Xem mẫu

  1. H t trong h p ba chi u − s suy bi n Lý Lê Ngày 27 tháng 7 năm 2009 Tóm t t n i dung Hi n tư ng suy bi n c a các m c năng lư ng là m t hi n tư ng khá ph bi n đ i v i các h vi mô. Chúng ta s bư c đ u tìm hi u hi n tư ng này thông qua vi c kh o sát năng lư ng c a h t chuy n đ ng trong không gian ba chi u. T k t qu bài toán h t trong h p ch nh t, chúng ta s tính các giá tr trung bình như v trí và đ ng lư ng c a h t. 1 Phương trình Schr¨dinger cho h m t h t trong o không gian ba chi u Phương trình Schr¨dinger không ph thu c th i gian cho h m t h t, trong o không gian m t chi u đư c vi t như sau Hψ(x) = Eψ(x) (1) v i E là năng lư ng; H là toán t Hamiltonian 2 d2 H = Tx + V (x) = − + V (x) (2) 2m dx2 Trong (2), toán t Tx là toán t đ ng năng; V (x) là toán t th năng. Trong không gian ba chi u, đ ng năng cũng như th năng c a h ph thu c vào c ba thành ph n t a đ x, y, z V = V (x, y, z) (3) ∂2 2 ∂2 ∂2 T = Tx + Ty + Tz = − + 2+ 2 (4) 2m ∂x2 ∂y ∂z Do đó, phương trình Schr¨dinger không ph thu c th i gian cho h m t h t, o trong không gian ba chi u có d ng 2 ∂2 ∂2 ∂2 − + 2 + 2 + V (x, y, z) ψ(x, y, z) = Eψ(x, y, z) (5) 2m ∂x2 ∂y ∂z 1
  2. Trong (5), toán t 2 ∂2 ∂2 ∂2 ≡ + 2+ 2 (6) ∂x2 ∂y ∂z đư c g i là toán t Laplacian ( 2 − del bình phương). Như v y, phương trình Schr¨dinger (5) có th đư c vi t g n hơn như sau o 2 2 − + V (x, y, z) ψ(x, y, z) = Eψ(x, y, z) (7) 2m N u h g m n h t thì đ ng năng c a h b ng t ng đ ng năng c a các h t trong h . Do đó, ta có n n 2 2 T = Ti = − i (8) 2mi i=1 i=1 Th năng là hàm ph thu c vào t a đ c a các h t trong h V = V (x1 , y1 , z1 , . . . , xn , yn , zn ) = V (q1 , . . . , qn ) (9) Hàm tr ng thái c a h cũng s ph thu c vào t a đ c a t t c các h t trong h ψ = ψ(x1 , y1 , z1 , . . . , xn , yn , zn ) = ψ(q1 , . . . , qn ) (10) Như v y, đ i v i h nhi u h t, trong không gian ba chi u, phương trình Schr¨dinger không ph thu c th i gian là o n 2 2 i + V (q1 , . . . , qn ) ψ(q1 , . . . , qn ) = Eψ(q1 , . . . , qn ) (11) 2mi i=1 Ví d , phương trình Schr¨dinger cho m t h g m hai h t chuy n đ ng o và tương tác v i nhau, trong không gian ba chi u đư c vi t như sau 2 2 2 2 1 + 2 + V (q1 , q2 ) ψ(q1 , q2 ) = Eψ(q1 , q2 ) 2m1 2m2 Trong đó q1 = x1 , y1 , z1 và q2 = x2 , y2 , z2 là t a đ c a h t th nh t và h t th hai. 2 H t trong h p ba chi u   0
