Xem mẫu

  1. 1/23/2009 MAXIMA PH N M M TOÁN H C NGU N M - CENTEA - CENTEA xin gi i thi u v i quý Th y Cô nh ng tính năng cơ b n nh t c a ph n m m l p trình tính toán Maxima – m t ph n m m mã ngu n m nhưng r t hi u qu , ñ s c thay th các ph n m m thương m i như Maple, Mathematica www.giaovien.net --//-- www.center4teachers.com Trang 1/17 centea.info@gmail.com
  2. 1/23/2009 I. Gi i thi u chương trình: ð u tiên quý Th y Cô c n t i chương trình Maxima phiên b n 5.17.0 (phiên b n m i nh t) dành cho HðH Windows t i ñ a ch : http://sourceforge.net/project/showfiles.php?group_id=4933&package_id=4960 . Ngoài ra, chương trình này còn có 1 b n dành cho h ñi u hành ngu n m Linux v i nhi u tính năng hơn nh m h tr vi c l p trình tính toán. Website c a chương trình: http://maxima.sourceforge.net/ V i file v a t i v , Th y Cô ti n hành cài ñ t bình thư ng Sau khi cài xong, trên desktop, chúng ta s có 2 shortcut là xmaxima và wxMaxima. Trong ñó: - xmaxima dùng ñ cho ngư i dùng vi t các bi u th c tính toán b ng câu l nh (v n dành cho nh ng ngư i ñã thành th o và thích dùng câu l nh hơn là click chu t, tính năng này tương ng v i Maple Classic); - wxMaxima có nh ng menu l nh tr c quan giúp cho nh ng ngư i m i làm quen v i ph n m m này có th thi t l p ñư c các bi u th c c n tính toán thông qua các menu mà không c n nh câu l nh. Cũng gi ng như Maple và Mathematica, ph n m m Maxima cho phép ngư i dùng khai báo và tính toán v i nh ng tham s b ng ch . Khi kích ho t wxMaxima, Th y Cô ch c n ñ i trong nháy m t thì chương trình s kh i ñ ng xong và hi n ra giao di n như sau: www.giaovien.net --//-- www.center4teachers.com Trang 2/17 centea.info@gmail.com
  3. 1/23/2009 Trong ñó: các l nh c n tính toán ñư c thi t k trong các menu l nh theo t ng ch ñ , bao g m các menu: 1. File 2. Edit 3. Maxima (thi t l p các thông s cho Maxima), 4. Equations (tìm nghi m c a ña th c, phương trình, h phương trình tuy n tính, phương trinh vi phân, ...) , 5. Algebra (các bài toán v ma tr n như: ma tr n ngh ch ñ o, ña th c ñ c trưng, giá tr riêng, vecto riêng, ma tr n ph h p...) 6. Calculus (các bài toán tìm gi i h n, ñ o hàm, tính tích phân b t ñ nh, tích phân xác ñ nh, tính g n ñúng tích phân, chia ña th c, khai tri n Taylor – Maclaurin, kh o sát chu i s , tìm t ng c a chu i s , phép bi n ñ i Laplace, phép bi n ñ i Laplace ngư c...) 7. Simplify (khai tri n, rút g n các bi u th c), 8. Plot (v các ñ th 2D, 3D trong t a ñ vuông góc, t a ñ c c,...), 9. Numeric: công c chuy n ñ i các phân s , bi u th c ra d ng s th c. 10. Help www.giaovien.net --//-- www.center4teachers.com Trang 3/17 centea.info@gmail.com
