Xem mẫu

  1. Nguyên t hydro và orbital nguyên t Lý Lê Ngày 2 tháng 11 năm 2009 Tóm t t n i dung Nguyên t hydro là m t trong s r t ít nh ng h nhi u h t tương tác l n nhau mà phương trình Schr¨dinger c a nó có th đư c gi i m t o cách chính xác. Schr¨dinger đã s d ng nguyên t hydro đ minh h a o lý thuy t m i c a ông. Hơn n a, nh ng k t qu thu đư c t vi c gi i bài toán nguyên t hydro còn đư c là cơ s đ kh o sát nh ng nguyên t , phân t ph c t p hơn. 1 Hydro và nguyên t gi ng hydro Nguyên t hydro g m có m t proton và m t electron. N u g i e là đi n tích c a proton (e = +1, 6 · 10−19 C), thì đi n tích c a electron là −e. Thay vì ch kh o sát nguyên t hydro, chúng ta s x lí m t v n đ t ng quát hơn đó là nguyên t gi ng hydro (hydrogen-like atom). Nghĩa là, chúng ta s kh o sát nh ng h g m m t electron và h t nhân có đi n tích là Ze. Khi Z = 1, ta có nguyên t hydro; Z = 2, ta có ion He+ ; khi Z = 3, ta có ion Li2+ , . . . Nguyên t gi ng hydro là h cơ b n nh t trong hóa lư ng t . Đ i v i nh ng h nhi u nguyên t và có hơn m t electron, chúng ta không th tìm đư c l i gi i chính xác cho phương trình Schr¨dinger vì có s tương tác gi a o các electron. Trong phép g n đúng th p nh t, chúng ta b qua s tương tác này, kh o sát các electron m t cách đ c l p. Hàm sóng c a nguyên t nhi u electron x p x b ng tích các hàm sóng m t electron (hàm sóng c a nguyên t gi ng hydro). Hàm sóng m t electron đư c g i là orbital . M t orbital cho m t electron trong m t nguyên t đư c g i là orbital nguyên t . Như v y, orbital nguyên t (AO) là bi u th c toán h c m t s chuy n đ ng c a m t electron trong nguyên t . Các AO s đư c dùng đ xây d ng nh ng hàm sóng g n đúng cho các nguyên t nhi u electron cũng như cho các phân t . G i (x, y, z) là t a đ tương đ i c a electron so v i h t nhân và r là kho ng cách. Ta có r = ix + jy + kz; r = |r| = x2 + y 2 + z 2 (1) 1
  2. Theo đ nh lu t Coulomb, th năng tương tác V (r) gi a h t nhân và electron trong h SI là Ze2 V (r) = − (2) 4πε0 r V i ε0 là h ng s đi n môi. Trong h SI, m là đơn v c a chi u dài, J là đơn v c a năng lư ng, C là đơn v c a đi n tích. Trong h đơn v gaussian CGS, V (r) đư c vi t như sau Ze2 V (r) = − (3) r v i cm là đơn v c a chi u dài, erg là đơn v c a năng lư ng, stat (stat- coulomb) là đơn v c a đi n tích. Sau đây, chúng ta bi u di n V (r) như sau Ze 2 V (r) = − (4) r e v i e = e trong h CGS và e = trong h SI. 4πε0 Vì th năng c a h hai h t như trên ch ph thu c vào t a đ tương đ i c a chúng nên ta có th tách m t bài toán cho hai h t thành hai bài toán cho m t h t. Kh i lư ng rút g n c a h là