  3. H p mà chúng ta s xét đ n là h p ch nh t v i đ dài các c nh là a, b, và c. H t a đ đư c ch n sao cho m t trong các đ nh c a h p n m t i g c t a đ và các tr c x, y, z là ba trong s 12 c nh c a h p. Th năng bên trong h p là zero; ngoài h p là vô cùng. V i đi u ki n như trên, ta k t lu n r ng hàm sóng b ng zero bên ngoài h p. Bên trong h p, toán t th năng b ng zero, nên phương trình sóng Schr¨dinger không ph thu c th i gian s là o 2∂2 ∂2 ∂2 − + 2 + 2 ψ(x, y, z) = Eψ(x, y, z) (12) 2m ∂x2 ∂y ∂z Gi s nghi m c a phương trình (12) đư c vi t dư i d ng tích c a ba hàm X(x), Y (y), và Z(z) ch a các bi n s x, y, z đ c l p; nghĩa là ψ(x, y, z) = X(x)Y (y)Z(z) (13) Phương pháp đư c dùng đ gi i phương trình vi phân như trên đư c g i là phương pháp tách bi n (seperation of variables). Th (13) vào (12), nhưng đ đơn gi n ta vi t X, Y, Z thay vì X(x), Y (y), Z(z), ta đư c ∂ 2 (XY Z) ∂ 2 (XY Z) ∂ 2 (XY Z) 2m 2 + 2 + 2 = − 2 E(XY Z) (14) ∂x ∂y ∂z Vì Y Z không ph i là hàm c a x; XZ không ph i là hàm c a y; XY không ph i là hàm c a z nên ta có ∂ 2 (XY Z) ∂2X =YZ ∂x2 ∂x2 ∂ 2 (XY Z) ∂2Y = XZ 2 ∂y 2 ∂y ∂ 2 (XY Z) ∂2Z = XY ∂z 2 ∂z 2 Do đó, (14) tr thành ∂2X ∂2Y ∂2Z 2m YZ 2 + XZ 2 + XY 2 = − 2 E(XY Z) (15) ∂x ∂y ∂z Chia phương trình (15) cho XY Z, ta đư c 1 1 1 2m X + Y + Z =− 2E (16) X Y Z hay 2X (x) 2 Y (y) 2 Z (z) − − − =E (17) 2m X(x) 2m Y (y) 2m Z(z) 3
  4. T đó, ta có 2 X (x) 2 Y (y) 2 Z (z) − =E+ + (18) 2m X(x) 2m Y (y) 2m Z(z) Ta th y v trái c a phương trình (18) hoàn toàn không ph thu c vào các bi n y và z. Trong khi đó, v ph i c a (18) hoàn toàn không ph thu c vào bi n x. Như v y đ hai v phương trình b ng nhau thì phương trình ph i b ng m t h ng s . Đ t h ng s này là Ex , ta có 2 X (x) Ex = − (19) 2m X(x) L p lu n tương t như trên, ta đư c 2 Y (y) 2 Z (x) Ey = − ; Ez = − (20) 2m Y (y) 2m Z(z) K t h p v i (19) và (20), phương trình (18) tr thành E = Ex + Ey + Ez (21) Ta vi t l i các phương trình (19) và (20) như sau 2m X (x) + 2 Ex X(x) = 0 (22) 2m Y (y) + 2 Ey Y (y) = 0 (23) 2m Z (z) + 2 Ez Z(z) = 0 (24) Tóm l i, chúng ta đã chuy n m t phương trình vi phân riêng ph n v i ba bi n thành ba phương trình vi phân ch ch a m t bi n. Ta th y (22) chính là phương trình Schr¨dinger cho h t trong h p m t chi u v i th năng trong o h p V (x) = 0 và chi u dài là l = a. Như v y, nghi m c a (22) là 2 nx πx X(x) = sin (25) a a n2 h2 x Ex = (nx = 1, 2, 3, . . .) (26) 8ma2 Tương t , ta có 2 ny πy Y (y) = sin (27) b b n 2 h2 y Ey = (ny = 1, 2, 3, . . .) (28) 8mb2 4