  4. 1/23/2009 Sau khi kh i ñ ng chương trình xong, Th y Cô nh p chu t vào phía dư i cùng c a khung nh p l nh và nh n phím Spacebar (d u cách) ñ hi n khung nh p l nh vào. B y gi , Th y Cô có th ch n các l nh t các menu tương ng ñ yêu c u chương trình tính toán. N u Th y Cô nh các câu l nh và mu n t nh p dòng l nh thay vì ch n các nút l nh trên menu thì Th y Cô c n k t thúc dòng l nh b ng d u ; sau ñó, nh n Ctrl + Enter (ho c Shift + Enter) ñ chương trình tính toán. II. Các hàm và toán t thông d ng: ð thu n l i trong vi c nh p các bi u th c c n tính toán Th y Cô c n chú ý m t s hàm và toán t thông d ng sau: 1. Các h ng s : Câu l nh %a %e %pi %phi acos(x) infinity (inf) minf π Hàm khai báo a e=2.7182... arccosx +∞ -∞ 1+ 5 2 là h ng s 2. Các hàm s lư ng giác, hàm lư ng giác ngư c: Câu l nh sin(x) cos(x) tan(x) cot(x) acos(x) asin(x) atan(x) Hàm sinx cosx tgx cotgx arccosx arcsinx arctgx 3. Các hàm s hyprebol, hàm s mũ, hàm log Câu l nh cosh(x) sinh(x) tanh(x) a^x exp(x) log(x) %e^x ax Hàm Cosine sin tangent e^x lnx Hyperbol hyperbol hyperbol 4. Các toán t thông d ng: “!”: Ký hi u x! trong maxima ñư c ñ nh nghĩa cho hàm - Toán t ∞ Gamma x ! = Γ( x + 1) = ∫ t x e − t dt , ∀x ∈ R , trong ñó n u x ∈ N ta có x! = 1.2.3...x 0 Toán t “!!” (giai th a b i): nghĩa là: - www.giaovien.net --//-- www.center4teachers.com Trang 4/17 centea.info@gmail.com
  5. 1/23/2009  2m.(2m − 2).(2m − 4)...2, n = 2m n !! =  (2k + 1).(2k − 1).(2k − 3)...1, n = 2k + 1 - Toán t “#”: a # b ñư c hi u là a ≠ b - Toán t “.” : ñư c dùng ñ nhân 2 ma tr n A, B, nghĩa là: A.B Toán t “:” : (toán t gán) Ta s d ng câu l nh ten_bien : gia_tri_gan; ñ gán 1 - giá tr nào ñó cho bi n. Ví d : ñ gán giá tr cho bi n a là 10 thì ta c n khai báo là: a:10. N u gán giá tr ñ ng th i nhi u bi n ta có th dùng câu l nh sau: [a , b, c] : [1, 5, 12] (nghĩa là a = 1 , b = 5, c = 12) Toán t “:=” : dùng ñ khai báo hàm s . Ví d : f (x,y) := x^2 + y^2 – exp(x*y), - nghĩa là gán hàm f là hàm theo 2 bi n x, y xác ñ nh b i bi u th c: x 2 + y 2 − e xy Toán t “and”: phép giao - Toán t “or” : phép h p - Toán t “abs(x)”: tr tuy t ñ i c a x , n u x là s phúc, thì toán t này chính là - phép l y modun c a s ph c x. Toán t “ceiling(x)”: làm tròn giá tr ñ n s nguyên nh nh t l n hơn x. Ví d : - ceiling(2.3) ta ñư c k t qu là 3. Toán t “compare(x,y)”: so sánh giá tr c a x v i y. K t qu tr v là các phép - toán logic : , = , =, # . Ví d : compare(1/x,0) k t qu s là # ; compare(x,abs(x)) ta ñư c k t qu
  6. 1/23/2009 Toán t “min(x_1,x_2,...x_n)”: tr v giá tr l n nh t trong các giá tr x_1, x_2, - ..., x_n Toán t “random(x)” : t o 1 s ng u nhiên có giá tr trong kho ng t [0;x] - Toán t “round(x)”: làm tròn giá tr c a x. Ví d : round(2.49) = 2 ; round(2.51) - =3 1, x > 0  Toán t “signum(x)”: signum( x) = 0, x = 0 -  −1, x < 0  Toán t “sqrt(x)” : tr v giá tr căn b c hai c a x - III. Ví d minh h a các ch c năng c a Maxima: Chúng ta s l n lư t tìm hi u các ch c năng c a Maxima thông qua các menu l nh c a wxmaxima 1. Menu File: - Open - Save - Save as - Load Package (t i các gói m r ng c a wxmaxima vào chương trình) - Batch file (ch y các file th c thi ñư c t o b i Maxima) - Export ( xu t file ñang tính toán ra ñ nh d ng web ho c LaTex) - Print - Exit 2. Menu Edit: - Cut - Copy - Copy as TeX : copy ño n công th c thành ño n mã c a LaTex. Ch c năng này ch có hi u nghi m khi v ñ th www.giaovien.net --//-- www.center4teachers.com Trang 6/17 centea.info@gmail.com
