Xem mẫu

  1.     Tài Liệu Ôn thi đại học - cao đẳng cấp tốc phần hàm số
  2. Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu các em thu n ti n trong vi c ôn luy n thi i h c và Cao ng năm 2009 . Chúng tôi g i t ng các em bài vi t nh mang tính t ng quát gi i tích hàm s l p 12 , cũng như m t s ng d ng c áo gi i quy t khá tri t nh ng d ng toán t ng c p các l p h c dư i mà các em còn b ngõ . Tài li u ư c c p nhi u ch chuyên phù h p vi c ôn luy n thi c p t c chu n b kỳ thi i h c tháng 7/2009 . Trong quá trình biên so n ch c h n còn nhi u ch thi u sót khách quan, chúng tôi r t mong óng góp quý báu c a các b n c gi g n xa , thư góp ý g i v email: phukhanh1009@gmail.com . Tài li u này còn ư c lưu tr t i hai website : http://www.mathsvn.violet.vn và http://www.maths.vn .
  3. Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu Bài 1: TÍNH ƠN I U C A HÀM S 1.1 TÓM T T LÝ THUY T 1. nh nghĩa : Gi s K là m t kho ng , m t o n ho c m t n a kho ng . Hàm s f xác nh trên K ư c g i là • ( ) ( ) ng bi n trên K n u v i m i x 1, x 2 ∈ K , x 1 < x 2 ⇒ f x 1 < f x 2 ; • Ngh ch bi n trên K n u v i m i x 1, x 2 ∈ K , x 1 < x 2 ⇒ f (x ) > f (x ) . 1 2 2. i u ki n c n hàm s ơn i u : Gi s hàm s f có o hàm trên kho ng I • N u hàm s f ( ) ng bi n trên kho ng I thì f ' x ≥ 0 v i m i x ∈ I . • N u hàm s f ngh ch bi n trên kho ng I thì f ' ( x ) ≤ 0 v i m i x ∈I . 3. i u ki n hàm s ơn i u : nh lý 1 : nh lý v giá tr trung bình c a phép vi phân ( nh lý Lagrange): ( ) N u hàm s f liên t c trên a;b  và có o hàm trên kho ng a;b thì t n t i ít nh t m t i m c ∈ a;b sao   ( ) () () ( )( cho f b − f a = f ' c b − a . ) nh lý 2 : Gi s I là m t kho ng ho c n a kho ng ho c m t o n , f là hàm s liên t c trên I và có o hàm t i m i i m trong c a I ( t c là i m thu c I nhưng không ph i u mút c a I ) .Khi ó : ( ) • N u f ' x > 0 v i m i x ∈ I thì hàm s f ng bi n trên kho ng I ; • N u f ' (x ) < 0 v i m i x ∈ I thì hàm s f ngh ch bi n trên kho ng I ; • N u f ' (x ) = 0 v i m i x ∈ I thì hàm s f không i trên kho ng I . Chú ý : • N u hàm s f liên t c trên a;b  và có   ( ) ( ) o hàm f ' x > 0 trên kho ng a;b thì hàm s f ng bi n trên a;b  .   • N u hàm s f liên t c trên a;b  và có   ( ) ( ) o hàm f ' x < 0 trên kho ng a;b thì hàm s f ngh ch bi n trên a;b  .   • Ta có th m r ng nh lí trên như sau : Gi s hàm s f có o hàm trên kho ng I . N u f '(x ) ≥ 0 v i ∀x ∈ I ( ho c f '(x ) ≤ 0 v i ∀x ∈ I ) và f '(x ) = 0 t i m t s h u h n i m c a I thì hàm s f ng bi n (ho c ngh ch bi n) trên I .
  4. Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu 1.2 D NG TOÁN THƯ NG G P. D ng 1 : Xét chi u bi n thiên c a hàm s . ( ) Xét chi u bi n thiên c a hàm s y = f x ta th c hi n các bư c sau: • Tìm t p xác nh D c a hàm s . • Tính o hàm y ' = f ' x . ( ) • Tìm các giá tr c a x thu c D ( ) ( ) f ' x = 0 ho c f ' x không xác nh ( ta g i ó là i m t i h n hàm s ). ( ) • Xét d u y ' = f ' x trên t ng kho ng x thu c D . • D a vào b ng xét d u và i u ki n suy ra kho ng ơn i u c a hàm s . Ví d 1 :Xét chi u bi n thiên c a các hàm s sau: 1. y = − x 3 − 3x 2 + 24x + 26 2. y = x 3 − 3x 2 + 2 3. y = x 3 + 3x 2 + 3x + 2 Gi i: 1. y = − x − 3x + 24x + 26 . 