me mN µ= ≈ me (5) me + mN v i me , mN là kh i lư ng c a electron và c a h t nhân. Đ i v i h hai h t, ta có hai ki u chuy n đ ng là chuy n đ ng t nh ti n c a c h trong không gian và chuy n đ ng tương đ i gi a các h t. đây, chúng ta ch xét chuy n đ ng th hai. S chuy n đ ng tương đ i gi a electron và h t nhân trong trư ng th Ze 2 năng V (r) = − gi ng như s chuy n đ ng c a m t h t có kh i lư ng r rút g n µ. Vì hàm th năng V ch ph thu c vào r nên ta xem đây là bài toán trư ng xuyên tâm. Toán t Hamiltonian cho s chuy n đ ng này là 2 Ze 2 2 H=− − (6) 2µ r Trong đó 2 2 − 2µ là đ ng năng c a h . Trong h t a đ c u, ta có 2 ∂2 2 ∂ 1 = 2 + − 2 2 L2 ∂r r ∂r r 2
  3. Do đó, phương trình Schr¨dinger cho nguyên t hydro là o 2 ∂2 2 ∂ l(l + 1) 2 Ze 2 − (+ )+ − ψ = Eψ (7) 2µ ∂r2 r ∂r 2µr2 r v i ψ(r, θ, ϕ) = R(r)Y (θ, ϕ) (8) Hàm đi u hòa c u Y (θ, ϕ) là các đ c hàm chung c a L2 và Lz . Th (8) vào (7), ta đư c 2 2 l(l + 1) 2 Ze 2 − R (r) + R (r) + R(r) − R(r) = ER(r) (9) 2µ r 2µr2 r Đ đơn gi n, ta đ t 2 a= (10) µe 2 và vi t l i (9) như sau 2 2E 2Z l(l + 1) R + R + 2 + − R=0 (11) r ae ar r2 Đ xác đ nh R, đ u tiên chúng ta tìm nghi m ti m c n R∞ , tương t như bài toán dao đ ng đi u hòa. Khi r → ∞, phương trình (11) tr thành 2E R∞ + R∞ = 0 (12) ae 2 Nghi m c a phương trình trên là R∞ = N e−αr (13) v i N là h ng s và 2E α= − (14) ae 2 Nghi m đ y đ c a (11) là tích c a nghi m ti m c n R∞ và m t hàm K(r) R(r) = N e−αr K(r) = e−αr H(r) (15) Chú ý h ng s N đã đư c nhân vào K(r). T (15), ta có R = e−αr (H − αH); R = e−αr (H − 2αH + α2 H) (16) Th k t qu trên vào (11), sau đó rút g n, ta đư c r2 H + (2r − 2αr2 )H + [(2Za−1 − 2α)r − l(l + 1)]H = 0 (17) 3
  4. Ta th y, phương trình vi phân trên có d ng p(r)H (r) + q(r)H (r) + u(r)H(r) = 0 (18) Đây là phương trình vi phân thu n nh t b c hai v i các h s là nh ng đa th c đ u ch a r. Khi đó nghi m chu i lũy th a c a nó như sau ∞ ∞ H(r) = bj rj+s = rs bj rj = rs M (r) (19) j=0 j=0 v i bj (j = 0, 1, 2, . . .) và s là m t s nguyên. Giá tr c a s ph i đư c ch n sao cho b0 không b ng zero. L y đ o hàm b c nh t và b c hai c a H(r) r i th vào (17), ta thu đư c r2 M + (2s + 2)r − 2αr2 M + s2 + s + (2Za−1 − 2α − 2αs)r − l(l + 1) M = 0 (20) Đ ch n đư c s, chúng ta xét (20) khi r = 0. T (19), ta có M (0) = b0 ; M (0) = b1 ; M (0) = 2b2 (21) Như v y, khi r = 0, (20) tr thành b0 (s2 + s − l2 − l) = 0 (22) Vì b0 không th b ng zero, nên (s2 + s − l2 − l) = 0 (23) Đây là phương trình b c hai v i n s là s. Nghi m c a nó như sau s = l; s = −(l + 1) (24) V i trư ng h p s = −(l + 1), ta th y ∞ H(r) = bj rj+s = b0 r−(l+1) + b1 r−l + b2 r−l+1 + · · · (25) j=0 không h i t t i g c t a đ . Do đó, ch nghi m s = l đư c ch p nh n. Chúng ta có thành ph n bán kính R(r) = e−αr rl M (r) (26) Khi s = l, phương trình (20) tr thành rM + (2l + 2 − 2αr)M + (2Za−1 − 2α − 2αl)M = 0 (27) 4