  7. 1/23/2009 - Copy as Image : copy ñ th dư i d ng file hình ñ dán vào các chương trình khác như: Word, PP, Paint, HTML Editor,... - Paste - Select All - Select To Image - Cell - Zoom In: phóng to ; Zoom Out: thu nh - Configure: c u hình các thông s cho chương trình wxmaxima. 3. Menu Maxima: - Interrupt (phím t t: Ctrl + G ): ng t b quá trình th c hi n tính toán. Thư ng g p trong nh ng trư ng h p bi u th c quá ph c t p, d n ñ n treo máy. - Restart Maxima: xóa b h t b nh c a chương trình và các bi u th c file ñang th c thi. - Clear memory: xóa các k t qu và các bi n lưu trong b nh - Show function: th hi n các hàm s ñã khai báo. - Show defination: th hi n các bi n ñã ñư c ñ nh nghĩa (gán). - Show variables: hi n th các bi n ñã s d ng - Delete function: xóa t t c các hàm ñã khai báo - Delete variable: xóa t t c giá tr c a các bi n - Toogle time Display: - Change 2d display - Display Tex form: hi n k t qu tính toán ñư c theo ñ nh d ng c a LaTeX Configure: c u hình các thông s cho chương trình wxmaxima www.giaovien.net --//-- www.center4teachers.com Trang 7/17 centea.info@gmail.com
  8. 1/23/2009 4. Menu Equations: Bao g m các l nh liên quan ñ n vi c gi i phương trình, h phương trình tuy n tính ho c vi phân, gi i g n ñúng phương trình. - Solve: gi i các phương trình ña th c, phương trình lư ng giác, Tuy nhiên, ch c năng này không gi i ñư c phương trình mũ... Khi ch n l nh này, khung h p tho i s hi n ra như sau: Dòng Equation(s): nh p phương trình c n tìm nghi m. Dòng Variable(s): khai báo n s . - Ví d : v i phương trình: sin(2x) = 1, ta s có ñư c k t qu sau: π - Nghi m c a phương trình là và Maxima cũng ñưa ra 1 thông báo là chương trình 4 ñã s d ng phương pháp hàm lư ng giác ngư c ñ tìm nghi m. Do ñó s có m t s nghi m khác không th hi n ñư c - Find root: tìm nghi m g n ñúng c a phương trình trong 1 kho ng [a; b] cho trư c. tìm nghi m g n ñúng c a phương trình: x3 + x − 1 = 0 trong kho ng [0;1] Ví d : ñ CENTEA làm như sau: Ch n Equation, ch n Find root www.giaovien.net --//-- www.center4teachers.com Trang 8/17 centea.info@gmail.com
  9. 1/23/2009 - Khi ñó, CENTEA s thu ñư c k t qu như sau: - ð tìm h t t t c các nghi m c a ña th c, Th y Cô dùng câu l nh sau: allroots(phương trình); Ví d : v i phương trình x3 + x – 1 = 0 trên ta s có: - N u ch mu n tìm nghi m th c, quý Th y Cô dùng câu l nh: realroots(phương trình) . Ví d : v i phương trình x4 + 2x3 + x2 – 2x – 2 = 0 ta s có: - Solve linear system: gi i h phương trình tuy n tính. Khi ch n ch c năng này, chương trình s yêu c u Th y Cô khai báo s phương trình c a h tuy n tính. ( ñây CENTEA ch n h 3 phương trình). Sau khi khai báo xong, chương trình s hi n ra h p www.giaovien.net --//-- www.center4teachers.com Trang 9/17 centea.info@gmail.com