3 2 Hàm s ã cho xác nh trên » . Ta có : y ' = −3x 2 − 6x + 24 x = −4 y ' = 0 ⇔ −3x 2 − 6x + 24 = 0 ⇔  x = 2  B ng xét d u c a y ' x −∞ −4 2 +∞ y' − 0 + 0 − ( ) y ' > 0, x ∈ −4;2 ⇒ y ng bi n trên kho ng ( −4;2 ) , y ' > 0, x ∈ ( −∞; −4 ) , ( 2; +∞ ) ⇒ y ngh ch bi n trên các kho ng ( −∞; −4 ) , ( 2; +∞ ) . Ho c ta có th trình bày : Hàm s ã cho xác nh trên » . Ta có : y ' = −3x 2 − 6x + 24 x = −4 y ' = 0 ⇔ −3x 2 − 6x + 24 = 0 ⇔  x = 2  B ng bi n thiên x −∞ −4 2 +∞ y' − 0 + 0 − +∞ y −∞ V y, hàm s ( ) ( ng bi n trên kho ng −4;2 , ngh ch bi n trên các kho ng −∞; −4 và 2; +∞ . ) ( )
  5. Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu 2. y = x 3 − 3x 2 + 2 Hàm s ã cho xác nh trên » . Ta có : y ' = 3x 2 − 6x = 3x (x − 2) x = 0 y ' = 0 ⇔ 3x (x − 2) = 0 ⇔  x = 2  B ng bi n thiên. x −∞ 0 2 +∞ y' + 0 − 0 + y V y hàm ng bi n trên m i kho ng (−∞; 0) và (2; +∞) , ngh ch bi n (0;2) . 3. y = x + 3x 2 + 3x + 2 3 Hàm s ã cho xác nh trên » . ( ) ( ) 2 Ta có: f ' x = 3x 2 = 6x + 3 = 3 x + 1 ( ) ( ) f ' x = 0 ⇔ x = −1 và f ' x > 0 v i m i x ≠ −1 Vì hàm s  (  ) ng bi n trên m i n a kho ng −∞; −1 và  −1; +∞ nên hàm s ng bi n trên » . Ho c ta có th trình bày : x −∞ −1 +∞ y' + 0 + +∞ y 1 −∞ Vì hàm s  (  ) ng bi n trên m i n a kho ng −∞; −1 và  −1; +∞ nên hàm s ng bi n trên » . Ví d 2 :Xét chi u bi n thiên c a các hàm s sau: 1 1. y = − x 4 + 2x 2 − 1 4 2. y = x + 2x 2 − 3 4 3. y = x 4 − 6x 2 + 8x + 1 Gi i: 1 4 1. y = − x + 2x 2 − 1 . 4 Hàm s ã cho xác nh trên » . ( Ta có: y ' = − x 3 + 4x = −x x 2 − 4 )
  6. Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu x = 0 ( ) y ' = 0 ⇔ −x x 2 − 4 = 0 ⇔  x = ±2  B ng bi n thiên x −∞ −2 0 2 +∞ y' + 0 − 0 + 0 − y +∞ −∞ V y, hàm s ( ) ( ) ng bi n trên các kho ng −∞; −2 , 0;2 và ngh ch bi n ( )( trên các kho ng −2; 0 , 2; +∞ . ) 2. y = x 4 + 2x 2 − 3 Hàm s ã cho xác nh trên » . ( Ta có: y ' = 4x 3 + 4x = 4x x 2 + 1 ) Vì x 2 + 1 > 0, ∀x ∈ » nên y ' = 0 ⇔ x = 0 . B ng bi n thiên x −∞ 0 +∞ y' − + +∞ +∞ y V y, hàm s ( ) ng bi n trên kho ng 0; +∞ và ngh ch bi n trên kho ng −∞; 0 . ( ) 3. y = x 4 − 6x 2 + 8x + 1 Hàm s ã cho xác nh trên » . Ta có: y ' = 4x 3 − 12x + 8 = 4(x − 1)2 (x + 2) x = −2 y ' = 0 ⇔ 4(x − 1)2 (x + 2) = 0 ⇔  x = 1  B ng bi n thiên: x −∞ −2 1 +∞ y' − 0 + 0 + y V y,hàm ng bi n trên kho ng (−2; +∞) và ngh ch bi n trên kho ng (−∞; −2) . Nh n xét: * Ta th y t i x = 1 thì y = 0 , nhưng qua ó y ' không i d u. * i v i hàm b c b n y = ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e luôn có ít nh t m t kho ng ng bi n và m t kho ng ngh ch bi n. Do v y v i hàm b c b n
