm s ã cho xác nh trên » .
x 2 − 2x − 3 khi x ≤ −1 ∪ x ≥ 3
Ta có: y = 2
−x + 2x + 3 khi − 1 < x < 3
2x − 2 khi x < −1 ∪ x > 3
⇒y'= ⇒y'=0 ⇔x =1
−2x + 2 khi − 1 < x < 3
Hàm s không có o hàm t i x = −1 và x = 3 .
B ng bi n thiên:
x −∞ −1 1 3 +∞
y' − 0 + 0 − 0 +
y
- Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu
Hàm ng bi n trên m i kho ng (−1;1) và (3; +∞) , ngh ch bi n trên (−∞; −1)
và (1; 3) .
2. y = 3x 2 − x 3
Hàm s ã cho xác nh trên n a kho ng (−∞; 3]
3(2x − x 2 )
Ta có: y ' = , ∀x < 3, x ≠ 0 .
2 3x − x 2 3
∀x < 3, x ≠ 0 : y ' = 0 ⇔ x = 2
Hàm s không có o hàm t i các i m x = 0, x = 3 .
B ng bi n thiên:
−∞ 0 2 3 +∞
x
y' − || + 0 − ||
y
Hàm ng bi n trên kho ng (0;2) , ngh ch bi n trên (−∞; 0) và (2; 3) .
Ví d 5 :
( )
Tìm kho ng ơn i u c a hàm s f x = sin x trên kho ng 0;2π . ( )
Gi i:
Hàm s ã cho xác nh trên kho ng 0;2π . ( )
( )
Ta có : f ' x = cos x , x ∈ 0;2π . ( )
π 3π
( ) (
f ' x = 0, x ∈ 0;2π ⇔ x = ) 2
,x =
2
Chi u bi n thiên c a hàm s ư c nêu trong b ng sau :
π 3π
x 0 2π
2 2
( )
f' x + 0 − 0 +
f (x ) 1 0
0 −1
π 3π π 3π
Hàm s ng bi n trên m i kho ng 0; và ;2π , ngh ch bi n trên kho ng ; .
2 2 2 2
BÀI T P T LUY N
- Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu
1. Xét chi u bi n thiên c a các hàm s sau:
1 x 2 − 2x
1. y = x 3 − 3x 2 + 8x − 2 2. y =
3 x −1
2. Xét chi u bi n thiên c a các hàm s sau:
1. y = 2x 3 + 3x 2 + 1 4 2
3. y = − x 3 + 6x 2 − 9x −
2. y = x − 2x − 5
4 2 3 3
4. y = 2x − x 2
3. Ch ng minh r ng hàm s :
1. y = 4 − x 2 ngh ch bi n trên o n 0;2 .
2. y = x + x − cos x − 4 ng bi n trên » .
3
3. y = cos 2x − 2x + 3 ngh ch bi n trên » .
4. Cho hàm s y = sin2 x + cos x .
π π
a ) Ch ng minh r ng hàm s ng bi n trên o n 0; và ngh ch bi t trên o n ; π .
3 3
( )
b) Ch ng minh r ng v i m i m ∈ −1;1 , phương trình sin2 x + cos x = m có nghi m duy nh t thu c o n
0; π .
Hư ng d n
1.
1
1. y = x 3 − 3x 2 + 8x − 2
3
Hàm s ã cho xác nh trên » .
( )
Ta có f ' x = x 2 − 6x + 8
( )
f ' x = 0 ⇔ x = 2, x = 4
Chi u bi n thiên c a hàm s ư c nêu trong b ng sau :
x −∞ 2 4 +∞
( )
f' x + 0 − 0 +
f (x ) +∞
−∞
V y hàm s ( ) ( )
ng bi n trên m i kho ng −∞;2 và 4; +∞ , ngh ch bi n trên kho ng 2; 4( )
x 2 − 2x
2. y =
x −1
Hàm s ã cho xác nh trên t p h p » \ 1 . {}
- Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu
(x − 1) + 1 > 0, x ≠ 1
2
x 2 − 2x + 2
( )
Ta có f ' x = =
( x − 1) ( x − 1)
2 2
Chi u bi n thiên c a hàm s ư c nêu trong b ng sau :
x −∞ 1 +∞
( )
f' x + +
+∞ +∞
( )
f x
−∞ −∞
V y hàm s (
ng bi n trên m i kho ng −∞;1 và 1; +∞ ) ( )
2.
