Xem mẫu
- KỲ THI OLYMPIC TRUY N TH NG 30/4
L N TH XIII T I THÀNH PH HU
THI MÔN TOÁN L P 11
Th i gian làm bài: 180 phút
Chú ý: M i câu h i thí sinh làm trên 01 t gi y riêng bi t
Câu 1 (4 i m).
Gi i h phương trình sau:
y2 −x 2 x 2 + 1
e = 2
y +1
3 log 3 ( x + 2 y + 6) = 2 log 2 ( x + y + 2) + 1
Câu 2 (4 i m).
Cho hình chóp u S.ABCD có c nh áy b ng d và s o c a nh di n [B,SC,D]
b ng 1500. Tính th tích c a hình chóp u S.ABCD theo d.
Câu 3 (4 i m).
Cho dãy s dương (an).
a. Ch ng minh r ng v i m i s nguyên dương k :
1 32 43 (k + 1)k a
k a .a ...a
k ≤
2a 1 + a 2 + 2 a 3 + ... +
k (k + 1)
1 2 k
2 3 k k −1
n
b. Bi t lim ∑ a i = a ∈ R. t bn = a 1 + a 1a 2 + 3 a 1a 2 a 3 + ... + n a 1a 2 ...a n v i n ≥ 1
n →∞ i =1
Ch ng minh r ng dãy (bn) có gi i h n.
Câu 4 (4 i m).
Cho hàm s f(x) = 2x – sinx.
Ch ng minh r ng t n t i h ng s b và các hàm s g, h tho mãn ng th i các
i u ki n sau:
1) g(x) = bx + h(x) v i m i s th c x.
2) h(x) là hàm s tu n hoàn.
3) f(g(x)) = x v i m i s th c x.
Câu 5 (4 i m).
Tìm t t c các s t nhiên m, n sao cho ng th c sau úng:
8m = 2m + n(2n-1)(2n-2)
-------------------H T-------------------
Ghi chú: Cán b coi thi không gi i thích gì thêm
- ÁP ÁN TOÁN L P 11
N I DUNG I M
Câu 1: Gi i h phương trình
y 2 − x2 x2 +1
e = 2 (1)
y +1
3log ( x + 2 y + 6) = 2 log ( x + y + 2) + 1 (2)
3 2
k: x + 2y +6 > 0 và x + y + 2 > 0 0,5
2 2 2 2
Phương trình (1) ⇔ y – x = ln(x +1) – ln(y +1)
⇔ ln(x2+1)+ x2 +1 = ln(y2+1)+y2+1 (3)
1
Xét hàm s f(t) = lnt + t v i t ≥ 1
Phương trình (3) có d ng f(x2+1) = f(y2+1) (4)
Ta có f(t) ng bi n trên [1 ;+ ∞ ).
Do ó (4) ⇔ x2+1 = y2+1 ⇔ x = ± y
* V i x = -y , t (2) ta ư c log 3 (6 − x) = 1 , v i x -1
0.5
x + 2 = 32u
t 3log 3 ( x + 2) = 2 log 2 ( x + 1) = 6u ⇒ 3u
x +1 = 2
u u
1 8
⇒ 1+23u = 32u ⇔ + = 1 (5)
9 9
u u 1
1 8
Xét g(u) = + , g(u) là hàm ngh ch bi n trên R và có g(1) = 1 nên
9 9
u = 1 là nghi m duy nh t c a (5).
V i u = 1 suy ra x = y = 7 (th a mãn h )
V y h có 2 nghi m (3 ;-3) , (7 ;7)
0.5
- N I DUNG I M
Câu 2: Cho hình chóp u S.ABCD có c nh áy b ng d và s o c a nh di n
[B,SC,D] b ng 1500. Tính th tích c a hình chóp u S.ABCD theo d.
Ta có: BD ⊥ SC . D ng m t ph ng qua BD vuoâng goùc vôùi SC taïi P.
0 1
Ta coù : ∠BPD = 150
2BP 2 − BD 2 BD 2
Ta có: cos150 = 0
=1− (1) 0.5
2BP 2 2BP 2
G i M là trung i m c a BC. Ta có SM .BC = BP.SC.