  5. Ta có ∞ M (r) = bj rj j=0 ∞ M (r) = (j + 1)bj+1 rj j=0 ∞ M (r) = (j + 1)jbj+1 rj−1 j=0 Th nh ng phương trình này vào (27), ta đư c ∞ j(j+1)bj+1 +2(l+1)(j+1)bj+1 +(2Za−1 −2α−2αl−2αj)bj rj = 0 (28) j=0 T đó, ta có công th c h i qui 2(α + αl + αj − Za−1 ) bj+1 = bj (29) j(j + 1) + 2(l + 1)(j + 1) Đ thành ph n góc R(r) xác đ nh khi r → ∞ thì (29) ph i b ng zero khi j đ t đ n m t giá tr k nào đó; nghĩa là, khi j = k thì ta có bk+1 = 0. Đi u này tương đương v i đa th c nhân v i bk trong (29) b tri t tiêu 2(α + αl + αk − Za−1 ) = 0 (k = 0, 1, 2, . . .) hay α(k + l + 1) = Za−1 (30) Đ t n=k+l+1 (n = 1, 2, 3, . . .) (31) Như v y, l có giá tr t 0 đ n n − 1, vì l =n−k−1≤n−1 (32) Phương trình (30) tr thành αn = Za−1 (33) 2E 2 v iα= − và a = , nên ae 2 µe 2 Z2 e 2 Z 2 µe 4 En = − =− 2 2 (34) n2 2a 2n Đây là nh ng m c năng lư ng tr ng thái liên k t (bound-states) c a nguyên t gi ng hydro. Ta th y chúng có giá tr âm và gián đo n. 5
  6. M t s k t lu n Hàm sóng tr ng thái tĩnh c a nguyên t gi ng hydro là ψnlml (r) = Rnl (r)Ylml (θ, ϕ) (35) và đư c đ c trưng b i ba s lư ng t n, l, ml . Chúng th a mãn đi u ki n là đ c hàm chung c a H, L2 và Lz Hψnlml (r) = En ψnlml (r) L ψnlml (r) = l(l + 1) 2 ψnlml (r) 2 Lz ψnlml (r) = ml ψnlml (r) Nghĩa là, tr ng thái ψnlml có năng lư ng E = En , bình phương mô-men góc L2 = l(l + 1) 2 và thành ph n z c a mô-men góc Lz = ml . Năng lư ng E c a h ch ph thu c vào s lư ng t n. Tuy nhiên, tr ng thái ψ ph thu c vào c n, l, ml n = 1, 2, 3, . . . l = 0, 1, 2, . . . , n − 1 ml = −l, −l + 1, . . . , l − 1, l Do đó, v i m i giá tr n ( ng v i m t m c năng lư ng) s có n giá tr l; 2l + 1 giá tr ml . Ví d , khi n = 2 thì l = 0, 1. V i l = 0, ta có m t hàm sóng ng v i ml = 0; v i l = 1, ta có ba hàm sóng ng v i ml = −1, 0, +1. Nghĩa là v i n = 2, có t t c b n hàm sóng v i cùng m c năng lư ng. Tương t , n u n = 3 thì s hàm sóng cùng m c năng lư ng là 1(l = 0, ml = 0) + 3(l = 1, ml = 0, ±1) + 5(l = 2, ml = 0, ±1, ±2) = 9 M t cách t ng quát, n u không xét y u t spin, thì v i m i giá tr n s có t t c là n2 hàm sóng ψnlml khác nhau. Như v y, b c suy bi n c a m c năng lư ng En là n2 n−1 n n n (2l + 1) = [2(k − 1) + 1] = 2 (k − 1) + 1 = n2 l=0 k=1 k=1 k=1 S lư ng t n đư c g i là s lư ng t chính, xác đ nh giá tr năng lư ng En ; l đư c g i là s lư ng t