1. y = 2x 3 + 3x 2 + 1
Hàm s ã cho xác nh trên » .
( )
Ta có f ' x = 6x 2 + 6x
( ) ( ) ( ) ( ) ng bi n trên m i kho ng ( −∞; −1) và ( 0; +∞ ) .
f ' x > 0, x ∈ −∞; −1 , 0; +∞ ⇒ f x
f ' ( x ) < 0, x ∈ ( −1; 0 ) ⇒ f ( x ) ngh ch bi n trên kho ng ( −1; 0 ) .
( )
Ngoài ra : H c sinh có th gi i f ' x = 0 , tìm ra hai nghi m x = −1, x = 0 , k b ng bi n thiên r i k t lu n.
2. y = x 4 − 2x 2 − 5
Hàm s ã cho xác nh trên » .
( )
Ta có f ' x = 4x 3 − 4x
( ) ( ) ( ) ( ) ng bi n trên m i kho ng ( −1; 0 ) và (1; +∞ ) .
f ' x > 0, x ∈ −1; 0 , 1; +∞ ⇒ f x
f ' ( x ) < 0, x ∈ ( −∞; −1) , ( 0;1) ⇒ f ( x ) ngh ch bi n trên m i kho ng ( −∞; −1) và ( 0;1) .
( )
Ngoài ra : H c sinh có th gi i f ' x = 0 , tìm ra hai nghi m x = −1, x = 0, x = 1 , k b ng bi n thiên r i k t
lu n.
4 2
3. y = − x 3 + 6x 2 − 9x −
3 3
Hàm s ã cho xác nh trên » .
( ) ( )
2
Ta có f ' x = −4x 2 + 12x − 9 = − 2x − 3
3 3
( )
f' x =0⇔x =
2
( )
và f ' x < 0 v i m i x ≠
2
3 3
Vì hàm s ngh ch bi n trên m i n a kho ng −∞; và ; +∞ nên hàm s ngh ch bi n trên » .
2 2
- Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu
4. y = 2x − x 2
Hàm s ã cho xác nh trên 0;2 .
1−x
( )
Ta có f ' x = , x ∈ 0;2 ( )
2x − x 2
( ) ( ) ( )
f ' x > 0, x ∈ 0;1 ⇒ f x ng bi n trên kho ng ( 0;1) ;
f ' ( x ) < 0, x ∈ (1;2 ) ⇒ f ( x ) ngh ch bi n trên kho ng (1;2 ) .
Ho c có th trình bày :
( ) ( ) ( ) ng bi n trên o n 0;1 ;
f ' x > 0, x ∈ 0;1 ⇒ f x
f ' ( x ) < 0, x ∈ (1;2 ) ⇒ f ( x ) ngh ch bi n trên o n 1;2 .
3.
1. y = 4 − x 2 ngh ch bi n trên o n 0;2 .
−x
D th y hàm s ã cho liên t c trên o n 0;2 và có
( )
o hàm f ' x = ( )
< 0 v i m i x ∈ 0;2 . Do
4 − x2
ó hàm s ngh ch bi n trên o n 0;2 .
2. y = x 3 + x − cos x − 4 ng bi n trên » .
Hàm s ã cho xác nh trên » .
( )
Ta có f ' x = 3x 2 + 1 + sin x
3x 2 ≥ 0 ∀x ∈ »
Vì ( )
nên f ' x ≥ 0, x ∈ » .
1 + sin x ≥ 0 ∀x ∈ »
Do ó hàm s ng bi n trên » .
3. y = cos 2x − 2x + 3 ngh ch bi n trên » .
Hàm s ã cho xác nh trên » .
π
( ) ( ) ( )
Ta có f ' x = −2 sin 2x + 1 ≤ 0, ∀x ∈ » và f ' x = 0 ⇔ sin 2x = −1 ⇔ x = −
4
+ kπ , k ∈ »
π π
(
Hàm s ngh ch bi n trên m i o n − + k π ; − + k + 1 π , k ∈ » . )
4 4
Do ó hàm s ngh ch bi n trên » .
4.
π π
a ) Ch ng minh r ng hàm s ng bi n trên o n 0; và ngh ch bi t trên o n ; π .
