Xem mẫu
- TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 10 tháng 06 năm 2010
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (04) 2221-0328
BÀI TẬP VỀ NHÀ
(Hình học không gian)
Thể tích khối đa diện.
(Các em tự vẽ hình vào các bài tập)
Bài 1: Cho hình chóp S.ABC, trong đó SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Đáy là tam
giác
ABC cân tại A, độ dài trung tuyến AD là a , cạnh bên SB tạo với đáy một
góc α và tạo với mặt (SAD) góc β . Tìm thể tích hình chóp S.ABC
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a, cạnh SA
vuông góc với đáy, còn cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy góc 60o . Trên cạnh SA lấy
a 3
điểm M sao cho AM = . Mặt phẳng (BCM) cắt cạnh SD tại N. Tính thể tích khối
3
chóp S.BCMN
Bài 3: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bằng a , và SH là đường cao của hình
chóp. Khoảng cách từ trung điểm I của SH đến mặt bên (SDC) bằng b . Tìm thể tích
hình chóp S.ABCD
Bài 4: Tính thể tích khối tứ diện ABCD biết AB = a, AC = b, AD = c và các góc ∠BAC ,
∠CAD, ∠DAB đều bằng 60o .
Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, ∠BAD = 60o , SA ⊥ mp ( ABCD ) và
SA = a . Gọi C’ là trung điểm của SC. Mặt phẳng (P) qua AC’ và song song với BD cắt
các cạnh SB, SD của hình chóp lần lượt tại B’, D’. Tìm thể tích hình chóp S.AB’C’D’
Bài 6: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Qua trung điểm I của cạnh AB dựng
a 3
đường thẳng (d) vuông góc với mp(ABCD). Trên (d) lấy điểm S sao cho: SI = .
2
Tìm khoảng cách từ C đến mp(SAD).
Bài7: Cho hình chóp S.ABC có SA = 3a và SA ⊥ mp ( ABC ) . ∆ABC có AB = BC = 2a,
∠ABC = 120o. Tìm khoảng cách từ A đến mp(SBC).
Bài 8: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a . Gọi K là trung điểm của
DD’. Tìm khoảng cách giữa CK và AD’.
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
- TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 10 tháng 06 năm 2010
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (04) 2221-0328
Bài 9: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’. Gọi M là trung điểm của AA’. Chứng minh rằng
thiết diện C’MB chia lăng trụ thành hai phần tương đương.
Bài 10: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các mặt bên tạo với mp đáy góc 60o .
1. Vẽ thiết diện qua AC và vuông góc với mp(SAD)
2. Thiết diện chia khối chóp thành hai phần có thể tích tương ứng là V 1, V2. Tìm tỉ số
V1
V2
.
………………….Hết…………………
BT Viên môn Toán hocmai.vn
Trịnh Hào Quang
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Page 2 of 8
- TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA HOCMAI.VN ………… , ngày ….tháng… năm …..
A5+A6, 52 Nguyễn Chí Thanh Tel: 04.3775-9290
HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC BTVN
Thể tích khối đa diện.
(Các em tự vẽ hình vào các bài tập)
Bài 1: Cho hình chóp S.ABC, trong đó SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Đáy là tam
giác ABC cân tại A, độ dài trung tuyến AD là a , cạnh bên SB tạo với đáy một góc α và
tạo với mặt (SAD) góc β . Tìm thể tích hình chóp S.ABC
1
HDG: Thể tích hình chóp S.ABC là: V = .SA.S∆ABC
3
Tam giác ABC cân đỉnh A nên trung tuyến AD cũng là đường cao của tam giác. Theo giả
thiết: SA ⊥ mp ( ABC ) ⇒ ∠SBA = ( SB, mp ( ABC ) ) = α
BD ⊥ mp ( SAD ) ⇒ ∠BSD = β
Đặt BD = x suy ra: AB = a 2 + x 2 ⇒ SA = a 2 + x 2 .tan α
BD SA
SB = =
sin β sin α
⇒ x sin α = a 2 + x 2 tan α sin β
a 2 sin 2 β
⇒x =2
cos 2α + sin 2 β
1 a 3 sin α .sin β
Do đó: V = . a 2 + x 2 .tan α .a.x =
3 3cos(α + β )cos(α − β )
