- Trang Chủ
- Ôn thi ĐH-CĐ
- (Luyện thi cấp tốc Toán) Chuyên đề bất đẳng thức và min-max_Bài tập và hướng dẫn giải
Xem mẫu
- TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 12 tháng 06 năm 2010
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
BÀI TẬP VỀ NHÀ
BẤT ĐẲNG THỨC VÀ MIN, MAX.
Bài 1: Cho 3 số dương tùy ý x,y,z.
x y z 3
CMR: + + ≤
2x + y + z x + 2 y + z x + y + 2z 4
Bài 2: Cho 3 số dương x,y,z thõa mãn: xyz=1
x2 y2 z2 3
CMR: + + ≥
1+ y 1+ z 1+ x 2
Bài 3: Cho 3 số không âm tùy ý x,y,z thõa mãn: x+y+z=0.
CMR: 2 + 4x + 2 + 4 y + 2 + 4z ≥ 3 3
Bài 4: Cho 3 số dương tùy ý a,b,c:
a b c
Tìm Min: A = 3 4(a + b ) + 3 4(b + c ) + 3 4(c + a ) + 2 + 2+ 2
3 3 3 3 3 3
2
b c a
Bài 5: Cho 3 số dương tùy ý x,y,z.
x 1 y 1 z 1
Tìm Min của: P = x + + y + + z +
2 yz 2 zx 2 xy
Bài 6: Cho 3 số dương x,y,z thõa mãn điều kiện: xyz=1. Chứng minh rằng:
x2 y2 z2
P= + + ≥1
x+ y+ y z y+ z+ z x z+ x+ x y
3 3 3
Bài 7: Cho 3 số thực a,b,c tùy ý. Chứng minh rằng:
a−c a −b b−c
≤ + (*)
1+ a . 1+ c
2 2
1+ a . 1+ b
2 2
1+ b . 1+ c
2 2
Bài 8: Cho 4 số thực a,b,c,d thõa mãn: a2 +b2=1; c – d =3. Chứng minh:
9+6 2
F = ac + bd − cd ≤
4
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1
- TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 12 tháng 06 năm 2010
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Bài 9: Cho: a ≥ c ≥ 0; b ≥ c Chứng minh:
c(a − c) + c(b − c) ≤ ab
Bài 10: Cho x,y,z thuộc khoảng (0;1) thõa mãn điều kiện: xy + yz + zx = 1. Tìm Min của:
x y z
P= + +
1 − x2 1 − y 2 1 − z 2
Bài 11: Cho x, y, z >1 và thoả mãn điều kiện : xy + yz + zx ≥ 2xyz
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = (x - 1)(y - 1)(z - 1).
Bài 12. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:
2 1 − x4 + 1 + x2 − 1 − x2
y=
1 + x2 − 1 − x2 + 2
Bài 13. Cho 4 số bất kỳ a,b,c,d thõa mãn: a+2b=9;c+2d=4. CMR:
a 2 − 12a + b 2 − 8b + 52 + a 2 + c 2 + b 2 + d 2 − 2ac − 2bd + c 2 + d 2 − 4c + 8d + 20 ≥ 4 5
Bài 14: Cho 3 số dương x,y,z thõa mãn: 3-x + 3-y + 3-z =1. CMR:
9x 9y 9z 3x + 3 y + 3z
+ + ≥
3x + 3 y + z 3 y + 3z + x 3z + 3x + y 4
Bài 15:
x2 y2 z2
Tìm Min của: H= + +
y+z z+x x+ y
x, y , z > 0
Trong đó: 2
x + y + y + z + z + x = 2010
2 2 2 2 2
Bài 16: Tìm Min, Max của:
xy 2
A=
(x 2
(
+ 3 y 2 ) x + x 2 + 12 y 2 )
Bài 17: Cho 3 số thực thõa mãn: x2 + y2 + z2 =1.