  5. và 2 nz πz Z(z) = sin (29) c c n 2 h2 z Ez = (nz = 1, 2, 3, . . .) (30) 8mc2 Như v y, năng lư ng c a h h2 n2 x n2y n2z E = Ex + Ey + Ez = + 2 + 2 (31) 8m a2 b c Hàm sóng c a h t trong h p ch nh t ψ(x, y, z) = X(x)Y (y)Z(z) 8 nx πx ny πy nz πz ψ(x, y, z) = sin( ) sin( ) sin( ) (32) abc a b c Trong đó, a, b, c là đ dài c a các c nh theo các tr c x, y, z tương ng. Hàm sóng có ba s lư ng t nx , ny và nz . Chúng bi n đ i m t cách đ c l p v i nhau. Hàm sóng có d ng ψ(x, y, z) = X(x)Y (y)Z(z) đư c chu n hóa như sau 2 2 ψ(x, y, z) dxdydz = X(x)Y (y)Z(z) dxdydz 2 2 2 = X(x) dx Y (y) dy Z(z) dz = 1 hay 2 2 2 X(x) dx = Y (y) dy = Z(z) dz = 1 (33) 3 S suy bi n Xét h p có d ng hình l p phương, a = b = c. Khi đó, các m c năng lư ng đư c xác đ nh b i h2 E= (n2 + n2 + n2 ) (34) 8ma2 x y z Năng lư ng th p nh t hay năng lư ng đi m không c a h t, ng v i tr ng thái nx = ny = nz = 1, là h2 E111 = 3 × 8ma2 5
  6. b ng ba l n năng lư ng c a h t trong h p m t chi u có dùng đ dài. Các m c năng lư ng ti p theo thu đư c khi tăng d n các giá tr nx , ny , nz . Ví d , khi tăng m t s lư ng t lên 2, gi a nguyên hai s lư ng t còn l i là 1, ta s có 3 giá tr E211 , E121 , E112 . V i b ba s lư ng t (1, 1, 2) thì n2 + n2 + n2 = 6 x y z Do đó h2 E211 = E121 = E112 = 6 × 8ma2 Tương t , v i b ba s lư ng t (1, 1, 3) thì h2 E311 = E131 = E113 = 11 × 8ma2 n2 + n2 + n2 x y z nx ny nz E B c suy bi n 3 111 3(h 2 /8ma2 ) 1 6 211 121 112 6(h2 /8ma2 ) 3 9 221 212 122 9(h 2 /8ma2 ) 3 11 311 131 113 11(h2 /8ma2 ) 3 12 222 12(h2 /8ma2 ) 1 14 321 312 231 213 132 123 14(h 2 /8ma2 ) 6 B ng 1.1: M t s m c năng lư ng th p nh t c a h t trong h p E 6 212 122 221 112 121 211 111 Hình 1.1: M t s m c năng lư ng th p nh t c a h t trong h p Chúng ta th y có nh ng tr ng thái mà năng lư ng c a h t b ng nhau m c dù s lư ng t khác nhau. Ví d , ng v i giá tr n2 + n2 + n2 = 6 ⇒ E = 6(h2 /8ma2 ) x y z có đ n ba tr ng thái là nx ny nz Tr ng thái 1 1 2 ψ112 1 2 1 ψ121 2 1 1 ψ211 6
  7. Như v y, ng v i m c năng lư ng E = 6(h2 /8ma2 ), h t trong h p l p phương đư c mô t b i ba hàm sóng 8 πx πy 2πz ψ112 = sin( ) sin( ) sin( ) a3 a a a 8 πx 2πy πz ψ121 = 3 sin( ) sin( ) sin( ) a a a a 8 2πx πy πz ψ211 = 3 sin( ) sin( ) sin( ) a a a a Ba hàm sóng ψ211 , ψ121 , ψ112 mô t ba tr ng thái khác nhau c a h v i cùng m c năng lư ng. Khi hai hay nhi u hàm sóng tương ng v i nh ng t ng thái có cùng đ c tr năng lư ng thì đ c tr này đư c g i là suy bi n (degenerate). B c suy bi n c a m t m c năng lư ng là s tr ng thái mà m c năng lư ng đó có. Trong ví d trên ta có suy bi n b c ba: có ba tr ng thái cùng m c năng lư ng E = 6(h2 /8ma2 ). 