góc hay s lư ng t orbital (azimuthal quantum number hay orbital quantum number), xác đ nh đ l n c a mô-men góc L và quy t đ nh hình dáng c a các orbital; ml là s lư ng t t , xác đ nh đ l n c a Lz , hay đ l n c a mô-men góc trên tr c z. Các đ c tr En mô t các m c năng lư ng đư c phép c a nguyên t . Chúng có giá tr âm b i vì electron tr ng thái liên k t. Khi n → ∞, thì E∞ → 0, và electron tr thành h t t do. 6
  7. 2 Quang ph nguyên t Electron trong nguyên t tr ng thái ni có th h p th năng lư ng (ví d khi ti p xúc v i b c x đi n t ) và nh y lên tr ng thái có m c năng lư ng nj cao hơn (tr ng thái kích thích). Sau m t th i gian, electron tr v m c năng lư ng nf th p hơn nj . Trong quá trình đó, electron s phát ra m t photon có năng lư ng là hc Eγ = hν = = Ej − Ef (36) λ Suy ra 1 Ej − Ef = (37) λ hc Ví d , đ i v i nguyên t hydro (Z = 1), khi electron chuy n t tr ng thái kích thích th 1 (n = 2) v tr ng thái cơ b n n = 1, ta có 1 E2 − E1 e2 1 1 1 1 = = ( 2 − 2 ) = RH ( 2 − 2 ) (38) λ hc 2ahc n1 n2 n1 n2 1 v i RH = 109.677, 58 cm−1 là h ng s Rydberg c a hydro; = ν đư c g i ¯ λ là s sóng. Sau đây là h ng s Rydberg c a m t s nguyên t gi ng hydro Nguyên t R (cm−1 ) 1H 109.677, 58 2H 109.707, 42 4 He+ 109.722, 26 7 Li2+ 109.728, 72 9 Be3+ 109.737, 31 Khi kh o sát ph phát x c a các đám mây hydro b ion hóa, ta th y có 4 v ch ph r t đ c bi t trong vùng kh ki n đó là v ch đ (v ch Hα) t i 656 nm; v ch xanh lá cây t i 486 nm; v ch tím xanh t i 434 nm; v ch tím t i 410 nm. Đi u này có th gi i thích như sau. Năng lư ng đư c phép (eV ) c a nguyên t hydro Z 2 µe 4 1 En = − 2 2 = −13, 6 2 (39) 2n n tr ng thái cơ b n (n = 1), thì E1 = −13, 6 eV T (36), t n s c a s chuy n d ch j → f là 1 1 hνjf = Ej − Ef = −13, 6 2 − n2 nf j 7
  8. N u ta s d ng h ng s Plank h = 0, 414 · 10−14 eV·s, thì 1 1 νjf = 3, 29 · 1015 2 − n2 s−1 (40) nf j Đ dài sóng tương ng là c n2 n2 j f λjf = = 91, 2 2 nm (41) νjf nj − n2f S chuy n d ch xu ng tr ng thái cơ b n: dãy Lyman N u electron t các tr ng thái nj = 2, 3, 4, . . . v tr ng thái cơ b n nf = 1, các v ch ph phát x n m trong vùng có đ dài sóng λj→1 = 91, 17 nm → 121, 56 nm Đây là đ dài sóng c a các b c x đi n t thu c vùng t ngo i (UV). Nh ng v ch ph này đư c g i là dãy Lyman, theo tên c a nhà v t lí Theodore Lyman ngư i đã phát hi n ra chúng năm 1906. S chuy n d ch xu ng tr ng thái kích thích th nh t: dãy Balmer N u electron t các tr ng thái nj = 3, 4, 5 . . . v tr ng thái kích thích th nh t nf = 2, các v ch ph phát x n m trong vùng có đ dài sóng λj→2 = 364, 49 nm → 656, 11 nm Đây là đ dài sóng c a các