Page 2 of 15
- TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 12 tháng 06 năm 2010
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Tìm Min, Max của: P = ( x + y + z ) − ( xy + yz + zx)
Bài 18: Cho 2 số dương x,y thõa mãn: x+y=5/4. Tìm Min của:
4 1
A= +
x 4y
Bài 19: CMR: Với mọi tam giác ABC ta luôn có:
A A A
1 + cos 1 + cos 1 + cos
2+ 2+ 2 >3 3
A A A
Bài 20: Cho 2 số không âm tùy ý x,y thõa mãn x+y=1: Tìm Min, Max của:
x y
S= +
y +1 x +1
………………….Hết…………………
BT Viên môn Toán hocmai.vn
Trịnh Hào Quang
Page 3 of 15
- TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 12 tháng 06 năm 2010
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
HDG ĐỀ LUYỆN TẬP SỐ 08
Kiến thức về Bất đẳng thức và tìm Min, Max đôi khi còn xa lạ với nhiều bạn. Khi
đụng đến phần này các bạn thường thấy rất ngại làm. Kể cả việc đọc một bài giải của
ai đó các bạn luôn đặt ra các câu hỏi: Vì sao lại tách như thế mà không tách kiểu khác?
Sao mình chứng minh BĐT nó lại có chiều quay lại…Đây là kiến thức đã làm quen từ
cấp II, trong quá trình học các bạn phải rèn luyện nhiều, tham khảo nhiều bài giải hay,
nhiều thủ thuật biến đổi thì mới tạm yên tâm được. Tôi có đôi điều như vậy. Mong các
bạn ôn tập thật tốt!
Bài 1: Cho 3 số dương tùy ý x,y,z.
x x x 3
CMR: + + ≤
2x + y + z x + 2 y + z x + y + 2z 4
Giải:
Ta có:
1 1 1 1 1
= ≤ +
2x + y + z ( x + y ) + ( x + z ) 4 x + y x + z
x 1 x x
≤ +
2x + y + z 4 x + y x + z
y 1 y y 1 x+ y y+ z x+ z 3
⇒ ≤ + ⇒ VT ≤ + + =
x + 2y + z 4 x + y y + z 4 x+ y y+ z x+ z 4
z 1 z z
=≤ +
x + y + 2z 4 x + z y + z
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x=y=z
Bài 2: Cho 3 số dương x,y,z thõa mãn: xyz=1
x2 y2 z2 3
CMR: + + ≥
1+ y 1+ z 1+ x 2
Giải:
Ta có:
Page 4 of 15
- TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 12 tháng 06 năm 2010
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
x2 1 + y
+ ≥ x
1+ y 4
y 2
1+ z
3 + ( x + y + z ) 3( x + y + z ) − 3 9 3 xyz − 3 3
+ ≥ y ⇒ VT ≥ ( x + y + z ) − = ≥ =
1+ z 4 4 4 4 2
z 2
1+ x
+ ≥z
1+ x 4
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x=y=z=1
Bài 3: Cho 3 số không âm tùy ý x,y,z thõa mãn: x+y+z=0.
CMR: 2 + 4x + 2 + 4 y + 2 + 4z ≥ 3 3
Giải:
Đặt:
a = 4 x
a, b, c > 0
b = 4 ⇒ Và : 2 + a + 2 + b + 2 + c ≥ 3 3 (1)
y
c = 4 z abc = 1
1
1 1 1
Ta có : 2 + a = 1 + 1 + a ≥ 3 a ⇒ 2 + a ≥ 3.a ⇒ VT(1) ≥ 3. a + b + c 6
3 66 6
1
≥ 3 3. ( abc ) 18 =3 3
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x=y=z=0
Bài 4: Cho 3 số dương tùy ý a,b,c:
a b c
Tìm Min: A = 3 4(a + b ) + 3 4(b + c ) + 3 4(c + a ) + 2 + 2+ 2
3 3 3 3 3 3
2
b c a
Giải:
Page 5 of 15
- TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 12 tháng 06 năm 2010
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
a b c
A = 3 4(a 3 + b3 ) + 3 4(b3 + c3 ) + 3 4(c3 + a 3 ) + 2 2 + 2 + 2
b c a
Vì :4(a 3 + b3 ) ≥ 8 (ab)3 ⇒ 3 4(a 3 + b3 ) ≥ 2 ab
⇒ 3 4(a 3 + b3 ) + 3 4(b3 + c3 ) + 3 4(c3 + a 3 ) ≥ 2 ( )
ab + bc + ca ≥ 6 3 abc
a b c 1 1
Và 2 2 + 2 + 2 ≥ 6 3 ⇒ A ≥ 6 3 abc + 3 ≥ 12 ⇒ Min A = 12
b c a abc abc
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1.