  10. 1/23/2009 tho i, yêu c u nh p các phương trình và khai báo các bi n như hình trên. V i h 3 phương trình và 4 n như trên, theo lý thuy t chúng ta bi t h phương trình tuy n tính thu n nh t trên s có vô s nghi m v i 1 n là tham s . CENTEA ñã th nghi m và thu ñư c k t qu như sau v i t là tham s : - Solve algebraic system: gi i h phương trình ñ i s . Cũng tương t như trên, Khi ch n ch c năng này, chương trình s yêu c u Th y Cô khai báo s phương trình c a h và các phương trình cũng như khai báo các bi n như hình bên. V i h phương trình: a2 – b2 = 0 ; ab = 2, CENTEA thu ñư c k t qu như sau: - V i h phương trình ch a tham s thì maxima ch gi i quy t trong trư ng h p có duy nh t nghi m. ð bi n lu n các trư ng h p khác, ta c n ph i suy ra t các k t qu ñã tính toán ñư c. - Ví d : - Solve ODE: ch c năng này dùng ñ gi i phương trình vi phân thư ng c p 1 ho c phương trình vi phân tuy n tính c p 2 h s h ng không có ñi u ki n ñ u. Khi ch n ch c năng này thì 1 h p tho i s hi n ra yêu c u chúng ta ph i nh p phương trình c n gi i, và khai www.giaovien.net --//-- www.center4teachers.com Trang 10/17 centea.info@gmail.com
  11. 1/23/2009 báo tham s nào là hàm s , tham s nào là bi n s . Ho c quý Th y Cô có th s d ng c u trúc l nh như sau: ode2(phuong trinh, tham s bi n, tham s hàm). Trong ñó, bi u th c l y ñ o hàm s ñư c ký hi u như sau: ð o hàm c p 1: ‘diff(y,x) ð o hàm c p n: ‘diff(y,x,n) Ví d : v i phương trình: y’ – y = 0 (1), CENTEA s có câu l nh và k t qu như sau: V i phương trình vi phân c p 2: y” – 2y’ + y = 0 (2), CENTEA s có k t qu là: Ho c v i phương trình vi phân h s hàm: y’’-3y’+4y=sin(2x) (3), ta s có k t qu là: - ð gi i phương trình vi phân c p 1 v i ñi u ki n ñ u y(x0) = y0 thì quý Th y Cô c n gi i phương trình trư c và ghi nh n k t qu nghi m t ng quát c a phương trình, ví d : v i phương trình (1), nghi m là bi u th c %o5, Khi ñó, quý Th y Cô dùng ch c năng Initial value Problem (1) (ñi u ki n ñ u c a phương trình vi phân c p 1) và nh p vào bi u th c như sau: Dòng solution nh p %o5 , dòng Point x = nh p giá tr x0 và dòng value y = : ta nh p giá tr y0 ho c s d ng câu l nh ic1(%o5, x = x0 ; y = y0) Ví d : www.giaovien.net --//-- www.center4teachers.com Trang 11/17 centea.info@gmail.com