b c x đi n t thu c vùng kh ki n và đư c g i là dãy Balmer. Đ c bi t s chuy n d ch 3 → 2 có đ dài sóng 3·2 λ32 = 91, 2 = 656, 11 nm (42) 32− 22 r t phù h p v i k t qu th c nghi m 656,28 nm. N u electron t các tr ng thái nj = 4, 5, 6 . . . v tr ng thái kích thích th hai nf = 3, nó s phát ra các b c x đi n t thu c vùng h ng ngo i (IR), g i là dãy Paschen. Các v ch ph Lyman, Balmer, Paschen c a nguyên t hydro cũng có th đư c gi i thích d a vào mô hình nguyên t c a Bohr. Tuy nhiên, m u nguyên t Bohr không giúp ta gi i thích đư c s tách các v ch ph khi đ t nguyên t trong t trư ng (hi u ng Zeeman) và trong đi n trư ng (hi u ng Stark). Nh ng hi n tư ng này có th đư c gi i thích m t cách rõ ràng và đ y đ d a vào lý thuy t lư ng t . 8
  9. 3 Hàm sóng c a nguyên t hydro Nh ng hàm sóng đ y đ c a nguyên t gi ng hydrogen g m c ph n góc và ph n bán kính có d ng 1 ψnlml = Rnl (r)Ylml (θ, ϕ) = Rnl (r)Θlml (θ) √ eiml ϕ (43) 2π v i Θlml (θ) đư c xác đ nh như sau l−|ml | |ml | Θlml (θ) = sin θ ak cosk θ k=0 Sau đây, chúng ta xác đ nh hàm Rnl (r) n−l−1 l −Zr/na Rnl (r) = r e bj rj (44) j=0 3.1 Hàm sóng tr ng thái cơ b n Đ i v i nguyên t gi ng hydro tr ng thái cơ b n, ta có n = 1, l = 0, ml = 0 Vì v y, ph n bán kính (44) tr thành R10 (r) = b0 e−Zr/a (45) H ng s b0 đư c xác đ nh t đi u ki n chu n hóa ∞ ∞ |R(r)|2 r2 dr = 1 ⇒ |b0 |2 e−2Zr/a r2 dr = 1 (46) 0 0 Áp d ng công th c tính tích phân ∞ n! xn e−qx dx = (47) 0 q n+1 Z 3/2 −Zr/a ⇒ R10 (r) = 2 e (48) a Khi n = 1, l = 0, ml = 0, ph n góc Ylml là 1 Y00 = √ 4π Như v y, ta có hàm sóng đ y đ tr ng thái cơ b n 1 Z 3/2 −Zr/a ψ100 =√ e (49) π a Chúng ta th y, tr ng thái cơ b n, hàm sóng không ph thu c vào thành ph n góc và có tính đ i x ng c u. Theo (49), |ψ|2 c c đ i khi r = 0. Tuy nhiên, đi u này không có nghĩa là v trí d tìm th y electron nh t là trong khu v c g n h t nhân. Chúng ta s kh o sát v n đ này ph n sau. 9
  10. 3.2 Hàm sóng tr ng thái kích thích th nh t Khi n = 2, thì l = 0, 1 và m = −1, 0, 1. Như v y, chúng ta có tr ng thái ψ200 = R20 (r)Y00 (θ, ϕ) ψ21−1 = R21 (r)Y1−1 (θ, ϕ) ψ210 = R21 (r)Y10 (θ, ϕ) ψ211 = R21 (r)Y11 (θ, ϕ) D a vào đi u ki n chu n hóa, ta xác đ nh đư c 1 Z 3/2 Zr −Zr/2a ψ200 = √ 1− e (50) π 2a 2a 1 Z 5/2 ψ21−1 = √ re−Zr/2a sin θe−iϕ (51) 8 π a 1 Z 5/2 ψ210 = √ re−Zr/2a cos θ (52) π 2a 1 Z 5/2 ψ211 = √ re−Zr/2a sin θeiϕ (53) 8 π a T k t qu trên, ta th y khi l = 0 và m = 0 thì hàm sóng không ph thu c vào thành ph n góc. Th t v y, c hai tr ng thái ψ100 và ψ200 ch ph thu c vào thành ph n bán kính. M t cách t ng quát, đ i v i tr ng thái l = 0, ta có 1 ψn00 = Rn0 (r)Y00 (θ, ϕ) = √ Rn0 (r) (54) 4π Thành ph n bán kính trong hàm sóng nguyên t gi ng hydro Z 3/2 −Zr/a R10 = 2 e a 1 Z 3/2 Zr −Zr/2a R20 = √ 1− e 2 2a 2a 1 Z 5/2 −Zr/2a R2±1 = √ re 2 6 a 3 Z 3/2 2Zr 2Z 2 r2 −Zr/3a R30 = √ 1− − e 3 3 2a 3a 27a2 8 Z 3/2 Zr Z 2 r2 −Zr/3a R3±1 = √ − e 27 6 2a a 6a2 4 Z 7/2 2 −Zr/3a R3±2 = √ r e 81 30 2a 10
