Xem mẫu
- NHÖÕNG SAI LAÀM KHI GIAÛI TOAÙN TÌM
GIAÙ TRÒ NHOÛ NHAÁT VAØ GIAÙ TRÒ LÔÙN NHAÁT
-Noäi dung:
I-Ñònh nghóa giaù trò lôùn nhaát giaù trò nhoû nhaát cuûa bieåu thöùc:
-Ñònh nghóa 1:
Cho bieåu thöùc f(x,y,…) xaùc ñònh treân mieàn D .ta noùi M laø giaù trò lôùn
nhaát cuûa f(x,y,…) treân D neáu hai ÑK treân ñaây ñöôïc thoaõ maõn :
+Vôùi moïi x,y,…thu6oïc D thì f(x,y,…) ≤ M vôùi M laø haèng soá .
+Toàn taïi x0,y0,…thuoäc D sao cho f(x0,y0,…) = M
-Ñònh nghóa 2:
Cho bieåu thöùc f(x,y,…) xaùc ñònh treân mieàn D .ta noùi N laø giaù trò lôùn
nhaát cuûa f(x,y,…) treân D neáu hai ÑK treân ñaây ñöôïc thoaõ maõn :
+Vôùi moïi x,y,…thu6oïc D thì f(x,y,…) ≥ vôùi N laø haèng soá .
+Toàn taïi x0,y0,…thuoäc D sao cho f(x0,y0,…) = N
II_Caùc Haèng baát ñaúng thöùc caàn nhôù
1) a2 ≥ 0 Toång quaùt a2k ≥ 0 (k nguyeân döông) Ñaúng thöùc xaåy ra khi a
=0
2) a2 ≤ 0 Toång quaùt a2k ≤ 0 (k nguyeân döông) Ñaúng thöùc xaåy ra khi a
=0
3) {a{ ≥ 0 Ñaúng thöùc xaåy ra khi a = 0
4) –{a{ ≤ a ≤ {a{ Ñaúng thöùc xaåy ra khi a = 0
5) {a+b{ ≤ {a{+{b{ Ñaúng thöùc xaåy ra khi ab ≥ 0
6) a2+b2 ≥ 2ab Ñaúng thöùc xaåy ra khi a = b
a+b
7) ≥ ab .Vôùi a,b ≥ 0(BÑT Coâ si) Ñaúng thöùc xaåy ra khi a= b
2
1 1
8) a ≥ b , ab > 0 => ≤ Ñaúng thöùc xaåy ra khi a= b
a b
a b
9) + ≥ 2 Vôùi ab >0 Ñaúng thöùc xaåy ra khi a= b
b a
1 1 4
10) + ≥ Vôùi ab >0 Ñaúng thöùc xaåy ra khi a= b
a b a+b
a b
11) (am+bn)2 ≤ (a2+b2)(m2+n2) Ñaúng thöùc xaåy ra khi = (BÑT Bu
m n
nhi a coâp xki)
III-Nhöõng sai laàm thöông gaëp trong giaûi toaùn cöïc trò:
1-sai laàm trong chöùng minh ÑK 1:
1
VD1:Tìm giaù trò lôùn nhaát cuûa bieåu thöùc P = 2
x − 6 x + 17
Lôøi giaûi sai:
Phaân thöùc töû thöùc coù giaù trò khoâng ñoåi neân P coù giaù trò lôùn nhaát
khi maãu coù giaù trò nhoû nhaát
Ta coù :x2- 6x +17 = (x-3)2 +8 ≥ 8
1
Min(x2- 6x +17) = 8 x = 3. Vaäy MaxP = ⇔ x = 3
8
Phaân tích sai laàm :Tuy ñaùp soá khoâng sai nhöng laäp luaän laïi sai ,vì : “Phaân
thöùc töû thöùc coù giaù trò khoâng ñoåi neân P coù giaù trò lôùn nhaát khi
1
- maãu coù giaù trò nhoû nhaát” maø chö ñöa ra nhaän xeùt töû vaø maãu ñeàu
laønhöõng bieåu thöùc coù gioaù trò döông.