3 3
(
Hàm s liên t c trên o n 0; π và y ' = sin x 2 cos x − 1 , x ∈ 0; π
) ( )
- Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu
1 π
( ) ( ) ( )
Vì x ∈ 0; π ⇒ sin x > 0 nên trong kho ng 0; π : f ' x = 0 ⇔ cos x =
2
⇔x =
3
π π
• y ' > 0, ∀x ∈ 0; nên hàm s ng bi n trên o n 0;
3 3
π π
• y ' < 0, ∀x ∈ ; π nên hàm s ngh ch bi n trên o n ; π
3 3
( )
b) Ch ng minh r ng v i m i m ∈ −1;1 , phương trình sin2 x + cos x = m có nghi m duy nh t thu c o n
0; π .
π π 5
()
• x ∈ 0; ta có y 0 ≤ y ≤ y ⇔ 1 ≤ y ≤ nên phương trình cho không có nghi m m ∈ −1;1 ( )
3 3 4
π π 5
( )
• x ∈ ; π ta có y π ≤ y ≤ y ⇔ −1 ≤ y ≤ . Theo nh lý v giá tr trung gian c a hàm s liên t c
3 3 4
5 π
( ) ()
v i ∀m ∈ −1;1 ⊂ −1; , t n t i m t s th c c ∈ ; π sao cho y c = 0 . S c là nghi m c a phương
4
3
π
trình sin2 x + cos x = m và vì hàm s ngh ch bi n trên o n ; π nên trên o n này , phương trình có
3
nghi m duy nh t .
V y phương trình cho có nghi m duy nh t thu c o n 0; π .
D ng 2 : Hàm s ơn i u trên » .
S d ng nh lý v i u ki n c n
( ) ( )
• N u hàm s f x ơn i u tăng trên » thì f ' x ≥ 0, ∀x ∈ » .
• N u hàm s f (x ) ơn i u gi m trên » thì f ' ( x ) ≤ 0, ∀x ∈ » .
Ví d 1 : Tìm m hàm s sau luôn gi m ( ngh ch bi n) trên »
1
( ) ( )
y = f x = − x 3 + 2x 2 + 2m + 1 x − 3m + 2 .
3
Gi i :
Hàm s ã cho xác nh trên » .
Ta có : y ' = −x 2 + 4x + 2m + 1 và có ∆ ' = 2m + 5
B ng xét d u ∆ '
m −∞ 5 +∞
−
2
∆' − 0 +
5
( )
2
• m = − thì y ' = − x − 2 ≤ 0 v i m i x ∈ », y ' = 0 ch t i i m x = 2 . Do ó hàm s ngh ch bi n trên
2
».
5
• m < − thì y ' < 0, ∀x ∈ » . Do ó hàm s ngh ch bi n trên » .
2
- Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu
5
2
( )
• m > − thì y ' = 0 có hai nghi m x 1, x 2 x 1 < x 2 . Hàm s ng bi n trên kho ng (x ; x ) . Trư
1 2
ng h p
này không th a mãn .
Chú ý : cách gi i sau ây không phù h p i m nào ?
Hàm s ngh ch bi n trên » khi và ch khi
a = −1 < 0
5
y ' = −x 2 + 4x + 2m + 1 ≤ 0, ∀x ∈ » ⇔ ⇔ 2m + 5 ≤ 0 ⇔ m ≤ −
∆ ' ≤ 0
2
5
V y hàm s ngh ch bi n trên » khi và ch khi m ≤ −
2
Ví d 2 : Tìm a hàm s sau luôn tăng ( ng bi n) trên »
1
( )
y = f x = x 3 + ax 2 + 4x + 3 .
3
Gi i:
Hàm s ã cho xác nh trên » .
Ta có y ' = x 2 + 2ax + 4 và có ∆ ' = a 2 − 4
B ng xét d u ∆ '
a −∞ −2 2 +∞
∆' + 0 − 0 +
• N u −2 < a < 2 thì y ' > 0 v i m i x ∈ » . Hàm s y ng bi n trên » .
( ) , ta có : y ' = 0 ⇔ x = −2, y ' > 0, x ≠ −2 . Hàm s
2
• N u a = 2 thì y ' = x + 2 y ng bi n trên m i n a
(
kho ng −∞; −2 và
−2; +∞ ) nên hàm s y
ng bi n trên » .