  11. 4 Kí hi u hàm sóng M t s hàm sóng đ u tiên thư ng đư c kí hi u như sau n l ml ψnlml Kí hi u 1 0 0 ψ100 1s 2 0 0 ψ200 2s 1 −1, 0, 1 ψ21−1 ψ210 ψ211 2p 3 0 0 ψ300 3s 1 −1, 0, 1 ψ31−1 ψ310 ψ311 3p 2 −2, −1, 0, 1, 2 ψ32−2 ψ32−1 ψ320 ψ321 ψ322 3d 4 0 0 ψ400 4s 1 −1, 0, 1 ψ41−1 ψ410 ψ411 4p 2 −2, −1, 0, 1, 2 ψ42−2 ψ42−1 ψ420 ψ421 ψ422 4d 3 −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3 ψ43−3 ψ43−2 ψ43−1 ψ430 ψ431 ψ432 ψ433 4f Như v y, ta th y bên c nh dùng s đ ch giá tr l, chúng ta có th dùng ch cái đ kí hi u l l 0 1 2 3 4 5··· Kí hi u s p d f g h · · · Các ch cái trên có ngu n g c quang ph nguyên t : s− sharp; p− principal; d− diffuse; f − fundamental. Sau đó, các giá tr l đư c kí hi u theo th t alphabet, tr j không đư c s d ng. Trư c l, chúng ta ghi giá tr n. Ví d , hàm sóng tr ng thái cơ b n ψ100 là ψ1s ho c đơn gi n là 1s. 5 M t đ xác su t theo bán kính Xác su t tìm th y electron trong vùng có t a đ r đ n (r+dr), θ đ n (θ+dθ), ϕ đ n (ϕ + dϕ) đư c xác đ nh như sau |ψ|2 dτ = |R(r)|2 |Y (θ, ϕ)|2 r2 sin θdrdθdϕ (55) Đ tính xác su t tìm th y electron d c theo t a đ bán kính c a nó t r đ n (r + dr), theo m i hư ng trong không gian, không b gi i h n b i thành ph n góc, chúng ta l y tích phân toàn ph n c a θ và ϕ, c đ nh thành ph n bán kính 2π π |R(r)|2 r2 dr |Y (θ, ϕ)|2 sin θdθdϕ = |R(r)|2 r2 dr (56) 0 0 b i vì thành ph n góc đư c chu n hóa 2π π |Y (θ, ϕ)|2 sin θdθdϕ = 1 (57) 0 0 11
  12. Như v y, xác su t tìm th y electron theo bán kính theo m i hư ng trong không gian đư c xác đ nh d a vào hàm |R(r)|2 r2 . Do đó, m c dù khi r = 0, thành ph n bán kính c a hàm sóng tr ng thái cơ b n Z 3/2 R1s = 2 e−Zr/a a đ t c c đ i, nhưng xác su t tìm th y electron t i g c t a đ (gi s h t nhân đư c đ t t i g c t a đ ) là b ng không vì r = 0 thì |R(r)|2 r2 dr = 0. Đ t U (r) = |R(r)|2 r2 . các tr ng thái 1s, 2s và 2p, nh ng hàm U (r) như sau Z 3 2 −2Zr/a U10 (r) = 4 r e (58) a 1 Z 3 2 Zr 2 −Zr/a U20 (r) = r 2− e (59) 8 a a 1 Z 5 4 −Zr/a U21 (r) = r e (60) 24 a Xác su t tìm th y electron c c đ i cho tr ng thái ψ1s đư c tính b ng cách cho đ o hàm c a U (r) b ng zero dU10 (r) Z 3 Zr −2Zr/a =8 r 1− e =0 (61) dr a a suy ra a0 rmax = (62) Z Đ i v i nguyên t hydro, ta có Z = 1, nên 2 rmax = a0 = = 0, 5292 ˚ A (63) µe 2 trong đó mp me mp me µ = µH = ≈ ≈ me (64) mp + me mp Giá tr a0 còn đư c g i là bán kính Bohr. Theo Bohr, tr ng thái cơ b n thì electron di chuy n quanh h t nhân trên quĩ đ o có bán kính là a0 . Th c s , electron không chuy n đ ng trên m t quĩ đ o nh t đ nh nào c , vì b t c giá tr xác đ nh nào c a r thì bình phương hàm sóng cũng không âm nên ta đ u có th tìm th y electron. 6 Hàm sóng th c c a nguyên t gi ng hydro Nh ng hàm sóng như 1 Z 5/2 ψ2p−1 = √ re−Zr/2a sin θe−iϕ 8 π a 12
  13. và 1 Z 5/2 ψ2p1 = √ re−Zr/2a sin θeiϕ 8 π a đ u là nh ng hàm ph c. Đ bi n chúng thành nh ng hàm th c, chúng ta ti n hành t h p tuy n tính chúng v i nhau. Chúng ta đã có k t lu n: s t h p tuy n tính các đ c hàm c a m t m c năng lư ng suy bi n cũng là m t đ c hàm v i cùng đ c tr năng lư ng c a toán t Hamiltonian. Hai hàm sóng ψ2p−1 và ψ2p1 chính là các đ c hàm c a m t m c năng lư ng suy bi n (n = 2) nên hàm t h p tuy n tính c a hai hàm này s là m t đ c hàm v i cùng đ c tr năng lư ng. Có hai cách đ t h p hai hàm này thành m t hàm th c. Cách th nh t như sau 1 1 Z 5/2 ψ2px = √ (ψ2p−1 + ψ2p1 ) = √ re−Zr/2a sin θ cos ϕ (65) 2 4 2π a đây, chúng ta đã áp d ng phương trình d ng mũ c a s ph c e±ix = cos x ± i sin x 1 H s √ là t đi u ki n chu n hóa ψ2px 2 |ψ2px |2 dτ = |a(ψ2p−1 + ψ2p1 )|2 dτ = |a|2 |ψ2p−1 |2 dτ + |ψ2p1 |2 dτ ∗ ∗ + ψ2p1 ψ2p−1 dτ + ψ2p−1 ψ2p1 dτ Ta có ψ2p−1 , ψ2p1 chu n hóa và tr c giao v i nhau |ψ2p−1 |2 dτ = |ψ2p1 |2 dτ = 1 S tr c giao c a ψ2p−1 và ψ2p1 đư c ch ng minh như sau 2π 2π ∗ ∗ ψ2p1 ψ2p−1 dτ = ψ2p−1 ψ2p1 dτ 0 0 2π 2π = A (e−iϕ )∗ (eiϕ )dϕ = A e2iϕ dϕ 0 0 2π = A [cos(2ϕ) + i sin(2ϕ)]dϕ 0 2π 2π = A cos(2ϕ)dϕ + A i sin(2ϕ)dϕ 0 0 = 0 13
  14. Do đó 1 |ψ2px |2 dτ = |a|2 (1 + 1 + 0) = 1 ⇒ a = √ 2 Vì x = r sin θ cos ϕ, nên ta có 1 Z 5/2 ψ2px = √ re−Zr/2a sin θ cos ϕ 4 2π a 1 Z 5/2 = √ xe−Zr/2a (66) 4 2π a Cách t h p tuy n tính th hai là 1 Z 5/2 ψ2py = b(ψ2p1 − ψ2p−1 ) = √ re−Zr/2a sin θ sin ϕ 4 2π a V i y = r sin θ sin ϕ, ta có 1 Z 5/2 ψ2py = √ ye−Zr/2a (67) 4 2π a Như v y, v i tr ng thái n = 2, chúng ta có ba hàm sóng (orbital) sau 1 Z 5/2 ψ2p0 = √ re−Zr/2a cos θ π 2a 1 Z 5/2 = √ ze−Zr/2a = 2pz π 2a (vì r cos θ = z) 1 Z 5/2 ψ2py = √ ye−Zr/2a = 2py 4 2π a 1 Z 5/2 ψ2px = √ xe−Zr/2a = 2px 4 2π a Các ch s x, y, z nghĩa là ph n góc c a orbital có giá tr l n nh t trên các tr c x, y, z tương ng. Các hàm ψ2p−1 và ψ2p1 là nh ng đ c hàm c a L2 v i đ c tr L2 = l(l + 1) 2 = 2 2 . Do đó, các hàm t h p tuy n tính ψ2px và ψ2py cũng là nh ng đ c hàm c a L2 v i cùng đ c tr là 2 2 . Tuy nhiên, ψ2p−1 và ψ2p1 