Ta ñöa ra moät phaûn ví duï:
1 1
Xeùt bieåu thöùc A = 2 Vôùi laäp luaän nhö treân: A = 2 “Phaân thöùc
x −4 x −4
töû thöùc coù giaù trò khoâng ñoåi neân A coù giaù trò lôùn nhaát khi maãu
coù giaù trò nhoû nhaát”Nghóa laø A coù giaù trò lôùn nhaát x 2 – 4 coù
giaù trò nhoû nhaát .Maø x2 – 4 coù giaù trò nhoû nhaát laø -4 x = 0 .Neân
1 1
A coù giaù trò lôùn nhaát laø − x =0 .Ñieàu naøy khoâng ñuùng .Vì −
4 4
Khoâng phaûi laø giaù trò lôùn nhaát cuûa bieåu thöùc A .chaúng haïn vôùi x
1 1
=3 thì A = > −
5 4
Lôøi giaûi ñuùng: Ta coù :x2- 6x +17 = (x-3)2 +8 ≥ 8 .Töû vaø maãu cuûa P
ñeàu laø bieåu thöùc coù giaù trò döông .=> P > 0 ,do ñoù P coù giaù trò lôùn
1
nhaát Coù gia 1trò nhoû nhaát x2- 6x +17 coù giaù trò nhoû
P
nhaát.
VD2:
Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa A = (x-1)2 + (x-3)2
Lôøi giaûi sai:ta coù (x-1)2 ≥ 0(1) ; (x-3)2 ≥ 0(2) .Neân A coù giaù trò nhoû nhaát
laø 0.ta khoâng theå keát luaän nhö vaäy .vì khoâng theå xaåy ra ñaúng thöùc
ñoàng thôøi cuûa (1) vaø (2)
x y z
VD3: Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa A= + + .Vôùi x,y,z > 0
y z x
Lôøi giaûi sai:
Giaû söû :x ≥ y ≥ z > 0 .=> x-z ≥ 0 => y(x-z) ≥ z (x-z) => xy-yz+z2 ≥ xz
x y z
Chia hai veá cho soá döông xz: Ta coù : − + ≥ 1(1) .Maët khaùc ,ta coù
z x x
x y x y z
+ ≥ 2 (2).Coäng (1) vôùi (2): + + ≥ 3.Vaäy Min A = 3 x = y = z
y x y z x
x y z
Phaân tích sai laàm :Khi hoaùn vò voøng quanh thì A trôû thaønh + + .Töùc
y z x
laø bieåu thöùc khoâng ñoåi .Ñieàu ñoù cho pheùp tañöôïc giaû söû x laøsoá
lôùn nhaát (hoaëc laø soá nhoû nhaát),nhöng khoâng cho pheùp giaû söû x ≥ y
≥ z.Thaät vaäy sau khi choïn x laø soá lôn nhaát (x ≥ y,x ≥ z) thì vai troø cuûa y
vaø z laïi khoâng bình ñaúng :giöõ nguyeân x thay y bôõi z thay z bôõi y ta
x z y
ñöôïc + + ,khoâng baèng bieåu thöùc A.
z y x
(Ta ñöa ra moät ví duï khaùc cho pheùp ñöôïc giaû söû x ≥ y ≥ z.Chaúng
haïn :B = x2+ y2+z2+xy+xz+yz.Sau khi choïn x laø soá lôùn nhaát thì vai troø
cuûa y vaø z laø bình ñaúng :Giöõ nguyeân x thay y bôõi z ,thay z bôõi y ta
ñöôïc : x2+ y2+z2+xy+xz+yz, vaãn baèng B)
Caùch giaûi ñuùng :
Caùch 1:AÙp duïng baát ñaúng thöùc Coâ si cho ba soá döông x,y,z:
2
- x z y x y z
A= + + ≥ 33 . . = 3 .