  7. Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu không th ơn i u trên » . Ví d 3 :Xét chi u bi n thiên c a các hàm s sau: 2x − 1 1. y = x +1 x +2 2. y = x −1 −x 2 + 2x − 1 3. y = x +2 x + 4x + 3 2 4. y = x +2 Gi i: 2x − 1 1. y = . x +1 Hàm s ã cho xác ( nh trên kho ng −∞; −1 ∪ −1; +∞ .) ( ) 3 Ta có: y ' = > 0, ∀x ≠ −1 ( x + 1) 2 V y hàm s ( ng bi n trên m i kho ng −∞; −1 và −1; +∞ . ) ( ) x +2 2. y = x −1 Hàm s ã cho xác ( nh trên kho ng −∞;1 ∪ 1; +∞ . ) ( ) 3 Ta có: y ' = - < 0, ∀x ≠ 1 ( x − 1) 2 V y hàm s ng bi n trên m i kho ng −∞;1 và 1; +∞ . ( ) ( ) −x 2 + 2x − 1 3. y = x +2 Hàm s ã cho xác nh trên kho ng −∞; −2 ∪ −2; +∞ . ( ) ( ) −x 2 − 4x + 5 Ta có: y ' = , ∀x ≠ −2 (x + 2) 2 x = −5 y' = 0 ⇔  x = 1  B ng bi n thiên : x −∞ −5 −2 1 +∞ y' − 0 + + 0 − +∞ +∞ y −∞ −∞
  8. Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu V y, hàm s ( ) ng bi n trên các kho ng −5; −2 và −2;1 , ngh ch bi n( ) ( trên các kho ng −∞; −5 và 1; +∞ .) ( ) x 2 + 4x + 3 4. y = x +2 Hàm s ã cho xác nh trên kho ng −∞; −2 ∪ −2; +∞ .( ) ( ) x 2 + 4x + 5 Ta có: y ' = > 0, ∀x ≠ −2 (x + 2 ) 2 B ng bi n thiên : x −∞ −2 +∞ y' + + +∞ +∞ y −∞ −∞ V y , hàm s ( ng bi n trên m i kho ng −∞; −2 và −2; +∞ . ) ( ) Nh n xét: ax + b * i v i hàm s y = (a.c ≠ 0) luôn ng bi n ho c luôn ngh ch cx + d bi n trên t ng kho ng xác nh c a nó. ax 2 + bx + c * i v i hàm s y = luôn có ít nh t hai kho ng ơn i u. a 'x + b ' * C hai d ng hàm s trên không th luôn ơn i u trên » . Ví d 4 :Xét chi u bi n thiên c a các hàm s sau: 1. y =| x 2 − 2x − 3 | 2. y = 3x 2 − x 3 Gi i: 1. y =| x 2 − 2x − 3 | Hàm s ã cho xác nh trên » . x 2 − 2x − 3 khi x ≤ −1 ∪ x ≥ 3  Ta có: y =  2 −x + 2x + 3 khi − 1 < x < 3  2x − 2 khi x < −1 ∪ x > 3  ⇒y'=  ⇒y'=0 ⇔x =1 −2x + 2 khi − 1 < x < 3   Hàm s không có o hàm t i x = −1 và x = 3 . B ng bi n thiên: x −∞ −1 1 3 +∞ y' − 0 + 0 − 0 + y
  9. Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu Hàm ng bi n trên m i kho ng (−1;1) và (3; +∞) , ngh ch bi n trên (−∞; −1) và (1; 3) . 2. y = 3x 2 − x 3 Hàm s ã cho xác nh trên n a kho ng (−∞; 3] 3(2x − x 2 ) Ta có: y ' = , ∀x < 3, x ≠ 0 . 2 3x − x 2 3 ∀x < 3, x ≠ 0 : y ' = 0 ⇔ x = 2 Hàm s không có o hàm t i các i m x = 0, x = 3 . B ng bi n thiên: −∞ 0 2 3 +∞ x y' − || + 0 − || y Hàm ng bi n trên kho ng (0;2) , ngh ch bi n trên (−∞; 0) và (2; 3) . Ví d 5 : ( ) Tìm kho ng ơn i u c a hàm s f x = sin x trên kho ng 0;2π . ( ) Gi i: Hàm s ã cho xác nh trên kho ng 0;2π . ( ) ( ) Ta có : f ' x = cos x , x ∈ 0;2π . ( ) π 3π ( ) ( f ' x = 0, x ∈ 0;2π ⇔ x = ) 2 ,x = 2 Chi u bi n thiên c a hàm s ư c nêu trong b ng sau : π 3π x 0 2π 2 2 ( ) f' x + 0 − 0 + f (x ) 1 0 0 −1  π   3π   π 3π  Hàm s ng bi n trên m i kho ng  0;  và  ;2π  , ngh ch bi n trên kho ng  ; .  2  2  2 2  BÀI T P T LUY N
  10. Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu 1. Xét chi u bi n thiên c a các hàm s sau: 1 x 2 − 2x 1. y = x 3 − 3x 2 + 8x − 2 2. y = 3 x −1 2. Xét chi u bi n thiên c a các hàm s sau: 1. y = 2x 3 + 3x 2 + 1 4 2 3. y = − x 3 + 6x 2 − 9x − 2. y = x − 2x − 5 4 2 3 3 4. y = 2x − x 2 3. Ch ng minh r ng hàm s : 1. y = 4 − x 2 ngh ch bi n trên o n 0;2  .   2. y = x + x − cos x − 4 ng bi n trên » . 3 3. y = cos 2x − 2x + 3 ngh ch bi n trên » . 4. Cho hàm s y = sin2 x + cos x .  π π  a ) Ch ng minh r ng hàm s ng bi n trên o n 0;  và ngh ch bi t trên o n  ; π  .  3 3  ( ) b) Ch ng minh r ng v i m i m ∈ −1;1 , phương trình sin2 x + cos x = m có nghi m duy nh t thu c o n 0; π  .   Hư ng d n 1. 1 1. y = x 3 − 3x 2 + 8x − 2 3 Hàm s ã cho xác nh trên » . ( ) Ta có f ' x = x 2 − 6x + 8 ( ) f ' x = 0 ⇔ x = 2, x = 4 Chi u bi n thiên c a hàm s ư c nêu trong b ng sau : x −∞ 2 4 +∞ ( ) f' x + 0 − 0 + f (x ) +∞ −∞ V y hàm s ( ) ( ) ng bi n trên m i kho ng −∞;2 và 4; +∞ , ngh ch bi n trên kho ng 2; 4( ) x 2 − 2x 2. y = x −1 Hàm s ã cho xác nh trên t p h p » \ 1 . {}