Bài 5: Cho 3 số dương tùy ý x,y,z.
x 1 y 1 z 1
Tìm Min của: P = x + + y + + z +
2 yz 2 zx 2 xy
Giải:
Ta có:
x2 + y 2 + z 2 x2 y2 z2 x2 + y2 + z 2 x2 + y 2 + z 2 1 1
P= + + + = + = ( x2 + y 2 + z 2 ) +
2 xyz xyz xyz 2 xyz 2 xyz
1 1 1 1 1 3 1
Vì : x 2 + y 2 + z 2 ≥ 3 3 ( xyz ) 2 Và + = 1 + + ≥ .3
2 xyz 2 xyz xyz 2 ( xyz ) 2
3 1 9 9
⇒ P ≥ 3 3 ( xyz ) 2 . . = ⇒ MinP =
2 3 ( xyz ) 2 2 2
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x=y=z=1
Bài 6: Cho 3 số dương x,y,z thõa mãn điều kiện: xyz=1. Chứng minh rằng:
x2 y2 z2
P= + + ≥1
x + y + y 3 z y + z + z 3 x z + x + x3 y
Giải:
Page 6 of 15
- TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 12 tháng 06 năm 2010
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
x2 x3
Vì : =
x + y + y 3 z x 2 + xy + y 2
x3 − y 3 x3 − y 3 y3 − z3 z 3 − x3
Mà : 2 = x− y⇒ 2 + + =0
x + xy + y 2 x + xy + y 2 y 2 + yz + z 2 z 2 + zx + x 2
x3 y3 z3 y3 z3 x3
⇔ 2 + + = + +
x + xy + y 2 y 2 + yz + z 2 z 2 + zx + x 2 x 2 + xy + y 2 y 2 + yz + z 2 z 2 + zx + x 2
x3 + y 3 y3 + z3 z 3 + x3
⇔ 2P = + 2 + 2 .
x 2 + xy + y 2 y + yz + z 2 z + zx + x 2
x3 + y 3 x 2 − xy + y 2 x 2 − xy + y 2 1
Vì : 2 = ( x + y) 2 . mà : 2 ≥
x + xy + y 2 x + xy + y 2 x + xy + y 2 3
x3 + y 3 x+ y 2
⇒ 2 ≥ ⇒ 2 P = ( x + y + z ) ≥ 2 3 xyz = 2 ⇒ P ≥ 1.
x + xy + y 2 3 3
Bài 7: Cho 3 số thực a,b,c tùy ý. Chứng minh rằng:
a−c a −b b−c
≤ + (*)
1+ a . 1+ c
2 2
1+ a . 1+ b
2 2
1+ b . 1+ c
2 2
Giải:
Đặt:
a = tan α
b = tan β ⇒ (*) ⇔ sin(α − β ) + sin( β − γ ) ≥ sin(α − γ )
c = tan γ
Vì : sin(α − γ ) = sin [ (α − β ) + ( β − γ ) ] ) = sin(α − β )cos( β − γ ) + cos(α − β ) sin( β − γ )
≤ sin(α − β ) cos( β − γ ) + cos(α − β ) sin( β − γ ) ≤ sin(α − β ) + sin( β − γ )
Điều phải chứng minh.
Bài 8: Cho 4 số thực a,b,c,d thõa mãn: a2 +b2=1; c – d =3. Chứng minh:
9+6 2
F = ac + bd − cd ≤
4
Giải:
Gọi:
Page 7 of 15
- TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 12 tháng 06 năm 2010
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
A ( a; b ) ⇒ A ∈ (C ) : x 2 + y 2 = 1 và B ( c; d ) ⇒ B ∈ d : x − y = 3
Ta có : AB 2 = (a − c) 2 + (b − d ) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + d 2 − 2ac − 2bd
= ( a 2 + b 2 ) + (c − d ) 2 − 2(ac + bd − cd ) = 1 + 9 − 2 F
Vì AB nhỏ nhất khi và chỉ khi A,B thuộc đường vuông góc với d kẽ từ O.