• Tương t n u a = −2 . Hàm s y ng bi n trên » .
• N u a < −2 ho c a > 2 thì y ' = 0 có hai nghi m phân bi t x 1, x 2 . Gi s x 1 < x 2 . Khi ó hàm s ngh ch
( )
bi n trên kho ng x 1; x 2 , ( ) ( )
ng bi n trên m i kho ng −∞;x 1 và x 2 ; +∞ . Do ó a < −2 ho c a > 2 không
tho mãn yêu c u bài toán .
V y hàm s y ng bi n trên » khi và ch khi −2 ≤ a ≤ 2
Ví d 3 : Tìm m hàm s y = x + m cos x ng bi n trên » .
Gi i :
Hàm s ã cho xác nh trên » .
Ta có y ' = 1 − m sin x .
Cách 1: Hàm ng bi n trên » ⇔ y ' ≥ 0, ∀x ∈ » ⇔ 1 − m sin x ≥ 0, ∀x ∈ » ⇔ m sin x ≤ 1,∀x ∈ » (1)
* m = 0 thì (1) luôn úng
1 1
* m > 0 thì (1) ⇔ sin x ≤ ∀x ∈ » ⇔ 1 ≤ ⇔ 0 < m ≤ 1.
m m
1 1
* m < 0 thì (1) ⇔ sin x ≥ ∀x ∈ R ⇔ −1 ≥ ⇔ −1 ≤ m < 0 .
m m
V y −1 ≤ m ≤ 1 là nh ng giá tr c n tìm.
Cách 2: Hàm ng bi n trên » ⇔ y ' ≥ 0 ∀x ∈ »
- Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu
1 − m ≥ 0
⇔ min y ' = min{1 − m;1 + m } ≥ 0 ⇔ ⇔ −1 ≤ m ≤ 1 .
1+m ≥ 0
Chú ý :
Phương pháp:
* Hàm s y = f (x , m ) tăng trên » ⇔ y ' ≥ 0 ∀x ∈ » ⇔ min y ' ≥ 0 .
x ∈»
* Hàm s y = f (x , m ) gi m trên » ⇔ y ' ≤ 0 ∀x ∈ » ⇔ max y ' ≤ 0 .
x ∈»
Chú ý:
1) N u y ' = ax 2 + bx + c thì
a = b = 0
c ≥ 0
* y ' ≥ 0 ∀x ∈ » ⇔
a > 0
∆ ≤ 0
a = b = 0
c ≤ 0
* y ' ≤ 0 ∀x ∈ » ⇔
a < 0
∆ ≤ 0
2) Hàm ng bi n trên » thì nó ph i xác nh trên » .
BÀI T P T LUY N
1. Tìm m hàm s sau luôn gi m ( ngh ch bi n) trên »
x3
( )
y = f x = (m + 2)
3
( )
− (m + 2)x 2 + m − 8 x + m 2 − 1 .
2. Tìm m hàm s sau luôn tăng ( ng bi n) trên »
( ) 1
( ) ( )
a. y = f x = m 2 − 1 x 3 + m + 1 x 2 + 3x + 5
3
( )
m − 1 x 2 + 2x + 1
( )
b. y = f x =
x +1
3. V i giá tr nào c a m , các hàm s ng bi n trên m i kho ng xác nh
c a nó ?
a. y = x + 2 +
m
b. y =
( )
−2x 2 + m + 2 x − 3m + 1
x −1 x −1
Hư ng d n :
x3
( )
1. y = f x = (m + 2)
3
( )
− (m + 2)x 2 + m − 8 x + m 2 − 1
Hàm s ã cho xác nh trên » .
Ta có y ' = (m + 2)x 2 − 2(m + 2)x + m − 8 .
- Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu
* m = −2 , khi ó y ' = −10 ≤ 0, ∀x ∈ » ⇒ hàm s luôn ngh ch bi n trên » . * m ≠ −2 tam th c
y ' = (m + 2)x 2 − 2(m + 2)x + m − 8 có ∆ ' = 10(m + 2)
B ng xét d u ∆ '
m −∞ −2 +∞
∆' − 0 +
• m < −2 thì y ' < 0 v i m i x ∈ » . Do ó hàm s ngh ch bi n trên » .