  11. Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu (x − 1) + 1 > 0, x ≠ 1 2 x 2 − 2x + 2 ( ) Ta có f ' x = = ( x − 1) ( x − 1) 2 2 Chi u bi n thiên c a hàm s ư c nêu trong b ng sau : x −∞ 1 +∞ ( ) f' x + + +∞ +∞ ( ) f x −∞ −∞ V y hàm s ( ng bi n trên m i kho ng −∞;1 và 1; +∞ ) ( ) 2. 1. y = 2x 3 + 3x 2 + 1 Hàm s ã cho xác nh trên » . ( ) Ta có f ' x = 6x 2 + 6x ( ) ( ) ( ) ( ) ng bi n trên m i kho ng ( −∞; −1) và ( 0; +∞ ) . f ' x > 0, x ∈ −∞; −1 , 0; +∞ ⇒ f x f ' ( x ) < 0, x ∈ ( −1; 0 ) ⇒ f ( x ) ngh ch bi n trên kho ng ( −1; 0 ) . ( ) Ngoài ra : H c sinh có th gi i f ' x = 0 , tìm ra hai nghi m x = −1, x = 0 , k b ng bi n thiên r i k t lu n. 2. y = x 4 − 2x 2 − 5 Hàm s ã cho xác nh trên » . ( ) Ta có f ' x = 4x 3 − 4x ( ) ( ) ( ) ( ) ng bi n trên m i kho ng ( −1; 0 ) và (1; +∞ ) . f ' x > 0, x ∈ −1; 0 , 1; +∞ ⇒ f x f ' ( x ) < 0, x ∈ ( −∞; −1) , ( 0;1) ⇒ f ( x ) ngh ch bi n trên m i kho ng ( −∞; −1) và ( 0;1) . ( ) Ngoài ra : H c sinh có th gi i f ' x = 0 , tìm ra hai nghi m x = −1, x = 0, x = 1 , k b ng bi n thiên r i k t lu n. 4 2 3. y = − x 3 + 6x 2 − 9x − 3 3 Hàm s ã cho xác nh trên » . ( ) ( ) 2 Ta có f ' x = −4x 2 + 12x − 9 = − 2x − 3 3 3 ( ) f' x =0⇔x = 2 ( ) và f ' x < 0 v i m i x ≠ 2  3 3  Vì hàm s ngh ch bi n trên m i n a kho ng  −∞;  và  ; +∞  nên hàm s ngh ch bi n trên » .  2 2 
  12. Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu 4. y = 2x − x 2 Hàm s ã cho xác nh trên 0;2  .   1−x ( ) Ta có f ' x = , x ∈ 0;2 ( ) 2x − x 2 ( ) ( ) ( ) f ' x > 0, x ∈ 0;1 ⇒ f x ng bi n trên kho ng ( 0;1) ; f ' ( x ) < 0, x ∈ (1;2 ) ⇒ f ( x ) ngh ch bi n trên kho ng (1;2 ) . Ho c có th trình bày : ( ) ( ) ( ) ng bi n trên o n 0;1 ; f ' x > 0, x ∈ 0;1 ⇒ f x   f ' ( x ) < 0, x ∈ (1;2 ) ⇒ f ( x ) ngh ch bi n trên o n 1;2  .   3. 1. y = 4 − x 2 ngh ch bi n trên o n 0;2  .   −x D th y hàm s ã cho liên t c trên o n 0;2  và có   ( ) o hàm f ' x = ( ) < 0 v i m i x ∈ 0;2 . Do 4 − x2 ó hàm s ngh ch bi n trên o n 0;2  .   2. y = x 3 + x − cos x − 4 ng bi n trên » . Hàm s ã cho xác nh trên » . ( ) Ta có f ' x = 3x 2 + 1 + sin x 3x 2 ≥ 0 ∀x ∈ »  Vì  ( ) nên f ' x ≥ 0, x ∈ » . 1 + sin x ≥ 0 ∀x ∈ »  Do ó hàm s ng bi n trên » . 3. y = cos 2x − 2x + 3 ngh ch bi n trên » . Hàm s ã cho xác nh trên » . π ( ) ( ) ( ) Ta có f ' x = −2 sin 2x + 1 ≤ 0, ∀x ∈ » và f ' x = 0 ⇔ sin 2x = −1 ⇔ x = − 4 + kπ , k ∈ »  π π  ( Hàm s ngh ch bi n trên m i o n  − + k π ; − + k + 1 π  , k ∈ » . )  4 4  Do ó hàm s ngh ch bi n trên » . 4.  π π  a ) Ch ng minh r ng hàm s ng bi n trên o n 0;  và ngh ch bi t trên o n  ; π  .  3 3  ( Hàm s liên t c trên o n 0; π  và y ' = sin x 2 cos x − 1 , x ∈ 0; π   ) ( )