3 2 3 2 −2 22 − 12 2
⇒ AB Min = OB − OA = −1 = ⇒ AB 2 ≥
2 2 4
22 − 12 2 11 − 6 2 9+6 2
⇒ 10 − 2 F ≥ ⇒ 5− F ≥ ⇒F≤
4 4 4
Bài 9: Cho: a ≥ c ≥ 0; b ≥ c Chứng minh:
c(a − c) + c(b − c) ≤ ab
Giải:
Gọi:
r r
a ( )
c, b − c ⇒ a = c + b − c = b
r r
b ( )
a − c, c ⇒ b = a − c + c = a
rr r r
Do : a.b ≤ a . b ⇔ c(a − c) + c(b − c) ≤ ab
Bài 10: Cho x,y,z thuộc khoảng (0;1) thõa mãn điều kiện: xy + yz + zx = 1. Tìm Min của:
x y z
P= + +
1 − x2 1 − y2 1 − z 2
Giải:
Đặt
Page 8 of 15
- TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 12 tháng 06 năm 2010
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
A
x = tan
2 A B C
tan tan tan
B 2 + 2 + 2 = 1 ( t anA + tan B + tan C )
y = tan ⇒ P = A B C 2
2 1 − tan 2 1 − tan 2 1 − tan 2
C 2 2 2
z = tan 2
Vì :Trong ∆ABC ta có : t anA + tan B + tan C = t anA.tan B.tan C ≥ 3 3 t anA.tan B.tan C
3 3
⇒ t anA + tan B + tan C = t anA.tan B.tan C ≥ 3 3 ⇒ P ≥
2
1
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi A=B=C=600 hay x = y = z =
3
Bài 11.
Cho x, y, z là các số thực dương lớn hơn 1 và thoả mãn điều kiện :
xy + yz + zx ≥ 2xyz
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = (x - 1)(y - 1)(z - 1).
Giải:
1 1 1
Ta có: xy + yz + zx ≥ 2xyz ⇒ + + ≥2
x y z
Đặt:
x − 1 = a a, b, c > 0
1 1 1
y −1 = b ⇒ 1 1 1 ≥2⇔ ≥ 1 − + 1 −
z −1 = c a +1 + b +1 + c +1 a +1 b +1 c +1
1 b c bc
⇒ ≥ + ≥2
a +1 b +1 c +1 (b + 1)(c + 1)
1 ca 1 ab
≥2 ; ≥2
b +1 (c + 1)(a + 1) c + 1 (a + 1)(b + 1)
1 abc 1
⇒ ≥8 ⇒ abc ≤
( a + 1) ( b + 1) ( c + 1) ( a + 1) ( b + 1) ( c + 1) 8
1 1
⇒ ( x − 1) ( y − 1) ( z − 1) ≤ ⇒ MaxA =
8 8
Bài 12.
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:
Page 9 of 15
- TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 12 tháng 06 năm 2010
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
2 1 − x4 + 1 + x2 − 1 − x2
y=
1 + x2 − 1 − x2 + 2
Giải:
Đặt:
a = 1 + x 2
a, b > 0 2ab + a − b
⇒ 2 ;y=
b = 1 − x 2 a + b = 2
2
a −b+ 2
t 2 = ( a − b ) 2 ≤ 12 + (−1) 2 a 2 + b 2 = 4
Coi : t = a − b ⇒ 2 − t2 + t
y=
t+2
t ∈ [ −2; 2]
t = 0 Max y = y (0) = 1
⇒ 4 ⇒ y'= 0 ⇔ ⇒
y = −t + 3 − t = −4 < −2 tlim y = −∞
→−2
t+2
Vậy hàm số đạt Max=1 và không đạt Min.
Bài 13.