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a, cạnh SA
vuông góc với đáy, còn cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy góc 60o . Trên cạnh SA lấy
a 3
điểm M sao cho AM = . Mặt phẳng (BCM) cắt cạnh SD tại N. Tính thể tích khối
3
chóp S.BCMN
HDG:
Theo giả thiết :
SA ⊥ mp ( ABCD ) ⇒ ∠SBA = ( SB, mp ( ABCD ) ) = 60o
⇒ SA = AB.tan 60o = a 3
Trong mp(SAD) kẻ MN || AD (N thuộc cạnh SD) ⇒ SD ∩ mp ( BCM ) = N
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Page 3 of 8
- TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 10 tháng 06 năm 2010
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (04) 2221-0328
Theo công thức tỉ số thể tích, ta có:
VSMBC SM 2 2 1
= = ⇒ VSMBC = VSABC = VS . ABCD
VSABC SA 3 3 3
2
VSMNC SM SN SM 4 4 2
= . = = ⇒ VSMNC = VSADC = VS . ABCD
VSADC SA SD SA 9 9 9
5 5 1 10 3 3
Vậy: VS .BCMN = VSMBC + VSMNC = VS . ABCD = . .SA.S ABCD = a
9 9 3 27
Bài 3: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bằng a , và SH là đường cao của hình
chóp. Khoảng cách từ trung điểm I của SH đến mặt bên (SDC) bằng b . Tìm thể tích
hình chóp S.ABCD
HDG: Từ giả thiết suy ra H là tâm của hình vuông ABCD. Gọi M là trung điểm của CD,
và G là trực tâm ∆SCD ⇒ HG ⊥ CD (1)
Mà
BD ⊥ AD
⇒ BD ⊥ ( SAC ) ⇒ BD ⊥ SC và SC ⊥ DG ⇒ SC ⊥ ( BDG ) ⇒ SC ⊥ HG (2)
BD ⊥ SH
Vì I là trung điểm của SH nên : HG = d ( H ; ( SCD) ) = 2d ( I ; ( SCD) ) = 2b
a2 1 1 1 ab
⇒ GM = 2
− 4b 2và 2
= 2
+ ⇒h=
4 HG HM SH 2 a2
− 4b 2
4
2 a 3b
⇒ V=
3 a 2 − 16b 2
Bài 4: Tính thể tích khối tứ diện ABCD biết AB = a, AC = b, AD = c và các góc ∠BAC ,
∠CAD, ∠DAB đều bằng 60o .
HDG: Không mất tính tổng quát ta giả sử a = min { a, b, c}
Trên AC, AD lấy lần lượt hai điểm C1, D1 sao cho AC1 = AD1 = a, từ giả thiết suy ra tứ
2 3
diện ABC1D1 là tứ diện đều cạnh a nên có VABC1D1 = a
12
VABC1D1 AC1 AD1 a 2
Theo công thức tỉ số thể tích: = . =
VABCD AC AD bc
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Page 4 of 8
- TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA HOCMAI.VN ………… , ngày ….tháng… năm …..
A5+A6, 52 Nguyễn Chí Thanh Tel: 04.3775-9290
bc 2abc
⇒ VABCD = V
2 ABC1 D1
=
a 12
Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, ∠BAD = 60o , SA ⊥ mp ( ABCD ) và
SA = a . Gọi C’ là trung điểm của SC. Mặt phẳng (P) qua AC’ và song song với BD cắt
các cạnh SB, SD của hình chóp lần lượt tại B’, D’. Tìm thể tích hình chóp S.AB’C’D’
HDG: Gọi O = AC ∩ BD, I = AC '∩ SO , suy ra B ' D ' || BD và B ' D ' đi qua I
SI 2 SB ' SD ' 2
Tam giác SAC nhận I làm trọng tâm nên = ⇒ = =
SO 3 SB SD 3
Theo công thức tỉ số thể tích:
VS . AB 'C ' SB ' SC ' 2 1 1 1 1
= . = . = ⇒ VS . AB 'C ' = VS . ABC = VS . ABCD
VS . ABC SB SC 3 2 3 3 6
VS . AD 'C ' SD ' SC ' 2 1 1 1 1
= . = . = ⇒ VS . AD 'C ' = VS . ADC = VS . ABCD
VS . ADC SD SC 3 2 3 3 6
1 1 3 3 3a 3
Vậy: VS . A ' B 'C ' D ' = VS . A ' B 'C ' + VS . A ' D ' C ' = VS . ABCD = . a =
3 3 6 18
Bài 6: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Qua trung điểm I của cạnh AB dựng
a 3
đường thẳng (d) vuông góc với mp(ABCD). Trên (d) lấy điểm S sao cho: SI = . Tìm
2
khoảng cách từ C đến mp(SAD).
1 3a 3
HDG: Ta có: VS . ABCD = .SI .S ABCD =
3 6
Áp dụng pitago ta có:
5a 2
DI 2 = AI 2 + AD 2 = , SA2 = SI 2 + AI 2 = a 2 , SD 2 = SI 2 + DI 2 = 2a 2
4
1 1
SD 2 = SA2 + DA2 ⇒ ∆SAD vuông tại A nên S ∆SAD = AD.SA = a 2
2 2
3VSACD 3VSABCD a 3
Vậy khoảng cách cần tìm là: d ( C , ( SAD ) ) = = =
S ∆SAD 2 S ∆SAD 2
Bài7: Cho hình chóp S.ABC có SA = 3a và SA ⊥ mp ( ABC ) . ∆ABC có AB = BC = 2a,
∠ABC = 120o. Tìm khoảng cách từ A đến mp(SBC).