  13. Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu 1 π ( ) ( ) ( ) Vì x ∈ 0; π ⇒ sin x > 0 nên trong kho ng 0; π : f ' x = 0 ⇔ cos x = 2 ⇔x = 3  π  π • y ' > 0, ∀x ∈  0;  nên hàm s ng bi n trên o n 0;   3  3 π  π  • y ' < 0, ∀x ∈  ; π  nên hàm s ngh ch bi n trên o n  ; π  3  3  ( ) b) Ch ng minh r ng v i m i m ∈ −1;1 , phương trình sin2 x + cos x = m có nghi m duy nh t thu c o n 0; π  .    π π  5 () • x ∈ 0;  ta có y 0 ≤ y ≤ y   ⇔ 1 ≤ y ≤ nên phương trình cho không có nghi m m ∈ −1;1 ( )  3 3 4 π  π  5 ( ) • x ∈  ; π  ta có y π ≤ y ≤ y   ⇔ −1 ≤ y ≤ . Theo nh lý v giá tr trung gian c a hàm s liên t c 3  3 4  5 π  ( ) () v i ∀m ∈ −1;1 ⊂  −1;  , t n t i m t s th c c ∈  ; π  sao cho y c = 0 . S c là nghi m c a phương 4  3  π  trình sin2 x + cos x = m và vì hàm s ngh ch bi n trên o n  ; π  nên trên o n này , phương trình có 3  nghi m duy nh t . V y phương trình cho có nghi m duy nh t thu c o n 0; π  .   D ng 2 : Hàm s ơn i u trên » . S d ng nh lý v i u ki n c n ( ) ( ) • N u hàm s f x ơn i u tăng trên » thì f ' x ≥ 0, ∀x ∈ » . • N u hàm s f (x ) ơn i u gi m trên » thì f ' ( x ) ≤ 0, ∀x ∈ » . Ví d 1 : Tìm m hàm s sau luôn gi m ( ngh ch bi n) trên » 1 ( ) ( ) y = f x = − x 3 + 2x 2 + 2m + 1 x − 3m + 2 . 3 Gi i : Hàm s ã cho xác nh trên » . Ta có : y ' = −x 2 + 4x + 2m + 1 và có ∆ ' = 2m + 5 B ng xét d u ∆ ' m −∞ 5 +∞ − 2 ∆' − 0 + 5 ( ) 2 • m = − thì y ' = − x − 2 ≤ 0 v i m i x ∈ », y ' = 0 ch t i i m x = 2 . Do ó hàm s ngh ch bi n trên 2 ». 5 • m < − thì y ' < 0, ∀x ∈ » . Do ó hàm s ngh ch bi n trên » . 2
  14. Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu 5 2 ( ) • m > − thì y ' = 0 có hai nghi m x 1, x 2 x 1 < x 2 . Hàm s ng bi n trên kho ng (x ; x ) . Trư 1 2 ng h p này không th a mãn . Chú ý : cách gi i sau ây không phù h p i m nào ? Hàm s ngh ch bi n trên » khi và ch khi a = −1 < 0  5 y ' = −x 2 + 4x + 2m + 1 ≤ 0, ∀x ∈ » ⇔  ⇔ 2m + 5 ≤ 0 ⇔ m ≤ − ∆ ' ≤ 0  2 5 V y hàm s ngh ch bi n trên » khi và ch khi m ≤ − 2 Ví d 2 : Tìm a hàm s sau luôn tăng ( ng bi n) trên » 1 ( ) y = f x = x 3 + ax 2 + 4x + 3 . 3 Gi i: Hàm s ã cho xác nh trên » . Ta có y ' = x 2 + 2ax + 4 và có ∆ ' = a 2 − 4 B ng xét d u ∆ ' a −∞ −2 2 +∞ ∆' + 0 − 0 + • N u −2 < a < 2 thì y ' > 0 v i m i x ∈ » . Hàm s y ng bi n trên » . ( ) , ta có : y ' = 0 ⇔ x = −2, y ' > 0, x ≠ −2 . Hàm s 2 • N u a = 2 thì y ' = x + 2 y ng bi n trên m i n a ( kho ng −∞; −2  và   −2; +∞ ) nên hàm s y  ng bi n trên » . • Tương t n u a = −2 . Hàm s y ng bi n trên » . • N u a < −2 ho c a > 2 thì y ' = 0 có hai nghi m phân bi t x 1, x 2 . Gi s x 1 < x 2 . Khi ó hàm s ngh ch ( ) bi n trên kho ng x 1; x 2 , ( ) ( ) ng bi n trên m i kho ng −∞;x 1 và x 2 ; +∞ . Do ó a < −2 ho c a > 2 không tho mãn yêu c u bài toán . V y hàm s y ng bi n trên » khi và ch khi −2 ≤ a ≤ 2 Ví d 3 : Tìm m hàm s y = x + m cos x ng bi n trên » . Gi i : Hàm s ã cho xác nh trên » . Ta có y ' = 1 − m sin x . Cách 1: Hàm ng bi n trên » ⇔ y ' ≥ 0, ∀x ∈ » ⇔ 1 − m sin x ≥ 0, ∀x ∈ » ⇔ m sin x ≤ 1,∀x ∈ » (1) * m = 0 thì (1) luôn úng 1 1 * m > 0 thì (1) ⇔ sin x ≤ ∀x ∈ » ⇔ 1 ≤ ⇔ 0 < m ≤ 1. m m 1 1 * m < 0 thì (1) ⇔ sin x ≥ ∀x ∈ R ⇔ −1 ≥ ⇔ −1 ≤ m < 0 . m m V y −1 ≤ m ≤ 1 là nh ng giá tr c n tìm. Cách 2: Hàm ng bi n trên » ⇔ y ' ≥ 0 ∀x ∈ »