z y x y z x
x z y x y z
Do ñoù min( + + ) = 3Khi vaø chæ khi: = = ,töùc laø x = y = z
z y x y z x
x z y x y y z y y x
Caùch 2:Ta coù + + = + + + − .Ta ñaõ coù : + ≥ 2 (Do
y x
z y x z x x x y
x y z y z y
x,y>0)Neân ñeå chöùng minh + + ≥ 3 Chæ caàn chöùng minh : + − ≥ 1
y z x z x x
(1)
(1) xy+z2-yz ≥ xz(Nhaân hai veá vôùi soá döông xz)
xy+z2-yz-xz ≥ 0
y(x-z)-z(x-z) ≥ 0
(x-z)(y-z) ≥ 0(2)
(2)ñuùng vôùi giaû thieát raèng zlaø soá nhoû nhaát trong ba soá x,y,z do
ñoù (1) ñuùng .
x y z
Töø ñoù tìm ñöôïc giaù trò nhoû nhaát cuûa + +
y z x
VD3:Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa A = x2+y2 bieát x+y =4
Lôøi giaûi sai:Ta coù x2+y2 ≥ 2xy
Do ñoù A coù giaù trò nhoû nhaát x2+y2=2xy x=y=2 Khi ñoù MinA =
22+22= 8
Phaân tích sai laàm :Ñaùp soá khoâng sai tuy nhieân laäp luaän sai laàm .Ta môùi
chöùng minh f(x,y) ≥ g(x,y) Chöù chöa C/m ñöôïc f(x,y) ≥ M Vôùi M laø haèng
soá .
Ta ñöa ra moät ví duï :Vôùi laäp luaän nhö treân töø baát ñaúng thöùc
ñuùng :x2 ≥ 4x-4 seõ suy ra :x2 nhoû nhaát x2 = 4x-4 (x-2)2 = 0
x=2 ñi ñeán Min x2 = 4 x=2
Deã thaáy keát quaû ñuùng phaûi laø minx2 = 0 Khi vaø chæ khi x = 0
Caùch giaûi ñuùng :Ta coù x+y = 4 => x2+2xy+y2 = 16 (1)
Ta laïi coù (x-y)2 ≥ 0 => x2-2xy +y2 ≥ 0(2)
Töø (1) vaø (2) : 2(x2+y2) ≥ 16 => x2+y2 ≥ 8
Min A = 8 Khi vaø chæ khi x= y= 2
2.Sai laàm trong chöùng minh ñieàu kieän 2:
VD1:Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa A= x+ x
Lôøi giaûi sai:
2
1 1 1 1 1
A= x+ x = x + x + − = x + − ≥ −
4 4 2 4 4
1
Vaäy MinA = −
4
Phaân tích sai laàm :
1 1
Sau khi chöùng minh f(x) ≥ − ,chöa chæ tröôøng hôïp xaûy ra f(x) = −
4 4
1
.Xaûy ra daáu baèng khi vaø chæ khi x = − ,voâ lyù .
2
Lôøi giaûi ñuùng :Ñeå toân taïi x phaûi coù x ≥ 0
3
- Do ñoù A= x+ x ≥ 0
MinA = 0 Khi vaø chæ khi x = 0
VD2:Tìm giaù trò lôùn nhaát cuûa A = xyz(x+y)(y+z)(z+x) Vôùi x,y.z ≥ 0 vaø
x+y+z = 1
Lôøi giaûi sai:AÙp duïng baát ñaúng thöùc 4ab ≤ (a + b) 2 :
4(x+y).z ≤ ( x + y + z ) 2 = 1
4(x+z).y ≤ ( x + y + z ) 2 = 1
4(z+y).x ≤ ( x + y + z ) 2 = 1
Nhaân töøng veá (do khoâng aâm)
64xyz(x+y)(y+z)(z+x) ≤ 1
1
Max A =
64
Phaân tích sai laàm :Sai laàm ôû choã chöa chæ ra ñöôïc tröôøng hôïp xaûy ra
1
daáu ñaúng thöùc .Ñieàu kieän ñeå A = laø
64
x+ y = z
y+z = x
x = y = z = 0
z + x = y ⇔ x + y + z = 1 Maâu thuaãn
x + y + z = 1 x, y , z ≥ 0
x, y , z ≥ 0
Caùch giaûi ñuùng :AÙp duïng baát ñaúng thöùc coâ si cho ba soá khoâng aâm :
1= x+y+z ≥ 3 xyz (1)
2= (x+y)+(y+z)+(z+x) ≥ 33 ( x + y )( y + z )( z + x) (2)
Nhaân töøng veá (1) vôùi (2) (do hai veá ñeàu khoâng aâm ):
3
2
2 ≥ 93 A ⇒ A ≤
9
3
2 1
Max A = ⇔ x = y = z =
3 3
( x + a )( x + b )
VD3:Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa A= vôùi x > 0 ,a,b laø caùc
x
haèng soá döông cho tröôùc.