Cho 4 số bất kỳ a,b,c,d thõa mãn: a+2b=9;c+2d=4. CMR:
a 2 − 12a + b 2 − 8b + 52 + a 2 + c 2 + b 2 + d 2 − 2ac − 2bd + c 2 + d 2 − 4c + 8d + 20 ≥ 4 5
Giải:
Chọn A(a;b) và B(c;d) ta có: M(6;4) và N(2;-4) và:
A ∈ (d1 ) : x + 2 y − 9 = 0
B ∈ (d 2 ) : x + 2 y − 4 = 0
( a − 6) + ( b − 4 ) = AM
2 2
Ta có : a 2 − 12a + b 2 − 8b + 52 =
( a − c) + ( b − d ) = AB
2 2
a 2 + c 2 + b 2 + d 2 − 2ac − 2bd =
( c − 2) + ( d + 4 ) = BN
2 2
c 2 + d 2 − 4c + 8d + 20 =
Mà : AM + AB + BN ≥ MN = (6 − 2) 2 + (4 + 4) 2 = 4 5
Bài 14.
Cho 3 số dương x,y,z thõa mãn: 3-x + 3-y + 3-z =1. Chứng minh rằng:
Page 10 of 15
- TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 12 tháng 06 năm 2010
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
9x 9y 9z 3x + 3 y + 3z
y+z
+ y z+x
+ z x+ y
≥
3 +3
x
3 +3 3 +3 4
Giải:
Đặt:
a = 3x a , b, c > 0
b = 3 ⇒ 1 1 1 ⇔ ab + bc + ca = abc
y
c = 3 z + + =1
a b c
a2 b2 c2 a3 b3 c3
Ta có :VT = + + = + +
a + bc b + ca c + ab a 2 + abc b 2 + abc c 2 + abc
a3 a3 a3
Vì : 2 = =
a + abc a 2 + ab + bc + ca ( a + b ) ( a + c )
a3 b3 c3
⇒ VT ≥ + + .
( a + b) ( a + c) ( b + c) ( b + a) ( c + a) ( c + b)
a3 a+b a+c a3 3
Ta có : + + ≥3 3 = a
( a + b) ( a + c) 8 4 64 4
b3 3 c3 3
≥ b; ≥ c
( b + c) ( b + a) 4 ( c + a) ( c + b) 4
a+b+a+c+b+c 3 a+b+c
⇒ VT + 2 ≥ (a + b + c) ⇒ VT ≥ = VP ⇒ dpcm
8 4 4
Bài 15.
x2 y2 z2
Tìm Min của: H= + +
y+z z+x x+ y
x, y , z > 0
Trong đó: 2
x + y + y + z + z + x = 2010
2 2 2 2 2
Giải:
Đặt:
Page 11 of 15
- TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 12 tháng 06 năm 2010
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
a = x2 + y 2
a, b, c > 0
b = y2 + z2 ⇒
a + b + c = 2010
c = z +x
2 2
Theo Bunhiacopxki ta có :
x + y ≤ 2( x 2 + y 2 ); y + z ≤ 2( y 2 + z 2 ); z + x ≤ 2( z 2 + x 2 )
x2 y2 z2
⇒H ≥ + +
2( y 2 + z 2 ) 2( z 2 + x 2 ) 2( x 2 + y 2 )
a 2 − b2 + c 2 2 a 2 + b 2 − c 2 2 −a 2 + b 2 + c 2
Và : x =
2
;y = ;z =
2 2 2
1 a −b +c
2 2 2
a + b − c −a + b + c 2
2 2 2 2 2
⇒H ≥ + +
2 2 b c a
1 2 2 1 1 1 (a + b + c) 2
= (a + b + c ) a + b + c − 2(a + b + c) . Vì : (a + b + c ) ≥
2 2 2 2
nên :
2 2 3
1 (a + b + c ) 1 1 1 1 (a + b + c )
H≥ .(a + b + c) + + − 2(a + b + c) ≥ .9 − 2(a + b + c )
2 2 3 a b c 2 2 3
a + b + c 2010 1005 2 1005 2
= = = ⇒ Min H = ⇔ x = y = z = 224450
2 2 2 2 2 2
Bài 16: Tìm Min, Max của:
xy 2
A=
(x 2
(
+ 3 y 2 ) x + x 2 + 12 y 2 )
Giải:
Page 12 of 15
- TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 12 tháng 06 năm 2010
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
1 y
Ta có : A = . Coi : t =
x 2 y
2 x
+ 3 1 + 1 + 12
y x
⇒ A=
1
=
t2
=
(
t 2 1 − 1 + 12t 2 )
1
(
2 + 3 1 + 1 + 12t
t
2
) ( 1 + 3t ) ( 1 +
2
1 + 12t 2 ) ( 1 + 3t ) ( −12t )
2 2
1 1 + 12t 2 − 1 u −1
= . Coi : u = 1 + 12t 2 (u ≥ 1) ⇒ 3 A = 2 = f (u )
3 12t 2 + 4 u +3
u = −1 1 1
⇒ f '(u ) = 0 ⇔ ⇒ 3 A = f (u ) ≤ f (3) = ⇒ MaxA = .