• m > −2 thì y ' = 0 có hai nghi m x 1, x 2 x 1 < x 2 . Hàm s ( ) ng bi n
trên kho ng (x ; x ) . Trư
1 2
ng h p này không th a mãn .
V y m ≤ −2 là nh ng giá tr c n tìm.
2. Tìm m hàm s sau luôn tăng ( ng bi n) trên »
( ) 1
( )
a. y = f x = a 2 − 1 x 3 + a + 1 x 2 + 3x + 5
3
( )
Hàm s ã cho xác nh trên » .
( ) (
Ta có : y ' = a 2 − 1 x 2 + 2 a + 1 x + 3 và có ∆ ' = 2 −a 2 + a + 2) ( )
Hàm s y ng bi n trên » khi và ch khi ⇔ y ' ≥ 0, ∀x ∈ » 1 ()
• Xét a 2 − 1 = 0 ⇔ a = ±1
3
+ a = 1 ⇒ y ' = 4x + 3 ⇒ y ' ≥ 0 ⇔ x ≥ − ⇒ a = 1 không tho yêu c u bài toán.
4
+ a = −1 ⇒ y ' = 3 > 0 ∀x ∈ » ⇒ a = −1 tho mãn yêu c u bài toán.
• Xét a 2 − 1 ≠ 0 ⇔ a ≠ ±1
B ng xét d u ∆ '
a −∞ −1 1 2 +∞
∆' − 0 + 0 −
• N u a < −1 ∨ a > 2 thì y ' > 0 v i m i x ∈ » . Hàm s y ng bi n trên » .
( )
2
• N u a = 2 thì y ' = 3 x + 1 , ta có : y ' = 0 ⇔ x = −1, y ' > 0, x ≠ −1 . Hàm s y ng bi n trên m i
(
n a kho ng −∞; −1 va` −1; +∞ nên hàm s y
ng bi n trên » . )
• N u −1 < a < 2, a ≠ 1 thì y ' = 0 có hai nghi m phân bi t x 1, x 2 . Gi s x 1 < x 2 . Khi ó hàm s ngh ch
(
bi n trên kho ng x 1; x 2 , ) ( ) (
ng bi n trên m i kho ng −∞;x 1 và x 2 ; +∞ . Do ó −1 < a < 2, a ≠ 1 không )
tho mãn yêu c u bài toán .
V y hàm s y ng bi n trên » khi và ch khi a < −1 ∨ a ≥ 2 .
( m − 1) x 2
+ 2x + 1
b. y = f x( ) =
x +1
Hàm s ã cho xác nh trên D = » \ −1 . { }
Ta có y ' =
( m − 1) x 2
(
+2 m −1 x +1 ) =
g x( ) ,
( x + 1) ( x + 1)
2 2
V i g ( x ) = (m − 1) x + 2 (m − 1) x + 1, x ≠ −1
2
- Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu
D u c a y ' là d u c a g x . ( )
Hàm s y ( ) ( )
ng bi n trên m i kho ng −∞; −1 và −1; +∞ khi và ch khi g x ≥ 0, ∀x ≠ −1 1 ( ) ()
( )
• Xét m − 1 = 0 ⇔ m = 1 ⇒ g x = 1 > 0, ∀x ≠ −1 ⇒ m = 1 a tho mãn yêu c u bài toán . ()
• Xét m − 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ 1
()
Tương t trên 1 < m ≤ 2 b th a yêu c u bài toán .
T (a ) và (b ) suy ra 1 ≤ m ≤ 2 thì hàm s y ng bi n trên » .
3.
m
a. y = x + 2 +
x −1
m m
a )y = x + 2 + ⇒ y' =1− ,x ≠ 1
x −1
( )
2
x −1
• m ≤ 0 thì y ' > 0; ∀x ≠ 1 . Do ó hàm s (
ng bi n trên m i kho ng −∞;1 và 1; +∞ . ) ( )
(x − 1) − m , x ≠ 1 và y ' = 0 ⇔ x = 1 ±
2
m
• m > 0 thì y ' = 1 − = m . L p b ng bi n thiên ta th y
( x − 1) ( x − 1)
2 2
hàm s ngh ch bi n
( ) (
trên m i kho ng 1 − m ;1 và 1;1 + m ; do ó không tho ) i u ki n .