  15. Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu 1 − m ≥ 0  ⇔ min y ' = min{1 − m;1 + m } ≥ 0 ⇔  ⇔ −1 ≤ m ≤ 1 .  1+m ≥ 0  Chú ý : Phương pháp: * Hàm s y = f (x , m ) tăng trên » ⇔ y ' ≥ 0 ∀x ∈ » ⇔ min y ' ≥ 0 . x ∈» * Hàm s y = f (x , m ) gi m trên » ⇔ y ' ≤ 0 ∀x ∈ » ⇔ max y ' ≤ 0 . x ∈» Chú ý: 1) N u y ' = ax 2 + bx + c thì  a = b = 0    c ≥ 0 * y ' ≥ 0 ∀x ∈ » ⇔   a > 0   ∆ ≤ 0   a = b = 0    c ≤ 0 * y ' ≤ 0 ∀x ∈ » ⇔   a < 0   ∆ ≤ 0  2) Hàm ng bi n trên » thì nó ph i xác nh trên » . BÀI T P T LUY N 1. Tìm m hàm s sau luôn gi m ( ngh ch bi n) trên » x3 ( ) y = f x = (m + 2) 3 ( ) − (m + 2)x 2 + m − 8 x + m 2 − 1 . 2. Tìm m hàm s sau luôn tăng ( ng bi n) trên » ( ) 1 ( ) ( ) a. y = f x = m 2 − 1 x 3 + m + 1 x 2 + 3x + 5 3 ( ) m − 1 x 2 + 2x + 1 ( ) b. y = f x = x +1 3. V i giá tr nào c a m , các hàm s ng bi n trên m i kho ng xác nh c a nó ? a. y = x + 2 + m b. y = ( ) −2x 2 + m + 2 x − 3m + 1 x −1 x −1 Hư ng d n : x3 ( ) 1. y = f x = (m + 2) 3 ( ) − (m + 2)x 2 + m − 8 x + m 2 − 1 Hàm s ã cho xác nh trên » . Ta có y ' = (m + 2)x 2 − 2(m + 2)x + m − 8 .
  16. Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu * m = −2 , khi ó y ' = −10 ≤ 0, ∀x ∈ » ⇒ hàm s luôn ngh ch bi n trên » . * m ≠ −2 tam th c y ' = (m + 2)x 2 − 2(m + 2)x + m − 8 có ∆ ' = 10(m + 2) B ng xét d u ∆ ' m −∞ −2 +∞ ∆' − 0 + • m < −2 thì y ' < 0 v i m i x ∈ » . Do ó hàm s ngh ch bi n trên » . • m > −2 thì y ' = 0 có hai nghi m x 1, x 2 x 1 < x 2 . Hàm s ( ) ng bi n trên kho ng (x ; x ) . Trư 1 2 ng h p này không th a mãn . V y m ≤ −2 là nh ng giá tr c n tìm. 2. Tìm m hàm s sau luôn tăng ( ng bi n) trên » ( ) 1 ( ) a. y = f x = a 2 − 1 x 3 + a + 1 x 2 + 3x + 5 3 ( ) Hàm s ã cho xác nh trên » . ( ) ( Ta có : y ' = a 2 − 1 x 2 + 2 a + 1 x + 3 và có ∆ ' = 2 −a 2 + a + 2) ( ) Hàm s y ng bi n trên » khi và ch khi ⇔ y ' ≥ 0, ∀x ∈ » 1 () • Xét a 2 − 1 = 0 ⇔ a = ±1 3 + a = 1 ⇒ y ' = 4x + 3 ⇒ y ' ≥ 0 ⇔ x ≥ − ⇒ a = 1 không tho yêu c u bài toán. 4 + a = −1 ⇒ y ' = 3 > 0 ∀x ∈ » ⇒ a = −1 tho mãn yêu c u bài toán. • Xét a 2 − 1 ≠ 0 ⇔ a ≠ ±1 B ng xét d u ∆ ' a −∞ −1 1 2 +∞ ∆' − 0 + 0 − • N u a < −1 ∨ a > 2 thì y ' > 0 v i m i x ∈ » . Hàm s y ng bi n trên » . ( ) 2 • N u a = 2 thì y ' = 3 x + 1 , ta có : y ' = 0 ⇔ x = −1, y ' > 0, x ≠ −1 . Hàm s y ng bi n trên m i ( n a kho ng −∞; −1 va`  −1; +∞ nên hàm s y   ng bi n trên » . ) • N u −1 < a < 2, a ≠ 1 thì y ' = 0 có hai nghi m phân bi t x 1, x 2 . Gi s x 1 < x 2 . Khi ó hàm s ngh ch ( bi n trên kho ng x 1; x 2 , ) ( ) ( ng bi n trên m i kho ng −∞;x 1 và x 2 ; +∞ . Do ó −1 < a < 2, a ≠ 1 không ) tho mãn yêu c u bài toán . V y hàm s y ng bi n trên » khi và ch khi a < −1 ∨ a ≥ 2 . ( m − 1) x 2 + 2x + 1 b. y = f x( ) = x +1 Hàm s ã cho xác nh trên D = » \ −1 . { } Ta có y ' = ( m − 1) x 2 ( +2 m −1 x +1 ) = g x( ) , ( x + 1) ( x + 1) 2 2 V i g ( x ) = (m − 1) x + 2 (m − 1) x + 1, x ≠ −1 2