4 S ch ng ch t các tr ng thái suy bi n Xét m t tr ng thái suy bi n b c n, nghĩa là có n hàm sóng đ c l p ψ1 , ψ2 , ψ3 , . . ., ψn cùng m c năng lư ng E. Ta có Hψ1 = Eψ1 ; Hψ2 = Eψ2 ; ... Hψn = Eψn (35) Theo nguyên lí ch ng ch t, n u ψ1 , ψ2 , ψ3 , ..., ψn là nh ng tr ng thái c a m t h thì tr ng thái đư c xác đ nh b i ψ = c1 ψ1 + c2 ψ2 + · · · + cn ψn (36) cũng là m t tr ng thái c a h . Th t v y, t (36), ta có Hψ = H(c1 ψ1 + c2 ψ2 + · · · + cn ψn ) (37) Toán t năng lư ng H là toán t tuy n tính. Do đó H(c1 ψ1 + c2 ψ2 + · · · + cn ψn ) = c1 Hψ1 + c2 Hψ2 + · · · + cn Hψn (38) Th (35) vào (38), ta đư c H(c1 ψ1 + c2 ψ2 + · · · + cn ψn ) = c1 Eψ1 + c2 Eψ2 + · · · + cn Eψn = E(c1 ψ1 + c2 ψ2 + · · · + cn ψn ) vì ψ = c1 ψ1 + c2 ψ2 + · · · + cn ψn nên phương trình trên tr thành Hψ = Eψ (39) 7
  8. T k t qu trên, ta th y hàm t h p tuy n tính ψ cũng là m t đ c hàm c a toán t Hamiltonian v i cùng đ c tr năng lư ng E. Do đó, nó cũng là m t tr ng thái c a h . N u h suy bi n b c hai thì ta ch có m t tr ng thái t h p tuy n tính ψ = c1 ψ1 + c2 ψ2 Khi b c suy bi n l n hơn hai, s có r t nhi u tr ng thái t h p tuy n tính đư c t o ra. Ví d , v i trư ng h p suy bi n b c ba, ta có các tr ng thái t h p tuy n tính như sau ψ12 = c1 ψ1 + c2 ψ2 ψ13 = c1 ψ1 + c3 ψ3 ψ23 = c2 ψ2 + c3 ψ3 ψ123 = c1 ψ1 + c2 ψ2 + c3 ψ3 Các tr ng thái này đ u có cùng m c năng lư ng. 5 Giá tr trung bình Ti n hành n phép th . Gi s B là đ i lư ng ng u nhiên nh n các giá tr có th b1 , b2 , . . . , bn v i s l n nh n là k1 , k2 , . . . , kn . Giá tr trung bình c a đ i lư ng ng u nhiên B trong n phép th là ¯ = b = 1 (k1 b1 + b2 x2 + · · · + bn xn ) = b ki bi = fi bi (40) n n i i ki v i fi = là t n su t đ B nh n giá tr bi . Ví d , khi ti n hành kh o sát n đi m thi c a 9 sinh viên, ta có k t qu như sau 0,20,20,60,60,80,80,80,100. Đi m trung bình trong trư ng h p này là 1 1 ki bi = {1(0) + 2(20) + 2(60) + 3(80) + 1(100)} = 56 n 9 i ki Khi n đ l n thì t s chính là xác su t quan sát th y giá tr bi , kí n hi u là Pi , ta có b = Pi bi (41) i và giá tr trung bình b đư c g i là giá tr kì v ng. Bây gi , gi s chúng ta mu n xác đ nh v trí c a m t h t đang tr ng 2 thái ψ(x). Theo Born, ψ(x) là xác su t tìm th y h t t i v trí x. Đi u này có nghĩa là các phép đo t a đ x không cho m t k t qu duy nh t. N u ta 8
  9. th c hi n phép đo nhi u l n thì ta s thu đư c nhi u giá tr khác nhau. Do đó, có th ta s ph i tính giá tr trung bình x cho nh ng phép đo này. T a đ x có giá tr liên t c, và xác su t tìm th y h t là hàm m t đ xác su t 2 Ψ nên giá tr trung bình x đư c tính như sau +∞ 2 +∞ x = x ψ dx = ψ ∗ xψdx (42) −∞ −∞ đây, chúng ta xem giá tr trung bình là giá tr kì v ng. Theo lí thuy t xác su t th ng kê, gi s X là đ i lư ng ng u nhiên liên t c có hàm m t đ xác su t f (x). Kì v ng c a đ i lư ng ng u