V y :hàm s ng bi n trên m i kho ng xác nh c a nó khi và ch khi m ≤ 0
Chú ý : Bài toán trên ư c m r ng như sau
a1 ) Tìm giá tr c a m hàm s ng bi n −∞; −1 ( )
a2 ) Tìm giá tr c a m hàm s ng bi n ( 2; +∞ )
a 3 ) Tìm giá tr c a m hàm s ngh ch bi n trong kho ng có dài b ng 2.
a 4 ) Tìm giá tr c a m hàm s ngh ch bi n trên m i kho ng 0;1 và 1;2 . ( ) ( )
( )
2
a 5 ) G i x 1 < x 2 là hai nghi m c a phương trình x − 1 − m = 0 . Tìm m :
a 5.1 ) x 1 = 2x 2 a 5.3 ) x 1 + 3x 2 < m + 5
a 5.2 ) x 1 < 3x 2 a 5.4 ) x 1 − 5x 2 ≥ m − 12
b. y =
(
−2x 2 + m + 2 x − 3m + 1) = −2x + m +
1 − 2m
x −1 x −1
2m − 1
⇒ y ' = −2 +
( x − 1)
2
1
• m≤
2
⇒ y ' < 0, x ≠ 1 , hàm s ngh ch bi n trên m i kho ng −∞;1 va` 1; +∞ ( ) ( )
- Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu
1
• m> phương trình y ' = 0 có hai nghi m x 1 < 1 < x 2 ⇒ hàm s ng bi n trên m i kho ng
2
( ) ( )
x 1;1 và 1; x 2 , trư ng h p này không th a .
D ng 3 : Hàm s ơn i u trên t p con c a » .
Phương pháp:
* Hàm s y = f (x , m ) tăng ∀x ∈ I ⇔ y ' ≥ 0 ∀x ∈ I ⇔ min y ' ≥ 0 .
x ∈I
* Hàm s y = f (x , m ) gi m ∀x ∈ I ⇔ y ' ≤ 0 ∀x ∈ I ⇔ max y ' ≤ 0 .
x ∈I
Ví d 1 : Tìm m các hàm s sau
mx + 4
1. y = f x = ( )
x +m
luôn ngh ch bi n kho ng −∞;1 . ( )
( )
2. y = x 3 + 3x 2 + m + 1 x + 4m ngh ch bi n trên kho ng −1;1 . ( )
Gi i :
mx + 4
1. y = f x = ( ) x +m
luôn ngh ch bi n kho ng −∞;1 . ( )
Hàm s ã cho xác nh trên D = » \ −m . { }
m2 − 4
Ta có y ' = , x ≠ −m
( )
2
x +m
Hàm s ngh ch bi n trên kho ng −∞;1 khi và ch khi
y ' < 0, ∀x ∈ −∞;1
( ) ( )
−m ∉ −∞;1
( )
m − 4 < 0
2
−2 < m < 2
−2 < m < 2
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ −2 < m ≤ −1
−m ∉ −∞;1
( −m ≥ 1
) m ≤ −1
V y : v i −2 < m ≤ −1 thì tho yêu c u bài toán .
( )
2. y = x 3 + 3x 2 + m + 1 x + 4m ngh ch bi n trên kho ng −1;1 . ( )
Hàm s ã cho xác nh trên » .
( )
Ta có : f ' x = 3x 2 + 6x + m + 1
Cách 1 :
( )
Hàm s ã cho ngh ch bi n trên kho ng −1;1 khi và ch khi f ' x ≤ 0, ∀x ∈ −1;1 hay ( ) ( )
( )
m ≤ − 3x 2 + 6x + 1 , ∀x ∈ −1;1 ⇔ m ≤ min g x
x ∈( −1;1)
( ) ( ) ( 1) .
( )
Xét hàm s g x = − 3x 2 + 6x + 1 , ∀x ∈ −1;1 (
( ) )
⇒ g ' ( x ) = −6x − 6 < 0, ∀x ∈ ( −1;1) ⇒ g ( x ) ngh ch bi n trên kho ng ( −1;1) và
lim g ( x ) = −2, lim g ( x ) = −10
x →−1+ x →1−
B ng bi n thiên.
- Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu
x −1 1
( )
g' x −
g (x ) −2
−10
V y m ≤ −10 tho yêu c u bài toán .