  17. Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu D u c a y ' là d u c a g x . ( ) Hàm s y ( ) ( ) ng bi n trên m i kho ng −∞; −1 và −1; +∞ khi và ch khi g x ≥ 0, ∀x ≠ −1 1 ( ) () ( ) • Xét m − 1 = 0 ⇔ m = 1 ⇒ g x = 1 > 0, ∀x ≠ −1 ⇒ m = 1 a tho mãn yêu c u bài toán . () • Xét m − 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ 1 () Tương t trên 1 < m ≤ 2 b th a yêu c u bài toán . T (a ) và (b ) suy ra 1 ≤ m ≤ 2 thì hàm s y ng bi n trên » . 3. m a. y = x + 2 + x −1 m m a )y = x + 2 + ⇒ y' =1− ,x ≠ 1 x −1 ( ) 2 x −1 • m ≤ 0 thì y ' > 0; ∀x ≠ 1 . Do ó hàm s ( ng bi n trên m i kho ng −∞;1 và 1; +∞ . ) ( ) (x − 1) − m , x ≠ 1 và y ' = 0 ⇔ x = 1 ± 2 m • m > 0 thì y ' = 1 − = m . L p b ng bi n thiên ta th y ( x − 1) ( x − 1) 2 2 hàm s ngh ch bi n ( ) ( trên m i kho ng 1 − m ;1 và 1;1 + m ; do ó không tho ) i u ki n . V y :hàm s ng bi n trên m i kho ng xác nh c a nó khi và ch khi m ≤ 0 Chú ý : Bài toán trên ư c m r ng như sau a1 ) Tìm giá tr c a m hàm s ng bi n −∞; −1 ( ) a2 ) Tìm giá tr c a m hàm s ng bi n ( 2; +∞ ) a 3 ) Tìm giá tr c a m hàm s ngh ch bi n trong kho ng có dài b ng 2. a 4 ) Tìm giá tr c a m hàm s ngh ch bi n trên m i kho ng 0;1 và 1;2 . ( ) ( ) ( ) 2 a 5 ) G i x 1 < x 2 là hai nghi m c a phương trình x − 1 − m = 0 . Tìm m : a 5.1 ) x 1 = 2x 2 a 5.3 ) x 1 + 3x 2 < m + 5 a 5.2 ) x 1 < 3x 2 a 5.4 ) x 1 − 5x 2 ≥ m − 12 b. y = ( −2x 2 + m + 2 x − 3m + 1) = −2x + m + 1 − 2m x −1 x −1 2m − 1 ⇒ y ' = −2 + ( x − 1) 2 1 • m≤ 2 ⇒ y ' < 0, x ≠ 1 , hàm s ngh ch bi n trên m i kho ng −∞;1 va` 1; +∞ ( ) ( )
  18. Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu 1 • m> phương trình y ' = 0 có hai nghi m x 1 < 1 < x 2 ⇒ hàm s ng bi n trên m i kho ng 2 ( ) ( ) x 1;1 và 1; x 2 , trư ng h p này không th a . D ng 3 : Hàm s ơn i u trên t p con c a » . Phương pháp: * Hàm s y = f (x , m ) tăng ∀x ∈ I ⇔ y ' ≥ 0 ∀x ∈ I ⇔ min y ' ≥ 0 . x ∈I * Hàm s y = f (x , m ) gi m ∀x ∈ I ⇔ y ' ≤ 0 ∀x ∈ I ⇔ max y ' ≤ 0 . x ∈I Ví d 1 : Tìm m các hàm s sau mx + 4 1. y = f x = ( ) x +m luôn ngh ch bi n kho ng −∞;1 . ( ) ( ) 2. y = x 3 + 3x 2 + m + 1 x + 4m ngh ch bi n trên kho ng −1;1 . ( ) Gi i : mx + 4 1. y = f x = ( ) x +m luôn ngh ch bi n kho ng −∞;1 . ( ) Hàm s ã cho xác nh trên D = » \ −m . { } m2 − 4 Ta có y ' = , x ≠ −m ( ) 2 x +m Hàm s ngh ch bi n trên kho ng −∞;1 khi và ch khi  y ' < 0, ∀x ∈ −∞;1  ( ) ( ) −m ∉ −∞;1  ( ) m − 4 < 0  2   −2 < m < 2   −2 < m < 2 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ −2 < m ≤ −1 −m ∉ −∞;1  ( −m ≥ 1  ) m ≤ −1  V y : v i −2 < m ≤ −1 thì tho yêu c u bài toán . ( ) 2. y = x 3 + 3x 2 + m + 1 x + 4m ngh ch bi n trên kho ng −1;1 . ( ) Hàm s ã cho xác nh trên » . ( ) Ta có : f ' x = 3x 2 + 6x + m + 1 Cách 1 : ( ) Hàm s ã cho ngh ch bi n trên kho ng −1;1 khi và ch khi f ' x ≤ 0, ∀x ∈ −1;1 hay ( ) ( ) ( ) m ≤ − 3x 2 + 6x + 1 , ∀x ∈ −1;1 ⇔ m ≤ min g x x ∈( −1;1) ( ) ( ) ( 1) . ( ) Xét hàm s g x = − 3x 2 + 6x + 1 , ∀x ∈ −1;1 ( ( ) ) ⇒ g ' ( x ) = −6x − 6 < 0, ∀x ∈ ( −1;1) ⇒ g ( x ) ngh ch bi n trên kho ng ( −1;1) và lim g ( x ) = −2, lim g ( x ) = −10 x →−1+ x →1− B ng bi n thiên.