1 1
HDG: Ta có: S∆ABC = .BA.BC.sin B = . ( 2a ) .sin120o = 3a 2
2
2 2
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Page 5 of 8
- TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 10 tháng 06 năm 2010
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (04) 2221-0328
1 1
⇒ VS . ABC = .SA.S ∆ABC = .3a. 3a 2 = 3a 3
3 3
Áp dụng định lí hàm số cosin trong tam giác ABC có:
AC 2 = AB 2 + CB 2 − 2 BA.BC.cos B = 12a 2 ⇒ AC = 2 3a
Áp dụng pitago trong tam giác vuông:
SB 2 = SA2 + BA2 = 13a 2 ⇒ SB = 13a
SC 2 = SA2 + AC 2 = 21a 2 ⇒ SC = 21a
SB 2 + SC 2 − BC 2 15 4
Ta có: cos∠BSC = = ⇒ sin ∠BSC =
2 SB.SC 273 91
1
⇒ S ∆SBC = SB.SC.sin ∠BSC = 2 3a 2
2
3VS . ABC 1
Vậy khoảng cách cần tìm là: d ( A, mp ( SBC ) ) = = a
S ∆SBC 2
Bài 8: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Gọi K là trung điểm của
DD’. Tìm khoảng cách giữa CK và AD’.
HDG: Kẻ AH || CK (H thuộc cạnh CC’), khi đó ta có:
( CK , AD ') = ( CK , mp ( AHD ') ) = ( C , mp ( AHD ') )
3VAHC ' D '
= ( C ', mp ( AHD ') ) =
S ∆ AHD
1 a3
Dễ thấy H là trung điểm của CC’ và tính được VAHC ' D ' = . AD.S ∆HC ' D ' =
3 12
a 5
Xét tam giác AHD có: DH = DC '2 + HC '2 = ; AD = a 2
2
3a
AH = AD 2 + HD 2 =
2
1 3 1 3a 2
⇒ cos∠AD ' H = ⇒ sin ∠AD ' H = ⇒ S ∆AD ' H = .D ' A.D ' H .sin ∠AD ' H =
10 10 2 4
Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng Ck và AD’ là:
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Page 6 of 8
- TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA HOCMAI.VN ………… , ngày ….tháng… năm …..
A5+A6, 52 Nguyễn Chí Thanh Tel: 04.3775-9290
3VAHC ' D ' a
( CK , AD ') = ( CK , mp ( AHD ') ) = =
S ∆ AHD 3
Bài 9: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’. Gọi M là trung điểm của AA’. Chứng minh rằng
thiết diện C’MB chia lăng trụ thành hai phần tương đương.
HDG: Gọi V1 là thể tích phần đa diện chưa điểm A, và V là thể tích lăng trụ.
Kí hiệu h là khoảng cách từ B đến mp (ACC’A’), ta có:
1 1
V1 = VB. ACC ' A ' = .h.S ACC ' M = .h ( S ∆ACC ' + S ∆AMC ' )
3 3
1 1 1 3 1
= .h S ∆ACC ' + S ∆ACC ' = .h.S∆ACC ' = VC '. ABC = V
3 2 2 2 2
1
Do đó thể tích phần còn lại cũng bằng V nên ta có đpcm.
2
Bài 10: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các mặt bên tạo với mp đáy góc 60o .
3. Vẽ thiết diện qua AC và vuông góc với mp(SAD)
V1
4. Thiết diện chia khối chóp thành hai phần có thể tích tương ứng là V1, V2. Tìm tỉ số V .
2
HDG: 1. Vẽ thiết diện qua AC và vuông góc với (SAD):
DoAC ⊥ ( SBD) ⇒ AC ⊥ SD .
Kẻ CM ⊥ SD ⇒ SD ⊥ ( ACM ) ⇒ ( ACM ) ≡ ( P)
Vậy (ACM) là thiết diện.
5. Đặt V1 = VD. ACM
Ta có:
VS . ACM V ′ SM
= =
VS .DAC 1 V SD . Gọi N là trung điểm của CD
2
HN ⊥ CD ⇒ SN ⊥ CD ⇒ góc ( SNH ) = 600
1
HN ⊥ CD ⇒ SN ⊥ CD ⇒ góc ( SNH ) = 600 ⇒ HN = SN ⇒ SN = 2 DN . mà HN = a ⇒ HD = a 2; SH = a 3
2
V′ 1
⇒ SC = SD = a 5 ⇒ CM = a ⇒ SM = 2a ⇒ =
V 5
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Page 7 of 8
- TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 10 tháng 06 năm 2010
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (04) 2221-0328
………………….Hết…………………
BT Viên môn Toán hocmai.vn
Trịnh Hào Quang
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Page 8 of 8
nguon tai.lieu . vn