Cách 2 :
( )
f '' x = 6x + 6
( )
Nghi m c a phương trình f '' x = 0 là x = −1 < 1 . Do ó, hàm s ã
cho ngh ch bi n trên kho ng ( −1;1) khi và ch khi m ≤ lim g x = −10 .
−
( )
x →1
V y m ≤ −10 tho yêu c u bài toán .
Ví d 2 : Tìm m các hàm s sau
( )
1. y = f x = 2x 3 − 2x 2 − mx − 1 ng bi n trên kho ng 1; +∞ . ( )
2. y = f ( x ) = mx 3
− x 2 + 3x + m − 2 ng bi n trên kho ng −3; 0 . ( )
1
3. y = f x = ( ) 3
( )
mx 3 + 2 m − 1 x 2 + m − 1 x + m ( ) ng bi n trên
(
kho ng 2; +∞ . )
Gi i :
( )
1. y = f x = 2x 3 − 2x 2 − mx − 1 ng bi n trên kho ng 1; +∞ . ( )
Hàm s ã cho xác (
nh trên 1; +∞ . )
Ta có : y ' = 6x 2 − 4x + m
Hàm s ã cho ( )
ng bi n trên kho ng 1; +∞ khi và ch khi y ' ≥ 0, ∀x ∈ 1; +∞ ( )
( )
⇔ g x = 6x 2 − 4x ≥ −m, x > 1 .
( )
Xét hàm s g x = 6x 2 − 4x liên t c trên kho ng 1; +∞ , ta có ( )
( )
g ' x = 12x − 4 > 0, ∀x > 1 ⇔ g x ( ) ng bi n trên kho ng 1; +∞ ( )
+
x →1
( )+
x →1
(
và lim g x = lim 6x 2 − 4x = 2, lim g x = +∞ ) x →+∞
( )
B ng bi n thiên.
x 1 +∞
( )
g' x +
g (x ) +∞
- Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu
2
D a vào b ng bi n thiên suy ra 2 ≥ −m ⇔ m ≥ −2
( )
2. y = f x = mx 3 − x 2 + 3x + m − 2 ng bi n trên kho ng −3; 0 . ( )
Hàm s ã cho xác (
nh trên −3; 0 . )
Ta có : y ' = 3mx 2 − 2x + 3
Hàm s ã cho (
ng bi n trên kho ng −3; 0 khi và ch khi y ' ≥ 0, ∀x ∈ −3; 0 ) ( )
2x + 3
Hay 3mx 2 − 2x + 3 ≥ 0, ∀x ∈ −3; 0 ⇔ m ≥ ( ) 3x 2
, ∀x ∈ −3; 0 ( )
2x + 3
Xét hàm s g x = ( )
3x 2
liên t c trên kho ng −3; 0 , ta có ( )
−6x 2 + 18x
( )
g' x =
9x 4
(
< 0, ∀x ∈ −3; 0 ⇒ g x ngh ch bi n trên ) ( )
1
( ) ( )
kho ng −3; 0 và lim+ g x = − , lim g x = −∞
x →−3 9 x → 0−
( )
B ng bi n thiên.
x −3 0
( )
g' x −
g (x ) −
1
9
−∞
1
D a vào b ng bi n thiên suy ra m ≥ −
9
1
3. y = f x = ( ) 3
( )
mx 3 + 2 m − 1 x 2 + m − 1 x + m ( ) ng bi n trên
(
kho ng 2; +∞ . )
Hàm s ã cho xác (
nh trên 2; +∞ . )
(
Ta có : y ' = mx 2 + 4 m − 1 x + m − 1 )
Hàm s ng bi n trên kho ng 2; +∞ khi và ch khi( )
( ) (
y ' ≥ 0, ∀x ∈ 2; +∞ ⇔ mx 2 + 4 m − 1 x + m − 1 ≥ 0, ∀x ∈ 2; +∞ ) ( )
4x + 1
( )
⇔ x 2 + 4x + 1 m ≥ 4x + 1, ∀x ∈ 2; +∞ ⇔ m ≥ ( ) x + 4x + 1
2
, ∀x ∈ 2; +∞ ( )
4x + 1
Xét hàm s g x = ( ) x + 4x + 1
2
, x ∈ 2; +∞ ( )
nguon tai.lieu . vn