  12. 1/23/2009 - V i phương trình vi phân tuy n tính c p 2 h s h ng thì Maxima ch gi i quy t ñư c bài toán có ñi u ki n ñ u d ng Cauchy: y(x0) = y0 và y’(x0) = y’0 ð tìm nghi m riêng th a mãn ñi u ki n ñ u d ng này, Th y Cô dùng ch c năng Initial Value Problem (2) sau khi ñã tìm nghi m t ng quát (tương t như trên) - - Trong trư ng h p phương trình vi phân c p 2 có ñi u ki n biên y(a) = y0 ; y(b) = y1 thì sau khi gi i tìm nghi m t ng quát, Th y cô s d ng ch c năng Boundary Value Problem. - M c cu i cùng c a menu Equation ñó là ng d ng Solve ODE by Laplace (Gi i phương trình vi phân b ng phép bi n ñ i Laplace) 5. Menu Algebra: Bao g m các bài toán liên quan ñ n ñ nh th c , ma tr n. ð dùng các ch c năng menu này, thì ñ u tiên, quý Th y Cô c n ph i khai báo 1 ma tr n cho trư c. - ð nh p 1 ma tr n, CENTEA dùng l nh Enter matrix và khai báo s dòng, s c t và d ng c a ma tr n m c Type: General (ngư i dùng s nh p h t ttc các ph n t ), Diagonal (ma tr n chéo), symmetric (ma tr n tam giác trên), antisymmetric (ma tr n tam giác dư i). - Invert Matrix: dùng ñ tìm ma tr n ngh ch ñ o (n u có) c a 1 ma tr n cho trư c. Tuy nhiên, n u ch n l nh này, thì chương trình s l y k t qu li n trư c ñó nên s ñúng ñúng yêu c u c a Th y Cô. Do ñó, CENTEA ñ ngh dùng câu l nh: invert(ma tr n ñã nh p); www.giaovien.net --//-- www.center4teachers.com Trang 12/17 centea.info@gmail.com
  13. 1/23/2009 - Ví d : xem hình bên - Characteristic Polynomial : dùng ñ tìm ña th c ñ c trưng c a ma tr n. Tuy nhiên, cũng gi ng như ma tr n ngh ch ñ o, Maxima ch tìm ña th c ñ c trưng cho k t qu li n trư c ñó. Do ñó, n u k t qu ngay trư c, không ph i d ng ma tr n thì chương trình s báo l i. Vì v y, CENTEA ñ ngh quý th y cô s d ng câu l nh: charpoly(bi u th c xác ñ nh ma tr n, tên bi n c a giá tr riêng), expand; Ví d : charpoly(%o29,x), expand; s cho k t qu là: - Determinant: tính ñ nh th c c a ma tr n vuông - Eigenvalues: tìm giá tr riêng c a ma tr n cho trư c - Eigenvector: tìm vectơ riêng tương ng v i giá tr riêng c a ma tr n cho trư c. - Adjoint: tìm ma tr n ph h p c a ma tr n cho trư c - Transpose: tìm ma tr n chuy n v c a ma tr n cho trư c 6. Menu Caculus: Bao g m các l nh ñ gi i các bài toán gi i tích như gi i h n, ñ o hàm, tích phân, chu i s , khai tri n Taylor, chia ña th c... - Integrate: tính tích phân b t ñ nh và tích phân xác ñ nh, ho c tính tích phân b ng phương pháp s . Khi Th y Cô ch n menu này, s xu t hi n h p tho i như hình bên. Th y cô nh p bi u th c tính tích phân vào khung Expression , nh p bi n l y tích phân vào khung Variable. Trong trư ng h p Th y cô c n tính tích phân xác ñ nh thì ch n Definite integration và ñi n c n dư i vào m c From và c n trên vào m c To. Các nút Special ñ giúp chúng ta ch n nh ng h ng s ñ c bi t như e , π. Trong trư ng h p tích phân www.giaovien.net --//-- www.center4teachers.com Trang 13/17 centea.info@gmail.com