BC = d, g i h là chi u cao hình chóp S.ABCD
d2 d2 d 2 (4h 2 + d 2 ) 1
2 2 2 2 2
Ta có: SM = h + ; SC = h + . Suy ra: BP =
4 2 2( 2 h 2 + d 2 )
3 d2 d 2 3 −3 1
(1) tr thành: − =− 2 2
. Suy ra: h =
2 4h + d 2 3
1 d3 2 3 −3 0.5
VS.ABCD = h.dtABCD =
3 6 3
- N I DUNG I M
Câu 3 Cho dãy s dương (an).
a. Ch ng minh r ng v i m i s nguyên dương k:
1 32 43 (k + 1)k a
k a .a ...a ≤ 2a 1 + a 2 + 2 a 3 + ... +
k (k + 1)
1 2 k k
2 3 k k −1
n
b. Bi t lim ∑ a i = a ∈ R.
n →∞ i =1
t bn = a 1 + a 1a 2 + 3 a 1a 2 a 3 + ... + n a 1a 2 ...a n v i n ≥ 1
Ch ng minh r ng dãy (bn) có gi i h n.
a)Ta có
32 43 (k + 1) k
k (a1 2)(a2 )(a3 2 )....(ak ) = k a1 a2 a3 ....ak (k + 1) ⇒
2 3 k k −1
1 k 32 43 (k + 1) k 2
k a1 a2 a3 ....ak = (a1 2)(a2 )(a3 2 )....(ak )≤
k +1 2 3 k k −1
1 32 43 (k + 1) k
(a1 2) + (a2 ) + (a3 2 ) + .... + (ak )
(k + 1)k 2 3 k k −1
b)
T câu a) suy ra
1 1 32 1 1 (n + 1)n 1
bn ≤ (a1 2)( + .. + ) + (a2 )( + .... + ) + .. + (an n −1
)( )
1.2 n(n + 1) 2 2.3 n(n + 1) n n(n + 1)
1 1 1 1 1 1 1 1 1
Do : + + ... + = 1 − + − + ... + − = 1−
- N I DUNG I M
Câu 4: Cho hàm s f(x)= 2x – sinx.
Ch ng minh r ng t n t i h ng s b và các hàm s g, h th a mãn ng th i các
i u ki n sau :
1) g(x) = bx + h(x) v i m i s th c x.
2) h(x) là hàm s tu n hòan.
3) f(g(x)) = x v i m i s th c x.
T i u ki n 3) cho th y mu n ch ng t t n t i g ch c n ch ng t f có hàm
s ngư c. 1
Chú ý : f ng bi n trên (- ∞ ;+ ∞ ) nên có hàm s ngư c g.
Ta có : f(g(x)) = x và g(f(x)) = x v i m i s th c x.
t : h(x) = g(x) – bx. Ta s ch n b h(x) tu n hòan. 0.5
Hàm sinx tu n hoàn chu kì 2 π .
Ta s ch ng t g(x+ 4 π ) = g(x) +2 π v i m i s th c x.
Th t v y : g(x)+2 π = [f(g(x) +2 π )] = g[2(g(x)+2 π ) - sin(g(x)+2 π )] 1
=g[2g(x)-sin(g(x)) + 4 π ] = g[f(g(x)) + 4 π ] = g( x +4 π ).
T ó : h(x+4 π ) = g(x + 4 π ) – b(x+4 π ) = g(x) + 2 π -bx – 4b π
= h(x) + 2 π (1-2b). 1
1 0.5
N u ch n b = thì h(x + 4 π ) = h(x) v i m i s th c x.
2
- N I DUNG I M
Câu 5: Tìm t t c các s t nhiên m,n sao cho ng th c sau úng :
8m = 2m + n(2n-1)(2n-2) .
t x = 2m , y = 2n-1 v i m ,n là các s t nhiên .
0.5
Ta có : (x,y) =1 và 2(x3-x) = (y+1)y(y-1) ⇔ y(y2-1) = 2x(x2-1) (1)
Do m ≥ 0 , n ≥ 0 nên x ≥ 1 và y ≥ -1 .
+ Trư ng h p x =1: Ta có m = 0 .Lúc ó n = 0 hay n =1 . 1
+Trư ng h p x >1:
T (1) và (x,y)=1 suy ra : y2-1 chia h t cho x và 2(x2-1) chia h t cho y. Do ó
0.5
2(x2-1).(y2-1) chia h t cho xy. Nhưng: 2(x2-1)(y2-1) = 2[x2y2-2xy-((x-y)2-1)]
nên cũng có: 2((x-y)2-1) chia h t cho xy (2)
Chú ý: v i x >1 thì t (1) ta có x3 < y3 < 2x3 .
Th t v y : (1) ⇔ (y-x)(y2+xy+y2-1) = x3-x.
V i x>1 ta có x3-x>0.Lúc này y>0 và y2+xy+y2-1>0,nên y>x. 1
Ngoài ra: (x2-1)(2x3-y3) = x2[2(x3-x)] – (x2-1)y3 = x2(y3-y)-(x2-1)y3
= y(y2-x2) > 0. Do ó: 2x3-y3 > 0
y 1
+ T ó: 0
nguon tai.lieu . vn