Lôøi giaûi sai:Ta coù x+a ≥ 2 ax (1)
x+b ≥ 2 bx (2)
( x + a )( x + b ) 2 ax .2 bx
Do ñoù : ≥ = 4 ab .MinA = 4 ab ⇔ x = a = b
x x
Phaân tích sai laàm:Chæ xaåy ra A = 4 ab Khi ôû (1) vaø ôû (2)xaåy ra daáu
ñaúng thöùc ,töùc laø x = a vaø x = b.Nhö vaäy ñoøi hoûi a= b .Neáu a ≠ b thì
khoâng coù ñöôïc A = 4 ab
Caùch giaûi ñuùng :Ta thöïc hieän pheùp nhaân vaø taùch ra caùc haèng soá :
( x + a )( x + b ) = x 2 + ax + bx + ab = x + ab + ( a + b )
A=
x x x
4
- ab
Ta laïi coù : x + ≥ 2 ab (baát ñaúng thöùc coâsi)
x
Neân A ≥ 2 ab + a + b = ( a + b ) 2
ab
Min A = ( ) 2 x =
a+ b ⇔ x ⇔ x = ab
x>0
VD4:Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa A= 2x+3y bieát 2x2+3y2 ≤ 5
Lôøi giaûi sai:Goïi B= 2x2+3y2 ta coù B ≤ 5
Xeùt A+B = 2x+3y +2x2+3y2
= 2(x2+x)+3(y2+y)
5
=2(x+1/2)2+3(y+1/2)2-5/4 ≥ − (1)
4
Ta laïi coù B ≤ 5 neân -B ≥ -5
25 25 1
Coäng (1)vôùi (2):A ≥ − minA = − ⇔x= y=−
4 4 2
1
Phaân tích sai laàm :Sai laàm ôû choã vôùi x= y= - ,chæ coù xaûy ra daâu “=”
2
1
ôû (1),coøn daáu “=” ôû (2) khoâng xaûy ra . Thaät vaäy vôùi x = y = - thì :
2
2 2
1 1 1 3
B= 2 − + 3 − = + ≠ 5 .Do ñoù –B ≠ −5
2 2 2 4
Caùch giaûi ñuùng:
Ta xeùt bieåu thöùc phuï:A2 = (2x+3y)2
AÙp duïng baát ñaúng thöùc Bunhiacoâpxki
( ) ( ) ( ) (
2
2
) ( 2
)
Ta coù : A2 = (2x+3y)2 = 2 . 2 x + 3. 3 y ≤ 2 + 3 2 x + 3. y
2 2
=(2+3)(2x +3y ) ≤ 5.5 = 25
2 2
x 2 y 3
A2 = 25 = ⇔ x = y .Do A2 ≤ 25 neân -5 ≤ A ≤ 5
2 3
x=y
Min A = -5 ⇔ ⇔ x = y = −1
2 x + 3 y = −5
x= y
Max A = 5 ⇔ ⇔ x = y =1
2 x + 3 y = 5
5
nguon tai.lieu . vn