  14. 1/23/2009 không th tích ñư c thông qua các hàm sơ c p, thì ñ tính g n ñúng tích phân xác ñ nh, Th y Cô ch n numeric integration sin 2 x ∫ sin 2 x + cos 2 x dx , CENTEA có k t qu - V i bi u th c như sau: - Tuy nhiên, k t qu này khá ph c t p. N u bài này ta xét t ng hi u c a 2 tích phân sin 2 x cos 2 x ∫ sin 2 x + cos 2 x dx , ∫ sin 2 x + cos 2 x dx thì s có k t qu nhanh chóng và g n hơn nhi u. - Differentiate: tính ñ o hàm các c p c a hàm s . Ví d : tìm ñ o hàm c p 5 c a hàm s arctgx. Ta có: - Find Limit: tìm gi i h n hàm s v i ch c năng tìm gi i h n trái, gi i h n ph i và gi i h n 2 phía.  sin x   1 + x − x(1 − x)  Ví d : tìm gi i h n c a bi u th c: lim   . Ta có: x3 x →0     www.giaovien.net --//-- www.center4teachers.com Trang 14/17 centea.info@gmail.com
  15. 1/23/2009  tgx  1 ( ) x + 2 − 2 + arcsin   + 3arctg 2 x sin    2 2 M t ví d khác: lim - . Ta s có k t qu là: sin x3 + x x→ 0 - Get series: tìm khai tri n Taylor t i ñi m x = x0 c a 1 hàm s b t kỳ. Sau khi ch n l nh trên, khung h p tho i hi n ra. Quý Th y Cô ch vi c nh p bi u th c c n khai tri n. Khai báo bi n và giá tr x0 cũng như b c c n khai tri n như hình bên. ñây, CENTEA ch n khai tri n Maclaurin cho hàm cos(xsinx) ñ n b c 8. Khi ñó ta s có k t qu như sau: - Hay c n khai tri n hàm s sin(sinx) ñ n b c 13, ta s có: ∞ 1 ∑k - Calculate sum: tìm t ng c a chu i s dương. Ví d : tính t ng c a chu i ta s 2 k =1 có: www.giaovien.net --//-- www.center4teachers.com Trang 15/17 centea.info@gmail.com
  16. 1/23/2009 - Laplace transform: tìm phép bi n ñ i Laplace c a 1 hàm cho trư c. - Invert Laplace transform: tìm phép bi n ñ i Laplace ngư c c a 1 hàm cho trư c. - Greatest common divisor: tìm ư c s chung l n nh t c a 2 bi u th c, 2 ña th c. - Devide polynomials: th c hi n phép chia ña th c, k t qu tr v g m 2 thành ph n có d ng như sau: [thương , ph n dư] - Partial Fraction: phân tích 1 phân th c thành các phân th c ñơn gi n. Ví d : - Continued fraction: bi u di n 1 s dư i d ng liên phân s 7. Menu Simlify: - Bao g m các l nh nh m phân tích, rút g n, t i gi n, ho c khai tri n các bi u th c. 8. Menu Plots: - Bao g m các l nh ñ v ñư ng cong 2 chi u trong m t ph ng, ho c m t cong trong không gian. - Tuy nhiên, ñ v ñư ng cong trong t a ñ c c, ta ph i chuy n v ñư ng cong r= r(p) v d ng tham s là x = r(p).cos(p) ; y = r(p).sin(p). - Ngoài ra, ñ v ñư ng cong d ng t ng quát (d ng hàm n), ví d phương trình d ng n 2x2 + 3y2 = 4: ta dùng câu l nh có c u trúc như sau: draw2d(implicit(2*x^2+3*y^2=4, x,-2,2, y,-2,2)) www.giaovien.net --//-- www.center4teachers.com Trang 16/17 centea.info@gmail.com
  17. 1/23/2009 III. L i k t: Như v y, CENTEA v a trình bày các v n ñ cơ b n c a ph n m m Toán h c mã ngu n m Maxima. Ngoài nh ng tính năng cơ b n trên, quý Th y Cô và các b n có th tìm hi u thêm nh ng tính năng m r ng (thông qua m c Help) c a chương trình này. CENTEA hy v ng ñây s là món quà ñ u năm có ý nghĩa ñ i v i Th y Cô và các b n yêu thích b môn Toán h c. Th c hi n: Nguy n Vũ – www.giaovien.net www.giaovien.net --//-- www.center4teachers.com Trang 17/17 centea.info@gmail.com