nhiên X đư c xác đ nh b i +∞ EX = xf (x)dx −∞ T ng quát, giá tr trung bình c a m t thu c tính B đư c xác đ nh b i B = ψ ∗ Bψdx (43) Khi áp d ng vào cơ h c lư ng t thì thu c tính B s đư c thay th b ng toán t B c a thu c tính đó. Như v y (43) tr thành B = ψ ∗ Bψdx (44) Trong trư ng h p đ c bi t, n u ψ là m t đ c hàm c a B v i đ c tr β; nghĩa là Bψ = βψ thì ta có B = ψ ∗ Bψdx = ψ ∗ βψdx = β ψ ∗ ψdx = β (45) vì ψ ∗ ψdx = 1 do hàm ψ đư c chu n hóa. Như v y, giá tr trung bình cũng chính là đ c tr . Nói cách khác, đ c tr β c a toán t B là k t qu duy nh t ta thu đư c khi th c hi n phép đo thu c tính B đư c mô t b i B. Ví d : Tìm x và px cho h t trong h p ch nh t, tr ng thái cơ b n. Ta có a b c x = ψ ∗ (x, y, z)xψ(x, y, z)dxdydz 0 0 0 9
  10. V i ψ(x, y, z) = X(x)Y (y)Z(z) và x = x, ta đư c a b c x = X ∗ Y ∗ Z ∗ xXY Zdxdydz 0 0 0 a b c = X ∗ xXdx Y ∗ Y dy Z ∗ Zdz 0 0 0 a ∗ = X xXdx 0 vì b c Y ∗ Y dy = Z ∗ Zdz = 1 0 0 Do đó a 2 πx a x = x sin2 = a 0 a 2 Tương t , ta có a b c px = X ∗ Y ∗ Z ∗ px XY Zdxdydz 0 0 0 a b c = X ∗ px Xdx Y ∗ Y dy Z ∗ Zdz 0 0 0 a ∗ = X px Xdx 0 d v i px = −i , ta đư c dx a a d px = −i X ∗ (x) X(x)dx = −i X(x)X (x)dx 0 dx 0 2 πx vì X(x) = sin là hàm th c nên X ∗ (x) = X(x). a a Áp d ng công th c tính tích phân t ng ph n, đ t u = X(x) ; dv = X (x)dx ⇒ du = X (x)dx ; v = X(x) Ta có a a a X(x)X (x)dx = X 2 (x) − X(x)X (x)dx 0 0 0 a 1 a ⇒ X(x)X (x)dx = X 2 (x) =0 0 2 0 Vì X(0) = X(a) = 0. Như v y a px = −i X(x)X (x)dx = 0 0 10
  11. Bài t p 1. Vi t phương trình Schr¨dinger cho nguyên t He g m m t h t nhân và o hai electron. Xem h t nhân đư c c đ nh (đ ng yên) t i g c t a đ . Cho bi t công th c tính th năng tương tác gi a các h t mang đi n là qi qj Vij = k 2 rij Trong đó, k là h ng s ; qi , qj là đi n tích c a các h t mang đi n; rij là kho ng cách gi a i và j. 2. Gi i phương trình sau theo phương pháp tách bi n s ∂ 2 U (x, y) ∂U (x, y) − =0 ∂x2 ∂y V i U (x, y) = X(x)Y (y) 3. Trong cơ h c lư ng t thì khái ni m tr ng thái và m c năng lư ng là không gi ng nhau. Gi s m t h t kh i lư ng m trong h p l p phương v i 2 đ dài m i c nh là a có các m c năng lư ng E < 20 . Như v y, có t t 8ma2 c bao nhiêu tr ng thái ng và bao nhiêu m c năng lư ng th a mãn đi u ki n trên? 4. Tính các giá tr trung bình x2 , x 2 , p2 và px 2 cho h t tr ng thái x cơ b n trong h p hình ch nh t. T đó tính ∆x∆px = x2 − x 2 × p2 − px x 2 h So sánh k t qu ∆x∆px v i . 2π Cho công th c tính tích phân x2 x 1 x sin2 (kx)dx = − sin(2kx) − 2 cos(2kx) 4 4k 8k x3 x2 1 x x2 sin2 (kx)dx = − − 3 sin(2kx) − 2 cos(2kx) 6 4k 8k 4k 11