u = 3 6 18
Và : lim f (u ) = 0 ⇒ MinA = 0
u →∞
Bài 17: Cho 3 số thực thõa mãn: x2 + y2 + z2 =1.
Tìm Min, Max của: P = ( x + y + z ) − ( xy + yz + zx)
Giải:
Đặt:
t = x + y + z ⇒ t 2 ≤ 3( x 2 + y 2 + z 2 ) = 3 ⇒ t ∈ − 3; 3
t 2 − 1 −t 2 + 2t + 1
Và P = t − = = f (t ) ⇒ f '(t ) = 0 ⇔ t = 1 ∈ − 3; 3
2 2
MaxP = f (1) = 1
Qua BBT ta có :
MinP = f (− 3) = −( 3 + 1)
Bài 18: Cho 2 số dương x,y thõa mãn: x+y=5/4. Tìm Min của:
4 1
A= +
x 4y
Giải:
Ta có:
Page 13 of 15
- TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 12 tháng 06 năm 2010
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
5
16 y + − y
16 y + x 4 60 y + 5
A= = = .
4 xy 5 4 y (5 − 4 y )
4 y( − y)
4
a = 4 y 0 < a , b < 5 16a + b 16 1 16 1
Coi : ⇒ Và : A = = + = + = f (a)
b = 5 − 4 y a + b = 5 ab b a 5−a a
a = 0
16 1 16
⇒ f '(a) = − 2 =0⇒ 5 ⇒ MinA = f (1) = + 1 = 5
( 5 − a)
2
a a = − 4
3
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x=1; y=1/4
Bài 19: CMR: Với mọi tam giác ABC ta luôn có:
A A A
1 + cos 1 + cos 1 + cos
2+ 2+ 2 >3 3
A A A
Giải:
x2
Xét hàm số: y = + cos x − 1
2
π
y ' = x − sin x và y '' = 1 − cos x > 0; ∀x ∈ o;
2
x2
Ta thấy y’ đồng biến và ta có: y > 0. Vậy ta có: cos x > 1 −
2
Áp dụng cho các góc A/2, B/2 , C/2 ta có:
A A2 B B2 C C2
cos > 1 − ; cos > 1 − ;cos > 1 −
2 8 2 8 2 8
1 1 1 1 9 A+ B+C
⇒ VT > 2 + + − ( A + B + C ) ≥ 2. −
A B C 8 A+ B +C 8
18 π 144 − π 2
= − = >3 3
π 8 8π
Bài 20: Cho 2 số không âm tùy ý x,y thõa mãn x+y=1: Tìm Min, Max của:
Page 14 of 15
- TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 12 tháng 06 năm 2010
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
x y
S= +
y +1 x +1
Giải:
Ta có:
x y ( x 2 + y 2 ) + ( x + y ) 2 − 2 xy
S= + = = .
y +1 x +1 xy + ( x + y ) + 1 2 + xy
( x + y)2 1 1 2 − 2t 6
Mà : 0 ≤ xy ≤ = . Coi : t = xy ⇒ t ∈ 0; và S = = −2 + = f (t )
4 4 4 2+t t+2
1 2
−6 MinS = f ( ) =
⇒S'=
nguon tai.lieu . vn