là nh ng đ c hàm c a Lz v i đ c tr khác nhau là Lz = ml = ± . Vì v y, ψ2px và ψ2py không ph i là nh ng đ c hàm c a Lz . Ti n hành tương t , chúng ta cũng s xây d ng đư c hàm th c cho nh ng hàm sóng o c a nh ng tr ng thái năng lư ng cao hơn. Ví d , khi n = 3, l = 2, ta có năm hàm sóng là ψ3d0 , ψ3d±1 , ψ3d±2 . Trong đó ch có m t hàm th c là ψ3d0 (vì ml = 0 nên thành ph n e−iml ϕ = 1). T h p tuy n tính 4 hàm o còn l i, cho ta 4 hàm th c tương ng và đư c kí hi u là 3dxz , 3dyz , 3dx2 −y2 , 3dxy . Hàm ψ3d0 đư c kí hi u là 3dz 2 . 14
  15. Bài t p 1. Nh ng câu h i sau đ u liên qua đ n nguyên t H a) Chúng ta đã xác đ nh đư c 3 s lư ng t n, l, ml cho thành ph n bán kính và thành ph n góc c a H. Hãy vi t nh ng giá tr đư c phép c a chúng S lư ng t Giá tr đư c phép n l ml b) Cho bi t s ph thu c c a các thành ph n bán kính và góc vào các s lư ng t Thành ph n S lư ng t R(r) Θ(θ) Φ(ϕ) c) Vi t bi u th c liên h c a năng lư ng, mô-men góc, hình chi u c a mô-men góc lên tr c z v i các s lư ng t Tính ch t Công th c tính E L Lz d) Có bao nhiêu tr ng thái (hàm sóng) ψ(r, θ, ϕ) = Rn (r)Ylm (θ, ϕ) trong các trư ng h p sau S lư ng t S tr ng thái l=2 n=1 n=2 e) Vi t công th c tính xác su t tìm th y electron l n nh t, tính giá tr trung bình r và tính xác su t tìm th y electron là 90% theo r Đ i lư ng Công th c tính Pmax (R(r)) r P (R(r)) = 0, 9 f) V hình chi u c a mô-men góc lên tr c z cho electron tr ng thái 3d. Vi t công th c tính góc t o b i L và Lz . 15
  16. 2. tr ng thái cơ b n, hàm sóng c a nguyên t hydro trong đơn v nguyên t 1 có d ng 1 ψ1s (r) = √ e−r π Tính xác su t tìm th y electron trong nguyên t hydro tr ng thái cơ b n khi r ≤ a0 . V i a0 là bán kính Bohr. 3. Các m c năng lư ng đư c phép c a electron trong ion He+ là 1 En = k n2 a) Tính giá tr k, cho bi t ion He+ có Z = 2. b) Khi electron trong ion He+ tr ng thái ni v tr ng thái nj có năng lư ng th p hơn, nó s phát ra m t photon có đ dài sóng λij . Xây d ng công th c tính λij (nm) theo ni và nj . c) T k t qu trên, tính đ dài sóng c a s d ch chuy n ni = 2, 3, 4 v nj = 1 cho ion He+ . Tính s sóng ν (cm−1 ) tương ng. ¯ 4. Khi n = 3 và l = 2, chúng ta có 4 hàm o sau 3d±1 = ke−αr r2 sin θ cos θe±iϕ 3d±2 = k e−αr r2 sin2 θe±2iϕ v i k, k và α là nh ng h ng s th c. Hãy tìm các hàm t h p tuy n tính −i 3dxz = √ (3d1 − 3d−1 ) 2 1 3dx2 −y2 = √ (3d2 + 3d−2 ) 2 −i 3dxy = √ (3d2 − 3d−2 ) 2 √ trong đó i = −1. Ta có th áp d ng phương trình 1 1 ix cos x = (eix + e−ix ); sin x = (e − e−ix ) 2 2i 1 Trong đơn v nguyên t (atomic units - au) thì = 1, me = 1, e0 = 1 và a0 = 2 /me e2 = 1 0 16