  19. Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu x −1 1 ( ) g' x − g (x ) −2 −10 V y m ≤ −10 tho yêu c u bài toán . Cách 2 : ( ) f '' x = 6x + 6 ( ) Nghi m c a phương trình f '' x = 0 là x = −1 < 1 . Do ó, hàm s ã cho ngh ch bi n trên kho ng ( −1;1) khi và ch khi m ≤ lim g x = −10 . − ( ) x →1 V y m ≤ −10 tho yêu c u bài toán . Ví d 2 : Tìm m các hàm s sau ( ) 1. y = f x = 2x 3 − 2x 2 − mx − 1 ng bi n trên kho ng 1; +∞ . ( ) 2. y = f ( x ) = mx 3 − x 2 + 3x + m − 2 ng bi n trên kho ng −3; 0 . ( ) 1 3. y = f x = ( ) 3 ( ) mx 3 + 2 m − 1 x 2 + m − 1 x + m ( ) ng bi n trên ( kho ng 2; +∞ . ) Gi i : ( ) 1. y = f x = 2x 3 − 2x 2 − mx − 1 ng bi n trên kho ng 1; +∞ . ( ) Hàm s ã cho xác ( nh trên 1; +∞ . ) Ta có : y ' = 6x 2 − 4x + m Hàm s ã cho ( ) ng bi n trên kho ng 1; +∞ khi và ch khi y ' ≥ 0, ∀x ∈ 1; +∞ ( ) ( ) ⇔ g x = 6x 2 − 4x ≥ −m, x > 1 . ( ) Xét hàm s g x = 6x 2 − 4x liên t c trên kho ng 1; +∞ , ta có ( ) ( ) g ' x = 12x − 4 > 0, ∀x > 1 ⇔ g x ( ) ng bi n trên kho ng 1; +∞ ( ) + x →1 ( )+ x →1 ( và lim g x = lim 6x 2 − 4x = 2, lim g x = +∞ ) x →+∞ ( ) B ng bi n thiên. x 1 +∞ ( ) g' x + g (x ) +∞
  20. Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu 2 D a vào b ng bi n thiên suy ra 2 ≥ −m ⇔ m ≥ −2 ( ) 2. y = f x = mx 3 − x 2 + 3x + m − 2 ng bi n trên kho ng −3; 0 . ( ) Hàm s ã cho xác ( nh trên −3; 0 . ) Ta có : y ' = 3mx 2 − 2x + 3 Hàm s ã cho ( ng bi n trên kho ng −3; 0 khi và ch khi y ' ≥ 0, ∀x ∈ −3; 0 ) ( ) 2x + 3 Hay 3mx 2 − 2x + 3 ≥ 0, ∀x ∈ −3; 0 ⇔ m ≥ ( ) 3x 2 , ∀x ∈ −3; 0 ( ) 2x + 3 Xét hàm s g x = ( ) 3x 2 liên t c trên kho ng −3; 0 , ta có ( ) −6x 2 + 18x ( ) g' x = 9x 4 ( < 0, ∀x ∈ −3; 0 ⇒ g x ngh ch bi n trên ) ( ) 1 ( ) ( ) kho ng −3; 0 và lim+ g x = − , lim g x = −∞ x →−3 9 x → 0− ( ) B ng bi n thiên. x −3 0 ( ) g' x − g (x ) − 1 9 −∞ 1 D a vào b ng bi n thiên suy ra m ≥ − 9 1 3. y = f x = ( ) 3 ( ) mx 3 + 2 m − 1 x 2 + m − 1 x + m ( ) ng bi n trên ( kho ng 2; +∞ . ) Hàm s ã cho xác ( nh trên 2; +∞ . ) ( Ta có : y ' = mx 2 + 4 m − 1 x + m − 1 ) Hàm s ng bi n trên kho ng 2; +∞ khi và ch khi( ) ( ) ( y ' ≥ 0, ∀x ∈ 2; +∞ ⇔ mx 2 + 4 m − 1 x + m − 1 ≥ 0, ∀x ∈ 2; +∞ ) ( ) 4x + 1 ( ) ⇔ x 2 + 4x + 1 m ≥ 4x + 1, ∀x ∈ 2; +∞ ⇔ m ≥ ( ) x + 4x + 1 2 , ∀x ∈ 2; +∞ ( ) 4x + 1 Xét hàm s g x = ( ) x + 4x + 1 2 , x ∈ 2; +∞ ( )